【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四练习：1.2.1 三角函数的定义]

第一章 1.2

1.2.1

一、选择题

1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( )

A．45 B．35

C．－35 D．－45

[答案] D

[解析] 考查了三角函数的定义．

由条件知：x＝－4，y＝3，则r＝5，∴cosα＝xr＝－45.

2．若sinθ·cosθ<0，则θ在( )

A．第一、二象限 B．第一、三象限

C．第一、四象限 D．第二、四象限

[答案] D

[解析] ∵sinθcosθ<0，∴sinθ，cosθ异号．当sinθ>0，cosθ<0时，θ在第二象限；当sinθ<0，cosθ>0时，θ在第四象限．

3．已知角α的终边经过点P(－b,4)，且sinα＝45，则b等于( )

A．3 B．－3

C．±3 D．5

[答案] C

[解析] r＝|OP|＝b2＋16，sinα＝4b2＋16＝45，

∴b＝±3.

4．设△ABC的三个内角为A、B、C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )

A．tanA与cosB B．cosB与sinC

C．sinC与tanA D．tanA2与sinC

[答案] D

[解析] ∵0

∴tanA2>0，又00，故选D.

5．点A(sin2 014°，cos2 014°)在直角坐标平面上位于( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案] C

[解析] ∵2 014°＝5×360°＋214°，

∵2 014°角与214°角的终边相同，

又∵214°是第三象限角，

∴2 014°角是第三象限角，

根据三角函数定义知，sin2 014°<0，

cos2 014°<0，故选C.

6．已知角α的终边上一点P(－8m,15m)(m<0)，则cosα的值是( )

A．817 B．－817

C．817或－817 D．根据m确定

[答案] A

[解析] ∵m<0，∴点P到原点的距离r＝－8m2＋15m2＝－17m，

∴cosα＝xr＝－8m17m＝8－17.

二、填空题

7．(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知角α终边上一点P(5,12)，则sinα＋cosα＝________.

[答案] 1713

[解析] ∵角α终边过点P(5,12)，∴x＝5，y＝12，r＝13.

∴sinα＝yr＝1213，cosα＝xr＝513，

∴sinα＋cosα＝1713.

8．使得lg(cosθ·tanθ)有意义的角θ是第__________象限角．

[答案] 一或二

[解析] 要使原式有意义，必须cosθ·tanθ>0，即需cosθ、tanθ同号，

∴θ是第一或第二象限角．

三、解答题

9．求函数y＝sinx|sinx|＋|cosx|cosx＋tanx|tanx|的值域．

[解析] 要使函数有意义，应有 sinx≠0cosx≠0tanx≠0，据三角函数定义应有 x≠0y≠0，∴x≠kπ＋π2且x≠kπ(k∈Z)，即角x的终边不能落在坐标轴上．

当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，∴y＝3；

当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，∴y＝－1；

当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，∴y＝－1；

当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，∴y＝－1.

综上可知，函数y＝sinx|sinx|＋|cosx|cos＋tanx|tanx|的值域为{－1,3}．

一、选择题

1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )

A．sinα＋cosα<0 B．tanα－sinα<0

C．cosα－cotα<0 D．cotαcscα<0

[答案] B

[解析] ∵α是第三象限角，∴tanα>0，sinα<0

∴tanα－sinα>0.故选B.

2．下列说法正确的是( )

A．正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零角的三角函数值是0

B．角α终边上一点为P(x，y)，则sinα的值随y的增大而增大

C．对任意角α，若α终边上一点坐标为(x，y)，都有tanα＝yx

D．对任意角α(α≠kπ2，k∈Z)，都有|tanα＋cotα|＝|tanα|＋|cotα|

[答案] D

[解析] ∵tanα、cotα的符号相同，

∴|tanα＋cotα|＝|tanα|＋|cotα|.

3．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则θ2的终边在( )

A．第二、四象限 B．第一、三象限

C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上

[答案] D

[解析] ∵|cosθ|＝cosθ，∴cosθ≥0，

又|tanθ|＝－tanθ，∴tanθ≤0，∴2kπ＋3π2<θ≤2kπ＋2π，

∴kπ＋3π4<θ2≤kπ＋π，k∈Z.∴应选D.

4．若角α的终边在直线y＝3x上且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝( )

A．2 B．－2

C．4 D．－4

[答案] A

[解析] ∵P(m，n)在直线y＝3x上，且sinα<0，

∴P位于第三象限，∴m<0，n<0.

|OP|＝m2＋3m2＝10m2＝10，

∴m2＝1，∴m＝－1，n＝－3，

∴m－n＝2.

二、填空题

5．函数y＝tanx＋lgsinx的定义域为________．

[答案] (2kπ＋π2)∪(2kπ＋π2，2kπ＋π)(k∈Z)

[解析] 要使函数有意义，应满足 sinx>0x≠π2＋kπ，k∈Z，

∴ 2kπ

即2kπ

6．若点P(3a－9，a＋2)在角α的终边上，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是__________．

[答案] (－2,3]

[解析] ∵cosα≤0，sinα>0，

∴角α的终边在第二象限或在y轴的正半轴上，

∴ 3a－9≤0a＋2>0，∴－2

∴a的范围是(－2,3]．

三、解答题

7．求函数f(x)＝sinx＋lg9－x2cosx的定义域．

[解析] 由题意，得 sinx≥0cosx>09－x2>0，

∴ 2kπ≤x≤2k＋1π，k∈Z－π2＋2kπ

解得0≤x<π2.

故函数的定义域为0，π2.

8．已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．

[解析] ∵点P的坐标是(4t，－3t)，且t≠0，

∴r＝OP＝4t2＋－3t2＝5|t|.

当t>0时，α是第四象限的角，r＝OP＝5t.

∴sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，

tanα＝yx＝－3t4t＝－34；

当t<0时，α是第二象限的角，

r＝OP＝－5t.

∴sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，

tanα＝yx＝－3t4t＝－34.

9．已知：cosα<0，tanα<0.

(1)求角α的集合；

(2)求角α2的终边所在的象限；

(3)试判断sinα2、cosα2、tanα2的符号．

[解析] (1)∵cosα<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．

∵tanα<0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．∴角α的终边只能位于第二象限．

故角α的集合为α|π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.

(2)∵π2＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，∴π4＋kπ<α2<π2＋kπ(k∈Z)．

当k＝2n(k∈Z)时，π4＋2nπ<α2<π2＋2nπ(n∈Z)，∴α2是第一象限角；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，5π4＋2nπ<α2<3π2＋2nπ(n∈Z)，∴α2是第三象限角．

(3)由(2)可知，当α2是第一象限角时，sinα2>0，cosα2>0，tanα2>0；

当α2是第三象限角时，sinα2<0，cosα2<0，tanα2>0.