概率统计复习题答案

1 概率统计复习题

（同济大学浙江学院）

一、知识要点

1.古典概率计算公式

设为样本空间，A为事件，则事件A发生的概率为

.AAnPAn

概率公式

⑴和的概率公式 .PABPAPBPAB

当,AB互不相容时AB .PABPAPB

当,AB独立时PABPAPB .PABPAPBPAPB

⑵条件概率公式 |.PABPABPB

⑶乘法公式 |.PABPABPA

⑷全概率公式及逆概率公式

设12,,,nAAA为完备事件组，B为任意一事件，则

1|;niiiPBPAPBA

(|)|.iiiPBAPAPABPB

2.6个常用分布和数字特征

名称 分布形式 期望 方差 2EX

01 p 1pp p

二项分布 1nkkknPXkCpp np 1npp np 2 泊松分布 e!kPXkk

  2

均匀分布 1, ,0, else.axbfxba 2ab 212ba

指数分布 e, 0,0, else.xxfx 1 21 22

正态分布 2221e2πxfx  2 22

3.正态分布概率计算

⑴若2,XN，则.baPaXb

⑵若2,,,XNYaXb则22,.YNaba

4.二维连续型随机变量的边缘密度函数

设,XY为二维连续型随机变量，,fxy为其联合密度函数，则边缘密度函数分别为

,d,,d.XYfxfxyyfyfxyx

随机变量,XY是独立的,.XYfxyfxfy

5.数字特征

⑴数学期望

①离散型 1.niiiEXxp

②连续型 d.EXxfxx

③函数的期望

离散型，设X是离散型随机变量，YgX为随机变量的函数，则

1.niiiEYgxp 3 连续，设X是连续随机变量，YgX为随机变量的函数，则

d.EXgxfxx

二维连续型 设,XY是二维连续型随机变量，,fxy是其联合密度函数，,Zgxy为随机变量的函数，则d,,d.EZxfxygxyy

④期望性质 ;EaXbYaEXbEY

当,XY独立时， .EXYEXEY

⑵方差

①计算公式 22;DXEXEX

②方差性质 当,XY独立时，22.DaXbYaDXbDY

⑶协方差 设,XY为二维随机变量，协方差为

cov,,XYEXYEXEY

此时有 2cov,.DXYDXDYXY

⑷相关系数 设,XY为二维随机变量，相关系数为cov,,.XYXYXY

6.中心极限定理

设12,,,,nXXX为独立同分布的随机变量，2,,iiEXDX则

1lim.niinXnPxn

即 1.niiXnPabban

6.统计量

⑴样本均值 设12,,,nXXX为独立同分布的随机变量，2,,iiEXDX 4 211,,,niiiiEXDXXXn则21,.EXDXn

②样本方差 22221111(),().1nniniiiSXXSXXnn

关系 2222211,().1nnnniiiinSSnSXXXnXn

⑵2分布 设12,,,nXXX为独立同分布的随机变量且0,1,iXN21niiX服从自由度为n的2分布.

结论 设12,,,nXXX为独立同分布的随机变量且20,,iXN21niicX服从自由度为n的2分布21.c

⑶t分布 若20,1,,XNYn则/XtnYn

7.估计量与估计方式

⑴矩估计与矩估计方法

⑵极大似然估计与极大似然估计方法

设总体2,,XN

结论 X是总体参数的极大似然估计；当已知时，211()niiXn是2的极大似然估计，当未知时，211()niiXXn是2的极大似然估计.

⑶无偏性

若ˆ是的估计量，且ˆE，称ˆ是的无偏估计.

结论 2S是2的无偏估计.

⑷四种情况下的单正态总体的区间估计 5 ①2已知时的区间估计：1/21/2,XuXunn

②2未知时的区间估计：1/21/21,1SSXtnXtnnn

③已知时2的区间估计2211221/2/2()(),nniiiiXXnn

④未知时2的区间估计

22221122221/2/21/2/2()(),,1111nniiiinnXXXXnSnSnnnn

二、填充题

1. 设,AB为二个随机事件, ,BAAB则, ()PAB 1 .

2. 从1,2,3,4,5中任取3个数字, 则3个数中不含1的概率为343525CC.

3. 把3个不同的球随机地放入3个不同的盒中,则出现两个空盒的概率为33139.

4. 甲乙两射手独立地向一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被命中的概率为110.610.50.8, 现已知目标被命中, 则是甲命中的概率为0.60.750.8.

5. 设0.4,0.7,PAPAB若A与B互不相容,则PB 0.3,

PAB0.4PAPAB； 若A与B相互独立,则PB

0.5 ,PAB 0.2 .

6. 设,,ABC为三个随机事件,已知1,4PAPBPC1,016PABPBCPAC,则,,ABC至少有 6 一发生的概率PABC58, ,,ABC都不发生的概率PABC38.

7. 设111,,,432PAPBAPAB则PAB 13；PAB 1/12 .

8. 设随机变量X只可能取-1,0,1,2这4个值, 且取这4个值的概率依次为1357,,,24816cccc,则常数c3716

9. 设X服从参数为的泊松分布(＞0),且102,2PXPX则=

2 ,2EX 6 .

10. 设随机变量2~3,0.2,,XBYX则4PY20.096PX.

11. 设随机变量X的分布律为

且2,YXY的概率函数为01433781616YP,Y的分布函数为()YFy,则3YF

9316PY.

12.设随机变量X的分布律为

X -2 1 x

P 14 p 14

且1,EX则x 4 .

13.设随机变量,XY相互独立,~16,0.5,~9,XBYP则21EXY

-9,21DXY440DXDY.

14. 设随机变量X的分布函数Fx201e,00,xxx,其密度函数为fx,

则2f=42e. X -1 0 1 2

P 18 38 116 716 7 15.设随机变量X的密度函数为fx= 1,20,axaa其余, 其中0a,

要使1PX=31,则a 3 .

16.设随机变量X的密度函数为221exxfxA,则A=1π,~X11,2N,2EX= 232DXEX,1PX

0.5 ,令21YX,则Y的密度函数Yfy221,2πyey.

17.随机变量1,1,1,4,9,2XYN,则Xfx2181e,8πxx,Yfy

21181,18πyey,cov,XY 3 ,DXY 19 ,DXY

7 .

18. 已知25,1,,0.4DXDYXY,则DXY= 30 ,DXY

22 .

19.设总体18~1,3,,,XRXX是来自总体X的样本, X为样本均值,

则EX=1EX,DX116DXn, 2ES=

43 .

20.设独立同分布的随机变量序列1,,,nXX2,,,iiEXDX

则1limniniPXnn11211niiXnPn.

21.设总体170,0.25,,,XNXX是来自总体X的样本,

要使721iiX～2n, 则= 4 ,自由度 7n .

22.设总体2123,,,,XNXXX是来自总体X的样本,则当= 0.5 时,