【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考试理数试题解析(原卷版)

第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分，共 60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.已知会合 Ax N |1 xlog 2 k ，会合 A 中起码有 3 个元素，则（）A ． k 8B ． k 8C ． k 16D ． k 162.复数2i 的共轭复数的虚部是（ ）12iA ．3B ．3C ．-1D ．1553. 以下结论正确的选项是（）A ．若直线 l平面 ，直线 l 平面，则 / /B ．若直线 l / / 平面 ，直线 l / / 平面，则 / / [根源 :学。

科。

网 Z 。

X 。

X 。

K]C ．若两直线 l 1、l 2 与平面 所成的角相等，则 l 1 / /l 2D ．若直线 l 上两个不一样的点 A 、B 到平面 的距离相等，则 l / /4.等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a 2 a 5 2a 3 ，且 a 4 与 2a 7 的等差中项为5，则 S 54（）A ．29B ．31C ．33D ．365.已知实数 x, y 知足x2y 1，则 z 2xy 2的取值范围为（）x y 1xA ． 0,10B ．,2 U10,C ． 2,10333D ．,0 U10 ,36.若 a 0,b0,lg a lg b lg ab ，则 a b 的最小值为（）7.阅读如下图的程序框图，则该算法的功能是（）[ 根源 :学§科§网 Z§X§X§K]A ．计算数列2n 1前5项的和B．计算数列2n 1 前5项的和C．计算数列2n 1 前6项的和D．计算数列2n 1前6项的和8. ABC中，“角A, B,C成等差数列”是“sin C 3 cos A sin A cos B ”的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件9.已知a b ，二次三项式ax22x b 0 对于一确实数x 恒成立，又x0R ，使ax02 2 x0 b0 成立，则a2b2 a bA ．1B．2的最小值为（）C．2D．2 210.已知等差数列a n, b n的前 n 项和分别为 S n ,T n，若对于随意的自然数 n ，都有S n2n 3，则a3a15b2a3（）T n4n3 2 b3b9b10A．19B．17C．7D．20 4137154111.已知函数g x a x21x e,e为自然对数的底数与 h x2ln x 的图象上存在关e于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（）A．D．1,122C．12, e22e2B．1,e 22ee22,uuuv uuuv uuuvx, y R ，且12.如图，在OMN中，A, B分别是OM , ON的中点，若OP xOA yOB点 P 落在四边形 ABNM 内（含界限），则y 1的取值范围是（）x y2A．1,2B．1,3C．3334第Ⅱ卷（共 90 分）1 , 3D．1,24443二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若实数a、b0,1 ，且知足1 a b 1，则 a、b 的大小关系是_____________．4若 tan110 ,,，则 sin 22cos cos2的值为 ___________．14.tan3 4 24415.一个几何体的三视图如下图，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数f x lg x , x 0，若对于 x 的方程f2x bf x 1 0 有8个不一样x26x 4, x0根，则实数 b 的取值范围是______________．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）已知 f x 2sinx ，会合 Mx | fx2, x 0，把M 中2的元素从小到大挨次排成一列，获得数列 a n , n N * ．（1）求数列 a n 的通项公式；（2）记 b n 12 ，设数列 b n 的前 n 项和为 T n ，求证： T n 1 ．a n 1 418.（本小题满分 12 分）已知向量 m3 sin x ,1 , n cos x,cos 2 x ，记 f x mgn ．444（1）若 f x 1，求 cos x的值；3（2）在锐角 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且知足 2a c cosB b cosC ，求 f 2 A 的取值范围．19.（本小题满分 12 分）如下图，在直三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中，平面 A 1BC侧面A 1B 1BA ，且 AA 1AB 2．（1）求证： ABBC ；（2）若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成角的正弦值为1，求锐二面角 A A 1C B的大小．220.（本小题满分 12 分）已知函数 f x2 a x 12ln x aR ．（1）若曲线 g xf xx 上点 1,g 1 处的切线过点 0,2 ，求函数 g x 的单一减区间； [根源 :Z+xx+]（2）若函数 y fx 在 0, 1上无零点，求 a 的最小值．221.（本小题满分 12 分）已知p x, m , q x a,1 ，二次函数 f x pgq 1 ，对于x 的不等式 f x2m 1 x 1 m2的解集为, m U m 1,，此中m为非零常数，设 g x f x．x 1（1）求a的值；（2）若存在一条与y轴垂直的直线和函数x g x x ln x 的图象相切，且切点的横坐标 x0知足x0 1 x03，务实数m的取值范围；（3）当实数k取何值时，函数x g x k ln x 1 存在极值？并求出相应的极值点．请从下边所给的22 , 23 ,24 三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，且 BC CD ，其对角线 AC 与 BD 订交于点M ，过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延伸线于点 P ．（1）求证：ABgMD AD gBM；（2）若CPgMD CBgBM，求证：AB BC ．[根源:]23.本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x m 2 t已知直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正y 2 t2半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos23 2 sin212 ，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上．（1）若直线l与曲线C交于A, B两点，求FA gFB的值；（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值．24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知x0R 使不等式x 1 x 2 t 成立．（1）求知足条件的实数t的会合T；（2）若m 1,n 1，对t T，不等式log2mglog3n t恒成立，求m n的最小值．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则= .本题选择C选项.2. 集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则= .本题选择A选项.3. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，，，则=（）学,科,...A. B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则= .本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的表面积，本题选择B选项.8. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.【答案】B学,科,...【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当时推出循环，则判断框内的条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A. 3B.C.D. 4【答案】B【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．10. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.11. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨令，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：，整理可得：，结合函数的定义域可得不等式的解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.学,科,...二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________．【答案】2【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.考点：二项式公式，重要不等式.14. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，则的面积为 .【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率 .16. 已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序是__________.【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的必要不充分条件；④“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列的前项和，且，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求.【答案】（1）见解析；（2）.学,科,...【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得. 试题解析：（1）因为，所以，即，则，所以，又，故数列为等比数列.（2）由（1）知，所以，故.设，则，所以，所以，所以.点睛：证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.（1）求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）中，应用余弦定理得，解得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，学,科,...所以.（2）由（1）平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，，所以平面.所以是与平面所成的角.因为在中，，所以在中，.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.(3) 由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 .试题解析：（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在的概率为.因此，可估计该校学生身高在的概率为.（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.学,科,...由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.所以，，.所以的分布列为：所以.20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，学,科,...同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,...【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.(3)分离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为. 试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.令，，得.由（2）可知，当时，恒成立，令，得；令，得.所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.学,科,...23. 选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）.即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】试题分析：因为A B A =I ，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A. 考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b r r满足()5a a b +=r r r g ，且2,1a b ==r r ，则向量a r 与b r 夹角的余弦值为（ ）A ．3B ． 3-．12 D ．12- 【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=r r r r r r r r r r r r r ，所以1cos ,2a b <>=r r ，故选C.考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B考点：程序框图.5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D考点：三视图.7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B ．32 C ．34 D ．74【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ．86π B ．6π C ．24π D 6π 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个【答案】D 【解析】试题分析：在坐标系内作出函数()y f x =的图象，由图象可知，方程()()f x a a R =∈的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D.考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 【答案】B故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 【答案】2【解析】 试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．【答案】14考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=o 点的仰角45CAB ∠=o 以及75MAC ∠=o ，从C 点测得60MCA ∠=o ，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】150考点：解三角形应用举例.【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ． 【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min 1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x+>∴==+≥Q ，当且仅当1x =时取等号，所以min ()(1)2f x f ==，即()2min 211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e==，所以()1max 1g x k ke⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.（2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD I 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP P .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明,若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23.（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD Θ平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴，)1,2,2(-=,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则 ⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：1X5 67 8 P0.4ab0.1且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性.（2）由已知得，样本的频率分布表如下：2X34 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：2X34 5 6 7 8 p0.30.20.20.10.10.1所以，2 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。

河北衡水中学2016-2017学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合等于（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 ,选D.2.，若，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】设,则,选A.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于 （ ）A. B. 41 C. D.【答案】A 【解析】因为，所以，选A.4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.5. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A...【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A.B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.8. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B 【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.9. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为（ ）A.B.C. 57D. 33【答案】A【解析】由题意得,所以展开式中项的系数为,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为，因为，所以解得，即，所以，满足，，选B.11. 已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】因为所以；因为，所以...的最大值与最小值之和为，选C.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以，因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为，所以在上单调递增，且，在上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为，所以，选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格销售量由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以...点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取,则16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，.（1）求边的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，所以．...18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三点共线，，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，所以易知，所以．因为平面，所以，因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则．所以，设平面的法向理为，所以，令，则．可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）...【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第次划拳小华平”为；事件“第次划拳小华输”为，所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：所以的数学期望为：．20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据：）（1）讨论函数的单调性；（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式.试题解析：解：（1）因为的定义域为实数，所以．①当时，是常数函数，没有单调性．②当时，由，得；由，得．所以函数在上单调递减，在上单调递增．③当时，由得，；由，得，...所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，所以，即．令，则有，即．设方程的根为，则，所以是方程的根．由（1）知在单调递增，在上单调递减．且当时，，当时，，如图，依据题意，不妨取，所以，因为，易知，要证，即证．所以，又函数在上单调递增，所以，所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数），...代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以．。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且AB A =，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】 试题分析：因为A B A =，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A.考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．2 B ． 2- C ．12 D ．12- 【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=，所以1cos ,2a b <>=，故选C.考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B考点：程序框图.5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D考点：三视图.7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A ．1 B ．32 C ．34 D ．74【答案】D【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是）A ．B ．6πC ．24πD 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个 【答案】D 【解析】试题分析：在坐标系内作出函数()y f x =的图象，由图象可知，方程()()f x a a R =∈的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D.考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x += ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 【答案】B故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．【答案】14考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】150考点：解三角形应用举例.【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ．【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x+>∴==+≥，当且仅当1x =时取等号，所以min ()(1)2f x f ==，即()2min211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e==，所以()1max 1g x k ke⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.（2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明,若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23.（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==AD n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴，)1,2,2(-=,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则 ⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性.（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数122z i =--，则||z z +=（ )A．12- B．12-+C．12+ D．12 2。

集合2{|30}A x xx =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A 。

可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C 。

可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ )A 。

2B ．3 C.4 D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ,且交其对角线AC 于M ,若2AB AE =，3AD AF =，AM AB AC λμ=-(,)R λμ∈，则52μλ-=( ) A ．12-B ．1 C.32D ．-36。

在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（）A 。

906B ．1359C 。

2718D 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ． 考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数212ii+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 【答案】C 【解析】考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ，正确；B 中，若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则两平面可能相交或平行，故B 错；C 中，若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12l l 、可能相交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D 错，故选A ． 考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件． 4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．29B ．31C ．33D ．36 【答案】B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式．【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ． 5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2222x y y z x x+++==+表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P -的斜率k 加上2．因为(3,2)A 、(1,0)C -，所以4,23AP CP k k ==-，所以由图知43k ≥或2k ≤-，所以1023k +≥或20k +≤，即103z ≥或0z ≤，故选D ．考点：简单的线性规划问题．6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】C考点：1、对数的运算；2、基本不等式．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{}12n-前5项的和B．计算数列{}n-前5项的和[来21源:ZXXK]C．计算数列{}n-前6项的和D．计算数列{}12n-前6项的和21【答案】D【解析】试题分析：第一次循环，得1,2=⨯=；第三次循环：A i==；第二次循环：1+21,3A i21+2+2+2+2,6A i1+21+21,4==；第五次循环：234==；A iA i=⨯⨯=；第四次循环：231+2+2+2,5第六次循环：2345i=>，不满足循环条件，退出循环，输出A=，761+2+2+2+2+22345A=+，即计算数列{}12n-前6项的和，故选D．1+2+2+2+22考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“()sin 3cos sin cos C A A B =+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．22 【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220o o ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b +-＝a b -+2aba b-=222a b a b -+≥-，故选D ． 考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n Sn T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737C ．715D ．2041【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式．11.已知函数()21,g x a x x e e e⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【答案】B 【解析】试题分析：由条件知，方程22ln a x x -=-，即22ln a x x -=-在1[,]e e上有解．设2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=．因为1x e e≤≤，所以()0f x '=在1x =有唯一的极值点．因为1()f e ＝212e --，2()2f e e =-，()(1)1f x f ==-极大值，又1()()f e f e<，所以方程22ln a x x -=-在1[,]e e上有解等价于221e a -≤-≤-，所以a 的取值范围为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，故选B ．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈u u u v u u u v u u u v，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 【答案】a b < 【解析】试题分析：因为()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->()112a b ->，又()()112a b a b -+≥-()1122a b -+>，即a b <．考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】 试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α= ．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝22sin 2cos 2αα+＋2(1cos 2)2α+＝22sin 22cos 222αα++＝22222222sin cos cos sin 222sin cos sin cos 2αααααααα-⋅+⋅+++＝22222tan 1tan 222tan 1tan 12αααα-⋅+⋅+++＝22222313220231312⨯-⨯+⨯+=++． 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】80 【解析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________． 【答案】1724b <≤ 【解析】考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） [来源:ZXXK]17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先根据正弦函数性质解出M 中的元素，从而得到21,x k k Z =+∈，由此可求得数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和．18.（本小题满分12分）已知向量23,1,cos ,cos 444xxxm n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =g ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围． 【答案】（1）12；（2）313,2⎛⎤- ⎥ ⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）首先利用向量的数量积公式求出函数()f x 的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（2）首先由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，然后利用三角函数公式化简求出角A 的范围，从而求出三角函数值的范围． 试题解析：（1）()231113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭u v vg ，由()1f x =，得1sin 262xπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262xx ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则22,33A C A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<， 3sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是3132⎤-⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．[来源:]（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A A C B --的大小． 【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影，∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点， ∴1122AD A B ==且,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴22AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD A C ⊥，且AE AD A =I ，∴AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 且直角1A AC ∆中，112226323A A AC AE AC ===g ，又2,2AD ADE π=∠=，∴23sin 226AD AED AE ∠===，且二面角1A A C B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A A C B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=u u u v u u u v u u u v u u u v．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由111,BC n BA n ⊥⊥u u u v u u u v得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．[来源:]【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．【解析】（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性． 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+g ，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞U ，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中122k x +=，222k x ++=）【解析】[来源:学*科*网]试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到()f x 的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得a 的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数()x Γ的导数可为0，从而对函数()x Γ求导后解得切点横坐标0x 与m 的关系，根据不等式得到0x 的范围，进而求得实数m 的范围；（3）当函数()x ϕ存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数k ，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．试题解析：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+u v v u v v g ，∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞U ， 也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞U ， ∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根， 由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mkx x x x ϕ-++-+'=--=--- 方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为212412k k mx ++=<，或222412k k m x ++=>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， 此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中22122424k k m k k m x x +-++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =g g ；（2）若CP MD CB BM =g g ，求证：AB BC =．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理．23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB g 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【答案】（1）2；（2）16．【解析】考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥g 恒成立，求m n +的最小值．【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6．【解析】试题分析：（1）由条件可知关于x 的不等式t x x ≥---|2||1|有解即可，因此只需()max 12x x t ---≥，进而可求出实数t 的集合T ；（2）根据条件知道应有max 33log log t n m ≥⋅，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出n m +的最小值．试题解析：（1）令()1,1 1223,121,2xf x x x x xx-≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x-≤≤，由于x R∃∈使不等式12x x t---≥成立，有{}|1t T t t∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。

衡水中学17—18学年度第一学期第三次调研考试高三年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、含有三个实数的集合可表示为｛a,1,｝,也可表示为｛a+b,0,a2｝,则的值为（）A . 0B . 1C . -1 D. ±12、已知集合，，则为（）3、定义;称为个正数的“均倒数”。

若数列的前项的“均倒数”为，则数列的通项公式为（）4、已知数列{}中， =，+（n，则数列{}的通项公式为A. B.C. D.5、已知函数在区间[0，1]上是减函数，则实数的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.6、数列的前n项的和，则当时，下列不等式中成立的是 ( )A. B.C. D.7、满足条件的所有集合的个数是（）A．5 B.4 C.3 D.28、对于任意，函数的值恒大于0，则的范围是（）9、已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图像如图所示，给出下列四个命题①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，其中正确的命题个数为A.1B.2C.3D.410、设函数，函数的图像与的图像关于直线对称，函数的图像由的图像向左移个单位得到，则为（）A. B. C. D.11、已知为等差数列，为等比数列，且，则的范围是（）12、定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2衡水中学2009-2010学年度第一学期第三次调研考试高三数学试卷卷Ⅱ（非选择题共90分）注意事项：1．答卷Ⅱ前考生务必将自己的姓名、班级、考号填在试卷密封线内规定的地方。

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}22,|30,|log 1,U R A x x x B y y x x A ==->==+∈，则()U A C B 为 （ ）A ．[)2,3B ．()2,3C ．()0,2D ．∅ 2. 若不等式2162a bx x b a+<+对任意(),0,a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是 （ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-+∞ C ．()4,2- D ．()(),42,-∞-+∞ 3. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和为425S S = ，则3825a a a 的值为 （ ） A ．2-或1- B ．1或2 C ．2±或1- D ．1±或2 4. 已知函数()sin cos f x x x λ=+的图象的一个对称中心是点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()2sin cos sin g x x x x λ=+的图象的一个对称轴是直线 （ ）A ．56x π=B ．43x π= C. 3x π= D ．3x π=- 5. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“2000,13x R x x ∃∈+>” 的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π，是“1a =”的必要不充分条件；③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立()()2max min2x xax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角” 的充分必要条件是“0a b <”. A ．1 B ．2 C.3 D ． 46. 设不等式组4010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，表示平面区域为D ，若圆()()()222:110C x y r r +++=>经过区域D 上的点，则r 的取值范围是 （ ）A．⎡⎣B．(C.(D．(()0,+∞7. ()021nn a x dx =+⎰,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,数列{}n b 的通项公式为8n b n =-,则n n b S 的最小值为（ ）A ．3-B ．4- C.3 D ．48. 若对[),0,x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++，恒成立，则实数a 的最大值是 （ ） A ．14 B ．1 C. 2 D ．129. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A．(,-∞ B．()C. ()),0-∞⋃+∞ D．(),-∞⋃+∞10. 在ABC ∆中，,3,6A AB ACD π===在边BC 上，且2CD DB =，则AD =（ ）AC.5 D．11. 已知函数()()2cos ,43f x x x g x x x =+=-+-，对于[],1a m m ∀∈+，若,03b π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，满足()()g a f b =，则m 的取值范围是（ ）A．22⎡-+⎣ B．1⎡-⎣C.2⎡⎣ D．12⎡-+⎣12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()'f x ,若 ()()'f x f x <，且()()()13,20152f x f x f +=-=，则不等式()12x f x e -<的解集为 （ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞ C. (),0-∞ D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()()()2200x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()1g -= __________. 14.若向量,a b是两个互相垂直的单位向量，则向量a 在向量b 方向上的投影为__________.15. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行，数字6,5,4(从左至右) 出现在第3行; 数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第4个数字为_________.16. 对于数列{}n a ，定义1122...2n n a a a Hn n-+++=为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”12n Hn +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的 n 恒成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.2,3：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知{}n a 是单调递增的等差数列，首项13a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，其中11b =，且223212,20a b S b =+=. （1）求 {}n a 和{}n b 的通项公式;（2） 令()cos 3n n n a c S n N π*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求 {}n c 前20项和20T . 18. （本小题满分12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值; （2） 当0a <时，求函数()f x 的单调增区间.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列. （1） 求{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n aT +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若nTm ≥恒成立，求m 的最大值.20. （本小题满分12分）如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120 ,,AB AC 的长度均大于200米，现在边界,AP AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.（1）若围墙,AP AQ 总 长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？ （2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元. 若围围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省？21.（本小题满分12分）已知函数()22cos 3sin cos 3f x x x x x =--+.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域; （2）若ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()()sin222cossinA CbA Ca A+==++,求()f B的值.22. （本小题满分12分）已知函数()(),xf x eg x mx n==+.（1）设()()()h x f x g x=-;①若函数()h x在0x=处的切线过点()1,0，求m n+的值;②当0n=时，若函数()h x在()1,-+∞上没有零点，求m的取值范围.（2）设函数()()()1nxr xf xg x=+，且()40n m m=>，求证:当0x≥时，()1r x≥.河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.ACCDB 6-10.ABDAA 11-12. CA二、填空题（每小题5分，共20分）13.3-14. 3-15. 19416.712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）设公差为d,公比为q，则()()223222312,33320a b d q S b a b d q=+=+=+=++=,()(){}232210,3730,nd d d d a∴--=+-= 是单调递增的等差数列，()10,3,2,3133,2nn nd d q a n n b-∴>∴==∴=+-⨯==.（2）,cos,nn nnS nc S nS nπ⎧⎪==⎨-⎪⎩是偶数是奇数,2012341920...T S S S S S S∴=-+-+--+ 24620......61218 (60330)a a a a=++++=++++=.18.解：（1）函数()f x的定义域为()()210,,'4f xx+∞=-+，令()21'40f xx=-+=，得1211;22x x ==-(舍去). 当x 变化时，()()',f x f x 的取值情况如下:所以，函数()f x 的极小值为142f ⎛⎫=⎪⎝⎭，无极大值. （2）()()()2221121'2x ax a f x a x x x -+-=-+=,令()'0f x =，得1211,2x x a==-,当2a =-时，即314a a =,于是12311111,0,,1,422n n a q q q a a a -⎛⎫==>∴==∴= ⎪⎝⎭.（2）11111,,2222n nn na b na b n n n a b n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴=∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21112232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++ , ① 232122232...2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++ ,②∴①- ②得:()2112122 (2)2212112nn nn n n T n n n ---=++++-=-=--- ,()112n n T n ∴=+-,n T m ≥ 恒成立，只需()()()11min 212120n n n n n n T m T T n n n ++≥-=--=+> ,{}n T ∴为递增数列，∴当1n =时，()min 1,1,n T m m =∴≤∴的最大值为1.20.解：设AP x =米，AQ y =米.（1）则200,x y APQ +=∆的面积21sin120,22x y S xy xy S +⎫==∴≤=⎪⎭.当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩,即100x y ==时，取“=”.（2）由题意得()1001 1.520000x y ⨯+= ，即 1.5200x y +=，要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以()()22222222cos120200 1.5200 1.5PQ x y xy x y xy y y y y =+-=++=-++-21.7540040000y y =-+28001200004001.750773y y ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当8007y =时,PQ ,此时200,7x =∴当2007AP =米,8007AQ =米时, 可使篱笆最省. 21.解：（1）()221cos 21cos 2cos 3sin cos 323322x xf x x x x x x -+=--+=--+72cos 212sin 21,0,,2,62666x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=++∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()(]1sin 2,1,2sin 210,3626x f x x ππ⎛⎫⎛⎤⎛⎫∴+∈-∴=++∈ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎭.（2）()()()()sin 222cos ,sin 22sin 2sin cos sin A C A C A C A A A C A+=++∴+=++, ()()()sin cos cos sin 2sin 2sin cos A A C A A C A A A C ∴+++=++,()()sin cos cos sin 2sin A A C A A C A ∴-+++=即sin 2sin C A =，由正弦定理可得2c a =，又由ba=b =，由余弦定理可得222cos302b c aA Abc+-===∴= .由正弦定理可得sin2sin1,90C A C=== ,由三角形的内角和可得()()60,602B f B f=∴==.22.解：（1）由题意，得()()()()()'''x xh x f x g x e mx n e m=-=--=-,所以函数()h x 在0x=处的切线斜率1k m=-,又()01h n=-，所以函数()h x在0x=处的切线方程()()11y n m x--=-，将点()1,0代入，得2m n+=.（2）当0n=，可得()()''x xh x e mx e m=-=-，因为11,xx ee>-∴>.①当1me≤时，()'0xh x e m=->，函数()h x在()1,-+∞上单调递增，而()01h=，所以只需()110h me-=+≥，解得1me≥-，从而11me e-≤≤.②当1me>时，由()'0xh x e m=-=，解得()ln1,x m=∈-+∞,当()1,lnx m∈-时，()()'0,h x h x<单调递减;当()ln,x m∈+∞时，()()'0,h x h x>单调递增,所以函数()h x在()1,-+∞上有最小值为()ln lnh m m m m=-，令ln0m m m->，解得1,m e m ee<∴<<.综上所述，1,m ee⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.（3）由题意，()()()11144x xnxnx xmr xnf xg x e e xxm=+=+=+++,而()1414xxr xe x=+≥+,等价于()()()3440,344x xe x x F x e x x-++≥=-++，则()00F=，且()()()'311,'00xF x e x F=-+=，令()()'G x F x=，则()()'32xG x e x=+，因为()0,'0x G x≥∴>，所以导数()'F x在[)0,+∞上单调递增，于是()()''00F x F≥=，从而函数()F x在[)0,+∞上单调递增，即()()00≥=.F x F。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（ ） A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 【答案】A. 【解析】 试题分析：∵AB A =，∴A B ⊆，故只有A 符合题意，故选A.考点：集合的关系及其运算. 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[om] 【答案】D.考点：复数的概念及其运算.3.已知平面向量a ，b 满足()5a a b ⋅+=，且||2a =，||1b =，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ） A.23 B.23- C.21 D.21-【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，215421cos ,5cos ,2a ab a b a b +⋅=⇒+⋅⋅<>=⇒<>=，故选C. 考点：平面向量数量积.4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B.考点：程序框图.5.已知数列{}n a 中，11=a ，121()n n a a n N *+=+∈，n S 为其前n 项和，则5S 的值为（ ）A.57B.61C.62D.63 【答案】A. 【解析】试题分析：∵112112(1)n n n n a a a a ++=+⇒+=+，∴{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，∴1221nnn n a a +=⇒=-，∴12(21)2221n n n S n n +-=-=---，∴652757S =-=，故选A. 考点：数列的通项公式.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A.32π B.3π C.92π D.916π【答案】D. 【解析】试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体，∴211216243239V ππ=⋅⋅⋅⋅=，故选D. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积. 7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（ ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位 【答案】C. 【解析】考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A.1B.1.5C.0.75D.1.75 【答案】D. 【解析】试题分析：如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为1172222224S =⋅⋅-⋅⋅=，故选D.考点：线性规划.9.焦点在x 轴上的椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32 【答案】C. 【解析】考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换10.在四面体S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A.π68 B.π6 C.π24 D.π6【答案】B.【解析】考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球.【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.11.已知函数()52log1,(1)()(2)2,(1)x xf xx x⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜，则关于x的方程()(),f x a a R=∈实根个数不可能为（）A.2B.3C.4D.5 【答案】D.【解析】考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 12.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πϕϕ=+≤＞的部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 【答案】B. 【解析】考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】根据sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω；2.求ϕ的值时最好选用最值点求：峰点：22x k πωϕπ+=+，谷点：22x k πωϕπ+=-+，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与x 轴的交点)：2x k ωϕπ+=；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：2x k ωϕππ+=+(以上k Z ∈)．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为_______. 【答案】2. 【解析】试题分析：由二项式定理可知4(1)x +中，14r r r T C x +=，令2r =，可知2x 的系数为246C =，令3r =，可知3x 的系数为344C =，故41(1)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为642-=，故填：2.考点：二项式定理.14.已知抛物线22(0)y px p =>上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =_______. 【答案】14. 【解析】试题分析：由题意得，2284152m pp p m ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=±+=⎩⎪⎩，又∵(1,0)A -，∴22AMm K ==±，渐近线方程为y =1124a =⇒=，故填：14. 考点：二项式定理.15.如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC =m ，则山高MN =_______m.【答案】150.考点：正余弦定理解三角形.【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________.【答案】1[,)21e +∞-.【解析】考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想.【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）；（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9）【答案】（1）10450.5,110500.99,1120n n n n a n -+≤≤⎧=⎨⨯≤≤⎩；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解；（2）根据题意求得20S 的值，即可得出结论.试题解析：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，[Z]∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.6320S ≈万，由204920S<，故到2035年不需要调整政策． 考点：等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和． 18.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面ABCD平面ABPE AB =，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且//AE BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，在面ABCD 内是否存在点N ，使得MN ⊥平面ABCD ？若存在， 请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，证明MN ⊥平面ABCD ，从而MN 即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则MN ⊥平面ABCD ， ∵M 为PD 中点，N 为BD 中点，∴MN 为PDB ∆的中位线，∴//MN PB ， 又∵平面ABCD ⊥平面ABPE ，平面ABCD平面ABPE AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的性质；3.二面角的求解． 19.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数字期望16EX =，求a ，b 的值；（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望．（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．[Z]注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性．【答案】（1）0.30.2a b =⎧⎨=⎩；（2）4.8；（3）详见解析.【解析】（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2的概率分布列如下：∴2，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为616=，∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.81.24=，据此，乙厂的产品更具可购买性.考点：离散型随机变量的概率分布及其期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线0643=++y x 与圆222)(a b y x =-+相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线1l ，2l 分别交椭圆C 于M ，N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求AMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析；（3）1625. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出a ，b 满足的方程组，从而求解；（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程同理∴222284(,)4141m mN m m --++， i) 1m ≠±时，254(1)MN m k m =-， 256:()4(1)5MNm l y x m =+-过定点6(,0)5-， ii) 1m =±时6:5MN l x =-，过点6(,0)5-， 综上所述，∴MN l 过定点6(,0)5-；（3）由（2）知32242244854414174AMNm m m m S m m m m ∆+=+=++++ 21881194()941m mm m mmm m+==+++++，令121t m m m=+≥=±且时取等号， ∴1625S ∆≤时，当1m =±取等号，即max 1625S ∆=. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆的最值问题．【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数))(1()(a e x a x f x--=(常数R a ∈且0≠a ). （1）证明：当0a >时，函数)(x f 有且只有一个极值点；[（2）若函数)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1240()f x e <<且2240()f x e<<. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】(,0)-∞不存在极值点；②当0x ≥时，由'()(1)0x h x a x e =+>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增，∵2(0)0h a =-<，2()()(1)0aah a a a e a a e =⋅-=->，∴()'()h x f x =在[0,)+∞有且只有一个零点， 又∵'()f x 的零点左侧，'()0f x <，在'()f x 的零点右侧，'()0f x >，∴函数()f x 在[0,)+∞有且只有一个极值点，综上所述，当0a >时，函数()f x 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点；（2）∵为函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （不妨设12x x <）， ∴1x ，2x 是()'()h x f x =的两个零点，且由（1）知，必有0a <， 令'()(1)0xh x a x e =+=得1x =-；令'()(1)0xh x a x e =+>得1x <-；令'()(1)0x h x a x e =+<得1x >-，∴()'()h x f x =在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又∵2(0)'(0)0h f a ==-<，∴必有1210x x <-<<，令'()()0t f t a te a =-=，解得ta te =，又∵122111()(1)0x f x ex x =-->，∴1240()f x e<<， 当10t -<<时，∵210t -<，210t -<，20te >，∴'()0g t <，则()g t 在(1,0)-(1,0)-单调递减，∵210x -<<，∴22240(0)()()(1)g g x f x g e =<=<-=， 综上可知，1240()f x e <<且2240()f x e <<． 考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。