非线性有限元之非线性求解方法
- 格式：docx
- 大小：39.55 KB
- 文档页数：3
非线性有限元之非线性求解方法
平衡回顾
静态平衡是内力I和外载P力量平衡；
在非线性问题中，模型的内力I可以是以下量的非线性函数；
在非线性问题中，模型的外力P也可以是某些量的非线性函数，如位移u和时间t。
非线性求解方法
1.已知一个分析，知道结构总载荷和初始刚度，目的是找到最后的位移。线性分析中，一次计算就能求解出最终位移；非线性问题中不可能，因为结构刚度随着结构变形而改变。
2.求解这类非线性问题需要的是一种增量\迭代技术，获得的解是非线性问题准确的近似。这些方程通常没有精确解。
3.Abaqus使用迭代求解该方程：使用牛顿拉普森方法求解近似解，使误差最小。
4.Abaqus用法：
1）载荷历史被拆解为一系列的分析步；
每个分析步拆解为一系列增量步；
用户为初始时间增量猜测一个值；
Abaqus使用自动增量算法确定其他的增量步。
在每个增量步结束时，Abaqus根据载荷与时间关系计算当前负载大小
2）使用牛顿拉普森程序迭代求解每个增量结束时的解；
根据收敛容差判断牛顿拉普森程序的收敛；
如果迭代不收敛，减少增量步的大小；
然后使用小增量步重新进行计算。
5.分析步、增量步、迭代步
1）分析步
仿真载荷历程含有一个或多个分析步。
2）增量步是分析步的一部分；
在静态问题中，总载荷被分成很小的增量步。以便可以沿着非线性路径求解。
3）迭代步
迭代步是增量步中寻找平衡解得一次计算尝试。
5.牛顿拉普森方法
Abaqus/Standard 基于牛顿拉普森方法的增量迭代求解技术，该方法是无条件稳定（任何大小的增量步都可以）。增量步大小影响动态分析精度，每个增量步通常要求多次迭代才能满足收敛要求，每个分析步通常有多个增量步，牛顿拉普森定义了一个残差为0位移曲线。
6.牛顿拉普森方法基础。平衡是u的非线性方程，牛顿拉普森迭代求解在Cu处的线性方程，Cu是位移u的修正量。
7.残差定义
为了得到线性方程组，重写一下平衡方程，R（u）是u的残差。这个残差表示的是位移u处不平衡力。通常R（U）≠0，但平衡时，R（u）=0；切记R（u）也是非线性。
残差在物理表示；在自由度上需要额外力（大小和方向）来保持位移u处结构的平衡
假设位移u不在的平衡收敛曲线上，则R（u）≠0。则能找到Cu使得u+Cu是平衡的——R（u+Cu）＝0。
用泰勒级数对位移u展开，去掉高阶项，得到方程。Cu就是前面所说的位移修正量。
用牛顿普拉森改写该方程，方程在Cu处变成线性的。
8.牛顿拉普森方法特征，
1）满足方程容易收敛：
系统开始是平衡的；
系统是稳定的；
切向刚度矩阵是一阵的。
2) 根据牛顿拉普森公式求出Cu，根据以下公式更新u;
3) 平衡检查：检查ui+1是否是平衡位置（检查是否获得收敛解）
9.收敛测试
1) 两种标准用于收敛测试；每个节点的总力；位移修正量。
2) 两者都必须很小；如果不是，重新迭代（为增量步计算另一个解）；迭代持续到获得收敛解；通常找到一个收敛解需要很多次迭代。
3）如果Abaqus在载增量步下无法找到收敛解，软件将进行新的尝试。Abaqus减小载荷增量步大小来进行新的计算；在分析的任何增量步中都有可能进行多次迭代。
4）如果在一个增量步中进行太多次迭代，Abaqus将终止分析—模型计算无法收敛。
Abaqus目标在载荷增量步中使用大约4-6次平衡迭代来获得收敛解，有些需要的迭代次数可能高达10次。
尽管分析中使用大载荷增量步使用更多的迭代来获得收敛解是可能的，额外迭代的成本通常超过增量步次数减少带来的节省、
根据定义，增量结束时解是收敛的。 10.二次收敛
对于相对光滑的非线性相应，牛顿拉普森表现出二次收敛性。连续迭代之间相对误差通过相对误差本身儿减小。只有当解估计在N-R方法的收敛半径范围内时，才能实现二次收敛。如果初始迭代的解不在这个收敛半径范围内，则Abaqus可能不收敛。
不连续的非线性，如接触或失效，通常会对收敛行为产生不利影响。
11.求解外推
默认情况下，Abaqus/standar将推算在前一个增量中计算的△u，并将其作为当前增量中△u的估计值。
这种方法通常有助于提高分析中的收敛速度，并经常提高仿真速度。
△u的外推可以由用户通过在步骤选项上使用的外推参数来控制。
