齿轮的许用应力

机械优化设计案例11. 题目对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。

2.已知条件已知数输入功p=58kw ，输入转速n 1=1000r/min ，齿数比u=5，齿轮的许用应力[δ]H =550Mpa ，许用弯曲应力[δ]F =400Mpa 。

3.建立优化模型3.1问题分析及设计变量的确定由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。

由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。

单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：]3228)6.110(05.005.2)10(8.0[25.087)(25.0))((25.0)(25.0)(25.0222122212221222212212122221222120222222222121z z z z z z z z z z z g g z z d d l d d m u m z b bd m u m z b b d b u z m b d b z m d d d d l c d d D c b d d b d d b v +++---+---+-=++++-----+-=πππππππ式中符号意义由结构图给出，其计算公式为b c d m u m z d d d mu m z D m z d m z d z z g g 2.0)6.110(25.0,6.110,21022122211=--==-===由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b 、z 1 、m 、l 、d z1 和d z2 六个参数，则设计变量可取为T z z T d d l m z b x x x x x x x ][][211654321==3.2目标函数为min)32286.18.092.0858575.4(785398.0)(2625262425246316321251261231232123221→++++-+-+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f3.3约束条件的建立1）为避免发生根切，应有min z z ≥17=，得017)(21≤-=x x g2 )齿宽应满足max min ϕϕ≤≤d b，min ϕ和max ϕ为齿宽系数d ϕ的最大值和最小值，一般取min ϕ=0.9，max ϕ=1.4，得04.1)()(0)(9.0)(32133212≤-=≤-=x x x x g x x x x g3）动力传递的齿轮模数应大于2mm ，得 02)(34≤-=x x g4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于max 1d ，得0300)(325≤-=x x x g 5）齿轮轴直径的范围：max min z z z d d d ≤≤得0200)(0130)(0150)(0100)(69685756≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x g 6）轴的支撑距离l 按结构关系，应满足条件：l 2min 5.02z d b +∆+≥（可取min ∆=20），得0405.0)(46110≤--+=x x x x g7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)10854.0106666.0169.0(7098)(0550)(1468250)(224222321132242223211213211≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x g8）齿轮轴的最大挠度max δ不大于许用值][δ，得0003.0)(04.117)(445324414≤-=x x x x x x g 9）齿轮轴的弯曲应力w δ不大于许用值w ][δ，得5.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(1223246361612232463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g4.优化方法的选择由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab 优化工具箱中的fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。

齿轮传动的设计参数、许用应力与精度选择(一)齿轮传动设计参数的选择压力角α的选择由机械原理可知，增大压力角α,轮齿的齿厚及节点处的齿廓曲率半径亦皆随之增加，有利于提高齿轮传动的弯曲强度及接触强度。

我国对一般用途的齿轮传动规定的标准压力角为α=20°。

为增强航空用齿轮传动的弯曲强度及接触强度，我国航空齿轮传动标准还规定了α=25°的标准压力角。

但增大压力角并不一定都对传动有利。

对重合度接近2的高速齿轮传动，推荐采用齿顶高系数为1～1.2 ，压力角为16°～18°的齿轮，这样做可增加轮齿的柔性，降低噪声和动载荷。

小齿轮齿数 z1 的选择若保持齿轮传动的中心距 a 不变，增加齿数，除能增大重合度、改善传动的平稳性外，还可减小模数，降低齿高，因而减少金属切削量，节省制造费用。

另外，降低齿高还能减小滑动速度，减少磨损及减小胶合的可能性。

但模数小了，齿厚随之减薄，则要降低轮齿的弯曲强度。

不过在一定的齿数范围内，尤其是当承载能力主要取决于齿面接触强度时，以齿数多一些为好。

闭式齿轮传动一般转速较高，为了提高传动的平稳性，减小冲击振动，以齿数多一些为好。

小齿轮的齿数可取为 z1=20～40。

开式(半开式)齿轮传动，由于轮齿主要为磨损失效，为使轮齿不至过小，故小齿轮不宜选用过多的齿数，一般可取z1=17～20。

为使轮齿免于根切，对于α=20°的标准直齿圆柱齿轮，应取z1≥17。

齿宽系数φd的选择由齿轮的强度计算公式可知，轮齿愈宽，承载能力愈高；但增大齿宽又会使齿面上的载荷分布趋不均匀，故齿宽系数应取得适当。

圆柱齿轮齿宽系数的荐用值见下表。

对于标准圆柱齿轮减速器，齿宽系数取为，所以对于外啮合齿轮传动：。

φa的值规定为0.2,0.25,0.30,0.40,0.50,0.60,0.80,1.0,1.2。

运用设计计算公式时，对于标准减速器，可先选定φa后再用上式计算出相应的φd值。

9.10齿轮常用材料及许用应力为了保证齿轮工作的可靠性，提高其使用寿命，齿轮的材料及其热处理应根据工作条件和材料的特点来选取。

对齿轮材料的基本要求是：应使齿面具有足够的硬度和耐磨性，齿心具有足够的韧性，以防止齿面的各种失效，同时应具有良好的冷、热加工的工艺性，以达到齿轮的各种技术要求。

常用的齿轮材料为各种牌号的优质碳素结构钢、合金结构钢、铸钢、铸铁和非金属材料等。

一般多采用锻件或轧制钢材。

当齿轮结构尺寸较大，轮坯不易锻造时，可采用铸钢；开式低速传动时，可采用灰铸铁或球墨铸铁、低速重载的齿轮易产生齿面塑性变形，轮齿也易折断，宜选用综合性能较好的钢材；高速齿轮易产生齿面点蚀，宜选用齿面硬度高的材料；受冲击载荷的齿轮，宜选用韧性好的材料。

对高速、轻载而又要求低噪声的齿轮传动，也可采用非金属材料、如夹布胶木、尼龙等。

常用的齿轮材料及其力学性能列于下表。

钢制齿轮的热处理方法主要有以下几种：●表面淬火表面淬火常用于中碳钢和中碳合金钢，如 45、 40Cr钢等。

表面淬火后，齿面硬度一般为40～55HRC。

特点是抗疲劳点蚀、抗胶合能力高。

耐磨性好；由于齿心部分未淬硬，齿轮仍有足够的韧性，能承受不大的冲击载荷。

●渗碳淬火渗碳淬火常用于低碳钢和低碳含金钢，如 20、 20Cr钢等。

渗碳淬火后齿面硬度可达56～62HRC，而齿轮心部仍保持较高的韧性，轮齿的抗弯强度和齿面接触强度高，耐磨性较好，常用于受冲击载荷的重要齿轮传动。

齿轮经渗碳淬火后，轮齿变形较大，应进行磨削加工。

●渗氮渗氮是一种表面化学热处理。

渗氮后不需要进行其他热处理，齿面硬度可达700～900HV。

由于渗氮处理后的齿轮硬度高，工艺温度低，变形小，故适用于内齿轮和难以磨削的齿轮，常用于含铅、钼、铝等合金元素的渗氮钢，如38CrMoAl等。

●调质调质一般用于中碳钢和中碳合金钥，如45、40Cr、35SiMn钢等。

调质处理后齿面硬度一般为220～280HBS。

问答题1.问：常见的齿轮传动失效有哪些形式？答：齿轮的常见失效为：轮齿折断、齿面磨损、齿面点蚀、齿面胶合、塑性变形等。

2.问：在不改变材料和尺寸的情况下，如何提高轮齿的抗折断能力？答：可采取如下措施：1)减小齿根应力集中;2)增大轴及支承刚度;3)采用适当的热处理方法提高齿芯的韧性;4)对齿根表层进展强化处理。

3.问：为什么齿面点蚀一般首先发生在靠近节线的齿根面上？答：当轮齿在靠近节线处啮合时，由于相对滑动速度低形成油膜的条件差，润滑不良，摩擦力较大，特别是直齿轮传动，通常这时只有一对齿啮合，轮齿受力也最大，因此，点蚀也就首先出现在靠近节线的齿根面上。

4.问：在开式齿轮传动中，为什么一般不出现点蚀破坏？答：开式齿轮传动，由于齿面磨损较快，很少出现点蚀。

5.问：如何提高齿面抗点蚀的能力？答：可采取如下措施：1)提高齿面硬度和降低外表粗糙度;2)在许用X围内采用大的变位系数和,以增大综合曲率半径;3)采用粘度高的润滑油;4)减小动载荷。

6.问：什么情况下工作的齿轮易出现胶合破坏？如何提高齿面抗胶合能力？答：高速重载或低速重载的齿轮传动易发生胶合失效。

措施为：1)采用角度变位以降低啮合开场和终了时的滑动系数;2)减小模数和齿高以降低滑动速度;3)采用极压润滑油;4)采用抗校核性能好的齿轮副材料;5)使大小齿轮保持硬度差;6)提高齿面硬度降低外表粗糙度。

7.问：闭式齿轮传动与开式齿轮传动的失效形式和设计准那么有何不同？答：闭式齿轮传动：主要失效形式为齿面点蚀、轮齿折断和胶合。

目前一般只进展接触疲劳强度和弯曲疲劳强度计算。

开式齿轮传动：主要失效形式为轮齿折断和齿面磨损，磨损尚无完善的计算方法，故目前只进展弯曲疲劳强度计算，用适当增大模数的方法考虑磨损的影响。

8.问：硬齿面与软齿面如何划分？其热处理方式有何不同？答：软齿面：HB≤350，硬齿面：HB>350。

软齿面热处理一般为调质或正火，而硬齿面那么是正火或调质后切齿，再经外表硬化处理。

圆柱齿轮传动的强度计算1 直齿圆柱齿轮传动的强度计算1.齿面接触疲劳强度计算为了保证在预定寿命内齿轮不发生点蚀失效，应进行齿面接触疲劳强度计算。

因此，齿轮接触疲劳强度计算准则为：齿面接触应力σH小于或等于许用接触应力σHP，即σH≤σHP赫兹公式由于直齿轮在节点附近往往是单对齿啮合区，轮齿受力较大，故点蚀首先出现在节点附近。

因此，通常计算节点的接触疲劳强度。

图a表示一对渐开线直齿圆柱齿轮在节点接触的情况。

为了简化计算，用一对轴线平行的圆柱体代替它。

两圆柱的半径ρ1、ρ2分别等于两齿廓在节点处的曲率半径，如图b所示。

由弹性力学可知，当一对轴线平行的圆柱体相接触并受压力作用时，将由线接触变为面接触，其接触面为一狭长矩形，在接触面上产生接触应力，并且最大接触应力位于接触区中线上，其数值为式中σH-接触应力（Mpa）Fn-法向力（N）L-接触线长度（mm）rS-综合曲率半径（mm）；±-正号用于外接触，负号用于内接触ZE-材料弹性系数（），，其中E1、E2分别为两圆柱体材料的弹性模量（MPa）；m1、m2分别为两圆柱体材料的泊松比。

上式表明接触应力应随齿廓上各接触点的综合曲率半径的变化而不同，且靠近节点的齿根处最大（图c、d）。

但为了简化计算，通常控制节点处的接触应力。

节点处的参数（1）综合曲率半径由图可知，，代入rE公式得式中：，称为齿数比。

对减速传动，u=i；对增速传动，u=1/i。

因，则有（2）计算法向力（3）接触线长度L引入重合度系数Ze，令接触线长度将上述参数代入最大接触应力公式得接触疲劳强度计算公式令，称为节点区域系数。

则得(1) 齿面接触疲劳强度的校核公式齿面接触疲劳强度的校核公式为(2) 齿面接触疲劳强度设计公式设齿宽系数，并将代入上式，则得齿面接触疲劳强度的设计公式式中:d1-小齿轮分度圆直径（mm）；ZE-材料弹性系数()，按下表查取；注：泊松比m1＝m2＝0.3Z H-节点区域系数，考虑节点处轮廓曲率对接触应力的影响，可由下左图查取。

直齿圆柱齿轮设计1.齿轮传动设计参数的选择齿轮传动设计参数的选择：1）压力角α的选择2）小齿轮齿数Z1的选择3）齿宽系数φd的选择齿轮传动的许用应力精度选择压力角α的选择由《机械原理》可知，增大压力角α，齿轮的齿厚及节点处的齿廓曲率半径亦皆随之增加，有利于提高齿轮传动的弯曲强度及接触强度。

我国对一般用途的齿轮传动规定的压力角为α=20o。

为增强航空有齿轮传动的弯曲强度及接触强度，我国航空齿轮传动标准还规定了α=25o的标准压力角。

但增大压力角并不一定都对传动有利。

对重合度接近2的高速齿轮传动，推荐采用齿顶高系数为1～1.2，压力角为16 o～18 o的齿轮，这样做可增加齿轮的柔性，降低噪声和动载荷。

小齿轮齿数Z1的选择若保持齿轮传动的中心距α不变，增加齿数，除能增大重合度、改善传动的平稳性外，还可减小模数，降低齿高，因而减少金属切削量，节省制造费用。

另外，降低齿高还能减小滑动速度，减少磨损及减小胶合的可能性。

但模数小了，齿厚随之减薄，则要降低齿轮的弯曲强度。

不过在一定的齿数范围内，尤其是当承载能力主要取决于齿面接触强度时，以齿数多一些为好。

闭式齿轮传动一般转速较高，为了提高传动的平稳性，减小冲击振动，以齿数多一些为好，小一些为好，小齿轮的齿数可取为z1=20~40。

开式（半开式）齿轮传动，由于轮齿主要为磨损失效，为使齿轮不致过小，故小齿轮不亦选用过多的齿数，一般可取z1=17~20。

为使齿轮免于根切，对于α=20o的标准支持圆柱齿轮，应取z1≥17。

Z2=u·z1。

齿宽系数φd的选择由齿轮的强度公式可知，轮齿越宽，承载能力也愈高，因而轮齿不宜过窄；但增大齿宽又会使齿面上的载荷分布更趋不均匀，故齿宽系数应取得适合。

圆柱齿轮齿宽系数的荐用值列于下表。

对于标准圆柱齿轮减速器，齿宽系数取为所以对于外捏合齿轮传动φa的值规定为0.2，0.25，0.30，0.40，0.50，0.60，0.80，1.0，1.2。

齿轮材料的许用应力与安全系数齿轮材料许用应力与安全系数不言而喻，如何选用材料许用应力，是齿轮强度设计的关键，安全系数取的太低往往带来使用安全风险，安全系数取的太高则必然造成材料和能源浪费。

上世纪尤其80年代之前一些钢种如45#、40Cr、Q235(A3)、Q345(16Mn) 的许用应力数据比较全，很多设计手册中都有，但齿轮材料(如20CrMnTi、20CrNi3、20CrNiMo、20CrNiMo等)的许用应力数据，往往在设计手册中是找不到的。

本文根据机械设计的基本原则和材料标准中强度数据，演算出齿轮材料弯曲许用应力、疲劳许用应力和接触许用应力数据，供齿轮设计人员参考使用。

一、许用应力选择依据1、许用弯曲应力—用于齿根强度计算根据设计手册，静载荷拉应力安全系数:低强度钢n=1.4-1.8;高强钢n=1.7-2.2;ss以屈服强度为基数。

齿轮材料屈服强度数据可从GB/T699-1999、GB/T1591-2008、GB/T3077-1999标准中选取。

受弯曲应力比拉应力状况会好一些，许用应力可以提高15-20%。

2、许用弯曲疲劳应力—用于齿根疲劳强度计算疲劳载荷安全系数:低强度钢n=1.5-1.8;高强钢n=1.8-2.5。

-1s弯曲疲劳强度极限σ=0.27(σ+σ)，σ和σ数据可从GB/T699-1999、-1sbsbGB/T1591-2008、GB/T3077-1999标准中选取。

3、许用接触应力—用于齿面接触强度计算许用接触应力不但与齿轮本身材料硬度有关，与其配对的齿轮硬度也有关联，下列数据是将齿轮副当同一材料看待。

齿轮硬度根据齿轮材料及其热处理方法来确定，多数数据可以从GB/T5216-2004标准选取。

许用应力数值是材料布式硬度的0.59-0.69，随着硬度提高，比例也增高。

二、常见齿轮材料许用应力屈服强度抗拉强度弯曲许用应力疲劳许用应力接触许用应力序号材料牌号热处理方法硬度HB Mpa Mpa MPa Mpa Mpa 1 Q235 正火 129 235 435 141 85 330 2 Q275 正火 141 275 475 164 92 359 3 Q345 正火 163 345 550 208 124 470 4 Q390 正火 169 390 570 226 135 511 5 45 调质 215 355 685 212 153 470 6 40MnB 调质 280 785 980 470 256 600 7 40Cr 调质 255 785 980 470 256 600 8 20CrMnTi 渗碳淬火回火 320 850 1080 510 280 745 9 20CrNi 渗碳淬火回火 232 590 785 354 199 620 10 20MnTiB 渗碳淬火回火 333 930 1130 558 299 745 11 20CrNi3 渗碳淬火回火 275 735 930 441 241 650 12 20CrMo 渗碳淬火回火 262 685 885 411 228 620 13 20CrNiMo 渗碳淬火回火 290 785 980 471 256 650 14 38CrMoAl 调质后渗氮 290 835 980 501 263 650 15 42CrMo 调质后渗氮319 930 1080 558 280 745 16 12Cr2Ni4 调质后渗氮 348 1030 1180 648 328 745三、使用注意事项1、本表数据与热处理方法紧密相关，包括淬火温度和回火温度。