2020届兰州市高三年级一诊文科数学试卷含答案
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00.511.52羊只数量（万只）草场植被指数2020年兰州市高三诊断考试
（文数）
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合
0,1,2,3,4,5A=
，
*
2,BxxnnN==
，则AB
=
（ ）
.0,2,4A
.2,4B
.1,3,5C
.1,2,3,4,5D
2.已知复数5
2
2i
z
i=+
−
，则z=
（ ）
.5A
.5B
.13C
.13D
3.已知非零向量,a
b
，给定:pR
，使得ab
=
，:qa
b
a
b
+=+
，则p
是q
的（ ）
.A
充分不必要条件 .B
必要不充分条件 .C
充要条件 .D既不充分也不必要条件
4.若2
1tan
57
2
2sincos
1212
tan
2
−
=
，则tan=
（ ）
.4A
.3B
.4C−
.3D−
5.已知双曲线()22
2210,0xy
ab
ab−=
的一条渐近线过点()
2,1−
，则它的离心率是（ ）
5
.
2A
.3B
.5C
.23D
6.已知集合46911
,,,,
55555A
=
，从A
中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）
1
.
10A
2
.
5B 3
.
5C
3
.
10D
7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：
表1 图1
年份 1 2 3 4 5
羊只数量
（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被
指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两
变量间的相关系数为
1r
，去掉第一年数据后得到的相关系数为
2r
，则
12rr
；③可以利用回归直线方程，
准确地得到当羊只数量为2万只时草场植被指数。以上判断中正确的个数是（ ）
.0A
.1B
.2C
.3D
8.已知函数()()
2
ln1fxx=+
，且()
0.2
0.2af=
，()
3log4bf=，
1
3log3cf
=
，则,,abc
的大小关
系为（ ）
.Aabc
.Bcab
.Ccba
.Dbca
9.已知圆锥的顶点为A
，高和底面圆的半径相等，BE
是底面的一条直径，点D
为底面圆周上的一点，且
60oABD=
，则异面直线AB
与DE
所成角的正弦值为（ ）
3
.
2A
2
.
2B
3
.
3C
1
.
3D
10.已知函数()()()
sinsincos0fxxxx=+
，若函数()
fx
的图象与直线1y=
在()
0,
上有3
个
不同的交点，则
的范围是（ ）
13
.,
24A
15
.,
24B
53
.,
42C
55
.,
42D
11.已知点()
4,2M−−
，抛物线2
4xy=
，F
为抛物线的焦点，l
为抛物线的准线，P
为抛物线上一点，过P
做PQl⊥
，点Q
为垂足，过P
做FQ
的垂线
1l
，
1l
与l
交于点R
，则QRMR+
的最小值为（ ）
.125A+
.25B
.17C
.5D
12.已知定义在R
上的函数()
fx
，()
'
fx
是()
fx
的导函数吗，且满足()()
'2x
xfxfxxe−=
，()
1fe=
，
则()
fx
的最小值为（ ）
.Ae−
.Be
.C1
e .D1
e−
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数()2,1
21,1x
x
fx
xx
=
+
，则
23
log
2ff
=
_________.
14.已知向量,a
b
满足
2
b=，向量,ab夹角为120
o
，且()
abb+⊥
，则向量ab+=
____.
15. 在ABC
中，,,abc
分别为角,,ABC
所对的边，且222
2cabab=+−
，8a=
，1
sin
23A
=
，则
c=
______.
16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房，蜂房的结构如图所示，开口为
正六边形ABCDEF
，侧棱'
AA
、'
BB
、'CC
、'
DD
、'
EE
、'
FF
相互平行且
与平面ABCDEF
垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成，瑞士数学家克尼格利
用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，
有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林
通过计算得到''''''1092816oBCD=
.已知一个蜂房中'
53BB=
，26AB=
，
'''
tan5444082o
=
，则此蜂房的表面积是________.
三、解答题
17.（本小题满分12分）
在等差数列
na
中，
18a=−
，
243aa=
.
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）设
()()
*4
12n
nbnN
na=
+，
nT
为数列
nb
的前n
项和，若9
5nT=
，求n
的值.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥PABCD−
中，底面ABCD
为平行四边形，点P
在面ABCD
内的射影为A
，1PAAB==
，
点A
到平面PBC
的距离为3
3，且直线AC
与PB
垂直.
（1）在棱PD
上找一点E
，使直线PB
与平面ACE
平行，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求三棱锥PEAC−
的体积.
19.（本小题满分12分）
甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与
实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时
代楷模”称号，在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50
个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层
厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）.通过一段时间的观测，治沙人记录了
坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图
.
（1）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；
（2）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记.根据以上直方图，完成列联表：
标记 不标记 合计
坡腰
坡顶
合计
并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？
附：()
(
)()()()2
2nadbc
K
abcdacbd−
=
++++，
()
2PKk
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
