人教版七年级上册 第四章几何图形初步 复习教案
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第八讲---几何图形初步初中数学 重难点年级1. 立体图形（立体图形的基础、三视图、展开图等） 2. 直线，射线，线段三者的区别与联系 3. 角的基本知识，角的比较和运算，余角和补角的相关概念7 年级【知识储备】知识点一 多姿多彩的图形：通过多姿多彩的图形引入几何图形，使我们认识立体图形、平面图形，通过三视 图我们可以把立体图形转化为平面图形来研究和处理，也可以把立体图形展开为平面图形；几何体也简 称为体，包围体的是面，面面相交为线，线线相交为点；点动成线，线动成面，面动成体，几何图形都 是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
举例：广场礼花在夜空中留下的图形，你是否看到了点动成线？在电视中看到收割机在麦田中收割 小麦，你是否看到了线动成面？ 知识点二 1.直线、射线、线段的区别与联系：从图形上看，直线、射线可以看做是线段向两边或一边无限延 伸得到的，或者也可以看做射线、线段是直线的一部分；线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有 端点；线段可以度量，直线、射线不能度量。
2.直线、线段性质： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线；或者说两点确定一条直线； 两点的所有连线中，线段最短；简单说：两点之间，线段最短。
3.线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点，如图：若点 C 是线段 AB 的中点，则有（1）AC=BC= 式成立，亦能说明点 C 是线段 AB 的中点。
AB 或（2）AB=2AC=2BC，反之，若有（1）式或（2）4.关于线段的计算：两条线段长度相等，这两条线段称为相等的线段，记作 AB=CD，平面几何中线段 的计算结果仍为一条线段。
即使不知线段具体的长度也可以作计算。
1例：如图：AB+BC=AC，或说：AC-AB=BC知识点三：1.角的意义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点是角的顶点，这两条射线是角的 两条边，角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的度量：1°=60′ 1′=60″ 1 周角=360° 1 平角=180° 1 直角=90°3.角的大小的比较：（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较； （2）度量法。
4.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相 角的射线，叫做这个角的平分线。
如图：OC 平分∠AOB，则等的两个 （1）∠AOC=∠BOC= ∠AOB 或（2）2∠AOC =2∠BOC =∠AOB。
5.有关角的运算：举例说明：如图，∠AOC+∠BOC=∠AOB，∠AOB-∠AOC=∠BOC特殊情况，如果两个角的和等于直角，就说这两个 即其中一个是另一个的余角；如果两个角的和等于平 个角互为补角，即其中一个是另一个的补角；等角的余 的补角相等。
角互为余角， 角，就说这两 角相等，等角【典例精析】例 1 如图 3-162 所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左 边立体图形的哪个视图。
图 3—162 解：（1）左视图，（2）俯视图，（3）正视图 例 2 （1）如图 3-163 所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形2相类似的物体。
（2）如图 3-164 所示，写出图中各立体图形的名称。
图 3-163图 3-164 解：（1）①与 d 类似，②与 c 类似，③与 a 类似，④与 b 类似。
（2）①圆柱，②五棱柱，③四棱锥，④五棱锥。
例 3 （1）过一个已知点的直线有多少条？ （2）过两个已知点的直线有多少条？ （3）过三个已知点的直线有多少条？ （4）经过平面上三点 A，B，C 中的每两点可以画多少条直线？ （5）根据（4）的结论，猜想经过平面上四点 A，B，C，D 中的任意两点画直线，会有什么样的结 果？如果不能画，请简要说明理由；如果能画，请画出图来。
解：（1）过一点可以画无数条直线。
（2）过两点可以画惟一的一条直线。
（3）过三个已知点不一定能画出直线。
当三个已知点在一条直线上时，可以画出一条直线； 当三个已知点不在一条直线上时，不能画出直线。
（4）如图 3-165 所示，当 A，B，C 三点不共线时，过其中的每两点可以画一条直线，共可画出三条 直线；当 A，B，C 三点在一条直线上时，经过每两点画出的直线重合为一条直线。
3图 3-165 （5）经过平面上四点中的任意两点画直线，一共有三种情况，如图 3-166 所示， 当 A，B，C，D 四点共线时，只能画出一条直线； 当 A，B，C，D 四点中有三点在同一直线上时，可以画出四条直线； 当 A，B，C，D 中不存在三点在同一直线上时，可以画出六条直线。
图 3-166例 4 如图 3-172 所示，已知三点 A，B，C，按照下列语句画出图形。
（1）画直线 AB；（2）画射线 AC；（3）画线段 BC。
解：如图 3-172 所示，图 3-172直线 AB、射线 AC、线段 BC 即为所求。
例 5 如图 3-173 所示，回答下列问题。
（1）图中有几条直线？用字母表示出来；（2）图中有几条射线？用字母表示出来；图 3-173（3）图中有几条线段？用字母表示出来。
[分析]掌握线段、直线的区别与联系，射线的方向性，线段的无向性，就可以解决这类问题。
解：（1）图中有 1 条直线，表示为直线 AD（或直线 AB，AC，BD，BC，CD）；（2）共有 8 条射线，能用字母表示的有射线 AB，AC，AD，BC，BD，CD，不能用字母表示的有 2 条，（3）共有 6 条线段，表示为线段 AB，AC，AD，BC，BD，CD。
4例 6 如图 3-184 所示的是两块三角板。
（1）用叠合法比较∠1，∠ ，∠2 的大小；（2）量出各角的度数，并把图中 6 个角从小到大排列，然后用“＜” 号连接。
[分析]叠合法就是把两个角的一边重合，根据另一边的位置就可以比较 小。
解：（1）如图 3-184 所示图 3-184把两块三角板叠在一起，可得∠1＜∠ ，用同样的方法可得∠ ＜∠2，所以∠1＜∠ ∠2。
或“＝” 出角的大（2）用量角器量出各角的度数分别是∠1＝30°, ∠2＝60°, ∠3＝90°, ∠ ＝45°, ∠ ＝ 45°, ∠ ＝90°，∴∠1＜∠ ＝∠ ＜∠2＜∠3＝∠ 。
例 7 （1）计算：①27°42′30″＋1070′；②63°36′－36.36°。
（2）用度、分、秒表示 48.12°。
（3）用度表示 50°7′30″。
解：（1）①27°42′30″＋1070′＝27°42′30″＋17°50′＝45°32′30″。
②63°36′－36.36°＝63°36′－36°21′36″＝63°35′60″－36°21′36″ ＝27°14′24″ 或 63°36′－36.36°＝63°36′－36°21.6′＝27°14.4′＝27°14′24″。
（2）∵48.12°＝48°＋0.12°，0.12°＝60′×0.12＝7.2′＝7′＋0.2′， 0.2′＝60″×0.2＝12″，∴48.12°＝48°7′12″。
（3）∵50°7′30″＝50°＋7′＋30″＝50°＋7′＋0.5′＝50°＋7.5′ ＝50°＋0.125°＝50.125°。
∴50°7′30″＝50.125°。
例 8 任意画一个角。
（1）用量角器量出它的度数，然后计算它的余角与补角的度数；（精确到度）5（2）用三角板画出它的余角及补角，再用量角器 余角及补角的度数。
（精确到度）量出图 3-186 解：（1）任意画一个角∠ABC（如图 3-186（1）所示）， 用量角器量得∠ABC＝38°， 那么∠ABC 的余角是度数是 90°－∠ABC＝90°－38°＝52°； ∠ABC 的补角的度数是 180°－∠ABC＝180°－38°＝142°。
（2）如图 3-186（2）所示，用三角板的直角顶点对准∠ABC 的顶点 B， 使三角板的一条直角边与 BC 重合， 画出∠CBD＝90°（BA 在∠CBD 的内部）， 则∠ABD 是∠ABC 的余角， 再用量角器量得∠ABD＝52°。
反向延长 BC，得射线 BE， 则∠ABE 是∠ABC 的补角， 再用量角器量得∠ABE＝142°。
[注意]此题中任意画的角∠ABC 必须是锐角，否则它没有余角。
图 3-187 例 9 小明从 A 点出发，向北偏西 33°方向走 33 m 到 B 点，小林从 A 点出发，向北偏东 20°方向走了 6.6 m 到 C 点，试画图确定 A，B，C 三点 的位置（1cm 表示 3m），并从图上求出点 B，C 的实际距离。
解：①如图 3-187 所示，任取一点 A，经过点 A 画一条东西方向的直线 WE 和一条南北方向的直线 NS（两 条直线相交成 90°角）。
②在∠NAW 内作∠NAB＝33°，量取 AB＝1.1cm。
③在∠NAE 内作∠NAC＝20°，量取 AC＝2.2cm。
④连接 BC，量得 BC＝1.8cm， ∴BC 的实际距离是 5.4m。
6【当堂小测】１. 已知平面内有四个点 A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最少可画多少条直线，最多可 画多少条直线？画出图来并说明理由．２．已知点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 BC 的中点，CD=2．5 厘米，请你求出线段 AB、AC、 AD、BD 的长各为多少？3．已知线段 AB=4 厘米，延长 AB 到 C，使 B C=2AB，取 AC 的中点 P，求 PB 的长． 4．计算下列各题: （1）23°30′＝____°;13．6°＝____°____′； （2）52°45′－32°46′＝____°____′； （3）18．3°+26°34′＝____°____′． 5．由图形填空 : ∠AOC＝______+______ ； ∠AOC－∠AOB ＝_________ ； ∠COD＝ ∠AOD－_______ ； ∠BOC＝ _____－ ∠COD ； ∠AOB+∠COD＝_____－______．76．如图，A、B、C 在一直线上，已知 １＝53°, 2＝37°．CD 与 CE 垂直吗？7．如图，经过直线 a 外一点 p 的４条直线中，与直线 a 平行的直线有___,共有__条．8．如图，如果 AB∥CD，那么 A 与 C__________．8【课后作业】一：选择题1．“节日的焰火”可以说是( )A．面与面交于线B．点动成线C．面动成体D．线动成面2．如图是一个正方体纸盒的展开图，六个面上分别写有“为武汉加油！”，则写有“为”字的对面是 ()A．武B．汉C．加D．！3．已知∠1＝43°27′，则∠1 的余角为( )A．46°33′B．46°73′C．136°73′D．136°33′4．已知 A，B，C 为平面内的三点，给出下列条件：①AC＝BC；②AB＝2BC；③AC＝BC＝12AB.选择其中 一个条件能得到“C 是线段 AB 的中点”的是( )A．①B．③C．①或③D．①或②或③5．如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角．如果∠DOC＝58°，那么下列判断错误的是( )A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOB＝132° C．∠AOB＋∠DOC＝180° D．若∠DOC 变小，则∠AOB 变大 6．将图中的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是( )9二、填空题 7．105°18′48″＋35.285°＝________°________′________″. 8．如图，已知∠AOB＝60°，OC 平分∠AOB，那么∠BOC 的补角是________°.9．在实际生活中，利用“两点之间，线段最短”这个基本事实，有利有弊．如笔直的铁路、开挖的隧 洞、架设港澳大桥等都是利用了“两点之间，线段最短”这个基本事实有利的一面．但有些时候不能走捷 径，如公园里为了不损坏花草，有许多提醒市民的宣传语就是利用了“两点之间，线段最短”这个基本事 实有弊的一面(如图)．通过你的观察，请你再写出一个类似这样的宣传语．你写的宣传语是 ___________________________________．10．下列说法： ①球的截面一定是圆； ②正方体的截面可以是五边形； ③棱柱的截面不可能是圆； ④长方体的截面一定是长方形． 其中正确的有________个． 11．如图，点 E，F 分别在长方形 ABCD 的边 AD，CD 上，连接 BE，将长方形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落10在点 A′处；将∠DEA′对折，点 D 落在 EA′的延长线上的 D′处，得到折痕 EF.若∠BEA′＝70°，则∠FED′ ＝________°.12．如图，两根木条的长度分别为 6 cm 和 10 cm，在它们的中点处各打一个小孔 M，N(小孔大小忽略 不计)．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 MN＝___________.三、解答题 13．如图，BD 平分∠ABC，BE 是∠ABC 内的一条射线，且∠ABE∶∠CBE＝2∶5，∠DBE＝21°，求∠ABC 的度数．14．如图，B 为线段 AD 的中点，点 C 在线段 BD 上，且 CD＝2BC，若 BC＝3，求 AD 的长．1115．请补充完成以下解答过程，并在括号内填写该步骤的理由． 已知：如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OA 平分∠DOE，若∠BOC＝20°，求∠COE 的度数．解：因为∠AOB＝90°， 所以∠BOC＋________＝90°. 因为________＝90°， 所以∠AOD＋∠AOC＝90°， 所以∠BOC＝∠AOD(________________)． 因为∠BOC＝20°， 所以∠AOD＝20°. 因为 OA 平分∠DOE， 所以________＝2∠AOD＝________°，12所以∠COE＝∠COD－∠DOE＝________°. 16．(1)如图，线段 AB 上有两个点 C，D，请计算图中共有多少条线段； (2)若线段上有 m 个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？ (3)拓展应用：8 个班级参加学校组织的篮球比赛，比赛采用单循环制(即每两个班级之间都要进行一 场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？17．如图，射线 OB 的方向是南偏东 60°，∠SOB 与∠NOC 互余，OA 平分∠BON. (1)射线 OC 的方向是____________； (2)求∠AOC 的度数．1318．如图，C 是线段 AB 的中点，延长线段 AB 至点 D，使 BD＝AB，延长 AD 至点 E，使 DE＝AC. (1)依照题意补全图形； (2)若 DE＝3，求线段 AB，BE 的长； (3)请写出图中与 BE 相等的线段，并说明理由．1419．(1)如图①，线段 AC＝6 cm，线段 BC＝15 cm，M 是 AC 的中点，在 CB 上取一点 N，使得 CN∶NB ＝1∶2，求 MN 的长；(2)如图②，若 C 为线段 AB 上任意一点，满足 AC＋BC＝a cm，M，N 分别为 AC，BC 的中点，请猜想 MN 的长度，并说明理由；(3)若 C 是线段 AB 的延长线上的一点，且满足 AC－BC＝b cm，M，N 分别为 AC，BC 的中点，请猜想 MN 的长度，并说明理由．20．(1)如图 (a)，将一副三角尺的直角顶点 C 叠放在一起．①若∠DCE＝60°，则∠ACB＝________°；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝________°.15②猜想∠ACB 与∠DCE 有何数量关系，并说明理由． (2)如图(b)，将两个同样的含 60°角的三角尺的顶点 A 重合在一起，则∠DAB 与∠CAE 有何数量关系？ 请说明理由． (3)如图(c)，已知∠AOB＝α，作∠COD＝β(α，β 都是锐角且 α＞β)，若 OC 在∠AOB 的内部，请 直接写出∠AOD 与∠BOC 的数量关系．16。
