【同步】【基础】相似三角形的性质与应用练习1

4.5 相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶162．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(C)A. 4B. 125C.203D. 63．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(A)A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶ 2(第3题) (第4题)4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED 的面积的比为(B)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶15．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28 ，则△ABC 的面积为__36__．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，求S 1S 2的值．(第7题)【解】 ∵AD AB ＝12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC ＝5a.∵BF ⊥AC ，四边形ABCD 为矩形， ∴易得△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ， ∴BC 2＝CE ·AC ，AB 2＝AE ·AC ，∴a 2＝CE ·5a ，(2a)2＝AE ·5a ，∴CE ＝5a 5，AE ＝4 5a 5，∴CE AE ＝14.易得△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AE 2＝116.8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB.若AECE ＝23，S △ABC ＝25，求S ▱BFED.(第8题)【解】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AE AC 2，S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AC 2. ∵AECE ＝23，∴AE AC ＝25，CE AC ＝35. ∵S △ABC ＝25，∴S △ADE ＝4，S △CEF ＝9， ∴S ▱BFED ＝25－4－9＝12.9．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为(D)(第9题)A. 13B. 14C. 19D. 116【解】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4. ∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE AC 2＝116. 10．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝2－1．(第10题)【解】 设BC 与A ′C ′交于点E. 易知AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ，∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B 2∶AB 2＝1∶2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.11．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 交于点F ，则△AEF 的面积等于3－34(结果保留根号).(第11题)【解】 过点F 作FG ⊥AE 于点G.∵△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC S △ADE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB AD 2＝4， ∴S △ADE ＝34，∴正三角形ADE 的边长为1.∵∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，∴FG ＝AG.在Rt △EGF 中，设EG ＝x ，则易得FG ＝3x ，∴3x ＋x ＝1，∴x ＝3－12，∴FG ＝3－32.∴S △AEF ＝12AE ·FG ＝3－34.12．如图，已知A 是反比例函数y ＝6x 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B ，以AB 为边向右作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在反比例函数y ＝kx 上运动，则k 的值是－3__6．(第12题)(第12题解)【解】 ∵反比例函数y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB. 连结OC ，如解图．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°.∴AC ＝2OA.∴OC ＝3OA.过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F. ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO ＝∠OFC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO ，且相似比OCOA＝3，∴S △OFC S △AEO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OC OA 2＝3. 设点A 的坐标为(a ，b)．∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ·OF ＝3 62.设点C 的坐标为(x ，y)．∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y.∴FC ·OF ＝x ·(－y)＝－xy ＝3 6.∵点C 在双曲线y ＝kx上，∴k ＝xy ＝－36.(第13题)13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成面积分别为S 1，S 2，S 3的三块．若S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10，BC ＝15，求DE ，FG 的长．【解】 ∵DE ∥FG ∥BC ， ∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE BC 2，S △AFG S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG BC 2， 即S 1S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152. 设S 1＝k ，则S 2＝4k ，S 3＝10k ，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝kk ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝k ＋4k k ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152， ∴DE ＝15，FG ＝53.14．已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的点P 处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC 相交于点O. ①求证：△OCP ∽△PDA.②若△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，求边AB 的长． (2)若图①中的P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP.动点M 在线段AP 上(点M 不与点P ，A 重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且BN ＝PM ，连结MN 交PB 于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E.试问：在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF 的长度．【解】 (1)①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，DC ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°. 由折叠的性质，得∠APO ＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴∠POC ＝90°－∠CPO ＝∠APD. 又∵∠C ＝∠D ，∴△OCP ∽△PDA.②∵△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，△OCP ∽△PDA ，∴OC PD ＝OP PA ＝CP DA ＝14＝12，∴PD ＝2OC ，PA ＝2OP ，DA ＝2CP. ∵AD ＝8，∴CP ＝4，BC ＝8. 设OP ＝x ，则OB ＝x ，OC ＝8－x.在Rt △PCO 中，∵∠C ＝90°，CP ＝4，OP ＝x ，OC ＝8－x ， ∴x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5，∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，∴边AB 的长为10. (2)∵P 是CD 边的中点，∴DP ＝12DC.∵DC ＝AB ，AB ＝AP ，∴DP ＝12AP.∵∠D ＝90°，∴∠DAP ＝30°. ∵∠DAB ＝90°，∠OAP ＝∠OAB ， ∴∠OAB ＝30°.(3)过点M 作MQ ∥AN 交PB 于点Q. ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠MQP ， ∴∠APB ＝∠MQP ，∴MP ＝MQ. ∵ME ⊥PQ ，∴PE ＝QE ＝12PQ.∵BN ＝MP ，MP ＝MQ ，∴BN ＝MQ.∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF.又∵∠QFM ＝∠BFN ，QM ＝BN ，∴△MFQ ≌△NFB(AAS)，∴QF ＝BF ，∴QF ＝12QB ， ∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12PB. 由(1)中的结论，得CP ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝4 5，∴EF ＝12PB ＝2 5，∴在(1)的条件下，在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度不变，为2 5.。

相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（ ）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（ ）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（ ）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。

相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：344. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSkS B C A D B C A D'''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案与解析】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能. 【总结升华】一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.举一反三【变式】如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，，.又∵∽，相似比为.的周长为，的面积是.22.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度．44变【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m 即古塔的高度为16m。

7 相似三角形的性质 1．如图1，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）
A ．相似变换
B ．平移变换
C ．对称变换
D ．旋转变换
2．图中2，两三角形相似，则_______x ．
3．两个全等三角形的相似比是________．
4．已知△ABC ∽△A’B’C’, △ABC 三边的比为1:2:3, △A’B’ C’的最长边为18,求△A’B’C’的周长．
5．我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形,比如两个正方形,它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形。

现给出4对几何图形：①两个圆②两个菱形③两个长方形④两个正六边形。

请指出哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由． 图1
30 45 30 105 1 2 x 图2
参考答案
1．A 2．2 3．1 4．36
5．①和④分别为形状相似图形，因为它们的对应元素都成比例；②和③不是形状相似图形，因为它们的对应元素不一定都成比例．。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

专题27.2.3相似三角形的性质及应用典例体系(本专题共85题67页)一、知识点相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．二、考点点拨与训练考点1：高度(距离)测量典例1：影长测高问题(2020·无锡市东北塘中学初三月考)阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1)．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3)，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米(如图4)．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．(1)在横线上直接填写甲树的高度为米．(2)求出乙树的高度(画出示意图)．(3)请选择丙树的高度为()A 、6.5米B 、5.75米C 、6.05米D 、7.25米(4)你能计算出丁树的高度吗？试试看．方法或规律点拨本题考查了同一时刻的阳光下，树高与其影长的比实际上就是相似比，正确画出图形，将实际问题转化为数学问题是解题关键．巩固练习1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为()A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺2．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树AB 的高度，他沿着树影CB 由C 向B 走，当走到点D 时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合．此时A E C 、、三点恰好在一条直线上．经测得1CD =米，3BD =米，则树的高度AB 为()A ．3米B ．4米C ．4.5米D ．6米3．某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m 的同学的影长为1.35m ，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6m ，建筑物上的影长为1.8m ，则树的高度为()A ．5.4mB ．5.8mC ．5.22mD ．6.4m4．(2020·湖北巴东·初三其他)如图，路边有一根电线杆AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G 处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点E 处，已知BC=6米，正方形边长为3米，DE=5米．则电线杆AB 的高度是()米．A ．92B ．13C ．152D ．1855．(2020·山东莱州·初二期末)兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为()A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米6．(2019·全国初三课时练习)如图，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE ，已知亮区DE 到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高 ꑠொ飰米，那么窗口底部离地面的高度BC 为()A．2米B．2.5米C．3米D．4米7．(2020·广东南海·初三月考)如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为()A．6m B．8.8m C．12m D．15m8．(2020·河南舞钢·初三期末)如图，有一张直径(BC)为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE，AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是(2，0)．那么点E的坐标是____．9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．(1)求路灯A的高度；(2)当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？10．(2019·河南平舆·初三期中)如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，那么这棵树高约有多少米？11．(2020·贵州贵阳·初三开学考试)如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD ，用长为1m 的竹竿AB 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E ，且点E ，A ，C 在同一直线上．已知3m EA =，9m AC =，求这棵树的高度CD ．12．(2019·全国初三课时练习)某中学平整的操场上有一根旗杆(如图)，一数学兴趣小组欲测量其高度，现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据.(长度用a ，b ，c…表示)13．(2020·上海市金山初级中学初三月考)据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO ．14．(2020·江苏淮安·初三一模)如图，花丛中有一路灯AB .在灯光下，小明在点D 处的影长3m DE =，沿BD 方向行走到达点G ，5m DG =，这时小明的影长5m GH =.如果小明的身高为1.7m ，求路灯AB 的高度.(精确到0.lm)15．(2020·全国初三课时练习)小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在点'C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ．已知小军的眼睛距地面1.7m ，量得'12CC =m ， 1.8CF =m ，'' 3.84C F =m.求这棵古松树的高度.16．(2020·陕西师大附中初三其他)小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度,AB 但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB 下的影长DF 为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB 下的影长EC 为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高 1.55DM NE ==米，网长 6.1MN =米，同时测得1步1≈米，求路灯的高度(结果保留一位小数)17．(2020·无锡市钱桥中学初三月考)如图，一路灯AB 与墙OP 相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D 处时，影长DG 为1米；当小亮站在点F 时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O 处．(1)求路灯AB 的高度．(2)请在图中画出小亮EF 的位置；并求出此时的影长．(3)如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N 处停下，那么小亮MN 在墙上的影子有多高？典例2：镜面测高问题为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B(树底)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度．方法或规律点拨本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．巩固练习1．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.6m，她离镜子的水平距离CE＝1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE ＝3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为()A．2.7m B．3.6m C．4.8m D．6.4m3．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为()A．9米B．9.6米C．10米D．10.2米4．(2020·北京海淀·人大附中初三其他)如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离为1.6m，则旗杆的高度为(单位：m)()A．12.4B．12.5C．12.8D．165．(2020·全国初三课时练习)如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为()A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6m7．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)8．星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．9．(2019·全国初三课时练习)如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E 点时发现前面2米处有一处积水C ，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B 距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆AB 的高度.典例3：其他测量问题(2018·全国初三单元测试)如图，一条东西走向的笔直公路，点A 、B 表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C 表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ 南侧直线行走，当他到达点P 的位置时，观察树A 恰好挡住电视塔，即点P 、A 、C 在一条直线上，当他继续走180米到达点Q 的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B 也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB ∥PQ ，且公路的宽为60米，求电视塔C 到公路南侧PQ 的距离．方法或规律点拨本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.巩固练习1．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B ，D ，4m AO =， 1.6m AB =，1m CO =，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为()A ．0.2mB ．0.3mC ．0.4mD ．0.5m2．(2019·河南南阳·初三期中)据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面.山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高AB的长为(结果保留到整数，1丈=10尺)()A．162丈B．163丈C．164丈D．165丈3．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，则树高AB=()m．A．3.5B．4C．4.5D．54．(2019·陕西初三专题练习)中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是()A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=5．(2019·北京市十一学校初三月考)如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.6．(2020·陕西交大附中分校初三月考)如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米7．(2019·全国初三课时练习)我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.8．(2020·上海浦东新·初三月考)如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE//AB)，那么小管口径DE的长是__________mm．9．(2020·重庆南开(融侨)中学校初二期末)我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD 高度为28米，则对方与我军距离d约为____________米．10．(2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径5BE =尺，立木高5AB =尺，4BD =寸0.4=尺，则井深x 为__________尺．11．(2019·山东青岛·初三期中)如图，为了测量一棵树CD 的高度，测量者在B 处立了一根高为2.5m 的标杆，观测者从E 处可以看到杆顶A ，树顶C 在同一条直线上，若测得BD ＝7m ，FB ＝3m ，EF ＝1.6m ，则树高为_____m ．12．(2020·陕西交大附中分校初三月考)如图有一块直角边AB ＝4cm ，BC ＝3cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为()A ．67B ．3037C ．127D ．603713．(2020·上海中考真题)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB =1.6米，BD =1米，BE =0.2米，那么井深AC 为____米．14．(2019·安徽初三月考)如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为_____m．15．(2018·北京房山·初三期中)为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是_____．16．(2020·山东莱州·初二期末)小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？18．如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2(CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF)，甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差(结果精确到0.1米)19．某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．20．(2020·陕西初三其他)20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C 处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．考点2：利用相似三角形的性质解决纯数学问题典例：(2020·广东三水·初三一模)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运动时间为t秒.(1)t为何值时，△PBQ的面积为12cm2；(2)若PQ⊥DQ，求t的值.方法或规律点拨此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程．巩固练习1．(2020·上海市金山初级中学初三月考)已知''',8,''6ABC A B C AB A B ∆∆==:，则''BC B C =()A ．2B ．43C ．3D ．1692．(2020·无锡市东北塘中学初三月考)已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为()A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：13．(2020·河南卧龙·初三期末)如图，平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，DM 交AC 于点E ，则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD 的面积之比为()A ．1:2B ．2:5C ．5:12D ．6:134．(2020·广西初三其他)已知ABC 与ADE 是位似图形，且相似比为3:2，若ABC 的面积为27，则ADE 的面积为()A ．7B ．12C ．10D ．185．(2020·广东顺德·)如图，△ABC 与△DEF 形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE 的长度为()A ．1.2B ．1.8C ．3D ．7.26．(2020·江苏姜堰·初三期末)如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为()A ．1B ．1.5C ．2D ．2.57．(2020·上海宝山·月考)如图，AB 、CD 都是BD 的垂线，4AB =，6CD =，14BD =，P 是BD 上一点，联结AP 、CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是_______．9．(2020·上海宝山·月考)如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，//AB CD ，2AB cm =，5CD cm =，点P 到CD 的距离是3cm ，则点P 到AB 的距离是_______．10．(2020·上海宝山·月考)两个相似三角形对应高的比为2:3，且已知这两个三角形的周长差为4，则较小的三角形的周长为_______．11．(2020·射阳县第二初级中学月考)△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，点D 在AC 上，且AD ＝3，若要在AB 上找一个点E ，使△ADE 与△ABC 相似，则AE ＝__________．12．(2020·上海浦东新·初三月考)有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．13．(2019·泉州市第六中学初三期中)△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的面积的比为________．14．(2020·上海市南汇第四中学初三月考)如果Rt Rt ABC DEF ∽△△，90C F ∠=∠=︒，5AB =，3BC =，15DE =，则DF =________．15．(2020·上海宝山·月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．16．(2020·聊城市茌平区振兴街道中学月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 上的一点，AE 交BD 于O ，△AOB ∽△EOD ，若DE ＝23AB ，AB ＝9，AO ＝6，求DE 和AE 的长．17．(2020·上海浦东新·初三月考)两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．18．(2019·陕西初三专题练习)如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260cm ，AB ＝130cm ，球目前在E 点位置，AE ＝60cm ．如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．求BF 的长．19．(2019·江苏海陵·泰州中学附属初中初三期末)证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，．求证．(先填空，再证明)证明：20．(2020·酒泉市第二中学期中)如图，如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上．(1)求证：APQ ∽ABC(2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？考点3：相似三角形性质的综合应用典例：(2020·山东安丘·东埠初中初三月考)如图，已知矩形ABCD 的边长3AB cm =，6BC cm =，某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1/cm s 的速度向B 点匀速运动；同时动点N 从D 点出发沿DA 方向以2/cm s 的速度向A 点匀速运动，问：(1)经过多少时间，AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的19(2)当点M 到达B 时，两点同时停止运动，经过多长时间，MN 长(3)是否存在时刻ts ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．方法或规律点拨此题考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x ，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．巩固练习1．(2020·安徽包河·初三二模)如图，在矩形ABCD 中，点H 为边BC 的中点，点G 为线段DH 上一点，且∠BGC=90°，延长BG 交CD 于点E ，延长CG 交AD 于点F ，当CD=4，DE=1时，则DF 的长为()A ．2B ．32C D ．952．(2020·深圳市罗湖外语学校初中部初三月考)如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝2：3，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF ＝______．3．(2020·中国科技大学附属中学初三月考)如图，△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝4．折叠该纸片，使点A 落在线段OB 上，折痕与边OA 交于点C ，与边AB 交于点D ．(1)若折叠后使点A 与点O 重合，此时OC ＝；(2)若折叠后使点A 与边OB 的中点重合，求OC 的长度；(3)若折叠后点A 落在边OB 上的点为E ，且使DE ∥OA ，求此时OC 的长度．4．(2020·无锡市钱桥中学初三月考)如图，平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的角平分线，且交AB 于点E ，DB 与CE 相交于点O ，(1)求证：△EBC 是等腰三角形；(2)已知：AB=7，BC=5，求OB OD 的值．5．(2020·聊城市茌平区振兴街道中学月考)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝10cm ，AD ＝20cm ，两只小虫P 和Q 同时分别从A ，B 出发沿AB ，BC 向终点B ，C 方向前进，小虫P 每秒走1cm ，小虫Q 每秒走2cm ，请问它们同时出发多少秒时，以P 、B 、Q 为顶点的三角形与以A 、C 、D 为顶点的三角形相似？7．(2021·山西初三月考)在平面直角坐标系中，四边形OABC 的边OC 在x 轴上，OA 在y 轴上，O 为坐标AB//OC ，线段OA ，AB 的长分别是方程29200x x -+=的两个根(OA<AB)．(1)求点B 的坐标；(2)P 为OA 上一点，Q 为OC 上一点，OQ=5，将△POQ 翻折，使点O 落在AB 上的点O '处，求线段AO '的长；(3)在(2)的条件下，M 为x 轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以O '，Q ，M ，N 为顶点四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．(2020·无锡市钱桥中学初三月考)如图1，Rt ABC 中，∠C=90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ，点D 是BC 上的一个定点．动点P 从点C 出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B 方向运动，动点Q 从D 出发，以1cm/s 的速度沿D→B 方向运动．点P 出发5s 后，点Q 才开始出发，且当一个点达到B 时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ 的面积S(cm2)与点P 的运动时间t(s)的函数图象．(1)CD=，S=cm 2；(2)当点P 在边AB 上时，t 为何值时，使得BPQ 与ABC 为相似？(3)运动过程中，求出当BPQ 是以BP 为腰的等腰三角形时t 的值．9．(2019·河南南阳·初三期中)如图，在ABC 中，5cm AB AC ==，6cm BC =，点P 从点A 出发，沿AB 边以1cm /s 的速度向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 匀速运动，如果P 、Q 同时出发，当Q 点到达C 点时，P 点随之停止运动．当PBQ △中有一个内角等于12BAC ∠时，求运动时间()t s 的值．。

4探索三角形相似的条件第1课时利用两角的关系判定三角形相似关键问答①相似三角形的性质有哪些？1．①如图4－4－1，已知△ABC∽△DEF，则x等于()图4－4－1A．40°B．60°C．80°D．80°或60°2．如图4－4－2，D，E，F，G四点在△ABC的边上，其中DG与EF相交于点H.若∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝40°，则下列哪一组三角形相似()图4－4－2A．△BGD，△CEF B．△ABC，△CEFC．△ABC，△BGD D．△FGH，△ABC3.如图4－4－3，已知△ABC与△ADE相似，且∠B＝∠ADE，则下列比例式正确的是()图4－4－3A．AD∶AC＝DE∶BC B．AE∶BE＝AD∶DCC．AE∶AB＝AD∶AC D．AE∶AC＝AD∶AB命题点1利用两角分别相等判定两三角形相似[热度：93%]4．②如图4－4－4，P为线段AB上一点，AD分别交BC，PC于点E，G，BC交PD于点F，∠CPD＝∠A＝∠B，则图中相似三角形有()图4－4－4A．1对B．2对C．3对D．4对方法点拨②根据相似三角形的定义可知：若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″，即三角形相似具有传递性．5．③·株洲如图4－4－5所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.图4－4－5解题突破③由正方形和等腰直角三角形我们可以得到哪些线段相等，哪些角相等？命题点2根据两三角形相似进行计算[热度：90%]6.④[·毕节]如图4－4－6，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC ＝2 2，AB＝3，则BD＝________．图4－4－6方法点拨④在写相似表达式时要像写全等表达式那样，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样也有利于正确写出边的比例式，保证结果正确．7．⑤将三角形纸片ABC按如图4－4－7所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D 处，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则CF的长是________．图4－4－7易错警示⑤注意根据对应顶点分类讨论.8.⑥·六盘水如图4－4－8，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________.图4－4－8解题突破⑥作平行线构造“A”字形图的相似三角形.命题点3有关相似三角形的存在性问题[热度：80%]9．⑦如图4－4－9，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F.(1)求证：△PF A∽△ABE.图4－4－9(2)当点P在射线AD上运动时，设P A＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．易错警示⑦注意x的值可能不止一个．10．⑧如图4－4－10①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.(1)求证：△ABF∽△COE；(2)当O 为AC 边的中点，AC AB ＝2时，如图②，求OFOE 的值；(3)当O 为AC 边的中点，AC AB ＝n 时，请直接写出OFOE的值．图4－4－10方法点拨⑧求线段的比时常借助相似三角形的性质，当比例式中的线段不能构成相似形时，可考虑利用等量代换的方法求解．详解详析【关键问答】①相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例．1．C[解析] ∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E.∵∠B＝80°，∴∠E＝x＝80°.故选C.2．B[解析] ∵∠ABC＝∠EFC＝70°，∴EF∥AB，∴△ABC∽△EFC，故B正确；在△BDG中，∠B＝70°，∠DGB＝40°，则∠GDB＝70°；在△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝60°，则∠A＝50°，∴△ABC，△CEF与△BGD不相似，故A，C错误；∵EF∥AB，∴△FGH∽△BGD；∵△BGD与△ABC不相似，∴△FGH与△ABC不相似，故D错误．故选B.3．D[解析] 由∠B＝∠ADE可知△ABC∽△ADE，∴AE∶AC＝AD∶AB.故选D.4．C[解析] 在△PCF和△BCP中，∵∠CPF＝∠B，∠C为公共角，∴△PCF∽△BCP；在△APD和△PGD中，∵∠GPD＝∠A，∠D为公共角，∴△APD∽△PGD；∵△APD∽△PGD，∴∠APD＝∠PGD，∴∠BPF＝∠AGP.又∵∠A＝∠B，∴△AGP∽△BPF.共有3对相似三角形．故选C.5．证明：(1)由正方形ABCD及等腰直角三角形DEF，可知∠ADC＝∠EDF＝90°，AD ＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF.在△DAE和△DCF中，DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∴△DAE≌△DCF.(2)延长BA交ED于点M，如图所示．∵△DAE≌△DCF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF.∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.又∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.6.83[解析] ∵∠BCD＝∠A，∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴BCBD＝ABBC，即2 2BD＝32 2，∴3BD＝8，∴BD＝83.7.127或2[解析] 因为△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，所以FD＝CF.设CF＝x，则BF＝4－x，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD＝∠C，则FDBF＝ACBC，即x4－x＝34，解得x＝127；①若∠BFD＝∠A，则FDBF＝ACAB，即x4－x＝1，解得x＝2.综上所述，CF的长为127或2.8.169[解析] 如图，过点O作OM∥AD交AB于点M.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴MO是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝12AB＝52，MO＝12BC＝4.∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴AEME＝AFMO，即22＋52＝AF4，∴AF＝169.9．[解析] (1)在△PF A与△ABE中，易得∠P AF＝∠AEB及∠PF A＝∠ABE＝90°，故可得△PF A∽△ABE；(2)分两种情况列出关系式．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，∴∠P AF ＝∠AEB . 又∵∠PF A ＝∠ABE ＝90°， ∴△PF A ∽△ABE .(2)若△EFP ∽△ABE ，，如图① 则∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ， ∴四边形ABEP 为矩形， ∴P A ＝BE ＝2，即x ＝2；若△PFE ∽△ABE ，如图②， 则∠PEF ＝∠AEB .∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ， ∴PE ＝P A .∵PF ⊥AE ，∴F 为AE 的中点． ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝2 5， ∴EF ＝12AE ＝ 5.∵PE AE ＝EF EB ，即PE 2 5＝52， ∴PE ＝P A ＝5，即x ＝5. ∴满足条件的x 的值为2或5.10．[解析] (1)要求证△ABF ∽△COE ，只要证明∠BAF ＝∠C ，∠ABF ＝∠COE 即可． (2)作OH ⊥AC ，交BC 于点H ，易证△OF A 和△OEH 相似，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值．(3)同(2)可得，OFOE＝n .解：(1)证明：∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠C ＝90°. ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C .∵OE ⊥OB ，∴∠BOA ＋∠COE ＝90°. 又∵∠BOA ＋∠ABF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠COE . ∴△ABF ∽△COE .(2)如图，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH ∥AB .由(1)得∠ABF ＝∠COE ，∠BAF ＝∠C ， ∴∠AFB ＝∠OEC ， ∴∠AFO ＝∠HEO .又∵∠BAF ＝∠C ，∠BAF ＋∠F AO ＝∠C ＋∠EHO ＝90°， ∴∠F AO ＝∠EHO ，∴△OF A ∽△OEH ，∴OF OE ＝OAOH .又∵O 为AC 的中点，OH ∥AB ， ∴OH 为△ABC 的中位线， ∴OH ＝12AB ，OA ＝OC ＝12AC .而AC AB ＝2，∴OA OH ＝2，∴OF OE＝2. (3)OF OE＝n .。

22.3 相似三角形的性质第1课时 相似三角形性质定理1及其应用1.如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ．（1）求证：;AM HG AD BC=（2）求这个矩形EFGH 的周长．2. 如图，已知△ABC 的面积是12，BC =6，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次做了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，……KHIJ ，则每个小正方形的边长为（ ）A.1211 B. 1223n - C. 125 D. 1223n +3.如图，矩形ABCD 为台球桌面．AD = 260cm ， AB =130cm ，球目前在E 点位置，AE =60cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ；(2)求CF 的长． ABC J K N GD EF M H I …… B E D F H M GCA实际问题中二次函数的最值问题自学目的【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增加对数学的理解和学好数学的信心. 自学重点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.自学难点二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.自学过程一、情境导入，初步认识问题1 同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3①x=______时，y有最 ______ 值，其值为_________；②当-1≤x≤4时，y最小值为_______，y最大值为_____ .答案:①1，小，-4；②-4，5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知自学点1 最大面积问题阅读教材P30动脑筋，回答下列问题.1.若设窗框的宽为xm，则窗框的高为 _____ m，x的取值范围是_______ .2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1.832x-0<x<832.S=-32x2+4x，0<x<833.Smax=83m2.例1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x，那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-21222aa-=⨯时，y最小值=2×（12a）2-2a×12a+a2=12a2即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.自学点2 最大利润问题例2 预习教材P31例题【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.例3 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？【分析】找出进价，售价，销售，总利润之间的关系，建立二次函数，再求最大值.列表分析如下:关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.解:设降价x元，总利润为y元，由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当x=0.5时，总利润最大为225元.∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1.如图，点C是线段AB上的一个支点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A.当C是AB的中点时，S最小B.当C是AB的中点时，S最大C.当C为AB的三点分点时，S最小D.当C是AB的三等分点时，S最大第1题图第2题图2.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是 .3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料，①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A2.35 cm，435cm23.解：①45+26024010-×7.5=60（吨）.②y=(x-100)(45+26010x-×7.5).化简，得y=-34x2+315x-24 000.③y=-34x2+315x-24 000=-34(x-210)2+9 075.此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.④我认为，小静说得不对.理由:当月利润最大时，x为210元，每月销售额W=x(45+26010x×7.5=-34 (x-160)2+19200.当x为160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.，销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、预习小结这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围，并能求出实际问题的最值.24．3 正多边形和圆了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节的内容．重点讲清正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系． 难点通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、复习引入请同学们口答下面两个问题．1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有很多条，但不一定是中心对称图形，正三角形、正五边形就不是中心对称图形．二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，以点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF ，连接AD ，CF 交于一点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，那么B ，C ，D ，E ，F 肯定都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF ，下面证明，它是正六边形．∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ，∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝AF ︵，又∴∠A＝12BCF ︵的度数＝12(BC ︵＋CD ︵＋DE ︵＋EF ︵)的度数＝2BC ︵的度数，∠B ＝12CDA ︵的度数＝12(CD ︵＋DE ︵＋EF ︵＋FA ︵)的度数＝2CD ︵的度数， ∴∠A ＝∠B，同理可证：∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠A， 又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆．为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例 1 已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，求正六边形的周长和面积．分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM⊥AB 垂足为M ，在Rt △AOM 中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于360°6＝60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt △OAM 中，OA ＝a ，AM ＝12AB ＝12a 利用勾股定理，可得边心距OM ＝a 2－(12a)2＝123a ∴所求正六边形的面积＝6×12×AB×OM＝6×12×a×32a ＝323a 2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2 利用你手中的工具画一个边长为3 cm 的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB＝360°5＝72°， 如图，∠AOM ＝36°，OA ＝12AB÷sin 36°＝1.5÷sin 36°≈2.55(cm )画法：(1)以O为圆心，OA＝2.55 cm为半径画圆；(2)在⊙O上顺次截取边长为3 cm的AB，BC，CD，DE，EA.(3)分别连接AB，BC，CD，DE，EA.则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图．三、巩固练习教材第108页习题1，2，3四、课堂小结(学生小结，老师点评)本节课应掌握：1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的关系．3．画正多边形的方法．4．运用以上的知识解决实际问题．五、作业布置教材第108－109页习题4，6，8.。

相似三角形的性质及应用--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图1所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( )A． B．C．D．（图1）（图2）2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE: S△ABC 为( )A. 9:4B. 4:9C. 1:4D. 3:23．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( )A．3 B．7 C．12 D．155．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米 B．8米 C．18米D．24米6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍.A.2B.4C.2D.64二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，则树AB 的高度为______m ．8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______. 9．如图，小明为了测量一座楼MN 的高，在离点N 为20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度是__________.（精确到0.1m ）10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________. 11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）．（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m．求（1）中的点C到胜利街口的距离．15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.(1)找出与相似的三角形.(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？【答案与解析】一．选择题1．【答案】D．【解析】提示：相似比为1:3．2．【答案】B．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．3．【答案】C.4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．6．【答案】C．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．二．填空题7．【答案】3. 8．【答案】45cm 2. 9．【答案】21.3m ． 10．【答案】25.【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2A O DB OC 49S AO CO S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴ AO :CO ＝2:3， 又∵AOD DOC 23S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 C O D A O B S S =△△，∴ ABCD 492625S =++⨯=梯形．11.【答案】4:10:25【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2DEF AEB S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴DEF BAF S S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴DEF BEF S S △△24.510== 12．. 三.综合题 13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ， ∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m ∴1 1.20.9 2.7x -= 即 x ＝4.2m14．【解析】(1)如图1所示，CP 为视线，点C 为所求位置． (2)∵ AB ∥PQ ，MN ⊥AB 于M ，∴ ∠CMD ＝∠PND ＝90°． 又∵ ∠CDM ＝∠PDN ， ∴ △CDM ∽△PDN ，∴C MD MP N D N= ∵ MN ＝30m ，MD ＝12m ， ∴ ND ＝18m ．∴123618CM = ∴ CM ＝24(m )．∴ 点C 到胜利街口的距离CM 为24m ．15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况： △PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ， 则12PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2 ∴ △BCP 的周长是2a ．②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E 时，则12PC BC =， ∵ △PCE ∽△BCP∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2 ∴ △BCP 的周长是2a ．③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E 时，∴BP BC =∵ △BPE ∽△BCP∴ △BPE 与△BCP 2，∴ △BCP ．。

个性化辅导教案例2.相似三角形的性质（1）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则 四边形BCED 的面积为（ ）A.32B.33C.34D.36（2）如图所示，□ ABCD 中，AE ：EB =1：2,求△AEF 和△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求：S △CDF .例3（1）已知两个相似三角形对应边上的高的比为1：2，那么这两个三角形对应中线的比为_______,对应角平分线的比为_________。

（2）两个相似三角形的面积之比为9：16，它们的对应高之比为 。

（3）如图，已知：△ABC ∽△A ´B ´C ´,且AB ：A ´B ´=3：2，若AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ´B ´C ´的对应中线①你发现还有哪些三角形相似? ②若AD =9cm ,则A ＇D ＇的长是多少？③若AD 分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD 与△A ´B ´D ´成立吗？ 故两个相似三角形的所有对应线段之比＝______，面积之比=_____。

FD CBAE 例2（1）A BCDE例4如图，已知DE ∥FG ∥MN ∥BC ，且AD ＝DF ＝FM ＝MB ，求S 1:S ２:S ３:S 4课堂练习1.一个三角形改变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的_________倍.2.一个三角形的三边之比为2∶3∶4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的边长是 ，周长是 。

3.若△ABC ∽△A ‘B ‘C ’，且∠A ＝45０，∠B ＝30０，则∠C ′＝ 。

4.两个相似五边形的面积比为16：25，其中较大的五边形的周长为30cm ，则较小 的五边形的周长为______ cm .5.（2011苏州）如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.第5题图D S4S3S2S1A BCEF GMN6.四边形 ABCD 是平行四边形，点E 是BC 的延长线上的一点，而且CE ：BC =1：3，若△DGF 的面积为9，试求：（1）△ABG 的面积.（2）△ADG 与△BGE 的周长比和面积比.7.如图，△ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC =40cm ,AD =30cm ,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M . (1) 求证：;AM HGAD BC(2) 求这个矩形EFGH 的周长.8.两个相似菱形的边长的比为4：1，那么它们的面积之比为 。