数论-第六章

初等数论初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。

第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++Λ2211 勾股数 费尔马大定理。

习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。

第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。

第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念 孙子定理高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。

习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。

第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求78p ：2； 81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。

第六章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2 及合数模指标组、 特征函数习题要求123p ：3。

➢ 第一章 整除 一、主要内容筛法、[x]和{x}的性质、n ！的标准分解式。

二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除 整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。

认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。

初中数学课程_第六章数学抽象第六章数学抽象抽象是人类认识世界的一种科学的方法和思维活动，而数学的抽象是一种特殊的思维活动，除了具有抽象的一般共性外，数学的抽象又具有自己特殊的性质。

抽象性通常被认为是数学的一个基本特征，一切数学对象都是抽象思维的产物。

抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识。

本章将就一般的抽象、科学的抽象和数学的抽象其含义进行说明，并阐述数学抽象的层次性、数学概念的抽象存在性、数学抽象的方法等问题，同时阐述在中小学数学教学中尤为重要的数量关系的抽象、空间形式的抽象、模型模式的抽象。

第一节数学抽象一、如何理解抽象的一般含义？抽象和具体是一对哲学范畴，是在实践过程中正确认识事物的部分与整体的处理具体和抽象的辩证关系的科学思维方法。

具体是指对客观存在着的各种事物或在认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一。

而抽象则是指从具体事物中被抽象出来的相对独立的各个属性、特征、联系和关系。

抽象是正确反映客观事物本质，形成概念、范畴的一种思维方法。

它是在对事物的属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开非本质属性，从而形成对某一事物的概念。

例如，“人”这个概念，就是在对千差万别的人进行分析、综合、比较的基础上，撇开了他们的非本质属性（肤色、语言、国别、性别、年龄、职业等等），抽取出他们的本质属性（都是能够进行高级思维活动、能够按照一定目的制造和使用工具的动物）而形成的，这就是抽象。

抽象和具体是人们认识过程中的两个不同的方面，也是两种不同的方法，二者即是对立又是统一的，并在一定条件下相互转化。

人类认识发展的历史证明，由感性具体进到理性抽象和再由理性抽象进到理性具体相结合的认识方法，既体现了认识过程的辩证法，又是人类认识世界的科学方法。

二、如何理解科学抽象？科学的抽象必须具备客观性、实在性和可检验性，都是客观事物所具有的某种属性、关系的反映，不是空洞的、荒谬的、神秘的虚构。

第6讲 算术基本定理一、基础知识算术基本定理：任何一个正整数N ＞1，都能分解成质因数的连乘积，即⋅⋅=2121ααp p N ……n np α⋅，（n ≥1） ① 其中1p ，2p ，…，n p 为互不相等的质数，1α，2α，…，n α为正整数；如果不考虑因数的顺序，则这个分解式是唯一的。

证明：存在性：（反证法）假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，设其中最小的那个为n 。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。

首先，按照定义，n 大于1；其次，n 不是质数，因为质数p 可以写成质数乘积：p =p ，这与假设不相符合；因此n 只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。

设其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都可以写成质数的乘积。

从而n 也可以写成质数的乘积。

由此产生矛盾。

因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性:引理：若质数p | ab ，则不是 p | a ，就是p | b 。

证明：若p | a ， 则证明完毕。

若p |a ，那么两者的最大公约数为1。

根据裴蜀定理，存在(m ,n ) 使得ma + np = 1。

于是b = b (ma + np ) = abm + bnp 。

由于p | ab ，上式右边两项都可以被p 整除。

所以p | b 。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n 是最小的一个。

首先n 不是质数。

将n 用两种方法写出：n ＝p 1p 2p 3…p r ＝q 1q 2q 3…q s根据引理，质数p 1|q 1q 2q 3…q s ，所以 q 1，q 2，q 3，…，q s 中有一个能被p 1整除，不妨设为q 1。

但q 1也是质数，因此q 1 = p 1 。

所以，比n 小的正整数n '＝p 2p 3…p r 也可以写成q 2q 3…q s这与n 的最小性矛盾！因此唯一性得证。

新人教版第六章数论压轴题集锦本文档为新人教版第六章数论的压轴题集锦，旨在帮助学生复和巩固数论知识。

以下是一些重要的数论题目，供学生们练和思考。

1. 质数判定问题判断一个数是否为质数是数论中的基本问题之一。

给定一个正整数n，判断它是否为质数。

def is_prime(n):if n <= 1:return Falsefor i in range(2, int(n**0.5) + 1):if n % i == 0:return Falsereturn True2. 最大公约数和最小公倍数计算两个正整数a和b的最大公约数和最小公倍数。

def gcd(a, b):while b != 0:a, b = b, a % breturn adef lcm(a, b):return a * b // gcd(a, b)3. 约数的个数计算一个正整数n的约数的个数。

def divisor_count(n):count = 0for i in range(1, int(n**0.5) + 1):if n % i == 0:if n // i == i:count += 1else:count += 2return count4. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的数列，前两个数为1，后面每个数都是前两个数之和。

计算斐波那契数列的第n项。

def fibonacci(n):if n <= 0:return 0elif n == 1 or n == 2:return 1else:a, b = 1, 1for _ in range(3, n+1):a, b = b, a+breturn b以上是一些数论相关的题目，希望能够帮助你更好地理解和掌握数论知识。

祝你学习进步！。

第六章一元一次方程应知一、基本概念方程：含有未知数的等式叫做方程。

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程解的过程叫做解方程。

【注意】解方程时，要用到等式的性质：（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

二、基本法则列一元一次方程的步骤：①弄清题意(设未知数)：求什么？用字母表示适当的未知数；②分析条件(找等量关系)：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；③组织方程(列方程)：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程。

【注意】此三步骤适用于列各种方程。

2. 解一元一次方程的步骤：①去分母。

②去括号。

③移项。

(根据等式性质推出：a.方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变)。

④合并同类项。

⑤化未知项的系数为1。

⑥检验方程的解(一般不需答出，但要养成检验的习惯)。

应会列一元一次方程。

解一元一次方程。

用一元一次方程解答实际问题。

【注意】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+xx等都不是一元一次方程.2.解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.例题1. 解下列方程：（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5（3）()()()3413231121+-=-+++xxx2. 一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？3. 小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？4. 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还了一条船，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？5. 丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一。

走近数学王国------数论学习收获与体会这学期我们在XX老师的引领指导下学习了初等数论这门课。

光阴如水，韶华易逝，转眼间，我们已完成了这门课的学习，又到了一段时光的终结，又是一个总结的时刻。

学习收获与体会第一章我们学习了整数的惟一分解定理。

学习了整除的定义，又由整除的定义出发，给了几条性质，其中我印象最为深刻的是：如果c|a,c|b,则对任意的整数m,n,有c|ma+nb。

又给了一个定理：设a，b是两个整数，其中b>0,则存在两个唯一的整数q 和r，使得a=bq+r，0<=r<b成立。

我认为这个定理是数论的基础与灵魂。

我们又由上述定理和整除定义出发，研究了最大公因数与辗转相除法还有最小公倍数。

而素数，整数的惟一分解定理的出现又使得数论进入更有趣的环节，任一大于1的整数都能表示成惟一一种形式的素数的乘积，这是一个多么美妙的定理，它是一种同一性的体现，好比上帝面前，众生平等。

在数学王国里，只要你是整数，不管你大还是小，都必须得服从这条规则。

这又好比，无论一个人地位高低，在历史面前都仅仅是一粒微小的尘埃，在时间的长河中都不过是一滴渺小的水滴。

可见数论虽是理性的科学，但却也透射出生命的意义，也有着一种哲学的意蕴。

厄拉多筛法的出现教会了我们构造素数的方法，素数的无穷性证明更是充满了智慧的结晶与饱满的趣味。

第二章我们学习了同余式。

由同余的定义我们可知道它是一种自反，对称，传递的关系，是一种等价关系。

抽象代数中的同余与等价关系的定义也是由数论衍生出来的，可见数论在数学界的举足轻重的地位。

我觉得比较经典的定理是：如果a和b对模数m同余，则f（a）和f（b）对模数m同余，其中f（x）为任意给定的一个整系数多项式。

关于完全剩余系我觉得比较经典的定理是：设m1>0,m2>0,(m1,m2)=1,而x1，x2分别通过模数m1，m2的完全剩余系，则m2x1+m1x2通过模数m1m2的完全剩余系。

144 第六章 平方和本章中要研究整数用整数的平方数之和表示的可能性，即对于给定的整数n ，是否存在整数x 1，x 2，x 3，x 4，使得n = x 12 + x 22，n = x 12 + x 22 + x 32，n = x 12 + x 22 + x 32 + x 42成立？以下，“平方和”或“平方数之和”是指“整数的平方数之和”。

第一节 二平方之和定理1 若正整数n 可以表示成两个整数的平方之和，则在它的标准分解式k k p p p n ααα 2121=中，形如4k + 3的素因数的指数是偶数。

证明 设n = x 2 + y 2，p i 是n 的形如4k + 3的素因数。

记p α =i a i p ，则p α∣n ，p α + 1|/n ，x 2 + y 2 ≡ 0 (mod p α)。

(1) (ⅰ) 若p |/y ，则存在整数y '，使得yy ' ≡ 1 (mod p )，于是由式(1)得到(xy ')2 + 1 ≡ 0 (mod p )，即 -1∈QR (p )。

因此由第五章第五节定理3推论，有p = 2或p ≡ 1(mod 4)，这是不可能的。

(ⅱ) 若p ∣y ，则由式(1)可知p ∣x ，以及22)()(py p x +≡ 0 (mod p α - 2)。

(2) 下面说明，α必是偶数，否则，将导致矛盾。

若α = 2m + 1，则类似于上面的推导，依次得到145 2222)()(p y p x +≡ 0 (mod p α - 4)。

2323)()(p y p x+≡ 0 (mod p α - 6)。

22)()(m m p y p x +≡ 0 (mod p )。

(3) 若p m p y|/，则由结论(ⅰ)可知p ≡ 1 (mod 4)，这不可能，所以p m + 1∣y ，从而p m + 1∣x ，于是p α + 1 = p 2(m + 1)∣n ，这与式(1)矛盾。