人教A版高中数学必修五1.2第一课时知能演练轻松闯关

高中数学学习材料唐玲出品1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8，则角B 等于( ) A ．90° B ．120° C ．60° D ．30° 解析：选C.由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12，又∵0<B <π， ∴B ＝60°.2．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵c 2－a 2－b22ab>0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又∵0<C <π， ∴π2<C <π， ∴△ABC 一定是钝角三角形．3．若△ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角的度数为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．60°解析：选A.由题设，可得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，∴C ＝150°，∴三角形的最大内角为150°4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B.p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 解析：选D.∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32，sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22accos C ＝a 2＋b 2－c 22ab∴bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：6127．(2013·济宁高二检测) △ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．解析：当B 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >bb 2>a 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋x >4x 2<7.∴1<x <7， 当C 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c c 2>a 2＋b 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＋4>x x 2>25.∴5<x <7.答案：1<x <7或5<x <78．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为________．解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A .即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：359．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝14.若a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b 、c 的值．解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即 a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，∴16＝36－52bc .∴bc ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，b <c可求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4.10．(2013·广州高二检测)a ，b ，c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ；(3)判断△ABC 的形状．解：(1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A ) ＝185sin B sin C ， 结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4， ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A.根据正弦定理，由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc得a 2－b 2＝6b 2即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.2．在△ABC 中 ，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．解析：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4. 答案：43．如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B ，∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ·15cos 60° ∴x 2－8x ＋15＝0，∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35.在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或AD ＝20 3.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8，则角B 等于( ) A ．90° B ．120° C ．60° D ．30° 解析：选C.由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12，又∵0<B <π， ∴B ＝60°.2．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵c 2－a 2－b22ab>0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又∵0<C <π， ∴π2<C <π， ∴△ABC 一定是钝角三角形．3．若△ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角的度数为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．60°解析：选A.由题设，可得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，∴C ＝150°，∴三角形的最大内角为150°4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B.p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 解析：选D.∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32，sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22accos C ＝a 2＋b 2－c 22ab∴bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：6127．(2013·济宁高二检测) △ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．解析：当B 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >bb 2>a 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋x >4x 2<7.∴1<x <7， 当C 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c c 2>a 2＋b 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＋4>x x 2>25.∴5<x <7.答案：1<x <7或5<x <78．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为________．解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A .即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：359．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝14.若a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b 、c 的值．解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即 a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，∴16＝36－52bc .∴bc ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，b <c可求得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4.10．(2013·广州高二检测)a ，b ，c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ；(3)判断△ABC 的形状．解：(1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A ) ＝185sin B sin C ， 结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4， ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A.根据正弦定理，由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc得a 2－b 2＝6b 2即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.2．在△ABC 中 ，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．解析：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4. 答案：43．如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B ，∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ·15cos 60° ∴x 2－8x ＋15＝0，∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35.在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或AD ＝20 3.。

图2
综合(1)(2)可知 PQ＝2 21t2－60t＋100(t≥0)，
∴当 t＝3201＝170时，PQ 最小．
所以再过170小时，特警向恐怖分子射击．
方法点评本题根据两种不同的位置关系，利用分类讨论思 想，相距最近时特警可能还没到达恐怖分子跳下公路的地 点，也可能超过恐怖分子跳下公路的地点．特警位置、恐 怖分子位置、恐怖分子跳下公路的位置会构成两个不同的 三角形．
货轮的北偏东 75°，距离为 12 6 n mile， 在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30°， 距离为 8 3 n mile，货轮由 A 处向正北 航行到 D 处时，再看灯塔 B 在货轮的南 偏东 60°.
求：(1)A处与D处的距离； (2)灯塔C与D处的距离． 解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝ 45°，由正弦定理得
题型一 测量距离问题
【例1】 在某次军事演习中，红方为了准确 分析战场形势，在两个相距为 23a的军事 基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别 在A处和B处，且∠ADB＝30°， ∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所 示，求蓝方这两支精锐部队的距离． [思路探索]可将AB放在△ABC中来求，为此应先求 出AC和BC，再用余弦定理求AB.
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∴AB＝ 46a.
∴蓝方这两支精锐部队的距离为
6 4 a.
解三角形应用问题的一般步骤： (1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解 应用题中的有关名词和术语； (2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角 形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．
【变式1】 如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在

2022年高三数学一轮复习第五章第1课时知能演练轻松闯关新人教版1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是B．co错误!C．co错误!π D．co错误!π解析：＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D正确．2．2022·保定质检若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝错误!，则错误!＝D．30解析：≥2时，a n＝S n－S n－1＝错误!－错误!＝错误!，所以错误!＝5×6＝303．已知数列{a n}满足a1>0，错误!＝错误!，则数列{a n}是A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．不确定解析：选B∵错误!＝错误!0，则a n>0，∴a n＋1<a n，∴{a n}是递减数列．4．2022·高考辽宁卷已知数列{a n}满足a1＝33，a n＋1－a n＝2n，则错误!的最小值为________．解析：由a n＋1－a n＝2n，得a n－a n－1＝2n－1，a n－1－a n－2＝2n－2，…，a2－a1＝2将这n－1个式子累加得a n－a1＝错误!＝n2－n∵a1＝33，∴a n＝n2－n＋33，∴错误!＝错误!＝n＋错误!－1当n＝6时，错误!有最小值错误!答案：错误!一、选择题1．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列错误!，错误!，错误!，错误!，…的通项公式是a n＝错误!；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是A．1 B．2C．3 D．4解析：选A①错误，如a n＋2＝a n＋a n＋1，a1＝1就无法写出a2；②错误，a n＝错误!；③正确，④错误，两数列是不同的数列．2．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2n2－17n，则当S n取得最小值时n的值为A．4或5 B．5或6C．4 D．5解析：＝2n2－17n＝2n－错误!2－错误!，而错误!＝，且S4＝－36，S5＝－35，所以当S n取得最小值时n的值为43．在数列{a n}中，a1＝1，a n a n－1＝a n－1＋－1n n≥2，n∈N*，则错误!的值是解析：2＝1＋－12＝2，∴a3·a2＝a2＋－13，∴a3＝错误!，∴错误!a4＝错误!＋－14，∴a4＝3，∴3a5＝3＋－15，∴a5＝错误!，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!4．2022·宁夏银川重点中学联考改编设数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1＝1－错误!，记数列{a n}的前n项之积为Πn，则Π2022的值为A．－错误!B．－1D．1解析：1＝2，a2＝错误!，a3＝－1，a4＝2可知，数列{a n}是周期为3的周期数列，从而Π2022＝2×错误!×－1670＝15．已知数列{a n}的通项a n＝错误!a，b，c都是正实数，则a n与a n＋1的大小关系是A．a n≥a n＋1B．a n<a n＋1C．a n＝a n＋1D．不能确定解析：选＝错误!＝错误!，∵＝错误!是减函数，∴＝错误!是增函数，∴a n<a n＋1二、填空题6．已知数列{错误!}，则是它的第________项．解析：错误!＝＝错误!，∴n＝7答案：77．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n－1，则满足错误!≤2的正整数n的集合为________．解析：因为S n＝2a n－1，所以当n≥2时，S n－1＝2a n－1－1，两式相减得a n＝2a n－2a n－1，整理得a n＝2a n－1，所以{a n}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，所以a1＝1，故a n＝2n－1，而错误!≤2，即2n－1≤2n，所以有n∈{1,2,3,4}．答案：{1,2,3,4}8．2022·开封调研设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则其通项公式a n＝________解析：由a n＋1－a n＝n＋1，可得当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n以上n－1个式子左、右两边分别相加，得a n－a1＝2＋3＋…＋n＝错误!，∴a n＝错误!＋1又n＝1时，a1＝2适合上式，∴a n＝错误!＋1答案：错误!＋1三、解答题9．分别写出下列数列的一个通项公式：1错误!，－错误!，错误!，－错误!，…；27,77,777,7777，…；3a1＝2，a n＋1＝2－错误!解：1可用－1n＋1来调整各项的符号；各项的分子加上1后为正偶数，为2n－1；而分母组成数列21,22,23，…，2n，所以a n＝－1n＋1错误!；2a n＝错误!10n－1；3依题设，a1＝2，a2＝2－错误!＝错误!，a3＝2－错误!＝错误!，a4＝2－错误!＝错误!，…，故可归纳出通项a n＝错误!10．已知数列{b n}满足b1＝－1，b n＋1＝b n＋2n－1n∈N*．求数列{b n}的通项公式b n解：n≥2时，∵b n＋1＝b n＋2n－1，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…b n－b n－1＝2n－3，以上各式相加得b n－b1＝1＋3＋5＋…＋2n－3＝错误!＝n－12∴b n＝n2－2nn≥2．∵n＝1时，b1＝－1适合b n＝n2－2n，∴b n＝n2－2n11．已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋n，数列{b n}的前n项和为T n＝3n2－2n1若a10＝b10，求的值；2取数列{b n}的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的通项公式．解：1由已知，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－[n－12＋n－1]＝2n－1＋n≥2，b n＝T n－T n－1＝3n2－2n－[3n－12－2n－1]＝6n－5n≥2．∴a10＝19＋，b10＝55由a10＝b10，得19＋＝55，∴＝362b1＝T1＝1，满足b n＝6n－5∴数列{b n}的通项公式为b n＝6n－5取{b n}中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2－1＝62－1－5＝12－11∴c n＝12n－11。