导数及其应用复习小结

1 故函数 f(x)的单调递增区间是 (0， )；单调递减 e 1 区间是 ( ，1)和 (1，＋∞)． e
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．

b a
∫ f (x)dx = F(b) − F(a)
a
b
或∫ f ( x)dx = F( x)|b = F(b) − F(a) a
(F(x)叫做f(x)的原函数, f(x)就是F(x)的导函数)
(1)匀变速运动的路程公式. (1)匀变速运动的路程公式. 匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度 函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间 a,b］上的定积分， 在时间区间［ 函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积分， 即 s = ∫a v ( t ) dt.
割 线 T 切 线 x
返回
定理 一般地，函数y 在某个区间(a,b) (a,b)内 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 f′(x)>0， y=f（ 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增 内单调递增； 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） f′(x)<0， y=f（ 在这个区间(a,b)内单调递减。 (a,b)内单调递减 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 为常数. 如果在某个区间内恒有 f ′(x) = 0 ,则 f (x)为常数 返回 则
函数的极值 1)如果 如果b (x)=0的一个根 (x)>0， 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， (x)=0的一个根，并且在b左侧附近f (x)>0 右侧附近f (x)<0 那么f(b)是函数f(x) (x)<0， f(b)是函数f(x)的一个极大值 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 如果a (x)=0 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根 ， 并且在 a 的左侧附近 (x)= 的一个根， 并且在a (x)<0 (x)>0 f’(x)<0 ， 在 a 右侧附近 f’(x)>0 ， 那么是 f(a) 函数 (x)< (x)> f(x)的一个极小值 的一个极小值. f(x)的一个极小值. 导数等于零的点不一定是极值点． 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（ 函数的最大（小）值与导数

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

导数知识点总结及应用导数是微积分中的基本概念，是描述函数变化率的工具。

它具有广泛的应用，不仅在数学中起着重要作用，也在其他学科中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。

本文将总结导数的基本知识点以及其应用。

一、导数的定义和性质导数可以通过极限的计算来定义，假设函数f(x)在点x_0处有定义。

那么f(x)在x_0处的导数可以定义为：f'(x_0)=lim(x→x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)导数的计算方法有很多，其中最基本的有以下几种：1.使用导数定义的极限计算法；2.利用导数的基本性质：线性性、乘法法则、链式法则等。

导数具有以下基本性质：1.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点连续；2.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点的函数值变化率为f'(x_0)。

二、导数的应用1.函数的极值与图像的凹凸性导数的一个重要应用是用于确定函数的最大值和最小值。

根据函数的图像和导数的符号，可以判断函数的增减性以及极值点。

具体来说，函数在极值点的导数为零，并且在极值点的导数变号。

另外，导数的符号还可以用来确定函数图像的凹凸性。

如果函数的导数在其中一区间上恒大于零，则函数在这一区间上是严格递增的，图像是凸的。

如果函数的导数在其中一区间上恒小于零，则函数在这一区间上是严格递减的，图像是凹的。

2.切线与法线函数的导数可以用来确定函数图像上任意一点处的切线和法线。

在其中一点x_0处，函数图像上的切线的斜率等于函数在该点处的导数值，即切线的斜率为f'(x_0)。

切线的方程可以通过点斜式来确定。

3.函数的近似计算函数的导数可以用来近似计算函数在其中一点处的函数值。

根据导数的定义，函数在该点的导数等于函数在该点的函数值变化率。

所以，如果已知其中一点的导数，可以通过导数乘以函数值变化的增量来估计函数值的增量。

4.曲线的弯曲程度导数还可以用来衡量曲线的弯曲程度。