19.4_重心

重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

高一物理找重心知识点一、引言物理学是一门研究物质和能量运动及其相互作用的科学。

在高中物理学习中，找重心是一个非常重要的知识点。

找重心不仅在理论上有着广泛的应用，而且在实践中也能帮助我们解决很多有关平衡或者运动的问题。

本文将从基本概念开始，逐步探讨找重心的相关知识点。

二、基本概念重心是指物体内所有微元质点的质量乘以这些质点到某一固定点的距离之和与物体总质量之比。

简单来说，就是物体能在哪个点平衡既不翻倒也不倾斜的地方。

重心的位置确定了物体的平衡性质，可以通过实验或计算得到。

三、重心的计算方法1. 一维模型下的寻找重心在一维平衡问题中，物体只能沿着直线运动。

如果物体是均匀的，可以通过将物体分割成微小块，计算每个微小块的质量与其与参考点的距离之积，然后将所有微小块的乘积相加，最后除以物体总质量即可得到重心的位置。

2. 二维平面图形的重心对于平面图形，如长方形、三角形等平面图形，可以通过求面积的加权平均值来计算重心的位置。

以三角形为例，可以将其分成几个简单的矩形，求出每个矩形的重心，然后按照面积的比例进行加权平均，即可得到整个三角形的重心位置。

3. 三维体的重心在三维问题中，可以将物体分割成许多微元，并计算每个微元体积与其与参考点的距离之积，最后将所有微元的乘积相加，再除以物体总体积即可求得重心的位置。

四、应用实例1. 平衡问题找重心可以帮助我们解决很多平衡问题。

比如在物体平衡时，如果重心在物体支撑点的上方，物体将保持平衡；如果重心位于支撑点下方，物体将发生倾倒。

所以，在设计建筑物或者搭建桥梁时，重心的位置是一个需要非常严密计算的问题。

2. 运动问题找重心还可以帮助我们分析物体的运动状态。

当物体绕其重心旋转时，无论是外力还是其他因素的作用，都不会改变重心的位置。

这一点在体操、滑雪等运动项目中有着重要的应用。

五、总结通过对重心的认识和计算，我们可以更好地理解物理世界中的平衡和运动。

重心的位置不仅关系到物体的稳定性，而且也在实践中有着广泛的应用。

确定重心位置的常用方法有以下四种，一、几何法形状规则、质量分布均匀的物体的重心在它的几何中心．如质量分布均匀的球体的重心就在球心，质量分布均匀的直棒的重心就在棒的中点．二、支撑法用手指支持一个勺子，总可以找到一个位置，使勺子水平地支持在手指上．手指上方勺子上的0点就是勺子的重心．这时勺子受到两个力：竖直向上的手指的支持力FN、竖直向下的重力G．由二力平衡知识可知，这时勺子保持平衡，如果重心0不在手指的正上方，支持力FN和重力G将不在同一直线上，勺子就不能保持平衡了，三、悬挂法先在A点把薄板悬挂起来，物体静止时，据二力平衡，物体所受的重力与悬绳的拉力在同一竖直线上，所以物体的重心一定在通过A点的竖直线AB上．然后在C点把物体再悬挂一次，同理可知，物体的重心一定在通过C点的竖直线CD上，AB和CD的交点0，就是薄板重心的位置，四、理论计算法物体的重心，可以依据杠杆平衡条件和支撑法原理，平衡时支点处即为重心位置．即学即练1．（单选）有一个质量分布均匀的圆形薄板，若将其中央挖掉一个小圆，则薄板的余下部分( )A．重力减小，重心随挖下的小圆板移走了B．重力和重心都没改变C．重力减小，重心位置没有改变D．重力减小，重心不存在了2．如图3-1-11所示，矩形均匀薄木板，长AB=60 cm、宽BC= 10 cm，在AB边上的E点用细线悬挂，板处于平衡状态，AE=35 cm．则AB边与竖直悬线的夹角α.A．自由下落的石块的速度越来越大，说明石块所受重力越来越大B．在空中飞行的物体不受重力作用C．-抛出的石块轨迹是曲线，说明石块所受的重力方向始终在改变D．将一石块竖直向上抛出，在先上升后下降的整个过程中，石块所受重力的大小与方向都不变2．（单选）以下关于重心及重力的说法中，正确的是( )A．-个物体浸没于水中称量时弹簧测力计的示数小于物体在空气中时弹簧测力计的示数，因此，物体在水中时的重力小于在空气中的重力B．据G=mg可知，两个物体相比较，质量较大的物体的重力一定较大C．物体放在水平面上时，重力方向垂直于水平面向下，当物体静止于斜面上时，其重力方向垂直于斜面向下D．物体的形状改变后，其重心位置往往会改变确定物体重心的四种方法。

物体的重心怎么找
物体的重心可以用悬挂法、支撑法、针顶法寻找。

物体的重心位置，质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。

有规则形状的物体，它的重心就在几何中心上，不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定，物体的重心，不一定在物体上。

扩展资料
具体详情
1、悬挂法：
只适用于薄板（不一定均匀）。

首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的'重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心。

2、支撑法：
只适用于细棒（不一定均匀）。

用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心。

一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。

3、针顶法：
同样只适用于薄板。

用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心。

第十九章 四边形19．4课题学习 重心课前预习篇1．物理实验告诉我们，能使物体保持__平衡 __的支点就是该物体的重心．2．确定物质的重心的方法：（1）平衡法：（2）悬挂法：3．物体的重心与物体的形状有关，规则的图形重心就是它的几何中心．如;线段，平行四边形，三角形，正多边形，等等．线段重心是线段中点 ；．平行四边形的重心是对角线的交点 ；三角形的重心是三条中线的交点 ． 等边三角形重心是高或中线或角平分线交点；正多边形的重心是对称轴的交点 ．不规则的图形（物体）可以通过悬挂法 来确定它的重心．4．三角形的重心定理：三角形的重心到任意一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的 2 倍或三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一．如图：G 是△ABC的重心，则： ⎪⎩⎪⎨⎧====3:2:1::12AD AG GD GE CG GF BG GD AG典例剖析篇【例1】已知：△ABC 中，AB=AC ，A E ⊥BC 于点E ，AE 与中线BF 相交于点G ，AE=18 cm,GF=5cm,求BC 的长．【解析】本题要利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线的性质，从而确定点G 是三角形的重心．根据三角形的重心定理，则此题可解．解：因为在△ABC 中，AB=AC ，A E ⊥BC ，所以AE 是BC 边的中线．因为AE 与中线BF 相交于点G ，因为AE=18 cm,GF=5cm,所以根据重心定理可得：BG=2GF=10 cm ，GE= 13AE=6 cm ．因为A E ⊥BC ，BG=10 cm ，GE=6 cm ，222AB C E FG所以22106BE=-．因为AE是中线，E是BC的中点，所以BC=2BE=16 cm．基础夯实篇1．判下列说法错误的是（C）A．人体的重心有可能随着人体姿态的变化而改变B．经过平行四边形重心的直线把它分成面积相等的两部分C．规则形状的几何体的重心不一定是它的几何中心D．重心不一定在物体上2．（2010荆门）给出以下判断：(1)线段的中点是线段的重心(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心(3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点(4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有( D)(A)一个(B)两个(C)三个(D)四个3．小明和家在一次外出时，当地的人告诉他，要过独木桥，肩上挑一担重物再过去比空手过去安全，从重心的角度考虑，他们这样做是希望（ A ）A．重心低一点 B．重心高一点C．走得快一点 D．使重心落在桥上4．老翁有一块质地均匀的三角形金块，如何用最简单的方法把金块平均分给他的三个子女？（C）A．先找出三角形金块三边中垂线的交点，再以该点为中心，进行切割B．先找出三角形三个内角平分线的交点，再以该点为中心，进行切割C．先找出三角形三中线的交点，再以该点为中心，进行切割D．先找出三角形三边上的高的交点再以该点为中心，进行切割5．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（D ）A．1种B．2种C．4种D．无数种6．在①线段②平行四边形③矩形④菱形⑤正方形⑥等边三角形⑦等腰梯形⑧等腰三角形中，绕它们的重心旋转180度后,所得的图形能与原图重合的有①②③④⑤．7．一个正方形的边长为a，则它的重心G到一个顶点的距离为22．8．已知G是正三角形ABC的重心，AG=3，则该三角形的边长是33．9．已知矩形ABCD中，AB＜BC，重心G到短边的距离为2，矩形的周长为20，则矩形的面积为24．决胜中考篇10．课堂上，老师拿出一根长为50 cm 的圆柱形木棒，要求同学们标出该木棒的重心，小明马上在该木棒的25cm 处标了出来，请问他找出的重心正确吗？答：小明的做法是不对的．如果木棒是质地均匀的，则木棒的重心就是它的几何中心，如果木棒的质地不均匀，则要用悬持法来确定木棒的几何中心．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，G为△ABC的重心，且GC=4，则△ABC的面积为多少？解：因为G为△ABC的重心，所以CD：GC=3：2，CD=BD=12 AB，因为GC=4，所以BD=CD=6，AB=12．因为∠ACB=90°，∠ABC=60°所以△BCD是等边三角形，所以BC=BD=6，∠BAC=30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：22AC AB BC=-= 2212663-=所以△ABC的面积为12·AC·BC=18312．如图所示，有一块质地均匀的铁皮，请找出它的重心位置．解：如图，连接BE，根据图中数据可知，BE平分这块铁皮，从而只要再画出一条与BE相交肯平分这块铁皮的直线，它们的交点即为这块铁皮的重心．如图，点O就是所画的铁皮的重心．13．已知：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，G 是△ABC 的重心．（1）求点G 到直角顶点C 的距离GC ．（2）求点G 到斜边AB 的距离．（1）解：因为在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，所以根据勾股定理得：222AB AC BC =+ 所以AB= 22345+=．因为G 是△ABC 的重心，所以CD 是Rt △ABC 斜边的中线所以CD=12AB=2．5． 因为G 是△ABC 的重心，所以CD ：GC=3：2， 因为CD=2．5,所以GC= 53所以点G 到直角顶点C 的距离GC=53． （2）在Rt △ABC 中，因为AC=4，BC=3，AB=5，所以设AB 边上的高h ，SABC=12AC 12BC=12AB 12h ，所以SABC=6，h= 125． 因为D 是AB 的中点，所以S △ADC=12S △ABC ． 在△ADC 中，因为GD ：CD=1：3，所以S △AGD ：S △ADC=1：3，因为S △ADC=12S △ABC ，所以所以S △AGD ：S △ABC=1：6， 在△AGD 与△ABC 中，因为AD=12AB ，△ABC 中AB 边上的高h= 125，设△ADC 中，AD 边上的高为x,则x:h=1:6，所以x=25,所以点G 到斜边AB 的距离△ABC 中是25．。

重心的坐标公式重心的坐标公式是描述物体在二维平面上平衡的重要工具。

在物理学和工程学中，我们经常需要确定物体的重心位置，以便实现平衡和稳定。

通过计算物体各个部分的质量和相对位置，我们可以准确地确定重心的坐标。

重心是指物体质量的中心位置，可以简单地理解为物体平衡的中心。

在二维平面上，我们可以用两个坐标值来表示重心的位置。

假设一个物体被分割成许多小部分，每个小部分都有一个质量和相对位置。

那么重心的x坐标可以用以下公式计算：x = (m1*x1 + m2*x2 + m3*x3 + ... + mn*xn) / (m1 + m2 + m3 + ... + mn)其中，x1、x2、x3等表示每个小部分的x坐标，m1、m2、m3等表示每个小部分的质量。

公式的分子部分表示每个小部分质量与其相对位置的乘积之和，分母部分表示所有小部分的质量之和。

同理，重心的y坐标可以用以下公式计算：y = (m1*y1 + m2*y2 + m3*y3 + ... + mn*yn) / (m1 + m2 + m3 + ... + mn)其中，y1、y2、y3等表示每个小部分的y坐标，m1、m2、m3等表示每个小部分的质量。

公式的分子部分表示每个小部分质量与其相对位置的乘积之和，分母部分表示所有小部分的质量之和。

通过这两个公式，我们可以计算出物体在二维平面上的重心位置。

对于简单的几何形状，如矩形、三角形或圆形，我们可以根据形状的特点直接计算出重心的坐标。

例如，对于一个均匀矩形，重心位于矩形的中心点，其坐标为(x, y)，其中x为矩形的中心点横坐标，y为矩形的中心点纵坐标。

然而，对于复杂的物体形状，计算重心的坐标就需要借助数学工具或计算机软件进行。

我们可以将物体分割成许多小部分，计算每个小部分的质量和相对位置，然后利用上述公式求得整个物体的重心坐标。

这在工程设计和结构分析中非常重要，可以帮助我们预测物体的平衡性和稳定性。

除了计算重心的坐标，我们还可以通过重心的位置来判断物体的平衡状态。

重心的确定方法
重心的确定方法有多种，以下是一些常用的方法：
1. 悬挂法：对于不规则的物体，可以通过悬挂法来确定重心。

将物体悬挂起来，当物体达到平衡状态时，所悬挂的线的交点即为物体的重心。

2. 支撑法：对于一些具有特定形状的物体，可以通过支撑法来确定重心。

将物体放在一个坚固的平面上，找到一个支点使物体保持平衡，支点所在的位置即为物体的重心。

3. 组合法：对于由多个简单形状组合而成的复杂物体，可以通过组合法来确定重心。

分别求出各个简单形状的重心，然后根据各个重心的位置和权重，计算出整个物体的重心。

4. 负面积法：对于规则形体上切去一部分的情况，可以通过负面积法来确定重心。

将切去的部分视为负值（负体积或负面积），然后利用规则形体的重心计算公式，计算出整个物体的重心。

5. 实验法：对于形状复杂或质量分布不均匀的物体，可以使用实验法来确定重心。

通过实验测量出物体在不同方向的力矩平衡点，然后根据这些平衡点来确定物体的重心。

需要注意的是，重心的位置与物体的形状和质量分布有关，因此对于不同形状和质量分布的物体，需要采用不同的方法来确定其重心。

19．4 课题学习重心创新整合点：利用多媒体，把观察、猜想、操作、作图融合在一起，激发学生的直觉意识．教材分析：本章及本节的地位和作用：《四边形》这一章主要介绍了四边形以及平行四边形，特殊的平行四边形，梯形的概念，判定性质等相关知识，同时对重心做了简要的介绍，本章在学习了特殊平行四边形后，安排了课题学习《重心》，加强了基本几何知识的实际应用，体会数学和物理学科之间的联系，构建学科的互动与交流。

学情分析：学生在实验探究过程中，感受到数学活动的乐趣，培养学生用于动手、乐于交流和善于进行合情推理能力，并在学习活动中获得积极向上的情感体验，从而形成科学的价值观。

教学目标：知识与技能目标：理解和掌握几何图形的重心的寻找方法．过程与方法目标：经历寻找几何图形的重心的过程，领会物体重心的内在含义，提高操作应用能力．发展几何识图意识．情感态度与价值观目标：逐步形成严谨求实的科学态度，激发学生的直觉意识．教学环境与准备教师准备：尺规、教具：木条、四边形木板，平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形硬纸片．钉子，细绳，小重物，刻度尺等．学生准备：预习本节课内容，准备与教师准备同样的学具．学法解析1．认知题点：学习了三角形、平行四边形、矩形、菱形、•正方形等几何图形，积累一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：几何图形→发现→探究→确定重心．3．学习方式：采用操作感知的方式来发现、寻找、重心．教学过程：一、操作感知，寻求方法【引入概念】学生活动：小游戏、观察图片、转书活动。

告诉学生这一点就是这个几何图形的重心．教师活动：提出一些常见的几何图形，如：线段、三角形、四边形等的重心在哪个位置上呢？大家一起来探讨．教师教具：均匀的木条、规则四边形：正方形、长方形、菱形、一般平行四边形等硬纸片；三角形、五边形硬纸片；钉子，细绳，小重物，刻度尺等．【活动方略】活动1：探究线段的重心．学生活动：出示学具：一根均匀的木条，去找这条木条的平衡点．小组活动：（1）把木条放在手指上感知平衡点的大概位置。