数学符号的起源与发展
第一章数学符号的起源
第二章数学符号的分类
第三章数学符号的解析
（1）数量符号：如:i，2＋i，a，x，自然对数底e，圆周率∏。
（2）运算符号：如加号（+），减号（-），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（），对数（log，lg，ln），比（∶），微分（d），积分（∫）等。
（3）关系符号：如“=”是等号，“≈”或“ ”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“‖”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是正比例符号，“∈”是属于符号等。
（4）结合符号：如圆括号“（）”方括号“[]”，花括号“{}”括线“—” （5）性质符号：如正号“+”，负号“-”，绝对值符号“‖”
（6）省略符号：如三角形（△），正弦（sin），X的函数（f(x)），极限（lim），因为（∵），所以（∴），总和（∑），连乘（∏），从N个元素中每次取出R 个元素所有不同的组合数（C ），幂（aM），阶乘（！）等。
符号意义∞ 无穷大PI 圆周率|x| 函数的绝对值∪ 集合并∩ 集合交? 大于等于? 小于等于≡ 恒等于或同余ln(x) 以e为底的对数
lg(x) 以10为底的对数floor(x) 上取整函数ceil(x) 下取整函数
x mod y 求余数小数部分x - floor(x) ∫f(x)δx 不定积分∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分
P为真等于1否则等于0 ∑[1?k?n]f(k) 对n进行求和,可以拓广至很多情况如：∑[n is prime][n < 10]f(n)
∑∑[1?i?j?n]n^2
lim f(x) (x->?) 求极限
f(z) f关于z的m阶导函数
C(n:m) 组合数,n中取m P(n:m) 排列数m|n m整除n m⊥n m与n互质
a ∈ A a属于集合 A #A 集合A中的元素个数
0是极为重要的数字，0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。在东方国家由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。
0的另一个历史：0的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧
第三章文化的起源及其发展 1.如何理解人类文化起源的生物性基础? 2.人类起源与文化起源具有怎样的内在逻辑关系？ 3.人类不同的文化发展阶段具有何种不同的社会类型？ 1】采集—狩猎社会与文化 2】园艺—游牧社会与文化 3】农耕社会与文化 4】工业社会与文化 5】全球化时代社会与文化 4.文化累积的本质及意义与文化累积的方式及路径各是什么？ 1】文化累积的本质是指在文化传承的基础上创造新文化 2】路径：其一是本民族内部文化的累积其二是吸收外来文化的累积 5.文化累积与文化创新之间的关系是什么？ 第四章文化的基本特征和功能 1.为什么说文化既是“自然性与超自然性的统一”，也是“个体性与超个体性的统一”？ 2.如何理解文化既是“普遍性与民族性的统一”，也是“阶级性与时代性的统一”？ 3.如何理解文化的累积性与变异性之间的辩证关系？ 1】累积性是文化发展的前提和条件 2】变异性是文化发展的环节和契机 3】累积性与变异性是文化发展过程中的矛盾统一体 4.文化在满足人类生存和需要方面具有哪些主要功能？ 1】满足需要的功能 2】认知的功能 3】规范的功能 4】凝聚的功能 5】调控的功能 5.文化在处理人与自然以及人与社会的相互关系上具有何种价值？ 第五章文化学的研究方法 1.田野调查法具有哪些基本步骤？其各个步骤的具体内容是什么？ （1）田野调查的准备工作 第一，选择和确定专题研究内容 第二，查阅和摘录田野背景材料
第三，制定详细的田野调查计划第四，做好调查成员和物品的准备（2）田野调查的方式 第一，参与观察法 第二，采访调查法 第三，搜集田野材料 （3）田野调查的尾声 2.
发明数学符号的数学家 数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系.数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多.现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种.它们的诞生都有一段有趣的经历.例如加号曾经有好几种，现在通用“+”号. “+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的.16世纪，意大利数学家塔塔里亚用意大利文“più”（加的意思）的第一个字母表示加，草写成“μ”，最后都变成了“+”号. “-”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“-”了.也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少.以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+”号.到了15世纪，德国数学家魏德曼正式确定：“+”用作加号，“-”用作减号. 乘号曾经用过十几种，现在通用两种.一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的;一个是“?”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的.德国数学家莱布尼茨认为：“×”号像拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“?”号.他自己还提出用“п”表示相乘.可是这个符号现在被应用到集合论中
去了.到了18世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号.他认为“×”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号. “÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行.直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“-”（除线）表示除.后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才正式将“÷”作为除号. 小括号“（）”出现于1544年，17世纪末，英国的华里士最先在计算中使用，中括号“[ ]”是16世纪英国数学家魏治德创造的，大括号“{ }”是1593年法国数学家韦达发明的.绝对值符号“”是1841年外尔斯特拉斯首先引用的.到了1905年，甘斯以“”符号表示向量的长度，有时也称这长度为绝对值.若以向量解释复数，那么“模”、“长度”及“绝对值”都是一样的，这体现了甘斯符号的合理性，因而沿用至今. 平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，17世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次使用了根号，他写道：“如果想求n的平方根，就写作，如果想求n的立方根，则写作.” 16世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别.可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是
第一讲数学的起源与早期发展 主要内容：数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。 1、数与形概念的产生 从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。原始社会末期，人们对数的概念比较模糊，因而在进行物物交换时显得很不方便，“数”概念的形成就显得非常迫切。也就是说，人从社会生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。 如，手指计数（伊朗，1966），结绳计数（秘鲁，1972）（美国自然史博物馆藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人称之为基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形数字），西安半坡遗址出土的陶器残片。 早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部）等。 世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。 2、河谷文明与早期数学 2.1 古代埃及的数学 背景：古代埃及简况 埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3000年左右开始出现初步统一的国家。 古代埃及可以分为5个大的历史时期：早期王国时期（公元前3100－前2688年）、古王国时期（前2686－前2181年）、中王国时期（前2040－前1768年）、新王国时期（前1567－前1086年）、后期王国时期（前1085－前332年）。 （1）古王国时期：前2686－前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。 （2）新王国时期：前1567－前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。
数学符号的起源 一、数学符号的起源 (包括）：1.“+”号 2.“-”号 3.“X”号 4.平方根号 5.“÷”号 6.“=”号 7.“>、<”号8.任意号 二、符号种类 （包括）：1.几何符号 2.代数符号 3.运算符号 4.集合符号 5.特殊符号 6.推理符号 7.数量符号 8.关系符号 9.结合符号10.性质符号11.省略符号 12.排列组合符号13.离散数学符号
数学符号的起源 数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。 例如加号曾经有好几种，现在通用"+"号。 "+"号是由拉丁文"et"（"和"的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"（加的意思）的第一个字母表示加，草为"κ"最后都变成了"+"号。 "-"号是从拉丁文"minus"（"减"的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了"-"了。 到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定："+"用作加号，"-"用作减号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是"×"，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是"·"，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为："×"号象拉丁字母"X"，加以反对，而赞成用"·"号。他自己还提出
用"п"表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把"×"作为乘号。他认为"×"是"+"斜起来写，是另一种表示增加的符号。 平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号。“√”是由拉丁字线“r”变，“——”是括线。 "÷"最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将"÷"作为除号。 十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号，他还在几何学中用"?"表示相似，用"≌"表示全等。
为什么选《数学史》？有几种原因： (1)听故事 (2)找思想 (3)解疑问 (4)补遗憾 (5)猎奇 (6)无奈（为学分） 本课程或多或少能满足以上需求． 对多数人而言，数学恐怕是花力气最多而收效甚少的一门学科。原因固然是多方面的，但僵化呆板的教科书和多年来因急功近利而形成的应试教育无疑是罪魁祸首。将定义、定理、推论一古脑地堆砌在一起是国内数学教科书一成不变的模式，似乎只有这样才能体现数学的严谨。数学家的智慧之光不见了，我们看到的只是些既不知出自谁手，又不知有何用途的空洞理论。同学们对数学的那种与生俱来的好奇心也不见了，我们看到的只是些在那无边的题海中苦苦挣扎的身影。不少同学视数学为畏途已是不争的事实，这为我们的教育工作者敲响了警钟。如何使同学们对数学有兴趣呢？捷径只有一条，那就是要让同学们了解数学的历史。 俗话说：内行看门道，外行看热闹。你可能因抽象的符号或概念而一时感到困惑，但这不能成为你拒绝这门课的理由，因为这对我们来说或许不是最重要的，重要的是历代数学家的工作和生活能给我们以什么样的启示。你或许为数学家们为克服困难而表现出的睿智而惊讶，或许为他们身处逆境但仍对事业孜孜以求的精神而感动，或许为他们因触犯传统势力而受到不公正的待遇而愤怒，或许为他们正值事业顶峰时英年早逝而唏嘘。不管你出于什么目的来到了这个课堂，相信在听完这门课之后都会重新认识数学、感悟数学。到那时，你可能会对没有选这门课的同学说：你该去听听《数学史》，那课听起来还有点儿意思。
第一章数学起源与早期发展 1.1数与形概念的形成 数的概念和计数远在有文字记载以前就发展起来了，因而对其发展方式大都只能揣测，想象它大概会是怎么发生的并不困难。我们有相当的理由说，人类在最原始的时代就有了数的意识，至少在为数不多的一些东西中增加或取出几个时，能够辨认其多寡。因为研究表明，有些动物也具有这种意识。随着社会的逐步进化，简单的计算成为必不可少的了。一个部落必须知道它有多少成员、有多少敌人；一个人也感到需要知道他羊群里的羊是否少了。或许最早的计数方法是使用简单的算筹以一一对应的原则来进行的。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。数的概念的形成大概与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对于人类文明的意义绝不亚于火的使用。 当对数的认识越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是就导致了记数，而记数是伴随着计数的发展而发展的。最早可能是手指计数，以至手上的五个手指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头和在一起，可以用来表示不超过10个元素的集合。正如亚里士多得早就指出的那样，今天十进制的广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学事实的结果。 当指头不够用时，就出现了石子记数等，以便表示同更多的集合元素的对应。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。中国古代文献《周易?系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”之说。“结绳而治”，即结绳记事或结绳记数，“书契”就是刻划符号。 结绳方法不仅在中国而且在世界其他许多地方都曾使用过，有些结绳 实物甚至保存下来。如美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记 事的绳结，当事人称之为基普（quipu）：在一根较粗的绳上拴系有颜色的 细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不 同的事物或数目。右图是一个基普的实物照。这种记事方法在秘鲁高原一 直盛行到19世纪，而世界上有些地方如日本的琉球岛居民至今还保持着结绳记事的传统。 迄今发现的人类刻痕记数的最早证据，是1937年在捷克的摩拉维亚(Moravia)出土的一块幼狼胫骨，如图， 其上有55道刻痕。这块狼骨的年代，据考大约在3万年前。又经历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。以下按时代顺序列举世界
活动名称：数学活动 活动内容:《有趣的数学符号》 设计思路： 对于幼儿来说，〉和〈看起来很抽象，实际上只要让孩子记住它们的开口方向，学起来就很容易了，并且能增强他们的兴趣，本节课的设计有两大特点：1、运用儿歌和身体姿势感知，让幼儿记住它们的开口方向；2、运用孩子感兴趣的游戏贯穿整个活动内容。 活动目标： 1 对数学符号感兴趣。 2 认识等号、大于号、小于号，运用符号表示数量关系。 活动准备： 1 多媒体课件《数学符号真好玩》 2 数学卡片若干。 活动过程： 1 出示数字卡及数学符号卡，谈话引入课题。 教师：小朋友，今天我请来了许多朋友，请你们仔细看大屏幕，哪些是我们已经认识的？把它们找出来。 小结：小朋友们认识的朋友可真多，现在屏幕上还有三个新朋友，我们还不熟悉，我们一起来认识一下吧！ 2 认识数学符号：等于号、大于号、小于号。
（1）出示图片，认识符号。 ①出示等于号的图片，提问： 这个新朋友，风才有小朋友已经说出了他的名字，你们认识它吗？它叫什么名字？长得什么样？什么时候，我们需要用等于号呢？ 教师小结：等于号是由两条一样长的平行线组成的，它表示两边的物品或数字是一样多的、一样大的。 ②同时出示大于号和小于号的图片。 教师：接下来，我们要认识一对双胞胎符号，请你们仔细看一看，你们认识它们吗？它俩长得什么样，有什么一样和不一样的地方？ 小结：大于号和小于号都是一头尖，一头张开大口，象一只鳄鱼张开大嘴巴。不一样的是，前面开口，后面尖尖的是大于号，它表示前面的物品或数字比后面的要多、要大;前面尖尖，后面开口的是小于号，它表示前面的物品或数字比后面的要少，要小。 （2）尝试用手臂探索表示各种数学符号。 教师：小朋友们，你们知道吗？刚才我们认识的等于号、大于号、小于号都是数学符号，而且它们都是由两条直线组成的。动动脑筋，，你们能用我们两只平平的，像直线一样的手臂表示这几个符号吗？
宁波大学考核答题纸 （2014—2015学年第二学期） 课号：081L21RA1 课程名称：数学的发展与应用改卷教师：徐晨东 学号：146520037 姓名：梁彩虹得分： 浅谈我国数学符号的起源与发展 摘要：数学符号是数学科学专门使用的特殊符号，是一种含义高度概括、形体高度浓缩的抽象的科学语言。数学符号发展所遵循的方向大多是由复杂到简单，由形象到抽象，数学符号的发展史是相当长的。 关键字：数学符号的早期使用记数 正文： 符号是某种事物的记号。人们总是探索用简单的记号代表复杂的事物，于是产生了各种符号。学过数学的人都应该知道数学符号对于研究数学的重要性，可以说没有数学符号我们的数学研究就没办法进行，数学符号是数学科学专门使用的特殊符号，是一种含义高度概括、形体高度浓缩的抽象的科学语言。 具体地说，数学符号是产生于数学概念、演算、公式，命题、推理和逻辑关系等整个形成的特殊的数学语言。我国数学史家梁宗巨曾说：“使用符号，是数学史上一件大事。一套合适的符号，绝不仅仅是起速记、节省时间的作用。他能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系。”（引自《世界数学史简编》。从中我们便能知道数学符号对数学的研究和发展起的重要作用，那么我们今天所熟知的数学符号是怎样起源以及怎样发展而来的呢？ 现在一部分数学符号的使用在世界范围内已经统一，但是也有很多未能统一，这就和每个国家的数学上的发展息息相关了，而在我们已经统一的数学符号中并不是所有都起源于某一个国家或地区，也不是就用某一个民族的语言文字就能表示的，这些数学符号来自于世界各个民族的语言文字表达，它们综合世界语言文字的表达慢慢发展而确定下来的，当然这些符号在使用时具有一定的优势才会被世界所公认，并从发明之日一直沿用下来，其中有一些符号是由于某些著名而又有影响力的数学家以及科学家在他们发表的期刊和著作中使用了一些符号来表示相应的计算，后人就在此基础上加以改造使用这些符号，或者就直接使用这些符号的，当遇到几种不同的表达形式时当然就择优选用了，也有一些数学符号的确定是由它最早出现的表达形式来确定，这个就与使用者是不
七年级九班 李蕙茹 一、探究背景： 研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它与通常历史科学研究的对象又不相同，所以，我们既可以在数学中学到历史，又可以在历史中学到数学。数学是研究现实世界的图形和数量关系的科学，包括代数、几何、三角、微积分等。它来源于生产，服务于生活，并不是空中楼阁，而是人类智慧的结晶。 二、目的意义： 对数学产生兴趣，轻松学好数学。通过查找名人趣事、数学常识等资料，对数学的功用问题有一个正确的认识，从而让我们对数学产生兴趣，提高数学成绩，开发我们的脑力，使自己不断提高能力，从而达到事倍功半的效果。 三、探究方法： 1、历史研究法，又叫历史考证法。数学自东汉以来的《九章算术》到现代的《微积分》，上上下下经历了几千年的时间，与现代数学联系起来，对数学历史的考证有巨大的作用。 2，自主探究法。所谓自主探究，就是通过各种途径找到对自己有用
的资料，进行整理，这是一种比较常见的方法。 四、探究结果： （一）数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面《史记?夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理〔西方称勾股定理〕的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
目录 数学符号起源 (1) 数学符号种类 (2) 数学符号读法 (10) 数学符号起源 数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。 例如加号曾经有好几种，现在通用"+"号。 "+"号是由拉丁文"et"（"和"的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"（加的意思）的第一个字母表示加，草为"δ"最后都变成了"+"号。 "-"号是从拉丁文"minus"（"减"的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了"-"了。 到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定："+"用作加号，"-"用作减号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是"3"，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是"2"，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为："3"号象拉丁字母"X"，加以反对，而赞成用"2"号。他自己还提出用"п"表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把"3"作为乘号。他认为"3"是"+"斜起来写，是另一种表示增加的符号。 平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“ⅳ”表示根号。“ⅳ”是由拉丁字线“r”变，“——”是括线。 "÷"最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将"÷"作为除号。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/8726612.html, 微积分中数学符号的由来 作者：梁海滨 来源：《中小企业管理与科技·上旬刊》2013年第11期 摘要：介绍了积分符号∫、无穷大符号∞、极限符号lim、数集符号、判别式符号？驻、自然对数底数符号e、属于符号∈等微积分中常见数学符号的由来，帮助学生更好地掌握这一学科知识，激发学生学习兴趣，培养学生的数学素质。 关键词：微积分数学符号由来 “使用符号，是数学史上的一件大事。一套合适的符号，绝不仅仅是起速记、节省时间的作用。它能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系。一个较复杂的公式，如果不用符号而用日常语言来叙述，往往十分冗长而且含糊不清。”（引自我国数学史家梁宗巨的《世界数学史简编》）。 1 积分符号∫的由来 积分的本质是无穷小的和，拉丁文中“Summa”表示“和”的意思。将“Summa”的头一个字母“S”拉长就是∫。 发明这个符号的人是德国数学家莱布尼茨（Friedrich ， Leibniz）。莱布尼兹具有渊博的 知识，在数学史上他是最伟大的符号学者，并且具有符号大师的美誉。莱布尼兹曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。”莱布尼兹创设了积分、微分符号，以及商“a/b”，比“a：b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“∩”等符号。 牛顿和莱布尼茨在微积分方面都做出了巨大贡献，只是两者在选择的方法和途径方面存在一定的差异。在研究力学的基础上，牛顿利用几何的方法对微积分进行研究；在对曲线的切线和面积的问题进行研究的过程中，莱布尼兹采用分析学方法，同时引进微积分要领。在研究微积分具体内容的先后顺序方面，牛顿是先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹是先有求积概念，后有导数概念。在微积分的应用方面，牛顿充分结合了运动学，并且造诣较深；而莱布尼兹则追求简洁与准确。另外，牛顿与莱布尼兹在学风方面也迥然不同。牛顿作为科学家，具有严谨的治学风格。牛顿迟迟没有发表他的微积分著作《流数术》的原因，主要是他没有找到科学、合理的逻辑基础，另外，可能也是担心别人的反对。与此相反，莱布尼兹作为哲学家，富于想象，比较大胆，勇于推广，主要表现为，在创作年代方面：牛顿比莱布尼兹领先10年，然而在发表时间方面，莱布尼兹却领先牛顿3年。对于微积分的研究，虽然牛顿和莱布尼兹采用的方法不同，但是却殊途同归，并且各自完成了创建微积分的盛业。 2 无穷大符号∞的由来
常用数学符号大全 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ? 3运算符号 ×÷√ ± 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△ⅶ??≠ ? ±≥ ≤ ⅰ????↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ～?????ⅵ? 3运算符号 ×÷ⅳa 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ⅲπ（圆周率） 6推理符号
|a| ??△ⅶ????a??ⅰ ? ???↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ ΓΓΘΛΞΟΠ?ΦΥΦΧ αβγδεδεζηθικλ μνπξζηυθχψω Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ﹪ ﹫ ? ? ? ? ? ? ? ? ⅰⅱⅲ?ⅳⅴⅵ? ⅶ?ⅷⅸⅹ???? ??????????????????? ??? 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋ plus 加号；正号 － minus 减号；负号 a plus or minus 正负号 × is multiplied by 乘号 ÷ is divided by 除号 ＝ is equal to 等于号
? is not equal to 不等于号 ? is equivalent to 全等于号 ? is approximately equal to 约等于 ? is approximately equal to 约等于号＜ is less than 小于号 ＞ is more than 大于号 ? is less than or equal to 小于或等于? is more than or equal to 大于或等于％ per cent 百分之… ⅵ infinity 无限大号 ⅳ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ? since; because 因为 ? hence 所以 ⅶ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ? circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ? intersection of 并，合集 ? union of 交，通集
常用数学符号及其意义 1 几何符号 ?∥∠??≡ ≌△ 2 代数符号 ∝∧∨～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 × ÷ √ ± 4集合符号 ∪∩ ∈ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△∠∩ ∪≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈← ↑ → ↓ ↖↗↘↙∥∧∨ &; § ?????????? Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ
μ ν π ξ ζ ηυ θ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣∥∧∨∩ ∪∫ ∮ ∴∵∶∷?≈ ≌≒≠ ≡ ≤ ≥ ≦≧≮≯⊕?? ??℃ 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋plus 加号；正号 －minus 减号；负号 ±plus or minus 正负号 ×is multiplied by 乘号 ÷is divided by 除号 ＝is equal to 等于号 ≠ is not equal to 不等于号 ≡ is equivalent to 全等于号 ≌ is approximately equal to 约等于 ≈ is approximately equal to 约等于号 ＜is less than 小于号 ＞is more than 大于号
≤ is less than or equal to 小于或等于≥ is more than or equal to 大于或等于％per cent 百分之… ∞ infinity 无限大号 √ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ∵ since; because 因为 ∴ hence 所以 ∠ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ○ circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ∪ intersection of 并，合集 ∩ union of 交，通集 ∫ the integral of …的积分 ∑ (sigma) summation of 总和 °degree 度 ′ minute 分 〃second 秒
湖湘文化的起源与发展集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
湖湘文化的起源与发展 是的支脉，是湖南各族人民长期积累的具有特色的民风、民俗、民族性格、、等因素的总和。的历史，它的历史源头是。战国时期的长沙已是聚居、人口稠密、和商业都相当发达的城。反映的文献有中的《》、《》、《》、和长沙子弹库楚墓中出土的，以及各种习俗的考古资料。此外，由与湖南共同创造的文学艺术，包括诗歌、散文、音乐、绘画、雕塑、等，在春秋战国时都已经达到相当的程度与水准。隶属中国传统儒家。其重要特点是“思想、文化、道德、理想、信念融于现实中，并为政治服务。 在宋代，湖南出现了理学开山祖—，他创建的理学，就是以为核心，吸收了道学、而形成的，在中国古代思想史上，开“”的先河。理学又称道学、，是后来出现的“”的思想渊源。 “”的奠基人，曾在创办文定书院，他于1138年春在湖南去世，安葬于。 明清之际，湖南出现了理学，从而使湖南成为理学思潮形成和发展的，而这一时期在大地建立了闻名全国的、则成为理学思潮的主要学术文化基地。湖湘文化，是指一种具有鲜明特征、相对稳定并有传承关系的形态。先秦、两汉时期的文化应该纳入到另外一个历史文化形态——楚文化中。的诗歌艺术、的历史文物，均具有鲜明的楚文化特征。而及唐宋以来，由于历史的变迁发展，特别是经历了宋、元、明的几次大规模的移民，使湖湘士民在人口、、、观念上均发生了重要变化，先后产生了理学鼻祖，主张经世致用而反对程朱理学的，以及“睁眼看世界”的等一系列思想家，从而组合、建构出一种新的区域文化形态，称之为湖湘文化。先秦、两汉的楚文化对两宋以后建构的湖湘文化有着重要的影响，是湖湘文化的源头之一。湖湘文化在历经先秦湘楚文化的孕育，宋明中原文化等的洗练之后，在近代造就了“湖南人材半国中”、“中兴将相，什九湖湘”、“半部中国近代史由湘人写就”、“无湘不成军”等盛誉。 根据考古发掘和先秦文献中许多史实记载的惊人暗合，人们对湖湘文化的历史长河产生了再认识：湖湘文化不仅源自千年，而且缘于炎黄文化和前炎帝神农文化。尽管炎帝与远古湖湘文明的渊源难以考证，在近代上却一直是最可信的故地，具有最浓厚的文化氛围。早在公元976年就“立庙陵前”，1371年明洪武帝又“考君陵墓在此”，到清年间祭道旁刻下“邑有圣陵”的石刻，而1993年国家主席江泽民又亲笔题写了“”，至此，鹿原陂作为始祖长眠之地(“茶乡之尾”)的历史地位就更趋稳定。从等资料记载可以看出，舜帝传说很可能源自湖湘一带，史记记载舜帝“崩于之野，葬于江南九嶷”，《》记载了“湘水出，舜葬东南陬”。在流放楚国，留下不少千古绝唱，《》，《》，《》，这些很可能源自湖湘地域的民间传说，尤其是《》，可以肯定是源自当时“二妃寻夫”的传说。公元前210年到洞庭湖望祭，到718年委派张九龄遣祭，再到2004年世界舜裔宗亲联谊会在拜祭，2006年公祭舜帝大典在九嶷山举行，悠久的祭舜历史和繁多的舜陵祭文似乎已将“根在九嶷”的传说化作了无可争辩的史实。
二年级数学综合实践课 <<奇妙的数学符号>>教学设计 一、活动内容：奇妙的数学符号 二、活动目标： 1、通过学生搜集资料，以故事形式介绍数学符号的来历，激发学生主动探索和研究的精神。 2 、通过巧填数学符号的学习，用扑克牌算24的游戏，培养学生灵活的计算能力和初步的逻辑推理能力。 3、使学生感受数学知识的有趣和有用，激发学生学习数学的兴趣。 三、理论依据： 1、马克思主义科学实践观马克思主义认为，认识是在实践基础上产生进行新的探索和研究：同时，实践也不断提供的，一切真知都来源于实践。变化的实践不断给人们提出新的认识课题，推动人们去解决新课题的经验材料以及日益完备的认识:工具另外，实践还改造了人的主观世界锻炼和提高人的认识能力。美国教育家彼得克来恩也认为：“学习的三大要素是接触、综合分析、实际参与。”讲的也是这个道理。 2、“人本心理学”理论该理论由美国心理学家罗杰斯提出，它重视人的自我实现、社会活动、人际关系以及亲身经历，是目前西方流行的一个心理学派。 四、活动准备：1、自制多媒体课件2、扑克牌若干副，数学符号的头饰五个五。 活动过程： （一）、引入师：今天老师想和小朋友一起去数学王国里去玩一玩，高兴吗？（画面显示：数学王国，并配以优美音乐）师：数学王国的大门上有一组有趣的算式。仔细观察，你发现这些算式有趣在哪里？（出示）：3 +3 －3－ 3 = 3 +3－3 ÷3= 3 －3 +3÷ 3 = 3+ 3+ 3 －3 = 3÷3－3÷3 = 3 +3 +3 ÷3 = 3× 3 －3 －3 = 3 ×3 －3 ×3 = （3 ×3 +3）÷3 = 3 ×3 +3 －3 = 师：是呀，这10个算式中的各个运算符号都不一样。那么，计算结果会出现什么情况呢？一起来算一算。（指名口算，屏幕上随机显示计算结果）集体校对。师：你发现计算结果一样吗？为什么算式中的数字都是3，计算结果却不一样呢？指名回答。师：看来，数学符号真是神通广大、奇妙无比。数学课上，我们常常要和这些符号们打交道，数学符号成了我们天天见面的好朋友。你们看，展现在面前的这座又大又神奇的宫殿里就住着奇妙的数学符号们。（出示课题：奇妙的数学符号）齐读。 （二）、介绍数学符号来历1、过渡：我们都认识哪些数学符号呢？（画面随机显示各种符号）师：早在几千年以前，我国古代人们就会计算加减法和乘除法了，但是却没有想到用符号来表示这些运算，而是用汉字的相加、相减、相乘、相除来表示。想一想，那该有多麻烦！所以，一些聪明的人就发明了运算符号。这些运算符号都是谁发明的，你想了解它们吗？2、指名表演师：你们看，他们来了！（五位小朋友戴着头饰走上讲台）他们很愿意自我介绍，掌声欢迎他们，好吗？表演对话：加号:我是加号减号:我是减号合: 问：谁还有补充？师：小朋友了解的可真多。不过他们介绍的只是几个数学符号的来历，数学王国里还有很多的符号，课后，小朋友可以找找书，也可以上网查查。 （三）、探索应用1、学生独立或合作思考，探求答案师：这里有一些不完整的算式，请你填上合适的数学符号，使等式成立。出示：3 3=0 3 3=6 3 3=1 3 3=9 指名口答。再出示：3 3 3=0 3 3 3=2 学生独立思考解答。再出示：3 3 3 3=3 3 3 3 3=9 同座讨论，寻找答案。问：还有不一样的方法吗？再出示：3 3 3 3 3 3=1 3 3 3 3 3=2 小组讨论，寻找答案。问：还有不
数学符号的起源 数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系．数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多．现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种．它们都有一段有趣的经历．例如加号曾经有好几种，现在通用“+”号．“+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的．十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“più”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“+”号． “-”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“-”了．也有人说，卖酒的商人用"-"表示酒桶里的酒卖了多少．以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+”号．到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“-”用作减号． 乘号曾经用过十几种，现在通用两种．一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的．德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“·”号．他自己还提出用“п”表示相乘．可是这个符号现在应用到集合论中去了． 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号．他认为“×”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号． “÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行．直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“-”（除线）表示除．后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号． 平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶， 法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“”表示根号．十六世纪法国数学家 维叶特用“=”表示两个量的差别．可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来．1591年，法国数学家韦达大量使用这个符号，才逐渐为人们接受．十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号，他还在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等． 大于号“＞”和小于号“＜”，是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用．至于“≯”“≮”、“≠”这三个符号的出现，是很晚的事了． 大括号“{ }”和中括号“[ ]”是代数创始人之一魏治德创造的．
茶馆文化的起源和发展 学生：许杨 (园艺园林学院茶学一班班级，学号200941736108) 摘要：我国的茶馆文化历史悠久，茶馆是茶文化的载体，是民俗文化的体现，在这种条件下茶馆文化得以很好的继承和发扬，茶馆文化理念也更深刻的透到人们心中。本文通过对不同时期中国茶馆的分析、对茶馆文化功能的演变以及各地茶馆风格的阐述，期待中国茶馆业得以更好的发展。 关键词：茶馆；文化；起源；发展；派别 茶馆是爱茶者的乐园，也是人们休息、消遣和交际的场所；茶馆是一个古老的行业，它经过历史的积淀，具有深厚的文化底蕴。中国的茶馆由来已久，据记载两晋时已有了茶馆。自古以来，品茗场所有多种称谓，茶馆的称呼多见于长江流域；两广多称为茶楼；京津多称为茶亭。此外，还有茶肆、茶坊、茶寮、茶社、茶室、茶屋等称谓。茶摊没有固定的场所，是季节性的、流动式的，主要是为过往行人解渴提供方便；茶馆设有固定的场所，人们在这里品茶、休闲等。“茶之为饮，发乎神农，闻于鲁周公” ，这是唐代陆羽在世界上第一部茶叶专著《茶经》中的一种观点。茶馆的产生和兴盛以饮茶之风的盛行为前提，在茶馆初步形成之前，是漫长的饮茶发展史。 1.茶馆文化的历史渊源 1.1古代茶馆文化 在茶作为药用时，由于茶叶产量低价格昂贵，它只限于贵族、富豪使用。随着茶叶种植、生产和饮用相对普及后，茶才可能成为普通民众的消费之物。一开始与普通民众的生活发生密切联系的不是茶馆而是茶摊，自唐朝开元年间，在许多城市已有煎茶，卖给茶的店铺，只要投钱，即可自取随饮。 公元780 年，陆羽《茶经》的问世，是中国茶文化形成的标志。从此唐代饮茶之风盛行，茶文化已形成一定的气势，茶馆已出现并有一定的发展，但茶馆并未普及和完善。从发展阶段上可以这样归纳：东晋是原始型茶馆的发展阶段，南北朝时形成初级型的茶寮，唐代是茶馆的正式形成时期。从此，茶馆正式在中国包括城市乡镇的土地上有了广泛的立足之地，并发展为全国性、商业性、集体性的饮茶场所。唐代的茶馆主要以卖茶为主，设备简单，这个“土店”，很可能
小学二年级数学综合实践活动设计奇妙的数学符号 一、活动内容： 智力活动中的数学 二、活动目标： 1、通过学生搜集资料，以故事形式介绍数学符号的来历，激发学生主动探索和研究的精神。 2 、通过巧填数学符号的学习，用扑克牌算24的游戏，培养学生灵活的计算能力和初步的逻辑推理能力。 3、使学生感受数学知识的有趣和有用，激发学生学习数学的兴趣。 三、理论依据： 1、马克思主义科学实践观马克思主义认为，认识是在实践基础上产生进行新的探索和研究：同时，实践也不断提供的，一切真知都来源于实践。变化的实践不断给人们提出新的认识课题，推动人们去解决新课题的经验材料以及日益完备的认识:工具另外，实践还改造了人的主观世界锻炼和提高人的认识能力。美国教育家彼得克来恩也认为：“学习的三大要素是接触、综合分析、实际参与。”讲的也是这个道理。 2、“人本心理学”理论该理论由美国心理学家罗杰斯提出，它重视人的自我实现、社会活动、人际关系以及亲身经历，是目前西方流行的一个心理学派。 四、活动准备： 1、自制多媒体课件 2、扑克牌若干副，数学符号的头饰五个五、 活动过程： （一）、引入师：今天老师想和小朋友一起去数学王国里去玩一玩，高兴吗？（画面显示：数学王国，并配以优美音乐）师：数学王国的大门上有一组有趣的算式。仔细观察，你发现这些算式有趣在哪里？（出示）：3 +3 －3－ 3 = 3 +3－ 3 ÷ 3= 3 －3 +3÷ 3 = 3+ 3+ 3 －3 = 3÷ 3－3÷ 3 = 3 +3 +3 ÷3 = 3× 3 －3 －3 = 3 ×3 －3 ×3 = （3 ×3 +3）÷3 = 3 ×3 +3 －3 = 师：是呀，这10个算式中的各个运算符号都不一样。那么，计算结果会出现什么情况呢？一起来算一算。（指名口算，屏幕上随机显示计算结果）集体校对。师：你发现计算结果一样吗？为什么算式中的数字都是3，计算结果却不一样呢？指名回答。师：看来，数学符号真是神通广大、奇妙无比。数学课上，我们常常要和这些符号们打交道，数学符号成了我们天天见面的好朋友。你们看，展现在面前的这座又大又神奇的宫殿里就住着奇妙的数学符号们。（出示课题：奇妙的数学符号）齐读。 （二）、介绍数学符号来历 1、过渡：我们都认识哪些数学符号呢？（画面随机显示各种符号）师：早在几千年以前，我国古代人们就会计算加减法和乘除法了，但是却没有想到用符号来表示这些运算，而是用汉字的相加、相减、相乘、相除来表示。想一想，那该有多麻烦！所以，一些聪明的人就发明了运算符号。这些运算符号都是谁发明的，你想了解它们吗？ 2、指名表演师：你们看，他们来了！（五位小朋友戴着头饰走上讲台）他们很愿意自我介绍，掌声欢迎他们，好吗？表演对话：加号:我是加号减号:我是减号合: 问：谁还有补充？师：小朋友了解的可真多。不过他们介绍的只是几个数学符号的来历，数学王国里还有很多的符号，课后，小朋友可以找找书，也可以上网查查。 （三）、探索应用 1、学生独立或合作思考，探求答案师：这里有一些不完整的算式，请你填上合适的数学符号，使等式成立。出示：3 3=0 3 3=6 3 3=1 3 3=9 指名口答。再出示：3 3 3=0 3 3 3=2 学生独立思考解答。再出示：3 3 3 3=3 3 3 3 3=9 同座讨论，寻找答案。问：还有不一样的方法吗？再出示：3 3 3 3 3 3=1 3 3 3 3 3=2 小组讨论，寻找答案。问：还有不同的方法吗？ 2、问：通过解答刚才的几组题目，你想说什么？小结：数学符号真是奇妙无比。四、玩“二十四点” 1、师：下面我们来轻松一下，一起玩“二十四点”，好吗？老师这里有这样四张牌：（画面显示：黑桃8、方块2、红桃4、梅花6）你能用上合适的数学符号算出24吗？比一比谁的速度快、方法多。 2、介绍游戏规则。 3、四人小组游戏。（四）、活动总结问：今天你玩得开心吗？你最开心的是什么？六、活动评价：本设计通过学生自己搜集材料，加深了对数学符号的印象，把学生真正推向认识的主体地位，充分调动学生的学习积极性和主动性。通过引导学生多种方法填写符号和玩“二十四点”，培养了学生主动探求、主动沟通、主动应用、主动完善的能力