第6章样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布

【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；

2、了解经验分布函数和直方图的作法，知道格林汶科定理；

3、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；

4、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；

5、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。

【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2分布，t分布，

F分布；分位数的理解和计算。

【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。

§6.0 前言

前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。

§6.1 随机样本

一、总体与样本

1. 总体、个体

在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。

例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。

但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。

定义 把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。

我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。

例 考察一块试验田中小麦穗的重量：X=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体—每个麦穗重x,对应的分布：

xNdtex重量xXPxFxt0),(~21}{)(22)(22总麦穗数的麦穗数

例 考察一位射手的射击情况：X=此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体；每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点），个体数量化未中射中01x，1-在总体中的比例p为命中率，0-在总体中的比例p1为非命中率

总体X由无数个0，1构成，其分布为两点分布),1(pB pXPpXP1}0{,}1{

2. 样本与样本空间

为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。

定义 从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样(sample)（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量(sample size)（也叫样本量）。每个样品的测试值叫观察值。取得子样的过程叫抽样(sampling)。

样本的双重含义：

(1) 随机性：用n维随机向量(12,,nXXX)表示，iX表示第i个被抽到的个体，是随机变量(1,2,,)in；

(2) 确定性：(12,,nxxx)表示n个实数，即是每个样品iX观测值ix(1,2,,)in。

一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的性质。按照一定规则从总体X中抽取的一组个体),,,(21nXXX称为总体的一个样本，显然，样本为一随机向量。

为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行n次），若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了nXXX,,,21的分布相3 / 18 同，与总体一样。②独立性：nXXX,,,21相互独立。那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本),,,(21nXXX称为简单随机样本。易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本，无放回的抽样不能保证nXXX,,,21的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。

对每一次观察都得到一组数据（nxxx,,,21），由于抽样是随机的，所以观察值（nxxx,,,21）也是随机的。为此，给出如下定义：

定义 设总体X的分布函数为)(xF，若nXXX,,,21是具有同一分布函数)(xF的相互独立的随机变量，则称（nXXX,,,21）为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称样本。把它们的观察值（nxxx,,,21）称为样本值。

由定义知，简单随机样本，是通过下述抽样方式而抽取的：

（1） 总体的每一个体有同等机会被选入样本；

（2） 样本的分量nXXX,,,21，是相互独立的随机的变量，即样本的每一个分量有什么观测结果并不影响其它分量有什么观测结果。

例 在甲、乙、丙、丁四只晶体管中，任抽两只构成一个样本，则简单随机抽样的可使

（1） 所有两只晶体管一组的机会相等，即

P(甲乙)=P(甲丙)=P(甲丁)=P(乙丙)=P(乙丁)=P(丙丁)=1/6

（2） 每只晶体管在容量为2的样本中都有均等的机会被抽到，即

P(甲)=P(乙)=P(丙)=P(丁)=1/2

定义 把样本(nXXX,,,21)的所有可能取值构成的集合称为样本空间,显然一个样本值(nxxx,,,21)是样本空间的一个点。

二、样本的分布：

设总体X的分布函数为)(xF，（nXXX,,,21）是X的一个样本，则其联合分布函数为：

121122(,,){,,,}nnnFxxxPXxXxXx

=1{}niiiPXx=1()niiFx

例 设总体),,(,),1(~21nXXXpBX为其一个简单随机样本，因为

1{}(1)xxPXxpp，0,1x

所以样本的联合分布列为：

11221122{,,,}{}{}{}nnnnPXxXxXxPXxPXxPXx nixppppppixxxxxxnn,,2,11,0)1()1(.)1(1112211

§6.2 分布函数与概率密度函数的近似解

在概率论中，我们介绍了几种常用的分布函数以及它们的性质，当时我们总假定它们都是先给定的，而在实际中，所遇到的用于描述随机现象的随机变量，事先并不知道其分布函数，甚至连其分布类型也一无所知，那么，怎么样才能确定它的分布函数)(xF呢？

一般地，利用样本及样本值，建立一定的概率模型，用由此获得的概率统计信息来对总体X的)(xF进行估计和推断，这就是：

一、经验分布函数

1. 定义 设(12,,nxxx)是来自总体X的一组样本观测值。将它们按由小到大排序为：

***12nxxx， 对任意的实数x，定义函数：

1*10()1,2,...11nkknxxkFxxxxknnxx

则称*()nFx为总体X的经验分布函数(empirical distribution function)或样本分布函数(sample

distribution function)。

显然)(xFn是一非减右连续函数，且满足

0)(nF和1)(nF

如果把n个观测值看作n次独立试验结果，那么

ninxXPi,,2,11}{

如果 *1*kkxxx，则不大于x的观测值的频率为nk，因而，函数*()nFx等于在n次重复独立试验中，事件}{xX频率。

由经验分布函数的定义知，对于x的每一数值而言，经验分布函数*()nFx样本nXXX,,,21的函数，它是一个随机变量，其可能取值为1,1,,1,0nnn。因此事件})({nkxFn发生的概率等价于n重复的贝努利试验中事件}{xX发生k次其余kn次不发生的概率，即有：

*{()}[()][1()]kknknnkPFxCFxFxn

其中}{)(xXPxF，它为总体X分布函数。

对于每一固定义为x，)(xFn是事件｛xX｝发生的频率，当n固定时，这是一个随机变量。根据贝努里大数定理，只要n足够大，)(xFn依概率收敛于总体分本函数)(xF。事实上，还可以有更进一步的结论， 这就是格里汶科定理。即：

2.定理 (Glivenko-定理)：设总体X的分布函数、经验分布函数分别为()Fx、*()nFx,则有：

()()01nnxPLimSupFxFX

上式表明，当n ，以概率为1的有*()nFx均匀地趋于()Fx。

定理表明，)(xFn以概率1一致收敛于)(xF，即：可以用)(xFn来近似)(xF，这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论和依据。

例 某厂从一批荧光灯中抽出10个，测其寿命的数据（单位千时）如下：

95.5， 18.1， 13.1， 26.5， 31.7， 33.8， 8.7， 15.0， 48.8， 48.3

求该批荧光灯寿命的经验分布函数)(xFn（观察值）。

解：将数据由小到大排列得：

8.7，13.1，15.0，18.1，26.5，31.7，33.8，48.8，49.3，95.5，

则经验分布函数为：

19.08.07.06.05.04.03.02.01.00)(xFn

5.955.953.493.498.488.488.338.337.317.315.265.261.181.180.150.151.131.137.87.8xxxxxxxxxxx

二、利用直方图求密度函数的近似解：

设（nXXX,,,21）为来自总体X的一个样本，其样本观察值为(nxxx,,,21)，将该组