江西宜春三中高二下学期第一次月考文科数学试卷word含答案

2017-2018学年江西省宜春市丰城中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题卡上）1．在复平面内，复数﹣i3对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定3．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A与B同时发生的概率是（）A．B．C．D．4．若x1，x2，x3，x2015的方差为3，则3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），3（x2015﹣2）的方差为（）A．3 B．9 C．18 D．275．小赵和小王约定在早上7：00至7：30之间到某公交站搭乘公交车去上学．已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7：10，7：20，7：30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．6．若α与β为△ABC的内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．有如下：p：设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；q：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，则下列中为真的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）8．如果方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣3，﹣2）9．下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）A．B．C．D．11．已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1，右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴的端点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．12．如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上）13．A：|x﹣1|＜3，B：（x+2）（x+a）＜0，若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是．14．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=．15．已知函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（﹣1，2）上不是单调函数，则实数m的取值范围是．16．已知p：“若m≤0，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆；q：“若函数f（x）=lg（x2+2x+a）的值域为R，则a＞1”．以下四个结论：①p是真；②p∧q是假；③p∨q是假；④￢q为假．其中所有正确结论的序号为．三、解答题（共6Z小题，第17-21题各12分，第22题10分，共70分请将答案填写在答题卡上）17．设p：函数f（x）=lg（x2﹣x+a2）的定义域为R，q：∀m∈[﹣1，1]，a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数a的取值范围．18．高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB 的中点．（Ⅰ）求证：CN⊥AB1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AB1M．20．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．21．抛物线C1：x2=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：+=1相交于C，D两点．（1）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．22．（选做题）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|．（Ⅰ）若a=2，解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）如果∀x∈R，f（x）≥3，求a的取值范围．2014-2015学年江西省宜春市丰城中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题卡上）1．在复平面内，复数﹣i3对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到a+bi的形式，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到位置．解答：解：复数﹣i3=+i=1+2i，复数的在复平面内的对应点（1，2）．在复平面内，复数﹣i3对应的点位于第一象限．故选：A．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．2．甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，求出甲、乙同学的平均值与方差，即可得出正确的结论．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学的平均成绩为=（72+77+78+86+92）=81，乙同学的成绩=（78+88+88+91+90）=87；甲的方差为=[（﹣9）2+（﹣4）2+（﹣3）2+52+112]=，乙的方差为=[（﹣9）2+12+12+42+32]=；∴甲的平均值小于乙的平均值，甲的方差大于乙的方差，乙比甲稳定．故选：D．点评：本题考查了求平均数与方差的应用问题，是基础题目．3．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A与B同时发生的概率是（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：由题意求得P（A）和P（B）的值，再根据相互独立事件的概率乘法公式求得事件A 与B同时发生的概率是P（A）•P（B）的值．解答：解：由题意可得P（A）=，P（B）=，∴事件A与B同时发生的概率是P（A）•P（B）==，故选：D．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．4．若x1，x2，x3，x2015的方差为3，则3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），3（x2015﹣2）的方差为（）A．3 B．9 C．18 D．27考点：极差、方差与标准差．专题：计算题；概率与统计．分析：由已知中x1，x2，x3，…，x2015的方差为3，根据一组数据同时减小2，数据的方差不变，求出（x1﹣2），（x2﹣2），（x3﹣2），…，（x2015﹣2）的方差，进而根据一组数据扩大a倍，则方差扩大a2倍，得到3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），…，3（x2015﹣2）的方差．解答：解：∵x1，x2，x3，…，x2015的方差为3，∴（x1﹣2），（x2﹣2），（x3﹣2），…，（x2015﹣2）的方差为3，∴3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），…，3（x2015﹣2）的方差为27，故选：D．点评： 本题考查的知识点是方差，其中一组数据同时减小a ，数据的方差不变，一组数据扩大a 倍，则方差扩大a 2倍，是解答此类问题的关键．5．小赵和小王约定在早上7：00至7：30之间到某公交站搭乘公交车去上学．已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7：10，7：20，7：30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 设甲到达汽车站的时刻为x ，乙到达汽车站的时刻为y ，利用满足条件的不等式，求出对应的平面区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答： 解：如图，设甲到达汽车站的时刻为x ，乙到达汽车站的时刻为y ， 则7≤x ≤7，7≤y ≤7，甲、乙两人到达汽车站的时刻（x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将3班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足{（x ，y ）|，或或}，即（x ，y ）必须落在图形中的3个带阴影的小正方形内，如图所以由几何概型的计算公式得P=；故选A ．点评： 本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键．6．若α与β为△ABC 的内角，则“α=β”是“sin α=sin β”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可．解答：解：在△ABC内，若α=β，则设α，β对应的边分别为a，b，则a=b，由正弦定理得，即sinα=sinβ，反之也成立，即“α=β”是“sinα=sinβ”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．7．有如下：p：设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；q：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，则下列中为真的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）考点：复合的真假；的否定．专题：简易逻辑．分析：首先判断出p的真假，进一步判断出q的真假，最后利用真值表求出结论解答：解：p：设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件．p是假．q：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，则：q是真．所以：p∨q是真．故选：C．点评：本题考查的知识要点：真假的判断，及真值表的应用．属于基础题型．8．如果方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣3，﹣2）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别讨论方程表示焦点在x轴上和y轴上的双曲线，列出不等式，解出它们，再求并集即可．解答：解：①当方程表示焦点在x轴上的双曲线，则为﹣=1，所以，解得﹣2＜m＜﹣1，则m的取值范围为：（﹣2，﹣1）；②当方程表示焦点在x轴上的双曲线，则为﹣=1，所以，无解．综上所述，则m的取值范围为：（﹣2，﹣1）．故选：A．点评：本题考查方程表示的图形，考查双曲线方程的特点，考查运算能力，属于基础题．9．下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c考点：排序问题与算法的多样性．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．解答：解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由于数列中，1有一项，和为1，有两项，和为1，前100项中，有13项，和为1，，代入求出前100项的和．解答：解：=1×故选A．点评：本题是数列求和的基本运算，关键是要准确判断数列中形如的项出现的次数．11．已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1，右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴的端点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图形，设椭圆方程为，求出P，F2，A，B四点的坐标，从而根据PF 2∥AB即可得，从而可得到b=2c，根据a2=b2+c2即可得出，从而得到该椭圆的离心率．解答：解：如图，设椭圆方程为：；∴x=﹣c时，，∴，F2（c，0）；又A（a，0），B（0，b），PF2∥AB；∴；∴；∴b=2c；；∴；即椭圆的离心力为：．故选D．点评：考查椭圆的标准方程，根据椭圆标准方程可表示椭圆的焦点及顶点坐标，根据椭圆的方程，已知椭圆上点的横坐标能求其纵坐标，根据两点坐标求直线斜率，以及两平行直线的斜率关系，椭圆离心率的概念及计算．12．如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题．分析：由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．解答：解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．点评：导数的正负决定函数的单调性．二．填空题（共小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上）13．A：|x﹣1|＜3，B：（x+2）（x+a）＜0，若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）．考点：绝对值不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：通过绝对值不等式的解法求出集合A，利用A是B的充分而不必要条件则说明A是B的真子集，推出集合B，求解a的范围即可．解答：解：根据题意，由于A：|x﹣1|＜3，得到﹣2＜x＜4，B：（x+2）（x+a）＜0，A是B的充分而不必要条件则说明A是B的真子集，那么可知集合B：﹣2＜x＜﹣a，则可知参数a＜﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4）．点评：本题主要是考查了绝对值不等式的解法，充分条件的运用，属于基础题．14．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．解答：解：f′（x）==．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．15．已知函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（﹣1，2）上不是单调函数，则实数m的取值范围是﹣16＜m＜．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：对函数进行求导，令导函数等于0在区间（﹣1，2）上有解，然后建立关系式，解之即可．解答：解：y′=3x2+2x+m∵函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（﹣1，2）上不是单调函数∴y′=3x2+2x+m=0在区间（﹣1，2）上有解，即△=4﹣12m＞0，f（2）＞0∴﹣16＜m＜．故答案为：﹣16＜m＜．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减，在区间（a，b）上存在极值，则在区间（a，b）上不单调．16．已知p：“若m≤0，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆；q：“若函数f（x）=lg（x2+2x+a）的值域为R，则a＞1”．以下四个结论：①p是真；②p∧q是假；③p∨q是假；④￢q为假．其中所有正确结论的序号为②③．考点：的真假判断与应用．专题：探究型．分析：根据二次方程根与△的关系及四种的定义，可判断p的真假；根据对数函数和二次函数的图象和性质，可判断q的真假；进而由复合真假判断的真值表分析四个结论的正误，可得答案．解答：解：“若m≤0，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆为“若x2﹣2x+m=0有实数解，则m≤0”由x2﹣2x+m=0有实数解，则△=4﹣4m≥0得，m≤1，此时m≤0不一定成立故p为假，即p为假，函数f（x）=lg（x2+2x+a）的值域为R，则a≤1，故q为假，故①“p是真”错误；②“p∧q是假”正确；③“p∨q是假”正确；④“￢q为假”错误．故正确结论的序号为②③故答案为：②③点评：本题以的真假判断为载体考查了四种，二次方程，对数函数，二次函数的图象和性质，难度中档．三、解答题（共6Z小题，第17-21题各12分，第22题10分，共70分请将答案填写在答题卡上）17．设p：函数f（x）=lg（x2﹣x+a2）的定义域为R，q：∀m∈[﹣1，1]，a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数a的取值范围．考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：求出p，q成立的等价条件，结合“p∨q”为真，且“p∧q”为假，得到p，q一真一假，然后进行求解即可．解答：解：p：若函数f（x）=lg（x2﹣x+a2）的定义域为R，则x2﹣x+a2＞0恒成立，即判别式△=1﹣a2＜0，即a2＞4，解得a＞2或a＜﹣2．…（1分）q：∵m∈[﹣1，1]，∴∈[2，3]．∵对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，可得a2﹣5a﹣3≥3，即a2﹣5a﹣6≥0，∴a≥6或a≤﹣1．故q为真时，a≥6或a≤﹣1．…（3分）“p∨q”为真，且“p∧q”为假，则p，q一真一假…（4分）（1）若p真q假，则，解得2＜a＜6 …（8分）（2）若p假q真，则，解得﹣2≤a≤﹣1 …（10分）综上（1）（2）所述：﹣2≤a≤﹣1或2＜a＜6为所求的取值范围．…（12分）点评：本题主要考查复合的真假的判断，求出为真的等价条件是解决本题的关键．18．高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图能求出成绩在[14，16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）由频率分布直方图能求出众数落在第二组[15，16）内，由此能求出众数；数据落在第一、二组的频率是0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.6＞0.5，所以中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，由此能求出中位数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，成绩在[17，18）的人数有3人，由此能求出结果．解答：解：（1）根据频率分布直方图知成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人．∴该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人．（2）由频率分布直方图知众数落在第三组[15，16）内，众数是．∵数据落在第一、二组的频率=1×0.04+1×0.18=0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率=1×0.04+1×0.18+1×0.38=0.6＞0.5，∴中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，解得x=，∴中位数是15.74．（3）成绩在[13，14）的人数有50×0.04=2人，成绩在[17，18）的人数有；50×0.06=3人，设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩∵m，n∈[13，14）∪[17，18]，∴事件“|m﹣n|＞2”的概率p==．点评：本题考查众数、中位数的求法，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB 的中点．（Ⅰ）求证：CN⊥AB1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AB1M．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥底面ABC，所以BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥CN，由此利用直线垂直于平面的性质，能够证明CN⊥AB1．（Ⅱ）法一：连接A1B交AB1于P．因为三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以P是A1B的中点．再利用直线平行于平面的判定理，能够证明CN∥平面AB1M．法二：取BB1中点P，连接NP，CP．因为N，P分别是AB，BB1的中点，所以NP∥AB1．再由平面与平面平行的性质定理，能够证明CN∥平面AB1M．解答：证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥底面ABC，所以BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥CN．…（1分）因为AC=BC，N是AB的中点，所以CN⊥AB．…（3分）因为AB∩BB1=B，…（4分）所以CN⊥平面AB B1A1．…（5分）所以CN⊥AB1．…（6分）（Ⅱ）证法一：连接A1B交AB1于P．…（7分）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以P是A1B的中点．因为M，N分别是CC1，AB的中点，所以NP∥CM，且NP=CM，…（9分）所以四边形MCNP是平行四边形，…（10分）所以CN∥MP．…（11分）因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，…（12分）所以CN∥平面AB1M．…（14分）证法二：取BB1中点P，连接NP，CP．…（7分）因为N，P分别是AB，BB1的中点，所以NP∥AB1．因为NP⊄平面AB1M，AB1⊂平面AB1M，所以NP∥平面AB1M．…（10分）同理CP∥平面AB1M．…（11分）因为CP∩NP=P，所以平面CNP∥平面AB1M．…（13分）因为CN⊂平面CNP，所以CN∥平面AB1M．…（14分）点评：本题考查直线与直线垂直的证明和直线与平面的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．20．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．解答：解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）＞0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴解得．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．21．抛物线C1：x2=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：+=1相交于C，D两点．（1）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定求抛物线C1的焦点F、椭圆C2的左焦点F1的坐标，即可求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；（Ⅱ）设直线AB：y=kx+m，与抛物线方程联立，说明直线AB过抛物线C1的焦点F，再求出P的坐标，可得点P（2k，﹣1）到直线AB：kx﹣y+1=0的距离，从而求出|CD|，再求出|AB|，利用|AB|，d，|CD|成等比数列，即可得出结论．解答：解：（I）抛物线C1的焦点F（0，1），…（1分）椭圆C 2的左焦点，…（2分）则．…（3分）（II）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得x2﹣4kx﹣4m=0，…（4分）故x1+x2=4k，x1x2=﹣4m．由x2=4y，得，故切线PA，PB的斜率分别为，，再由PA⊥PB，得k PA k PB=﹣1，即，故m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F．…（7分）由，得，，即P（2k，﹣1）．…（8分）于是点P（2k，﹣1）到直线AB：kx﹣y+1=0的距离．…（9分）由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，…（10分）从而，…（11分）同理，|AB|=4（1+k2）．…（12分）若|AB|，d，|CD|成等比数列，则d2=|AB|•|CD|，…（13分）即，化简整理，得28k4+36k2+7=0，此方程无实根，所以不存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列．…（15分）点评：本题考查椭圆、抛物线的性质，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查等比数列的性质，考查韦达定理的运用，属于中档题．22．（选做题）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|．（Ⅰ）若a=2，解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）如果∀x∈R，f（x）≥3，求a的取值范围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；压轴题．分析：（I）当a=2，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥5，根据绝对值的意义可得当x≤﹣2或x≥3时，|x+1|+|x﹣2|≥5成立，由此求得不等式的解集．（II）若a=﹣1，f（x）=2|x+1|，不满足题设条件．若a＜﹣1，求得f（x）的最小值等于﹣1﹣a，若a＞﹣1，求得f（x）的最小值等于1+a，根据f（x）≥3的充要条件是|a+1|≥3，求出a的取值范围．解答：解：（I）当a=2，f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥5即|x+1|+|x﹣2|≥5．而|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1、2对应点的距离之和，且﹣2和3对应点到﹣1、2对应点的距离之和正好等于5，故当x≤﹣2或x≥3时，|x+1|+|x﹣2|≥5成立．综上，不等式的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}．（5分）（II）若a=﹣1，f（x）=2|x+1|，不满足题设条件．若a＜﹣1，f（x）=，f（x）的最小值等于﹣1﹣a．若a＞﹣1，，f（x）的最小值等于1+a．所以∀x∈R，f（x）≥3的充要条件是|a+1|≥3，故有a≤﹣4，或a≥2，从而a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（10分）点评：本题主要考查绝对值的意义，带有绝对值的函数，函数最值及其几何意义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2021年高二下学期第一次月考数学（文科）试题含答案一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)1、复数=( )A. B. C. D.2、当x=（）时，复数（x∈R）是纯虚数A．1 B．1或-2 C．-1 D．-23.已知实数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4函数在点（x0，y0）处的切线方程为，则等于( ) A．－4 B．－2 C．2 D．45．已知x、y的取值如下表所示：6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π7．取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（）.A. B. C. D.不确定8．对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有二次命中目标的概率是（）A．0.41 B．0.64 C．0.74 D．0.639. 已知双曲线的焦点为，点M 在双曲线上，且，则点M 到轴的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．10.2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（） A ．－＜x ＜3B ．－＜x ＜0 C ．－3＜x ＜ D ．－1＜x ＜611.由半椭圆（≥0）与半椭圆（≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆（）的焦点和左椭圆（）的焦点，确定的叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆（）的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 12.定义一种运算“”：对于自然数满足以下运算性质：（1），（2），则等于（ ）A. B. C. D.二、填空题（每空5分，共20分）13经过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为_______ __．14. 、设抛物线y 2=16x 上一点P 到x 轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF|= .15.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是__________．16. 已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 .三、解答题17．(10分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查， 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计南方学生 60 20 80北方学生 10 10 20合计 70 30 100(1)惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2n 1n 2， P (χ2≥k ) 0.90 0.95 0.99k 2.706 3.841 6.635是cos 3n S S π=+2014n <开始1,0n S ==输出结束1n n =+否18.(12分)已知集合Z＝{(x，y)|x∈[0,2]，y∈[－1,1]}(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．19. .(12分)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．20.(12分)．已知椭圆G：(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．21．.(12分)已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.22.(12分).给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值并求该定值.参考答案CAB DB CBA DD CA13. 经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为14.13 15 16. 1 17.解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2， 则正棱锥侧面的斜高为12＋（2）2＝ 3.∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2.∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2＝92＋6 3.(2)设正三棱锥P ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P ABC ＝V OP AB ＋V OPBC ＋V OP AC ＋V OABC＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r＝(32＋23)r .又V P ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23（32－23）18－12＝6－2. ∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.18. 解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762. 由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710. 19. (1)设“x ＋y≥0，x ，y ∈Z”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0,2]，即x ＝0,1,2；y ∈[－1,1]，即y ＝－1,0,1.则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x ＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝.故x ，y ∈Z ，x ＋y≥0的概率为.(2)设“x ＋y≥0，x ，y ∈R”为事件B ，∵x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P(B)＝＝＝＝，故x ，y ∈R ，x ＋y≥0的概率为.20. 解：由已知得，，．解得．又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为．设直线l 的方程为y ＝x ＋m ． 由得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0．①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则，y 0＝x 0＋m ＝．因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ．所以PE 的斜率．解得m ＝2．此时方程①为4x 2＋12x ＝0．解得x 1＝－3，x 2＝0．所以y 1＝－1，y 2＝2．所以|AB|＝．此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为，所以△PAB 的面积S ＝|AB|·d ＝．21. 解:(Ⅰ)由,得.又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.(Ⅱ),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值;当,在处取得极小值,无极大值.(Ⅲ)当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.22.解：（1），椭圆方程为，准圆方程为.（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，所以由得.因为直线与椭圆相切，所以，解得，所以方程为.，.（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则：，当：时，与准圆交于点，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当：时，直线垂直.②当斜率存在时，设点，其中.设经过点与椭圆相切的直线为，所以由得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx++-+--=.由化简整理得，因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即垂直.综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直. 所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值.e20803 5143 元Ik•W 35453 8A7D 詽24822 60F6 惶39194 991A 餚34645 8755 蝕34198 8596 薖P。

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图所示，在“推理与证明”的知识结构图中，如果要加入“综合法”，则应该放在（）A．“合情推理”的下位B．“演绎推理”的下位C．“直接证明”的下位D．“间接证明”的下位2．用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数3．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是（）A．a+＞b+B．＞C．a+＞b+D．＞4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．512 B．511 C．1024 D．10235．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i6．以下四个命题①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；④在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位．其中正确的是（）A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④7．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离为h i（i=1，2，3，4），若，则；根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i=1，2，3，4），若，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A．B．C．D．8．，则下列等式不能成立的是（）A．x⊗y=y⊗x B．（x⊗y）⊗z=x⊗（y⊗z）C．（x⊗y）2=x2⊗y2D．c•（x⊗y）=（c•x）⊗（c•y）（其中c为常数）9．在极坐标系中，曲线．ρcosθ+ρsinθ=2（0≤θ≤2π）与θ=的交点的极坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（）D．（）10．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．点集，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b应满足（）A．B． C．D．12．设ABCD为xOy平面的一个正方形，其顶点是A（0，0），B（1，0），C（1，1），D （0，1），u=2xy，v=x2﹣y2是xOy平面到uOv平面的变换，则正方形ABCD的像（u，v）点集是（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数，其中i为虚数单位，若|z|=，则m的值为．14．在极坐标系中，直线ρ（sinθ﹣cosθ）=a与曲线ρ=2cosθ﹣4sinθ相交于A，B两点，若|AB|=，则实数a的值为．15．下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是．16．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0）．过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数）．设直线l与曲线C分别交于M，N两点．若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则a的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．证明下列命题：（1）若实数a≥2，则；（2）若a，b为两个不相等的正数，且a+b=1，则．18．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班学生的数学期末考试成绩．学校规定：成绩不低于75分的为优秀．122”．2.072 2.7063.841（参考公式：χ2=）19．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．20．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，（Ⅰ）求回归直线方程=bx a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）21．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．22．已知，对于任意的多项式f（x）与任意复数z，f（z）=0⇔x﹣z整除f（x）．利用上述定理解决下列问题：（1）在复数范围内分解因式：x2+x+1；（2）求所有满足x2+x+1整除x2n+x n+1的正整数n构成的集合A．2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图所示，在“推理与证明”的知识结构图中，如果要加入“综合法”，则应该放在（）A．“合情推理”的下位B．“演绎推理”的下位C．“直接证明”的下位D．“间接证明”的下位【考点】结构图．【分析】首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，综合法是直接证明的一种方法，从而可得结论．【解答】解：有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立．这种证明方法叫做综合法．综合法是直接证明的一种方法故“综合法”，则应该放在“直接证明”的下位故选C．2．用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】反证法与放缩法．【分析】由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，从而得出结论．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：D．3．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是（）A．a+＞b+B．＞C．a+＞b+D．＞【考点】基本不等式．【分析】由题意得到＞，将它与a＞b同向相加可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，∴＞．又a＞b，∴a+＞b+；故选A．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．512 B．511 C．1024 D．1023【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S=2°+21+22+23+…+28==29﹣1=511．故选：B．5．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i，所以z1•z2=（3+2i）（2+3i）=13i．故选：D．6．以下四个命题①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；④在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位．其中正确的是（）A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样；对于②，样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度，正确；对于③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；对于④，在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，正确．【解答】解：①、从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；②、样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度，故②正确；③、在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故③正确；④、在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，故④正确．故选：A．7．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离为h i（i=1，2，3，4），若，则；根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i=1，2，3，4），若，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由可得a i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解答】解：根据三棱锥的体积公式得：，即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=3V，∴，即．故选B．8．，则下列等式不能成立的是（）A．x⊗y=y⊗x B．（x⊗y）⊗z=x⊗（y⊗z）C．（x⊗y）2=x2⊗y2D．c•（x⊗y）=（c•x）⊗（c•y）（其中c为常数）【考点】不等关系与不等式．【分析】利用题中的新定义知x⊗y表示x，y中的最大值，分别对各选项判断表示的值．【解答】解：由题中的定义知x⊗y表示x，y中的最大值x⊗y与y⊗x表示的都是x，y中的最大值（x⊗y）⊗z与x⊗（y⊗z）表示的都是x，y，z中的最大值c•（x⊗y）表示x，y的最大值与c的乘积；（c•x）⊗（c•y）表示c•x与c•y中最大值故c•（x⊗y）=（c•x）⊗（c•y）故A、B、D都对故选C．9．在极坐标系中，曲线．ρcosθ+ρsinθ=2（0≤θ≤2π）与θ=的交点的极坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（）D．（）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直接联立曲线方程，求出交点的极径，得到交点的极坐标即可．【解答】解：将θ=代入ρcosθ+ρsinθ=2（0≤θ≤2π）解得ρ=，所以交点的极坐标为（）．故选C10．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．【解答】解：由已知z== [（m﹣4）﹣2（m+1）i]在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A11．点集，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b应满足（）A．B． C．D．【考点】交集及其运算．【分析】将M中参数方程化为普通方程，根据M与N的交集不为空集求出出b的范围．【解答】解：由M中参数方程变形得：x2+y2=9（﹣3＜x＜3，0＜y＜3），与N中方程联立得：，消去y得：2x2+2bx+b2﹣9=0，令△=4b2﹣8（b2﹣9）=﹣4b2+72=0，即b=3（负值舍去），∵M∩N≠∅，∴由图象得：两函数有交点，则b满足﹣3＜b≤3，故选：D．12．设ABCD为xOy平面的一个正方形，其顶点是A（0，0），B（1，0），C（1，1），D （0，1），u=2xy，v=x2﹣y2是xOy平面到uOv平面的变换，则正方形ABCD的像（u，v）点集是（）A．B．C． D．【考点】映射．【分析】由题意，分x与y同号，异号讨论，从而求解．【解答】解：∵A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），∴①AB的方程为：y=0，（0≤x≤1），此时u=2xy=0，v=x2﹣y2=x2∈[0，1]，此时所有的点的轨迹是原点与（0，1）点连接所成的线段；②BC的方程为：x=1，（0≤y≤1），此时u=2xy=2y，v=x2﹣y2=1﹣y2，此时v=1﹣u2，此时所有的点的轨迹是（2，0）与（0，1）点连接所成的抛物线的一部分；③CD的方程为：y=1，（0≤x≤1），此时u=2xy=2x，v=x2﹣y2=x2﹣1，此时v=u2﹣1，此时所有的点的轨迹是（2，0）与（0，﹣1）点连接所成的抛物线的一部分；④AD的方程为：x=0，（0≤y≤1），此时u=2xy=0，v=x2﹣y2=﹣y2∈[﹣1，0]，此时所有的点的轨迹是原点与（0，﹣1）点连接所成的线段；综上可得：正方形ABCD的像（u，v）点集是：故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数，其中i为虚数单位，若|z|=，则m的值为±5．【考点】复数求模．【分析】由|z|=，利用复数模的性质可得=．【解答】解：∵|z|=，∴=，可得|m|=5．解得m=±5．故答案为：±5．14．在极坐标系中，直线ρ（sinθ﹣cosθ）=a与曲线ρ=2cosθ﹣4sinθ相交于A，B两点，若|AB|=，则实数a的值为﹣1或﹣5．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先把直线和曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，分别根据弦长公式、点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据这两个人距离相等求得a的值．【解答】解：直线ρ（sinθ﹣cosθ）=a 即x﹣y+a=0；曲线ρ=2cosθ﹣4sinθ即ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，即x2+y2﹣2x+4y=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=5，表示以C（1，﹣2）为圆心、半径等于的圆．设圆心到直线的距离为d，则d==，再根据点到直线的距离公式可得d=，∴=．解得a=﹣1，或a=﹣5，故答案为：﹣1或﹣5．15．下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是．【考点】归纳推理．【分析】通过观察，得到每行的第一个数组成了首项为，公差为的等差数列，每行的数组成了公比为的等比数列，根据此规律求解．【解答】解：观察“三角形数阵”得出：每行的第一个数组成了首项为，公差为的等差数列，每行的数组成了公比为的等比数列．所以第10行第1个数为： +（10﹣1）×=，则第10行第6个数为：×（）6﹣1=，故答案为：16．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0）．过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数）．设直线l与曲线C分别交于M，N两点．若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则a的值为1．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．【解答】解：曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2=2axl的参数方程为（t为参数），代入y2=2ax得到：t2﹣（8+2a）t+16+4a=0，所以：t1+t2=8+2a，t1t2=16+4a，①则|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：|t1﹣t2|=|t1t2|，②由①②得：a=1．故答案为：1．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．证明下列命题：（1）若实数a≥2，则；（2）若a，b为两个不相等的正数，且a+b=1，则．【考点】不等式的证明．【分析】（1）由a≥2，分子有理化求得﹣=，﹣=，利用不等式的性质，即可得证；（2）利用“1”代换， +=（a+b）×（+），展开利用基本不等式的性质可知求得则．【解答】证明：（1）由a≥2，﹣=，﹣=，＞≥0，＞＞0，两式相加可得： +＞+＞0，∴＜，∴；（2）+=（a+b）×（+）=2++＞2+2=4，∴．18．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班学生的数学期末考试成绩．学校规定：成绩不低于75分的为优秀．122”．2.072 2.7063.841（参考公式：χ2=）【考点】独立性检验的应用；茎叶图．【分析】（1）根据茎叶图结合条件进行填表即可．（2）计算出χ2的值，结合临界表进行判断即可．20 20 40（2）χ2==6.4＞5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．19．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C1：，得，利用cos2α+sin2α=1即可得出曲线C1的普通方程，由曲线C2：，利用和差公式展开再利用即可得出直角坐标方程．（2）设椭圆上的点，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1：，得，∴曲线C1的普通方程为：，由曲线C2：，展开可得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x﹣y+4=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x﹣y﹣4=0的距离为，∴当时，d的最小值为．20．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，（Ⅰ）求回归直线方程=bx a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【考点】回归分析的初步应用；线性回归方程．【分析】（I）计算平均数，利用b=﹣20，a=﹣b，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．【解答】解：（I），=∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；（II）设工厂获得的利润为L元，则L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．21．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x2+y2=9．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2=﹣4．由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4．22．已知，对于任意的多项式f（x）与任意复数z，f（z）=0⇔x﹣z整除f（x）．利用上述定理解决下列问题：（1）在复数范围内分解因式：x2+x+1；（2）求所有满足x2+x+1整除x2n+x n+1的正整数n构成的集合A．【考点】因式分解定理；单位根及其应用．【分析】（1）解方程x2+x+1=0解得两个根ω，ω2（），进而可得x2+x+1=（x ﹣ω）（x﹣ω2），（2）f（x）=x2n+x n+1由（1）x2+x+1=0有两个根ω，ω2，（），可知ω3=1，进而可证得当n=3k+1，或3k+2时，满足x2+x+1整除x2n+x n+1（其中k∈N）．【解答】解：（1）令x2+x+1=0解得两个根ω，ω2，这里所以（2）记f（x）=x2n+x n+1．x2+x+1=0有两个根ω，ω2，这里，且ω3=1，当n=3k+1，k∈N时，f（ω）=ω2n+ωn+1=ω2+ω+1=0，f（ω2）=ω4n+ω2n+1=ω+ω2+1=0，故此时满足x2+x+1整除x2n+x n+1，当n=3k+2，k∈N时，f（ω）=ω2n+ωn+1=ω+ω2+1=0，f（ω2）=ω4n+ω2n+1=ω2+ω+1=0，故此时满足x2+x+1整除x2n+x n+1，当n=3k，k∈N时，f（ω）=ω2n+ωn+1=1+1+1≠0，f（ω2）=ω4n+ω2n+1=1+1+1=0，故此时不满足x2+x+1整除x2n+x n+1，综上所述：所有满足x2+x+1整除x2n+x n+1的正整数n构成的集合A={n|n=3k+1或n=3k+2，k∈N}2016年11月7日。

高二年级下学期第一次月考数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．已知,x y ∈ R ，那么“x y >”的充分必要条件是（ ） A ．22x y > B ．lg lg x y > C ．11x y> D ．22x y > 2．下列说法正确的是（ ） A ．当时，则为的极大值 B ．当时，则为的极小值 C ．当时，则为的极值 D ．当为函数的极值且存在时，必有3．已知质点的运动方程为，则其在第2秒的瞬时速度为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为 A ．B ．C ．D ．5．下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ）A ．衡量两变量之间线性相关关系的相关系数r 越接近1，说明两变量间线性关系越密切。

B ．在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差。

C ．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点。

D ．线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位。

6．下列说法正确．．的是( ) A ．“为真”是“为真”的充分不必要条件； B ．样本10，6，8，5，6 的标准差是3.3；C ．r 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当r 的值很小时可以推定两类变量不相关；D ．设有一个回归直线方程为，则变量每增加一个单位，平均减少1.5个单位. 7．设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x→+--等于（ ）A ．()04'f xB ．()0'f xC ．()02'f xD ．()03'f x8．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( ) A ．4 B ．5 C ．2 D ．3 9．在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三个顶点的距离均大于2a的概率是（ ） A ．11312π- B ．31π- C ．13D ．1410．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误．．的是（ ） A ． B ．C ．D ．与均为的最大值11．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数， ()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则 ()1f =（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．112．已知函数()22xf x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,Rg x mx m =+∈，若对于任意的[]11,1x ∈-，总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C ．][()22,11,e e ---∞-⋃-+∞D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的图象在点处的切线斜率为______．14．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________．15．已知()()y f x xR =的导函数为()f x '，若()()32f x f x x --=，且当0x ≥时()23f x x '>，则不等式()()21331f x f x x x -->-+的解集是__________．16．已知函数()23x f x kx x x=-+有3个不同的零点，则实数k 的取值范围为__________．三、解答题17．（本题10分）某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所 支持 不支持 合计 中型企业 40 小型企业240合计560（1）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（2）从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业，然后从这8家企业选出2家进行奖励，分别奖励中型企业20万元，小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率. 附：0.05 0.025 0.013.8415.0246.63518．（本题12分）为了调查学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为].4.5,1.5(,],5.4,2.4(],2.4,9.3( ，经过数据处理，得到如下频率分布表分组频数 频率 ]2.4,9.3( 3 0.06 ]5.4,2.4( 6 0.12]8.4,5.4( 25 x]1.5,8.4( y z]4.5,1.5(20.04合计n 1.00n x （Ⅱ）从样本中视力在]2.4,9.3(和]4.5,1.5(的所有同学中随机抽取两人，求两人视力差的绝对值低于5.0的概率19．（本题12分）如图所示，已知多面体中，四边形为矩形，，，平面平面，、分别为、的中点． （）求证：．（）求证：平面． （）若过的平面交于点，交于，求证：．20．（本题12分）设函数。

第二学期高二年级第一次月考数学试题（文）满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共60分） 1．抛物线28x y =的焦点坐标为( ) A ．)321,0( B ．)0,161( C ．)2,0( D ．)1,0( 2.椭圆2218x y m+=的焦距是2，则m 的值是( ) A ．9 B ．12或4 C ．9或7 D ．203.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y x =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( )A. 22136108x y -=B. 221927x y -=C. 22110836x y -=D. 221279x y -=4.“12m <<”是“方程22113x y m m+=--表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B. 32 C. 12 D. 526.若直线k kx y -=与椭圆22194x y +=的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．0个 C ．1个 D ．2个7.已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B. 3 C. 5 D.128.椭圆221169x y +=的以点(2,1)M -为中点的弦所在的直线斜率为( )A.932-B.98- C.98 D.9329.已知直线02422=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ，且与椭圆在第二象限的交点为M ，与y 轴的交点为N ，2F 是椭圆的右焦点,且2MF MN =，则椭圆的方程为( )A ．144022=+y xB ．2215x y +=C ．22110x y += D ．22195x y +=10.已知点1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若110MF NF ⋅>，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.1)B.1)C.D. )+∞11. 已知椭圆222:1x M y a+=，圆222:6C x y a +=-在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为1k ，椭圆M 在点P 处的切线斜率为2k ，则12k k 的取值范围为( ) A.(1,6) B ．(1,5) C ．(3,6) D ．(3,5)12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，若21225MNF MF F S S ∆∆=且2121F F N F NF ∠=∠，则椭圆C 的离心率为( ) A.25C.35二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）13.若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝_______.14.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F,A(-a ,0)、B(0,b )是两个顶点.如果F 到直线AB 的,那么椭圆的离心率为 . 15.若动圆与圆1)3(22=+-y x 外切，又与直线02=+x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是___________16.设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D . 若3AF BF =，且三角形CDF 则p 的值为___________.三、解答题（本部分共有6小题，共70分）17．（本小题满分10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在y 轴上，虚轴长为8，离心率为53e =； (2)经过点)2,3(-C ,且与双曲线116822=-y x 有共同的渐近线．18.（本小题满分12分）设命题p ：方程221231x y k k -=++表示双曲线；命题q ：斜率为k 的直线l 过定点()2,1,P -且与抛物线24y x =有两个不同的公共点．若p ，q 都是真命题，求k 的取值范围．19.(本小题满分12分)已知抛物线的方程是x y 42=，直线l 交抛物线于B A ,两点 (1)若弦AB 的中点为)3,3(，求弦AB 的直线方程;(2)设),(),,(2211y x B y x A ，若1221-=y y ，求证AB 过定点.20. （本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F （1，0），过右焦点作垂直于x 轴的直线，并与椭圆交得的弦长为3，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点（N 点在x 轴上方），且2MF FN =，求直线MN 的方程。

江西省宜春中学2016-2017学年度高二下学期3月月考数学(文）试卷一、选择题：（共12小题，每小题5分,共60分） 1。

复数z=﹣2+2i ，则的虚部为( ） A ．2i B ．﹣2i C ．2D ．﹣22。

若复数满足(34)|43|i z i -⋅=+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．4- B ．45 C ．4 D ．45- 3。

执行如图所示的程序框图,则输出的b 值等于A 。

24-B 。

15-C 。

8- D. 3-4。

已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是（ )A 。

22a b am bm >⇒>B 。

a ba b c c>⇒> C 。

3311,0a b ab a b >>⇒< D 。

2211,0a b ab a b>>⇒<5.已知复数z=，是z 的共轭复数,则z•=（ ）A ．B ．C ． +iD ．﹣i6.设复数z 的共轭复数为，若z=1﹣i （i 为虚数单位)，则复数+z 2+｜z ｜在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7。

如果z=为纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．0B ．﹣1或1C ．﹣1D ．18.复数的虚部为( ）A ．B ．C ．﹣D ．9。

.执行如图所示的程序框图，则输出的b 值等于A 。

24-B 。

15-C 。

8-D 。

3-10。

如图所示的程序框图的输入值[]1,3x ∈-，则输出值y 的取值范围为（ ）A ．[]1,2B ．[]0,2C ．[]0,1D ．[]1,2-11。

若复数z 满足iz=1+2i,其中i 为虚数单位,则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．（﹣2,﹣1) B ．(﹣2，1） C ．(2,1） D ．（2，﹣1)12。

右图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ) A. 50<i B.50>i C 。

高二放学期第一次月考数学（文科）试卷（注意：请将答案填在答题卡上）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是吻合题目要求的）1. 复数 z (2i) i (i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 2a 8＝ 8＋ a 11 ，则 S 9 的值等于 () A ． 54 B ． 45 C ． 72D ． 273．点 M 的极坐标是(2 ， )，则 M 的直角坐标为（ ）3A ．( 1, 3)B ． (3,1) C ． ( 3,1)D. (1, 3)4. 在锐角△ ABC 中, 角 A,B 所对的边长分别为a,b . 若 2bsin A=a, 则角B 等于( )A.B.6 C.D.31245. 函数 ya x 23 (a 0, a 1) 恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny2 m 0, n 0 上，则11的最小值为 ()mnA ． 3B． 4C．322D．3223 36．极坐标方程22 cos3 化为一般方程是 ( )．A ． C ．( x 1)2 y 2 4B ． x 2( y 1)2 4 ( x1)2y 24D． x 2( y 1)2 422y 27. 抛物线 y ＝ 6x 的焦点到双曲线 x － 3 ＝1的渐近线的距离是 ()A.33B.3 C． 3 3D.442x ≥ ，y 1 03 28. 若实数 x ， y 满足 x y 0 则 x 3 yz 3的最小值是（ ）≥ ， x ≤ 0，A ．0B ．9C ．3D ．19. 已知实数4、、 16 构成一个等比数列，则圆锥曲线x2y21的离心率为() m mA.3B.14C.3或14D.14 或344410. 钝角三角形ABC的面积是3， AB＝1， BC＝2，则 AC＝()2A ．3 B.7C．3D．7 11．已知x, y的取值以下表：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7从散点图可以看出 y 与x线性相关，且回归方程为y0.95 x a, 则a（）A. 3.25B. 2.6C. 2.2D.012．扔掷一枚平均硬币和一枚平均骰子各一次，记“硬币反面向上”为事件A，“骰子向上的点数是 6”为事件B，则事件 A， B 中最少有一件发生的概率是()A.5B．1C.7D．3 122124二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.在极坐标系中，定点 A(1,),点 B 在直线cos sin0 上运动，2线段 AB最短距离是 _________.14.复数1的虚部与实部的和是.12i第16题图15.若 P( A)＝0.5， P( B)＝0.3， P( AB)＝0.2，则 P( A| B)＝________，16.履行以下列图的程序框图，输出的S 值为 _______.三．解答题（本大题共 6 小题，第一小题10 分，其他每题12 分，共 70 分）3 17.在锐角△ ABC中,a,b,c分别为A,B,C所对的边,且b sin C cos A a sin C cosB c .(1) 求角 C;(2) 若 c= , 且△ ABC的面积为, 求 a+b .18. 一盒中装有 5 个产品，此中有 3 个一等品， 2 个二等品，从中不放回地拿出产品，每次个，取两次 . 求 :1(1) 第二次获得一等品的概率 ;(2) 已知第二次获得一等品的条件下，第一次获得的是二等品的概率19. 已知数列a n 的各项均为正数， S n 为其前 n 项和，对于随意的 n N * ，满足关系式2S n9a n9 。

2022-2023学年江西省宜春市高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1545S =，则12162a a -=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据等差数列的性质可得83a =，进而可求解.【详解】由1545S =得()115158815154532a a S aa +⨯===⇒=，所以()121616816823a a a a a a -=+-==，故选：A2．已知函数()3ln 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（）A ．310x y --=B ．350x y +-=C ．420x y --=D ．460x y +-=【答案】C【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.【详解】因为函数()3ln 1f x x x =++，所以()213f x x x'=+，则()14f '=，又()12f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()241y x -=-，即420x y --=.故选：C.3．已知直线30x y -+=与圆22:(1)9C x y -+=相交于P 、Q 两点，则PQ =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式计算可得.【详解】圆22:(1)9C x y -+=的圆心()1,0C ，半径3r =，设圆心()1,0C 到直线30x y -+=的距离为d ，则4222d ==，所以222229(22)2PQ r d =-=-=．故选：A4．“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（）A ．72625B ．108625C ．144625D ．216625【答案】C【分析】先求出抽一次获奖的概率p ，设5人中获奖人数为X ，则()5,X B p ，然后由二项分布的概率公式计算概率．【详解】每次抽奖中，总情况数为35C 10=种，获奖的共有()()()()1,2,31,3,52,3,43,4,5、、、这4种，所以25p =，设5人中获奖人数为X ，则25,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()3235231443C 55625P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C.5．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1千克莲藕，成本增加0.5元.种植x 万千克莲藕的销售额（单位：万元）是32191()8162f x x ax x =-++（a 是常数），若种植2万千克，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A ．8万千克B ．6万千克C ．3万千克D ．5万千克【答案】B【分析】根据题意写出销售利润的函数解析式，3219()8161g x x ax =-+-，根据种植2万千克，利润是2.5万元，求出a ，再利用导数求出函数的单调区间，从而可得出答案.【详解】解：种植x 万千克莲藕的利润(单位：万元)为321911()181622g x x ax x x =-++--，(0,8]x ∈，即3219()8161g x x ax =-+-，(0,8]x ∈，当2x =时，95(2)1142g a =-+-=，解得2a =，故3219()188g x x x =-+-，(0,8]x ∈，2393()(6)848g x x x x x '=-+=--，当(0,6)x ∈时，()0g x '>，当(6,8)x ∈时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减，所以6x =时，利润最大.故选：B6．数列{}n a 满足114,32n n a a a +==-，∀()*N 128n n n a a λ∈-<-，，则实数λ的取值范围是（）A ．(,9)-∞-B ．(,8)-∞-C ．(12,9)--D ．(12,7)--【答案】B【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出数列{}n a 的通项，再分离参数，借助数列单调性求解作答.【详解】因为数列{}n a 满足132n n a a +=-，则113(1)n n a a +-=-，而113a -=，因此数列{1}n a -是以3为首项，3为公比的等比数列，则11333n n n a --=⨯=，即31n n a =+，又∀()*N 128n n n a a λ∈-<-，，因此3327n n λ<-对N n *∈恒成立，即2713nλ<-，而数列27{1}3n -是递增数列，则当1n =时，min 27(1)83n-=-，有8λ<-，所以实数λ的取值范围是(,8)-∞-.故选：B7．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过点2F 且与一条渐近线垂直的直线l 与C 的上支交于点P ，且132PF b a =-，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．132D ．13【答案】C【分析】设双曲线的焦距为2c ，不妨取C 的一条渐近线为ay x b=-，进而取线段2PF 的中点为E ，结合双曲线的定义，求得||||||,,OE OA AE ，进而结合勾股定理建立关系得32b a =，再求离心率即可.【详解】解：设双曲线的焦距为2c ，则不妨取C 的一条渐近线为a y x b=-，则直线l 的方程为:bl y x c a=-，设垂足为A ，则易知||AO a =，2||AF b =，因为132PF b a =-，所以，由双曲线的定义知2||3PF b =，设线段2PF 的中点为E ，则233||,||22b bF E OE a ==-，所以22||||||2bAE F E F A =-=，所以，在Rt AEO △中，222||||||OE OA AE =+，即2223()()22b b a a -=+，所以，化简整理得32b a =，所以，离心率为21312b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：C8．若函数()()21ln f x x a x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()2f x 的取值范围为（）A ．12ln2,04-⎛⎫⎪⎝⎭B ．1ln2,04-⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】求导()222x x af x x-+'=，根据函数()()21ln f x x a x =-+有两个极值点1x ，2x ，由222t x x a =-+在()0,∞+上有两个不等实根，求得a 的范围，进而再根据12x x <，121x x =+得到2x 的范围，再由222220x x a -+=，得到()()()2222222122ln f x x x x x =-+-+，利用导数法求解.【详解】因为()()21ln f x x a x =-+，所以()()22221a x x af x x x x-+'=-+=，令()222t x x x a =-+，因为函数()()21ln f x x a x =-+有两个极值点1x ，2x ，所以函数()t x 在()0,∞+上有两个不等实根，则()00Δ480t a a ⎧=>⎨=->⎩，解得102a <<，因为12x x <，且121x x =+，()10t a =>，所以2112x <<，且222220x x a -+=，所以()()()()22222222221ln 122ln f x x a x x x x x =-+=-+-+，2112x <<．令函数()()()22122ln g x x x x x =-+-+，112x <<，则()()24ln 0g x x x =->'在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()12ln2,04g x -⎛⎫∈⎪⎝⎭，即()2f x 的取值范围为12ln2,04-⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由()222t x x x a =-+在()0,∞+上有两个不等实根，求得a 的范围，进而再根据12x x <，121x x =+得到2x 的范围而得解.二、多选题9．下列式子求导正确的是（）A ．2(cos )2sin x x x x '-=+B ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(e )(1)e x x x x --'=-D ．1(ln 2)2'=【答案】AC【分析】根据基本初等函数的求导公式，以及加减乘除和复合函数的求导法则即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,2(cos )2sin x x x x '-=+,故A 正确，对于B,211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故B 错误，对于C ，()(e )e e (1)e x x x xx x x ----'=--+=，故C 正确，对于D ，(ln 2)0'=，故D 错误，故选：AC10．设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若1916a a =，则（）A ．54a =B ．当11a =时，2q =±C ．29log 18T =D ．223732a a +≥【答案】BCD【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC ，根据基本不等式的应用判断D.【详解】A 选项：因为251916a a a ==，所以54a =±，所以A 不正确；B 选项：因为11a =，1916a a =，则28116a q =，所以816q =，所以2q =±，所以B 正确；C 选项：因为991295T a a a a == ，所以918952T a ==，所以29log 18T =，所以C 正确；D 选项：223737192232a a a a a a +==≥，当且仅当37a a =时，等号成立．所以D 正确．故选：BCD ．11．设()102100121012x a a x a x a x +=++++ ，则下列说法正确的是（）A ．010a =B ．10121031a a a +++=- C ．展开式中二项式系数最大的项是第5项D ．219a a =【答案】BD【分析】对于A ，令0x =，从而即可判断；对于B ，令1x =，结合A 的结论，即可判断；对于C ，由二次项的展开式中系数的特征即可判断；对于D ，利用二次项的展开式公式求出12,a a 即可判断.【详解】解：对于A ，令0x =得01a =，故A 不正确；对于B ，令1x =得10012103a a a a ++++= ，而由A 知：01a =，因此10121031a a a +++=- ，故B 正确；对于C ，因为10(12)x +的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C 不正确；对于D ，因为10(12)x +的展开式中，1102C r r rr T x +=，所以12102C 20T x x ==，22223102C 180T x x ==，因此120a =，2180a =，所以219a a =，故D 正确．故选：BD.12．关于函数()12ln f x x x x=++，下列判断正确的是（）A ．12x =是()f x 的极小值点B ．函数()f x 图像上的点到直线20x y -=的最短距离为55C ．函数()()2g x f x x =-有且只有1个零点D ．不存在正实数k ，使()f x kx >成立【答案】AB【分析】对A ：求导，利用导数求极值点；对B ：结合导数的几何意义分析运算；对C ：求导，利用导数分析零点问题；对D ：结合选项C 中的结论分析判断.【详解】对A ：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22211112x x f x x x x -+'=-+=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；故函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以12x =是()f x 的极小值点，故A 正确；对B ：设直线20x y b -+=与函数()f x 的图像相切，切点坐标为()00,x y ，由()2112f x x x'=-+，可得()02001122f x x x '=-+=，解得01x =，所以()0121ln13y f ==++=，即切点为()1,3，则切点()1,3到直线20x y -=的距离为()222135521d ⨯-==+-，即函数()f x 图像上的点到直线20x y -=的最短距离为55，故B 正确；对C ：因为()()12ln g x f x x x x =-=+，所以()22111x g x x x x-=-+='，当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；故函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()()11ln110g x g ≥=+=>，所以函数()()2g x f x x =-不存在零点，故C 不正确，对D ：由选项C 可知：()()20g x f x x =->，即()2f x x >恒成立，所以存在正实数k ，使()f x kx >恒成立，故D 错误．故选：AB ．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的几何意义、零点问题和不等式问题等，基础性与综合性并举，对考生的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等思维能力要求比较高．注意极值点和零点都是数，不是点，不要混淆．对于选项B ，注意数形结合，将直线平移，使之与曲线相切，求出切点，再利用点到直线的距离公式求解．三、填空题13．已知函数()22ln 1f x x x =-+，则()f x 的单调递增区间是.【答案】()0,1【分析】先求定义域，求导后令()0f x ¢>求得不等式解集，结合定义域最终求得结果.【详解】函数定义域为()0,∞+，()22222xf x x x x-'=-=，令()0f x ¢>得：11x -<<，结合定义域，可知()f x 的单调递增区间为()0,1故答案为：()0,114．盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个．小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有种摆放方法．【答案】36【分析】利用插空法计算即可.【详解】记2个相同的“竹林春熙”为A ，A ，“冰雪派对”为B ，“青云出岫”为C ，“如意东方”为D ，先摆放B ，C ，D ，一共有33A 种摆放方式，再将2个A 插空放入，有24C 种摆放方式，所以，一共有3234A C 36⨯=种摆放方式．故答案为：36.15．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交C 于P 、Q 两点，交l 于点M ，且2PF FQ =，则||MQ =．【答案】9【分析】根据抛物线的定义及2PF FQ =，利用比例关系求解即可.【详解】过,P Q 分别作准线的垂线，垂足分别为,E D ，准线与y 轴交于N ，如图，由2:8C x y =知，(0,2)F ，准线:2l y =-，所以||4FN =，根据抛物线定义得，||||,||||PF PE FQ QD ==，因为2PF FQ =，所以||2||PE QD =，又//PE QD ，所以QD 为中位线，所以||||MQ PQ =，所以||||42||||63FM FN PM PE ===，所以3||||62PE FN ==，所以1||||32QD PE ==，所以||||||||9MQ PQ PE QD ==+=，故答案为：916．已知()()e ,0,xa f x x x x∞=-∈+，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有()()12210f x f x x x -<，则实数a 的取值范围是.【答案】2ea ≥【分析】根据对条件()()12210f x f x x x -<做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.【详解】对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有()()12210f x f x x x -<，即()()1122120x f x x f x x x -<，所以函数()xf x 是增函数，设()()()2'e ,e 2x x g x xf x a x g x a x ==-=-，则()g x 在()0,∞+上单调递增，故()'e 20xg x a x =-≥恒成立，即2e x xa ≥，设()()'222,e e xxx x F x F x -==，当()0,1x ∈时，()'0F x >，函数单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()'0F x ≤，函数单调递减；故()max 2()1eF x F ==，即2e a ≥；故答案为：2ea ≥.四、解答题17．已知等差数列{}n a 为递增数列，636S =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =-(2)21n n T n =+【分析】（1）由1a ，2a ，5a 成等比数列可得2111()(4)a d a a d +=+，与636S =进行联立即可求解；（2）由（1）得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法即可.【详解】（1）设递增的等差数列{}n a 的公差为()0d d >，首项为1a ，因为1a ，2a ，5a 成等比数列，所以2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+①，又636S =，所以1656362a d ⨯+⋅=②，联立①②解得112a d =⎧⎨=⎩，故1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-.（2）由（1）可知，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.18．已知函数()323f x x ax b =-+在2x =处取得极小值-2.(1)求实数,a b 的值；(2)若[]12,2,3x x ∀∈-，都有()()12f x f x c -<成立，求实数c 的取值范围.【答案】(1)1a =，2b =；(2)()20,+∞【分析】（1）根据已知条件可得(2)0(2)2f f =⎧⎨=-'⎩，求解即可.（2）问题等价于()()max min f x f x c -<，利用导数法求得()f x 的最大值和最小值，从而可以求解.【详解】（1）()236f x x ax '=-，因为函数()323f x x ax b =-+在2x =处取得极小值-2，所以(2)0(2)2f f =⎧⎨=-'⎩，即121208122a a b -=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩．经检验，当1a =，2b =时，()f x 在2x =处取到极小值，所以1a =，2b =.（2）由（1）可知，()3232f x x x =-+，则()236f x x x'=-令()2360f x x x '=-=，解得0x =或2x =，而[]2,3x ∈-，所以当20x -≤<，23x <≤时，()()0,f x f x '>单调递增；当02x <<时，()()0,f x f x '<单调递减.又()()()()2812218,02,281222,3272722f f f f -=--+=-==-+=-=-+=所以当[]2,3x ∈-时，()()max min 2,18f x f x ==-.若[]12,2,3x x ∀∈-，都有()()12f x f x c -<成立，只需()()max min f x f x c -<，所以20c >.故实数c 的取值范围为()20,+∞.19．已知如图甲所示，直角三角形SAB 中，90ABS ∠=︒，6AB BS ==，C ，D 分别为SB ，SA 的中点，现在将SCD 沿着CD 进行翻折，使得翻折后S 点在底面ABCD 的投影H 在线段BC 上，且SC 与平面ABCD 所成角为3π，M 为折叠后SA 的中点，如图乙所示.(1)证明：//DM 平面SBC ；(2)求平面ADS 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)55【分析】（1）取SB 的中点为N ，连接MN ，CN ，先证MNCD 为平行四边形，可得DM CN ∥，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）易得平面SBC 的法向量，根据平面法向量的求法求出平面ADS 的法向量，代入向量夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：取SB 的中点为N ，连接MN ，CN ，如图所示：在图甲中，∵C ，D 分别为SB ，SA 上的中点，∴//CD AB ，12CD AB =，又∵M ，N 分别为SA ，SB 的中点，∴//MN AB ，12MN AB =，∴MNCD 为平行四边形，∴//DM CN ，又∵DM ⊄平面SBC ，CN ⊂平面SBC ，∴//DM 平面SBC .（2）∵90ABC ∠=︒，∴AB BC ⊥，AB SC ⊥，BC SC C = ，∴AB ⊥平面SBC ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面SBC ⊥平面ABCD ，因为S 点在底面的投影H 在线段BC 上，∴SH ⊥平面ABCD ，∴SH HC ⊥.SC 与平面ABCD 所成角的平面角为SCH ∠，13cos 22CH SCH CH SC ∠==⇒=，过H 作HP AB ∥，则HP ，HB ，HS 两两互相垂直，以H 为坐标原点，HP ，HB ，HS 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则330,0,2S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，36,,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3,3,0DA = ，3336,,22SA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，易知()1,0,0n =r 为平面SBC 的一个法向量；设(),,m x y z = 为平面ADS 的一个法向量，则有330033360022x y m DA x y z m SA +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取()1,1,3m =- ，设平面ADS 与平面SBC 所成锐二面角的大小为θ，则5cos cos ,5n m θ== ，所以平面ADS 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值为55.20．已知正项数列{}n a 中，2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若2n n na b =，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =+(2)2552n nn T +=-【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算即可得解；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）当2n =时，2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>，解得25a =，由当2n ≥时，21223n n n S S a -+=-，得当3n ≥时，2121223n n n S S a ---+=-，两式相减得()22112n n n n a a a a --+=-，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=，又0n a >，所以()123n n a a n --=≥，又212a a -=适合上式，所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =+；（2）2122n n n na nb +==，则1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ，231135212122222n n n n n T +-+=++++ ，两式相减得2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111*********n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 111121212212n n n +-+=+--152522n n ++=-，所以2552n n n T +=-.21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,1)B ，且离心率为22(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆E 相切，过点(1,0)M 作直线l 的垂线，垂足为N ，O 为坐标原点，证明：||ON 为定值.【答案】(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）利用椭圆过点(0,1)B ，得到1b =，再由椭圆的离心率为22，求出a 的值，从而求到椭圆E 的标准方程；（2）对直线l 的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出2ON =，得到结论.【详解】（1）因为椭圆过点(0,1)B ，所以1b =，又22e =，222a b c =+，所以22222212c a b b a a a -==-=，得到2a =，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）当直线斜率l 存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立直线l 和椭圆E 的方程得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得222(21)4220k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，2222164(21)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简整理得2221m k =+因为直线MN 与l 垂直，所以直线MN 的方程为1(1)y x k=--，联立得1(1)y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，解得22111km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，221(,)11km k m N k k -+∴++，所以()()()()()()()22222222222222222111111111k m km k m k m k m m ON k k k k ++-++++++====++++把2221m k =+代入上式得，222(22)2(1)k ON k +==+，所以2ON =，为定值；当直线l 斜率为0时，直线:1l y =±，过点(1,0)M 作直线l 的垂线，则垂线方程为1x =，此时(1,1)N 或(1,1)-N ，2ON =，为定值；当直线l 斜率不存在时，直线:2l x =±，过点(1,0)M 作直线l 的垂线，则垂线方程为0y =，此时(2,0)N -或(2,0)N ，2ON =，为定值；综上所述，2ON =，为定值.22．已知函数()2e xx ax a f x ++=．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)设()12e 1n g n =-，*n ∈N ，证明：()()()3124g g g n ++⋅⋅⋅+<．【答案】(1)答案见解析(2)2a ≤(3)证明见解析【分析】（1）对函数求导，分2a =，2a >和2a <讨论导函数的正负，进而判断函数的单调性；（2）将不等式等价转化为22e 1x x a x -≤+，构造函数()22e 1x x h x x -=+（0x ≥），利用导数判断函数的单调性，进而求解即可；（3）结合前面的解析，取2a =时，则()2112e 11x x ≤-+，利用不等式的放缩即可证明.【详解】（1）由题意可知()f x 的定义域为R ，()()()()()()()22222e e 2e 2e e e x xx xx x x a x ax a x ax x x x a f x +-++-'-+-+-===令()0f x '=，则10x =，22x a=-①当2a =时，120x x ==，()0f x '≤在R 上恒成立，()f x 在R 上单调递减．②当2a >时，12x x >，(),2x a ∈-∞-时，()0f x '<，()2,0x a ∈-时，()0f x ¢>，()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),2a -∞-单调递减，在()2,0a -单调递增，在()0,∞+单调递减．③当2a <时，12x x <，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()0,2x a ∈-时，()0f x ¢>，()2,x a ∈-+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,2a -单调递增，在()2,a -+∞单调递减．（2）当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故22ex x ax a ++≤，所以22e x x ax a ++≤，即()212e x a x x +≤-，由10x +>得22e 1x x a x -≤+，令()22e 1x x h x x -=+（0x ≥），则()()()()()()()2222e 212e 2e 211x x x x x x x x h x x x '-+----==++，令()2e 2x t x x =--，则()2e 1x t x =-'，()t x '在[)0,∞+单调递增，则()()01t x t '≥='，即()0t x '>在()0,∞+恒成立，故()t x 在[)0,∞+单调递增．所以()()00t x t ≥=，故()0h x '≥在[)0,∞+恒成立．由()h x 在[)0,∞+单调递增，而()02h =，()2h x ≥，故2a ≤．（3）取2a =时，2222e x x x ++≤，则2212e 1x x x ++≤-，所以()2112e 11x x ≤-+，因此()()2111112e 1111n n n n n n ≤<=--+++，则()()()()21111111313122334141411g g g n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪++⎝⎭+.【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤：1.作差或变形；2.构造新的函数()h x ；3.利用导数研究函数()h x 的单调性及最值；4.根据单调性及最值，得到所证不等式.。