江西航空职业技术学院2017-2018学年高考数学单招试卷 Word版含解析

2017-2018学年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．56．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．459．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．811．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．12812．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=______．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=______．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为______．16．在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．2017-2018学年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】分别解不等式，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}=[﹣1，2]，∵lg（x+1）＜1=lg10，∴﹣1＜x＜9，∴B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z=1+i代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：∵复数z=1+i，∴===2，故选：A．3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】对照选项，可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==2，一个焦点（c，0）到一条渐近线y=x的距离为1，可得=b=1，又c2=a2+1，解得a=，即有双曲线的方程为﹣y2=1．故选：A．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】数列的求和．【分析】通过在a m+n=a m•a n中令m=1，结合a1=2数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，进而计算可得结论．【解答】解：∵对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，∴对任意nN*，都有a n+1=a1•a n，又∵a1=2，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴S n==2（2n﹣1），∴==5，故选：D．6．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据条件若事件A发生的概率P（A）=1，则等价为面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域即可．【解答】解：若满足事件A发生的概率P（A）=1，则2x﹣y≥1对应的平面区域在平面区域E内，A．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．B．平面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域，满足条件．C平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．D．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．故选：B7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】定积分．【分析】先根据图象求出f（x）的表达式，在分段求出定积分．【解答】解：当0≤x≤1，f（x）=x﹣1，当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x﹣1，则dx=（x+1）（x﹣1）dx+（x+1）（﹣x﹣1）dx=（x2﹣1）dx﹣（x2+2x+1）dx=（）|﹣（）|=﹣1+（﹣+1﹣1）=﹣1，故选：D．8．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．45【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据甲，可以分两类，第一类，甲在10月5日值班，第二类，甲不在10月5日值班，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：第一类，甲在10月5日值班，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有A42=12种，第二类，甲不在10月5日值班，则甲再10月2，3，4天选择一天，丙在除了10月5日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，故有3×3×3=27种，根据分类计数原理可得，共有12+27=39种，故选：B．9．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，设出底面三角形的外心G，找出三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求．【解答】解：如图，取BC中点为E，连接AE，∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，∴△ABC的外心G在AE上，设为G，取AB中点F，连接GF，在Rt△AEB中，由BE=1，∠BAE=60°，得AF==，又在Rt△AFG中，得，过G作PA的平行线与PA的中垂线HO交于O，则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，即R=OA，由4πR2=8π，得R=，∵PA⊥平面ABC，∴OG⊥AG，在Rt△AGO中，求得OG=，∴三棱锥P﹣ABC的高PA=2OG=，则三棱锥的体积为V=．故选：B．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，由|AF|=3|FB|，可得x A+2=3（x B+2），再利用根与系数的关系可得k，即可得出．【解答】解：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），联立，化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x A+x B=，x A x B=4．∵|AF|=3|FB|，∴x A+2=3（x B+2），联立解得：k=．∴P．∴|PF|==8．故选：D．11．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．12．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=1对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3的对称轴为x=1，∴由f（x2﹣2x+3）=g（x）得g（x）关于x=1对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有5个根，则其中一个根x=1，其余四个根两两关于x=1对称，则关于对称的根分别为x1，和x2，x3和x4，则，，则x1+x2=2，x3+x4=2，则这5个根之和为2+2+1=5，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据图形，，而，且，这样即可求出的值，即得出的值．【解答】解：==2•2cos120°=﹣2．故答案为：﹣2．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ+）的值，再利用两角差的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ为第二象限角，若＞0，∴θ+为第三象限角，由=，sin（θ+）＜0，cos（θ+）＜0， +=1，求得sin（θ+）=﹣，则sinθ+cosθ=2sin（θ+）=﹣，故答案为：﹣．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．【考点】线性回归方程．【分析】求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数b的值．【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y=bx2﹣的方程，即y1=b﹣，y2=b﹣，…，y6=b﹣，∴y1+y2+…+y6=b（++…+）﹣×6；又y i=13，x i2=21，∴13=b×21﹣6×，解得b=．故答案为：．16．在等差数列{a n }中，首项a 1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 200 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a n ，a n+1，a n+2，…，a n+m ﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，从而可得10（2n +1）+90﹣2（m +n ）﹣1=185，从而求得． 【解答】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185=9•a 中，故a 中=20（舍去）；故设9项为a n ，a n+1，a n+2，…，a n+m ﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9， 其中（0＜m ＜9，m ∈N *）故10a n +×2﹣a m+n =185，即10（2n +1）+90﹣2（m +n ）﹣1=185， 故m=9n ﹣43， 故n=5，m=2； 故10×a 5+×2=110+90=200；故答案为：200．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC ，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cosB +（cosA ﹣2sinA ）cosC=0． （Ⅰ）求cosC 的值；（Ⅱ）若a=，AB 边上的中线CM=，求sinB 及△ABC 的面积． 【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinAsinC ﹣2sinAcosC=0，由sinA ≠0，可得tanC=2，利用同角三角函数基本关系式即可求cosC 的值． （Ⅱ）由，两边平方得b 2+2b ﹣3=0，解得b ，由余弦定理可解得c 的值，即可求得sinB ，利用三角形面积公式即可求△ABC 的面积． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）因为cosB=﹣cos （A +C ）=﹣cosAcosC +sinAsinC ，… 又已知cosB +（cosA ﹣2sinA ）cosC=0， 所以sinAsinC ﹣2sinAcosC=0，…因为sinA ≠0，所以sinC ﹣2cosC=0，… 于是tanC=2，…所以．…（Ⅱ）因为，…两边平方得b 2+2b ﹣3=0，解得b=1，…在△ABC 中，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=4，所以c=2，…由此可知△ABC 是直角三角形，故，…可得：△ABC 的面积．…18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图，利用茎叶图能求出结果．（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图：由茎叶图得到：（1）乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度．（或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度）．（2）乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散．（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中（稳定）．（3）甲品种树苗的高度的中位数为27mm，乙品种树苗的高度的中位数为35.5mm．（4）甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．乙品种树苗的高度不对称，其分布不均匀．（注：以上四点答对任意两点均给分）…（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，，，，…EX==．…19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出△A1AB和△A1AD均为正三角形，A1O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A1BD⊥平面A1AC．（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D…设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD…又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC…而BD⊂平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC…解：（Ⅱ）由A1B=A1D及，知A1B⊥A1D…又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°…于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD得A1O⊥底面ABCD…如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），，…设平面B1BD的一个法向量为，由得，令x=1，得…平面A1BD的一个法向量为，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，则…解得θ=45°，故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．…20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…∴依题意知，即…∴C 的离心率…（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x ﹣c ，代入椭圆方程得…设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则，…设M （x 0，y 0），则①…由得…代入①得…因为，，所以②…而…从而②式不成立． 故不存在点M ，使成立…21．设函数f （x ）=e x +ln （x +1）﹣ax ．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f （x ）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x ≥0时，f （x ）≥cosx 恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=2时，f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），，记，则，分类讨论，即可证明：函数f （x ）在定义域内单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x ）在（0，+∞）上递增，分类讨论，利用当x ≥0时，f （x ）≥cosx 恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），…记，则当x ＞0时，e x ＞1，，此时g'（x ）＞0…当x ＜0时，e x ＜1，，此时g'（x ＜0…所以f'（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，…故f'（x）≥f'（0）=0，从而f（x）在（﹣1，+∞）上递增…（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）=2﹣a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上递增…故f（x）≥f（0）=1≥cosx恒成立…当a＞2时，记φ（x）=f（x）﹣cosx，则记，则当x＞1时，…显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增…又φ'（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得φ'（x0）=0…所以φ（x）在（0，x0）上递减，所以当x∈（0，x0）时，φ（x）＜φ（x0）=0，即f（x）＜cosx，不符合题意…综上，实数a的取值范围是a≤2…请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：△ABD≌△BCE，…∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P，D，C，E共圆．…（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，由正弦定理知∠CED=90°．…由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，所以AP⊥CP．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C2，运用三角函数的恒等变换可得极坐标方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，可得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，即为ρ2﹣ρ（sinθ+cosθ）=0，可得C2的极坐标方程为，设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则，由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，从而，即有ρ（sinθ+cosθ）=4，故C3的直角坐标方程为x+y=4；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），则M到直线C3的距离，所以=，解得．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据基本不等式得出ab（a=b时等号成立），利用a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）求解即可．（2）根据+=2．∴a，代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3求解即可得出ab=1【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+=2．∴a、b为正实数，且+=2≥2（a=b时等号成立）．即ab（a=b时等号成立）∵a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）．∴a2+b2的最小值为1，（2）∵且+=2．∴a∵（a﹣b）2≥4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3即（2）2﹣4ab≥4（ab）3即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，∵a、b为正实数，∴ab=12017-2018学年9月16日。

2017-2018学年江西工商职业技术学院高考数学单招试卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，]C．[，+∞）D．ϕ2．“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知0＜a＜1，函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．2或3或44．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C． D．﹣27．函数f（x）=ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是（）A． B．C．D．8．下列各组函数中是同一函数的是（）A．B．C．D．y=|x|+|x﹣1|与y=2x﹣19．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣2﹣x，则不等式f（x）的解集是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）11．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f （t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B． C．D．12．对于函数f（x）与g（x）和区间E，如果存在x0∈E，使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，则我们称函数f（x）与g（x）在区间E上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间（0，+∞）上“互相接近”的是（）A．f（x）=x2．g（x）=2x﹣3 B．（x）=，g（x）=x+2C．f（x）=e﹣x，g（x）=﹣D．f（x）=lnx，g（x）=x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．13．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为增函数，则m=．14．若函数f（x）对任意实数x恒有2f（x）﹣f（﹣x）=3x+1，则f（x）=．15．若函数f（x）=alog2x+blog3x+2，且，则f已知函数在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真，q是假，求a的取值范围．18．记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f （y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，（1）求证：f（1）=0；（2）求f（）；（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．20．已知f（x）=x2+2（a﹣2）x+4，（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）如果对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．21．已知函数．（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；（2）若b∈[﹣2，2]时，函数h（x）=f（x）+g（x）﹣（2a+b）x在（0，4）上为单调增函数，求a的取值范围．22．已知a∈R，函数，g（x）=（lnx﹣1）e x+x（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．2016年江西工商职业技术学院高考数学单招试卷参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，]C．[，+∞）D．ϕ【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合M与集合N，然后求出M∩N．【解答】解：集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，对于，2﹣x2≥0，解得，N={x|}，则M∩N=[﹣1，+∞）∩[]=．故选B．2．“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；特称．【分析】“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”，等价于“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真”，故△=a2+16a≤0，由此得到﹣16≤a≤0；由﹣16≤a≤0，知△=a2+16a≤0，故“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真”，所以“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”．由此得到“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．【解答】解：∵“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”，∴“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真”，∴△=a2+16a≤0，∴﹣16≤a≤0，即“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”⇒“﹣16≤a≤0”；∵﹣16≤a≤0，∴△=a2+16a≤0，∴“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真”，∴“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”，即“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”⇒“﹣16≤a≤0”．故“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．故选C．3．已知0＜a＜1，函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．2或3或4【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数等于函数y=a x 和函数y=|log a x|的图象的交点个数，结合图象得出结论．【解答】解：函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数，等于函数y=a x 和函数y=|log a x|的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得，函数y=a x 和函数y=|log a x|的图象的交点个数为2，故0＜a＜1时，函数f（x）=a x﹣|log a x|的零点个数为2，故选：A．4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【分析】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．【解答】解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A5．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．6．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C． D．﹣2【考点】导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．7．函数f（x）=ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是（）A． B．C．D．【考点】复合函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则4+3x﹣x2＞0，即x2﹣3x﹣4＜0解得﹣1＜x＜4，设t=4+3x﹣x2，则函数在（﹣1，]上单调递增，在[，4）上单调递减．因为函数y=lnt，在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[，4）．故选：D8．下列各组函数中是同一函数的是（）A．B．C．D．y=|x|+|x﹣1|与y=2x﹣1【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，逐一分析四个答案中两个函数的定义域与解析式，判断是否一致，然后根据函数相同的定义判断即可得到答案．【解答】解：∵B中，y=，定义域与对应法则都不同，∴排除B．又∵C中，y=|x﹣1|=，定义域不同，∴排除C．∵D中，y=|x|+|x﹣1|=对应法则不同，∴排除D．A中、y===x，与y=x定义域和对应法则均相同，为同一函数；故选A．9．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x ﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣2﹣x，则不等式f（x）的解集是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，不满足不等式f（x），若x＞0，由f（x）得1﹣2﹣x，即2﹣x＞，此时不成立，若x＜0，则﹣x＞0，此时f（﹣x）=1﹣2x=﹣f（x），则f（x）=2x﹣1，由f（x）得2x﹣1，即2x＜，解得x＜﹣1，故不等式f（x）的解集（﹣∞，﹣1），故选：B11．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f （t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f（t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．【解答】解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．12．对于函数f（x）与g（x）和区间E，如果存在x0∈E，使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，则我们称函数f（x）与g（x）在区间E上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间（0，+∞）上“互相接近”的是（）A．f（x）=x2．g（x）=2x﹣3 B．（x）=，g（x）=x+2C．f（x）=e﹣x，g（x）=﹣D．f（x）=lnx，g（x）=x【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】对照新定义，利用配方法、导数法可确定函数的值域，由此，就可以得出结论．【解答】解：对于A，f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2≥2，∴不存在x0∈（0，+∞），使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，∴A不满足；对于B，，∴不存在x0∈（0，+∞），使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，∴B不满足；对于C，h（x）=，h′（x）=＜0，∴函数在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→1，∴存在x0∈（0，+∞），使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，∴C满足；对于D，h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx（x＞0），h′（x）=，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴不存在x0∈（0，+∞），使|f（x0）﹣g（x0）|＜1，∴D不满足；故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．13．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为增函数，则m=2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义，列出方程m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再验证函数是否为增函数即可．【解答】解：∵函数f（x）=（m2﹣m﹣1）为幂函数，且在（0，+∞）是偶函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1．当m=﹣1时，幂函数f（x）=x﹣1在（0，+∞）上是减函数，不满足题意，应舍去；当m=2时，幂函数f（x）=x3在（0，+∞）上是增函数，满足题意；∴实数m的值为2．故答案为：214．若函数f（x）对任意实数x恒有2f（x）﹣f（﹣x）=3x+1，则f（x）=x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用．【分析】可采用赋值法，令x换成﹣x，求得2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x+1，结合2f（x）﹣f （﹣x）=3x+1，即可求得f（x）的表达式．【解答】解：∵2f（x）﹣f（﹣x）=3x+1 (1)∴2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x+1 (2)（1）式两边同乘以2，得4f（x）﹣2f（﹣x）=6x+2与（2）式相加，得到3f（x）=3x+3所以f（x）=x+1．故答案为：x+1．15．若函数f（x）=alog2x+blog3x+2，且，则f的值．【解答】解：由函数f（x）=alog2x+blog3x+2，得f（）=alog2+blog3+2=﹣alog2x﹣blog3x+2=4﹣（alog2x+blog3x+2），因此f（x）+f（）=4再令x=2012得f=4所以f已知函数在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是a≥0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导函数可得（x＞0），函数在[1，+∞）上单调递增，转化为≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数可得a≥﹣2x2+，求出右边函数的最大值，即可得到结论．【解答】解：求导函数可得（x＞0）∵函数在[1，+∞）上单调递增，∴≥0在[1，+∞）上恒成立∴a≥﹣2x2+令g（x）=﹣2x2+，则g′（x）=﹣4x﹣≤0在[1，+∞）上恒成立∴函数g（x）=﹣2x2+在[1，+∞）上单调减∴x=1时，函数g（x）=﹣2x2+取得最大值0∴a≥0故答案为：a≥0三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；q：不等式x2+ax+2＜0有解．若p是真，q是假，求a的取值范围．【考点】的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．【分析】由已知可得∈[2，3]，而由不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立可得a2﹣5a﹣3≥3，解不等式可求a的范围，即P的范围；由不等式x2+ax+2＜0有解，可得△=a2﹣8＞0，可求q的范围，结合p真，q假可求【解答】解：∵m∈[﹣1，1]，∴∈[2，3]．∵对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，可得a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1．故p为真时，a≥6或a≤﹣1．又q：不等式x2+ax+2＜0有解，∴△=a2﹣8＞0，∴a＞2或a＜﹣2．从而q为假时，﹣2≤a≤2，∴p为真，q为假时，a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1．18．记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】（1）利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负列不等式是解决本题的关键；准确求解一元二次不等式、含绝对值的不等式是解决本题的前提．（2）用字母p表示出集合C，借助数轴分析列出关于实数p的不等式是解决本题的关键．【解答】解：（1）依题意，得A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|3﹣|x|≥0}={x|﹣3≤x≤3}，∴A∩B={x|﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}，A∪B=R．（2）由4x+p＜0，得，而C⊆A，∴，∴p≥4．19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f （y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，（1）求证：f（1）=0；（2）求f（）；（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）根据对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；（2）令x=4，y=4，代入求得f（16），而f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，即可求得f（）的值；（3）根据当x＞1时，f（x）＞0，判断函数的单调性，把f（x）+f（x﹣3）≤1化为f[x（x ﹣3）]≤1=f（4），根据单调性，去掉对应法则f，解不等式．【解答】解：（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．∴f（1）=0．（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，故f（）=﹣2．（3）设x1，x2＞0且x1＞x2，于是f（）＞0，∴f（x1）=f（×x2）=f（）+f（x2）＞f（x2）．∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．又∵f（x）+f（x﹣3）=f[x（x﹣3）]≤1=f（4），∴⇒3＜x≤4．∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．20．已知f（x）=x2+2（a﹣2）x+4，（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）如果对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，只需开口向上和判别式恒小于零建立关系式即可；（2）对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，需讨论对称轴与区间[﹣3，1]的位置关系，以及端点的函数值和判别式进行建立关系式，解之即可．【解答】解：（1）∵对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，根据二次函数的图象和性质可得△=4（a﹣2）2﹣16＜0⇒0＜a＜4；（2）∵对x∈[﹣3，1]，f（x）＞0恒成立，∴讨论对称轴与区间[﹣3，1]的位置关系得或或，解得a∈ϕ或1≤a＜4或，∴a的取值范围为．21．已知函数．（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；（2）若b∈[﹣2，2]时，函数h（x）=f（x）+g（x）﹣（2a+b）x在（0，4）上为单调增函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设公共点（x0，y0），根据题意得到f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），解出b 关于a的函数关系式；（2）根据已知h（x）为单调增函数，则h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，再转化为对x∈（0，4）恒成立，解出a的取值范围即可．【解答】解：（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同，由于f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意知f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），即解得x0=a或x0=﹣3a （舍去），将x0=a代入上述方程组中的第一个方程，得b=﹣3a2lna，∴b关于a的函数关系式为：b=﹣3a2lna（a＞0）．（2）h（x）=f（x）+g（x）﹣（2a+b）x=．∵h（x）在（0，4）上恒为单调增函数，所以恒成立，在b∈[﹣2，2]时恒成立，即对x∈（0，4）恒成立．∴3a2≥﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1对x∈（0，4）恒成立，∴3a2≥1，∴或．综上，a的取值范围是：或．22．已知a∈R，函数，g（x）=（lnx﹣1）e x+x（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；（2）将曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直转化成方程g'（x0）=0有实数解，只需研究导函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵，∴令f'（x）=0，得x=a．①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）取得最小值．．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为．（2）∵g（x）=（lnx﹣1）e x+x，x∈（0，e]，∴g'（x）=（lnx﹣1）′e x+（lnx﹣1）（e x）′+1=．由（1）可知，当a=1时，．此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即．当x0∈（0，e]，，，∴．曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x0）=0有实数解．而g'（x0）＞0，即方程g'（x0）=0无实数解．、故不存在x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．2016年6月29日。

江西省2017-2018学年高三上学期9月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={（x，y）|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）} B．∅C．D．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q3．（5分）对数函数f（x）=ln|x﹣a|在区间上恒有意义，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1]∪}，B={x|{x+m2≥1}若A⊆B，则实数m的取值范围是：．13．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则a，b，c的大小关系是：．14．（5分）对于以下说法：（1）命题“已知x，y∈R”，若x≠2或y≠3，则“x+y≠5”是真命题；（2）设f（x）的导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则x0是函数f（x）的极值点；（3）对于函数f（x），g（x），f（x）≥g（x）恒成立的一个充分不必要的条件是f（x）min≥g （x）max；（4）若定义域为R的函数y=f（x），满足f（x）+f（4﹣x）=2，则其图象关于点（2，1）对称．其中正确的说法序号是．15．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，有同学发现：若f（x）的导函数图象的对称轴是直线：x=x0，则函数f（x）图象的对称中心是点（x0，f（x0））．根据这一发现，对于函数g（x）=x3﹣3x2+3x+1+asin（x﹣1）（a∈R且a为常数），则g（﹣2012）+g（﹣2010）+g（﹣2008）+g（﹣2006）+…+g+g的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知函数f（x）=22x﹣2x+1+1．（1）求f（log218+2log6）；（2）若x∈，求函数f（x）的值域．17．（12分）已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|﹣＜x≤2}．（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=x2+ax，g（x）=bx3+x．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点C（1，m）处具有公共切线，求实数m的值；（2）当b=，a=﹣4时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间上的最大值．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣lnx（x∈R）．（1）若函数f（x）在区间使h（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围；（2）若f（x）在江西省2015届高三上学期9月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={（x，y）|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）} B．∅C．D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合M为点集，集合N为单元素集合，即可确定出两集合没有公共元素．解答：解：∵M={（x，y）|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，∴M∩N=∅．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型；简易逻辑．分析：举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．解答：解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．3．（5分）对数函数f（x）=ln|x﹣a|在区间上恒有意义，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1]∪上，|x﹣a|＞0恒成立．即在上|x﹣a|≠0即可．故选C．解答：解：根据对数函数的性质，可知f（x）=ln|x﹣a|在区间上恒有意义，则在区间上，|x﹣a|＞0恒成立．即在上|x﹣a|≠0即可，所以a＞1或a＜﹣1．故选C．点评：本题主要考查对数函数的性质以及绝对数函数的意义，要求熟练掌握相关函数的性质．4．（5分）已知f（x）=，则f（3）=（）A．B．﹣C．﹣1 D．3考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，∴f（3）=f（3﹣2）+1=f（1）+1=f（1﹣2）+1+1=f（﹣1）+2=﹣sin（﹣）+2=3．故选：D．点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．5．（5分）已知幂函数y=（m2﹣m﹣1）x在区间x∈（0，+∞）上为减函数，则m的值为（）A．2B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于幂函数y=（m2﹣m﹣1）x在区间x∈（0，+∞）上为减函数，可得m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0．解出即可．解答：解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）x在区间x∈（0，+∞）上为减函数，∴m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0．∴m=2．故选：A．点评：本题考查了幂函数的定义及其单调性，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）在R上递增，若f（2﹣x）＞f（x2），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得可得2﹣x＞x2 ，即x2+x﹣2＜0，由此求得实数x的取值范围．解答：解：由于函数f（x）在R上递增，f（2﹣x）＞f（x2），可得2﹣x＞x2 ，即x2+x ﹣2＜0，求得﹣2＜x＜1，故选：D．点评：本题主要考查函数的单调性的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题．7．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：因为＞0恒成立，；然后利用导函数的正负性，可判断函数y═在（0，+∞）内单调递增；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则解集即可求得．解答：解：当x＞0时，有＞0，即有y=在区间（0．+∞）上单调递增，且=0，所以当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，根据函数f（x）是奇函数，得到x＜﹣2时，f（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．综上所述，当x＞2或者﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，故选：C．点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，则“﹣≤a≤0”是“f（x）在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：当a=0时，f（x）=，在R上单调递增．当a≠0时，f（x）在R上单调递增，利用二次函数与一次函数的单调性可得，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=，在R上单调递增．当a≠0时，f（x）在R上单调递增，，解得．综上可得：“﹣≤a≤0”⇔“f（x）在R上单调递增”．故选：C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+4lnx+a（x＞0），若方程f（x）=0有两个不同的实根，则实数a的值为（）A．a=5或a=8﹣4ln2 B．a=5或a=8+4ln2C．a=﹣5或a=8﹣4ln2 D．a=5或a=8﹣4ln3考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：先看定义域，再求导数并令导数为零，研究其极值情况，大体结合图象求解．解答：解：，由得0＜x＜1或x＞2；由得1＜x＜2∴f（x）在（0，1）和（2，+∞）上单调递增，f（x）在（1，2）上递减知y极大=f（1）=a﹣5，y极小=f（2）=4ln2﹣8+a，f（x）=0有两个不同的实数根，则或解得a=5或a=8﹣4ln2故当a=5或a=8﹣4ln2时f（x）=0有两个不同的实数根．故选A．点评：此题不是单纯的二次函数的零点问题，因此可以考虑利用导数研究其单调性、极值情况结合大体图象确定端点函数值的符号，极值的符号确定本题的解．10．（5分）已知S（t）是由函数f（x）=﹣的图象，g（x）=|x﹣2|﹣2的图象与直线x=t围成的图形的面积，则函数S（t）的导函数y=S′（t）（0＜t＜4）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：针对x的不同取值先去掉函数表达式中的绝对值符号，在同一坐标系中画图，结合图象处理．解答：解：对于函数f（x）=﹣=，此函数中的两段都可看成反比例函数经过平移得到，且x≥2时不难验证图象过（2，）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，）与（0，0）；对于函数g（x）=|x﹣2|﹣2=，此函数中的两段都可看成直线的一部分，x≥2时不难验证图象过（2，﹣2）与（4，0）；而x≤2时不难验证图象过（2，﹣2）与（0，0）；利用上述条件在同一个平面直角坐标系内画y=f（x）与y=g（x）图象：从图象可以看出，t从0开始增大时，直线x=t向右移动，∵S（t）是由函数f（x）=﹣的图象、g（x）=|x﹣2|﹣2的图象与直线x=t围成的图形的面积，∴S（t）是增函数，且增的速度变化是先慢中间快再慢，∴S′（t）的图象只有B符合．故选：B．点评：本题综合考查函数与函数图象，函数的单调性与导数的关系，属于选择题中的高档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应横线上. 11．（5分）曲线y=x3在P（1，1）处的切线方程为y=3x﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先求出函数y=x3的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．解答：解：y'=3x2y'|x=1=3，切点为（1，1）∴曲线y=x3在点（1，1）切线方程为3x﹣y﹣2=0故答案为：3x﹣y﹣2=0点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．12．（5分）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈}，B={x|{x+m2≥1}若A⊆B，则实数m的取值范围是：m≤﹣．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：函数的性质及应用．分析：先把集合A与集合B化简，由A⊆B，根据区间端点值的关系列式求得m的范围．解答：解：由于A={}={y|≤y≤2}，此时B={x|x≥﹣m2+1}，由A⊆B，知解得．故答案为点评：本题考查了集合的包含关系的应用，解答的关键是根据集合的包含关系分析区间端点值的大小．13．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则a，b，c的大小关系是：a＞b＞c．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则和对数的换底公式比较大小即可．解答：解：因为，，且，所以，即a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c点评：本题主要考查对数的基本运算，利用对数函数的单调性是解决本题的关键．14．（5分）对于以下说法：（1）命题“已知x，y∈R”，若x≠2或y≠3，则“x+y≠5”是真命题；（2）设f（x）的导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则x0是函数f（x）的极值点；（3）对于函数f（x），g（x），f（x）≥g（x）恒成立的一个充分不必要的条件是f（x）min≥g （x）max；（4）若定义域为R的函数y=f（x），满足f（x）+f（4﹣x）=2，则其图象关于点（2，1）对称．其中正确的说法序号是（3）（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；函数的性质及应用；导数的综合应用；简易逻辑．分析：原命题与其逆否命题是等价命题，写出命题的逆否命题，即可判断（1）；极值点的导数为0，但导数为0的点不一定为极值点．比如y=x3，在x=0的点不是极值点，即可判断（2）；对于函数f（x），g（x）若满足f（x）min≥g（x）max恒成立，则f（x）≥g（x）恒成立，若f（x）≥g（x）恒成立，不一定有f（x）min≥g（x）max，比如f（x）=x+2，g（x）=x+1，即可判断（3）；若f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，即可判断（4）．解答：解：对于（1），原命题与其逆否命题是等价命题，若x≠2或y≠3，则x+y≠5的逆否命题是：若x+y=5，则x=2且y=3是假命题，故（1）错误；对于（2），极值点的导数为0，但导数为0的点不一定为极值点．比如y=x3，在x=0的点不是极值点，故（2）错；对于（3），对于函数f（x），g（x）若满足f（x）min≥g（x）max恒成立，则f（x）≥g（x）恒成立，若f（x）≥g（x）恒成立，不一定有f（x）min≥g（x）max，比如f（x）=x+2，g（x）=x+1，故（3）正确；对于（4），若f（x）+f（2a﹣x）=2b，则函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，故（4）正确．故答案为：（3）（4）．点评：本题考查四种命题的真假及充分必要条件的判断，函数的导数与极值的关系，函数的最值和对称性，属于易错题，和中档题．15．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，有同学发现：若f（x）的导函数图象的对称轴是直线：x=x0，则函数f（x）图象的对称中心是点（x0，f（x0））．根据这一发现，对于函数g（x）=x3﹣3x2+3x+1+asin（x﹣1）（a∈R且a为常数），则g（﹣2012）+g（﹣2010）+g（﹣2008）+g（﹣2006）+…+g+g的值为4028．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）=x3﹣3x2+3x+1，h（x）=asin（x﹣1），由f′（x）=3x2﹣6x+3，f′（x）的图象的对称轴是x=1，f（x）的对称中心是（1，2），从而f（﹣2012）+f=4，同理，得f（﹣2010）+f=f（﹣2008）+f=…=f（0）+f（2）=4，h（﹣2012）+h=0，由此能求出g（﹣2012）+g（﹣2010）+g（﹣2008）+g（﹣2006）+…+g+g的值．解答：解：令f（x）=x3﹣3x2+3x+1，h（x）=asin（x﹣1），由f′（x）=3x2﹣6x+3，f′（x）的图象的对称轴是x=1，∴f（x）的对称中心是（1，2），∴点（﹣2012，f（﹣2012））与点）关于点（1，2）对称，即=2，∴f（﹣2012）+f=4，同理，得f（﹣2010）+f=f（﹣2008）+f=…=f（0）+f（2）=4，∵h（x）=asin（x﹣1）=0图象关于点（1，0）对称，∴h（﹣2012）+h=0，h（﹣2010）+h=h（﹣2008）+h=…=h（0）+h（2）=0，∴g（﹣2012）+g（﹣2010）+g（﹣2008）+g（﹣2006）+…+g+g=4028．故答案为：4028．点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 16．（12分）已知函数f（x）=22x﹣2x+1+1．（1）求f（log218+2log6）；（2）若x∈，求函数f（x）的值域．考点：指数函数综合题；对数的运算性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）f（log218+2log6）=f（﹣1），再代入解析式即可得到答案．（2）函数f（x）=22x﹣2x+1+1．令t=2x，换元转化为二次函数求解．解答：解：（1）∵log218+2log6=2log+1﹣2（log+1）=﹣1，函数f（x）=22x﹣2x+1+1．∴f（log218+2log6）=f（﹣1）═，（2）函数f（x）=22x﹣2x+1+1．令t=2x，则t，f（x）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2当t=1时f（x）min=0，当t=4时，f（x）max=9，所以函数f（x）的值域点评：本题综合考察了二次函数，对数函数，指数函数的性质．17．（12分）已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|﹣＜x≤2}．（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：集合的相等；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解（2）p⇒q得A⊆B且A≠B，转化为集合的关系求解．解答：解：（1）若A=B显然a=0时不满足题意当a＞0时∴当a＜0时显然A≠B故A=B时，a=2（2）p⇒q得A⊆B且A≠B0＜ax+1≤5⇒﹣1＜ax≤4当a=0时，A=R不满足．当a＞0时，则解得a＞2当a＜0时，则综上p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是a＞2，或a＜﹣8点评：本题考查集合间的关系，一般化为元素间的关系求解．18．（12分）已知函数f（x）=x2+ax，g（x）=bx3+x．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点C（1，m）处具有公共切线，求实数m的值；（2）当b=，a=﹣4时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当b=，a=﹣4时时，则F（x）=f（x）+g（x）=x3+x2﹣3x，求导函数，确定函数极值，再求出区间上的端点值，比较大小即可．解答：解：（1）f（x）=x2+ax，则f'（x）=2x+a，k1=2+a，g（x）=bx3+x，则g'（x）=3bx2+1，k2=3b+1，由（1，c）为公共切点，可得：2+a=3b+1 ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=，b=．（2）当b=，a=﹣4时，F（x）=f（x）+g（x）=）=x3+x2﹣3x，则F′（x）=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），令F'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；当x∈（﹣∞，﹣3）⇒F'（x）＞0⇒函数F（x）单调递增，当x∈⇒F'（x）＞0⇒函数F（x）单调递增，∵F（﹣3）=9，F（4）=，∴函数F（x）=f（x）+g（x）在区间上的最大值为点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣lnx（x∈R）．（1）若函数f（x）在区间．（2）f′（x）=x﹣a﹣=，x＞0，令t（x）=x2﹣ax﹣1，此抛物线开口向上且t（0）=﹣1＜0要使函数f（x）在区间（1，2）上存在极小值x0，则函数f（x）在（1，x0）递减，（x0，2）递增，所以⇒，实数a的取值范围为．点评：本题主要考查导数的应用，在研究导数的取值情况时，通常把导数的一部分看成我们常见的函数处理．属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax4（x∈R，a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记g（x）=f′（x），若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞）使得g（x1）•g （x2）=1，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）先求导数，然后解不等式，要注意数形结合，分类讨论；（2）实际上是两个函数y=g（x）与函数y=值域间的关系的判断，即y=g（x）的值域是y=值域的子集即可．解答：解：（1），∵⇒⇒f′（x）＜0．所以函数f（x）的增区间为（），减区间为（）；（2）由题意g（x）=，所以函数y=g（x）的减区间为（）和（﹣∞，0），增区间为（0，）．又∵且⇒g（x）＞0∴⇒g（x）＜0，设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={x∈（1，+∞），g（x）≠0}，对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞）使得g（x1）g（x2）=1⇔A⊆B，当即0时，若时，不存在x2使得g（x1）g（x2）=1，不符合题意，舍去．当时，即时，A=（﹣∞，g（2））⇒A⊆（﹣∞，0），因为g（1）≥0∴g（x）在区间（1，+∞）上的取值包含（﹣∞，0），则（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B满足题意，当，即时，g（1）＜0且g（x）在（1，+∞）上递减，B=（）A=（﹣∞，g（2）），∴A⊈B不满足题意，综上满足题意的实数a的取值范围是．点评：本题能够把问题转化为两个函数值域间的包含关系是解题的关键，类型为：对其中一个自变量的任意的函数值，另一个变量总能存在至少一个与之对应．要注意整理和记忆．21．（14分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=1时，记h（x）=mf（x），g（x）=（lnx）2+2ex﹣2，存在x1，x2∈（0，1]使h （x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围；（2）若f（x）在使h（x1）＞g（x2）成立，等价于h（x）max＞g（x）min，利用导数、函数单调性可求得两函数的最值；（2）f′（x）=，按照a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论，根据单调性可判断函数最值情况；解答：解：（1）g′（x）=+2e，g′（x）=0⇒x=e﹣1，x∈（0，e﹣1），g'（x）＜0，g（x）递减；x∈（e﹣1，1），g'（x）＞0，g（x）递增，∴g（x）min=g（e﹣1）=1，∴h（x）=，显然m＞0，则h（x）在（0，1]上是递增函数，h（x）max=m，∴m＞1，所以存在x1，x2∈（0，1]使h（x1）＞g（x2）成立时，实数m的取值范围是（1，+∞）；（2）解：f′（x）=，①当a=0时，f′（x）=．所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，f（x）在．③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：x （0，x1）x1（x1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘f（x1）↗所以f（x）的单调增区间是（﹣a，+∞）；单调减区间是（0，﹣a），f（x）在（0，﹣a）单调递减，在（﹣a，+∞）单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（﹣a）=﹣1．又因为f（x）==0，若f（x）在．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪（0，1]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，能力要求较高．。

江西省工程职业学院2017年高考数学单招试卷一、选择题（每小题5分，计40分）1．“|x|＜2”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．函数y=log a （x ﹣1）（0＜a ＜1）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24，则其前13项和为（ ） A ．13 B ．26 C ．52 D ．156 4．若x ∈（e ﹣1，1），a=lnx ，，c=e lnx ，则（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c5．数列{a n }中，a 1=2，a n+1+a n =1，n ∈N *，设S n 为前n 项和，则S 2011等于（ ） A ．1005 B ．1006 C ．1007 D ．10086．曲线f （x ）=xlnx 的最小值为（ ） A ．B ．eC ．﹣eD ．7．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且对函数y=ln （x+2）﹣x ，当x=b 时取到极大值c ，则ad 等于（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．28．命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件二、填空题：（每空5分，计30分） 9．在等比数列{a n }中，首项，a 4=（1+2x ）dx ，则公比为 ．10．= ；点（x ，y ）是函数y=图象在第一象限的点，则x+y 的最小值为 ．11．已知数列{a n }中，，则a n = ．12．定义方程f （x ）=f'（x ）的实数根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”，如果函数g （x ）=x ，h （x ）=ln （x+1），φ（x ）=cosx （）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ． 13．设，则f （﹣12）+f （﹣11）+f （﹣10）+…+f（0）+…+f（11）+f （12）+f （13）的值是 ．14．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．三、解答题15．已知数列{a n }满足递推关系式a n =2a n ﹣1+1，（n≥2）其中a 4=15 （1）求a 1，a 2，a 3（2）求数列{a n }的通项公式 （3）求数列{a n }的前n 项和S ．16．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+b 5=21，a 5+b 3=13． （Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．17．数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意n ∈N *，总有成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n 项和．18．已知f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，在x=1与x=﹣2时，都取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）若x ∈[﹣3，2]都有f （x ）＞恒成立，求c 的取值范围．19．已知函数f （x ）=ax 2﹣（2a+1）x+2lnx （a ∈R ）．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间．20．已知函数f （x ）=（x ﹣k ）e x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求f （x ）在区间[0，1]上的最小值．江西省工程职业学院2017年高考数学单招试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，计40分）1．“|x|＜2”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】分别解出两不等式，再进行判断．【解答】解：由|x|＜2得﹣2＜x ＜2，由x 2﹣x ﹣6＜0得﹣2＜x ＜3， “﹣2＜x ＜2”⇒“﹣2＜x ＜3”，反之不成立． 故选A ．2．函数y=log a （x ﹣1）（0＜a ＜1）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据0＜a ＜1，判断出函数的单调性，即y=log a x 在（0，+∞）上单调递减，故排除C ，D ，而函数y=log a （x ﹣1）的图象是由y=log a x 的图象向右平移一个单位得到，得到答案． 【解答】解：∵0＜a ＜1，∴y=log a x 在（0，+∞）上单调递减，又∵函数y=log a （x ﹣1）的图象是由y=log a x 的图象向右平移一个单位得到， 故选A ．3．等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24，则其前13项和为（ ） A ．13 B ．26 C ．52 D ．156 【考点】等差数列的性质．【分析】由已知，根据通项公式，能求出a 7=2，S 13运用求和公式能得出S 13=13a 7，问题解决． 【解答】解：∵2（a 1+a 1+3d+a 1+6d ）+3（a 1+8d+a 1+10d ） =2（3a 1+9d ）+3（2a 1+18d ） =12a 1+72d=24， ∴a 1+6d=2， 即a 7=2 S 13===2×13=26故选B4．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，，c=e lnx，则（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性判断出a＜0；由于b，c的指数相同，所以研究一个幂函数的单调性；利用幂函数的单调性判断出b，c的大小，b，c都是幂得到b，c全正，比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1）∴a=lnx＜ln1=0即a＜0考察幂函数f（t）=t lnx∵lnx＜0∴当t＞0时，f（t）是减函数∵∴＞0所以有b＞c＞a故选A5．数列{an }中，a1=2，an+1+an=1，n∈N*，设Sn为前n项和，则S2011等于（）A．1005 B．1006 C．1007 D．1008 【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知可得a2+a3=1，a4+a5=1，…a2010+a2011=1，代入可求【解答】解：∵a1=2，an+1+an=1，∴a2+a3=1a 4+a5=1…a 2010+a2011=1∴S2011=a1+（a2+a3）+…+（a2010+a2011）=2+1×1005=1007故选C6．曲线f（x）=xlnx的最小值为（）A．B．e C．﹣e D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值．【解答】解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．∵当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴当时，．故选D．7．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且对函数y=ln （x+2）﹣x ，当x=b 时取到极大值c ，则ad 等于（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2 【考点】数列与函数的综合．【分析】首先根据题意求出函数的导数为f′（x ）=，再结合当x=b 时函数取到极大值c ，进而求出b 与c 的数值，再利用等比数列的性质得到答案． 【解答】解：由题意可得：函数y=ln （x+2）﹣x ， 所以f′（x ）=．因为当x=b 时函数取到极大值c ， 所以有且ln （b+2）﹣b=c ，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1． 因为实数a ，b ，c ，d 成等比数列， 所以ad=bc=﹣1． 故选A ．8．命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；特称命题．【分析】命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”，等价于命题“∀x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a≥0为真命题”，故△=a 2+16a≤0，由此得到﹣16≤a≤0；由﹣16≤a≤0，知△=a 2+16a≤0，故命题“∀x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a≥0为真命题”，所以命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”．由此得到命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．【解答】解：∵命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”， ∴命题“∀x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a≥0为真命题”， ∴△=a 2+16a≤0， ∴﹣16≤a≤0，即命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”； ∵﹣16≤a≤0， ∴△=a 2+16a≤0，∴命题“∀x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a≥0为真命题”， ∴命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”，即命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”．故命题“∃x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件． 故选C ．二、填空题：（每空5分，计30分） 9．在等比数列{a n }中，首项，a 4=（1+2x ）dx ，则公比为 3 ．【考点】等比数列；定积分．【分析】先由积分求出a 4，然后根据等比数列的通项公式q 4=a 1q 3可得公比【解答】解：∵a 4=∫14（1+2x ）dx=（x 2+x ）=18根据等比数列的通项公式可得，∴q=3故答案为：3 10．= 9 ；点（x ，y ）是函数y=图象在第一象限的点，则x+y 的最小值为 2 ．【考点】基本不等式；对数的运算性质． 【分析】根据对数的运算性质及对数恒等式可求=由已知可得，xy=2，x ＞0，y ＞0，然后利用基本不等式可求最小值【解答】解： ==9 由题意可得，y=∴xy=2 ∴=，当且仅当x=y=时取等号故答案为：9，11．已知数列{a n }中，，则a n =．【考点】数列递推式． 【分析】由已知可得， =，然后利用累计法可求通项【解答】解：∵∴=∴…以上n ﹣1个式子相加可得，∵∴a==n故答案为：叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln 12．定义方程f（x）=f'（x）的实数根x（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是γ＞α＞β．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．【解答】解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=﹣sinx，由题意得：α=1，ln（β+1）=，cosγ=﹣sinγ，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴0＜β＜1；②∵cosγ=﹣sinγ，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故答案为：γ＞α＞β．13．设，则f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值是．【考点】函数的值．【分析】由题，f（﹣12）+f（﹣11）+f（﹣10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）由13对自变量为1的函数值的和，由此猜想，自变量为1时，函数值和应该是一个定值，由此令s+t=1，则s=1﹣t，求f （s）+f（t）值，以求发现规律，从而求出这26个数的值，得到正确答案．【解答】11解：由题意，可令s+t=1，则s=1﹣t，则有，，∴==即自变量的和为1时，函数值的和是∴f （﹣12）+f （﹣11）+f （﹣10）+…+f（0）+…+f（11）+f （12）+f （13）=13×=故答案为：．14．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为 3+．【考点】归纳推理．【分析】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n 行的最后一个数，即为前n 项数据的个数，故我们要判断第n 行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n ﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．【解答】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前n ﹣1行共有正整数1+2+…+（n ﹣1）个， 即个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第3+个，即为3+．故答案为：3+．三、解答题15．已知数列{a n }满足递推关系式a n =2a n ﹣1+1，（n≥2）其中a 4=15 （1）求a 1，a 2，a 3（2）求数列{a n }的通项公式 （3）求数列{a n }的前n 项和S ． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）利用数列的递推关系式，通过n=4，求出a 3，类似求出a 1，a 2，（2）通过递推关系式，推出数列{a n +1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，然后求数列{a n }的通项公式．（3）写出数列{a n }的前n 项和的表达式．利用拆项法，通过等比数列求和求解即可． 【解答】解：（1）由a n =2a n ﹣1+1，（n≥2）其中a 4=15 ，可知a 4=2a 3+1，解得a 3=7， 同理可得，a 2=3，a 1=1． （2）由a n =2a n ﹣1+1，（n≥2）可知a n +1=2a n ﹣1+2，（n≥2）， ∴数列{a n +1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n +1=（a 1+1）•2n ﹣1=2n ， 所以a n =2n ﹣1． （3）∵a n =2n ﹣1．∴S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =（21﹣1）+（22﹣1）+…+（2n ﹣1） =（21+22+…+2n ）﹣n ==2n+1﹣n ﹣2．16．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+b 5=21，a 5+b 3=13． （Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式． （Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ．【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且解得d=2，q=2．所以a n =1+（n ﹣1）d=2n ﹣1，b n =q n ﹣1=2n ﹣1． （Ⅱ），，①S n =，②①﹣②得S n =1+2（++…+）﹣，则===．17．数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意n ∈N *，总有成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n 项和．【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，结合数列的递推公式a n =S n ﹣S n ﹣1可得a n ﹣a n ﹣1=1，结合等差数列的通项公式可求 （II ）由==，考虑利用裂项求和即可求解【解答】（Ⅰ）解：由已知：对于，n ∈N *，总有①成立∴ （n≥2）②①﹣②得∴a n ﹣a n ﹣1=（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1） ∵a n ＞0∴a n ﹣a n ﹣1=1 （n≥2）∴数列a n 是公差为1的等差数列 又n=1时，，解得a 1=1 ∴a n =n ． （II ）∵==∴==数列的前n 项和为18．已知f（x）=x3+ax2+bx+c，在x=1与x=﹣2时，都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若x∈[﹣3，2]都有f（x）＞恒成立，求c的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函数的最小值为f（1），要使不等式恒成立，既要证f（1）＞，即可求出c的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，由题意：即解得（2）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x2+3x﹣6令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜1；令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，∴（x）的减区间为（﹣2，1）；增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞）．∴x∈[﹣3，2]时∴当x=1时，f（x）取得最小值﹣+c，=﹣+c＞﹣得或∴f（x）min19．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求出再根据导数的几何意义可得f'（1）=f'（3）求出a即可．（2）根据函数的单调性与导数的关系可知令f'（x）＞0可得到增区间，令f'（x）＜0可得到减区间但要注意前提是x＞0．【解答】解：∵函数∴定义域为（0，+∞）∴（x＞0）．（Ⅰ）∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行∴f'（1）=f'（3）∴（Ⅱ）∵（x＞0）．∴①当a≤0 时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是．③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．20．已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1，k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；=．综上所述f（x）min。

高职高考2018数学真题
2018年高职高考数学真题共分为选择题和填空题两部分，分别涵盖基础知识和解题技巧。

首先是选择题部分：
1. 选择题（共25小题，每小题4分，共100分）
1) 设集合A={x|x^2-3x-4=0}，B={x|x≠2}，则A∩B=（）
A. {-1, 4}
B. {-4, 1}
C. {1, 4}
D. {-1, 2}
2) 函数y=2^x的图像关于x轴的对称中心为（）
A. (-1, 0)
B. (0, 0)
C. (0, -1)
D. (1, 0)
3) 若3sinα=4cosα，α为第二象限角，则sinα=（）
A. -4/5
B. 3/5
C. -3/5
D. 4/5
依次类推，共25道选择题的题干与选项。

接下来是填空题部分：
2. 填空题（共5小题，每小题6分，共30分）
1) 若log2(x-3)+log2(x+1)=1，则x=（）.
2) 已知函数y=2cos2x的一个最小正周期为（）.
3) 若函数y=2sin(3x+30°)在区间[0, 180°]上的最大值为y0，则y0=（）.
填空题要求准确计算出答案，并写在横线上。

通过此次高职高考数学真题的练习，不仅可以巩固基础知识，还可以熟悉题型，提高解题效率。

希望考生们认真对待每一道题目，发挥自己的所长，取得优异的成绩。

祝愿各位考生在考试中取得好成绩，实现自己的高考梦想。

2017年高职高考数学模拟试题三数 学本试卷共4页，24小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共15小题，每题只有一个正确答案，请将其序号填在答题卡上，每小题5分，满分75分)1、已知全集U ＝R ，M={x|x 21+≤,x ∈R}，N ＝{1,2,3,4}，则C U M ∩N= ( ) A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4}2、“G ＝ab ±”是“a,G,b 成等比数列”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3、函数y=)32(log 3-x 的定义域为区间 ( )A. ),23(+∞B. ),23[+∞ C. ),2(+∞ D. ),2[+∞4、函数y=sin3xcos3x 是 ( ) A. 周期为3π的奇函数 B. 周期为3π的偶函数 C. 周期为32π的奇函数 D. 周期为32π的偶函数 5、已知平面向量与的夹角为90°,且＝(k,1)，＝(2,6)，则k 的值为 ( )A. -31B. 31C. -3D. 36、在等差数列{a n }中，若S 9=45，则a 5= ( ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 107、已知抛物线y=mx 2的准线方程为y=-1，则m ＝ ( ) A. -4 B. 4 C.41 D. -418、在△ABC 中，内角A 、B 所对的边分别是a 、b ，且bcosA=acosB ，则△ABC 是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形9、函数y=sin3x 的图像平移向量后，新位置图像的解析式为y=sin(3x-4π)-2，则平移向量＝ ( )A. (6π,-2) B. (12π,2) C. (12π,-2) D. (6π,2)10、设项数为8的等比数列的中间两项与2x 2+7x+4=0的两根相等，则该数列的各项的积为 ( )A. 8B. 16C. 32D. 64 11、过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是( )A. y=x 3B. y=-x 3C. y=x 33D. y=-x 3312、函数y=3sinx+cosx ，x ∈[-6π,6π]的值域是 ( ) A. [-3,3] B. [-2,2] C. [0,3] D. [0,2] 13、已知tan α=5，则sin α·cos α= ( ) A. -526 B. 526 C. -265 D. 265 14、椭圆4x 2+y 2=k 上任意两点间的最大距离为8,则k 的值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 15、若α、β都是锐角，且sin α=734，cos(α+β)=1411-，则β＝ ( ) A.3π B. 8πC. 4πD. 6π第二部分(非选择题，共75分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)16、第四象限点A(2,y)到直线3x+4y-5=0的距离为3,则y 的值为 . 17、顶点在圆x 2+y 2=16上，焦点为F(±5,0)的双曲线方程为 . 18、向量与的夹角为60°,||＝2,||＝3，则|+|＝ . 19、经过点M(1,0)，且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程为y= . 20、若log 3x+log 3y=4，则x+y 的最小值为 .三、解答题(21、22小题各10分，23、24小题各15分，满分50分) 21、解不等式 8x 2+2ax-3a 2≤0 (a ≠0)22、求以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程．23、如图，甲船以每小时230海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距210海里，问乙船每小时航行多少海里？沿什么方向航行？24、设数列{a n }是等差数列，)(21N k ka a ab kk ∈+++=(1)求证：数列{b n }也是等差数列． (2）若23132113211=++++++=b b b a a a a ，求数列{a n }，{b n }的通项公式．高三高职类高考班第二次模拟考试数学 参考答案一、选择题BBDAC BCACB DCDCA 二、选择题(5×5´=25´)16、 -4 17、 191622=-y x 18、 19 19、 -2x+2 20、 18三、解答题(21、22小题各10分，23、24小题各15分，共50分) 21、解：原不等式可化为 (4x+3a)(2x-a)≤0∴x 1=a 43-，x 2=a 21(1)当a>0时，则a 21>a 43-故原不等式的解集为[a 43-，a 21](2)当a<0时，则a 21<a 43-故原不等式的解集为[a 21，a 43-]22、解：椭圆114416922=+y x 的右焦点为(5,0) 令016922=-y x ，则双曲线的渐近线方程为：x y 34±= 即4x+3y=0及4x-3y=0由题意知，所求圆的圆心坐标为(5,0) 半径为 r=2234|0354|+⨯+⨯=4故所求圆的方程为(x-5)2+y 2=1623、解：如图，在△A 2B 2A 1中，已知∠B 2A 2A 1=60°,A 1A 2=302×31=102,B 2A 2=102,则△A 2B 2A 1是等边三角形，故A 1B 2=102,∠B 2A 1A 2=60°∴在△B 2A 1B 1中，∠B 2A 1B 1=45°,A 1B 1=20 设B 1B 2=x 由余弦定理知，x 2=202+(102)2-2×20×102×cos45°=200 ∴ x=102易知△B 1A 1B 2为等腰直角三角形，即∠A 1B 1B 2＝45° 故乙船每小时行驶31210＝302海里，沿“北偏东30°”的方向航行.24、设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则(1)a 1+a 2+…+a k ＝ka 1+d k k 2)1(-∴b k =kdk k ka 2)1(1-+= a 1+2)1(d k - 即b n =a 1+2)1(dn -当n ＝1时，b 1=a 1；当n>1时，b n -b n-1= [a 1+2)1(d n -]-[a 1+2)2(d n -]=2d∴数列{b n }是首项为a 1，公差为2d的等差数列.(2)由题意知：2322)113(13132)113(131311132113211=⨯-+-+=++++++=d a da b b b a a a a ，易得:d=21故a n =1+n 21，b n =n 4145+。

绝密★启用前江西省2017年高考文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 45．已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 26．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．38．.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +211．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

江西单独考试招生考试数学（满分120分，考试时间90分钟）一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）A．cos 2y x =B．22cos y x=C．)42sin(1π++=x y D．22sin y x=2．已知*112,1,()2nn n a a a n N a +==∈+，则n a 的通项为（）A．321n a n =+B．21n a n =+C．11n a n =+D．221n a n =+3．两非零向量a 和b ，若a b a b ==-，则a 与a b + 的夹角为（）A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，当1a ，d 变化时，若2811a a a ++是一个定值，那么下列各数中也为定值的是（）A．13S B．15S C．20S D．8S 5、方程43)22(log =x 的解为（）A .4=x B .2=x C .2=x D .21=x 6．在ABC ∆中，为BC 中点，,,a b c 成等差数列且38,cos ,5a c B a c +==>，则AD BC ⋅ 等于（）A．252B．252-C．72D．72-7.抛掷一枚骰子，落地后面朝上的点数为偶数的概率等于()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.88．已知函数,1)1ln()(-+-=x x x f 则()A．没有零点B．有唯一零点C．有两个零点,,21x x 并且21,0121<<<<-x x D．有两个零点,,21x x 并且3121<+<x x 9．定义在R 上的函数)(x f 满足),(21)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20081(f ()A．21B．161C．321D．64110.函数2sin cos 2y x x =+的最小值和最小正周期分别为()A.1和2πB.0和2πC.1和πD.0和π二、填空题：（共20分）1．函数()()0010cos 520sin 3-++=x x y 的最大值是____________；2．若224sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-παα，则ααsin cos +的值为___________；3．若()51cos =+βα，()53cos =-βα，则=⋅βαtan tan ___________；三、解答题：（本题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1.在如图所示的圆台中，AB，CD 分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE 为圆台的一条母线，且与底面ABE 成角．（Ⅰ）若面BCD 与面ABE 的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD 的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．2.如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n 名毕业生随机的分配往A、B、C 三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n 名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．3.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F 2，过F 1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B 两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l 的方程．参考答案：一、选择题1-5题答案:BAACA 6-10题答案：CACAD 二、填空题1．7；1；2．21；3．2三、解答题1.在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在圆台OO′中，∵CD⊂圆O′，∴CD∥平面ABE，∵面BCD∩面ABE=l，∴l∥CD，∵CD⊂平面CDE，l⊄平面CDE，∴l∥面CDE；（Ⅱ）解：连接OO′、BO′、OE，则CD∥OE，由AB⊥CD，得AB⊥OE，又O′B在底面的射影为OB，由三垂线定理知：O′B⊥OE，∴O′B⊥CD，∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角．设AB=4，由母线与底面成角，可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2，OO′=，∴cos∠O′BO=．2.如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：=（0.04+0.03）×5=0.35，p1此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为：=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，p2∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．（Ⅱ）将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有：=18不同的分配方法．（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为：ξ012P所以随机变量ξ数学期望为E（ξ）==．3.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F 2，过F 1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B 两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）过F 1直线l：x+my+=0，令y=0，解得x=﹣，∴c=，∵e==，∴a=2，∴b 2=a 2﹣c 2=4﹣3=1，∴椭圆C 的方程为+y 2=1；（Ⅱ）设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），M（x 3，y 3），由2=+，得：x3=x 1+x 2，y 3=y 1+y 2代入椭圆方程可得：（x 1+x 2）2+（y 1+y 2）2﹣1=0，∴（x 12+y 12）+（x 22+y 22）+（x 1x 2+4y 1y 2）=1，∴x 1x 2+4y 1y 2=0联立方程消x 可得（m 2+4）y 2+2my﹣1=0，∴y 1+y 2=，y 1y 2=，∴x 1x 2+4y 1y 2=（my 1+）（my 2+）+4y 1y 2=（m 2+4）4y 1y 2+m（y 1+y 2）+3=0，即m 2=2，解得m=±所求直线l 的方程：x±y+=0．。

某研究性学习课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A、6B、8C、10D、12答案B解析试题分析：设一共抽取n人，由题意 ，故 ，所以高二应抽取的人数为 人考点：分层抽样某研究型学习课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A、6B、8C、10D、12答案B解析试题分析：设一共抽取n人，由题意 ，故 ，所以高二应抽取的人数为 人考点：分层抽样某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 名学生。

答案24解析试题分析：由题可知：三个年级的人数分别为3k，3k，4k，共有人数10k，现在样本容量为80，即k=8，则高一年级应抽取2 4人。

考点：分层抽样的概念某运动队有男女运动员49人，其中男运动员有28人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，那么应抽取女运动员人数是 。

答案6解析考点：分层抽样.5、人们打扑克牌时，将洗好的牌随机确定一张为起始牌，这时按次序分牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，这种抽样方法_ 简单随机抽样。

（填“是”或“不是”）答案不是解析简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。

6、例2下列抽样的方式不属于简单随机抽样的是_ 。

（填序号）①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。