第十二章全等三角形证明题变式训练(2)2021-2022学年八年级数学人教版上册

12.2全等三角形的判定一．选择题1．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（）A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E2．如图，下列推理不能求证△ABD≌△CAD的是（）A．DB＝DC，AB＝AC B．∠ADC＝∠ADB，DB＝DCC．∠C＝∠B，∠ADC＝∠ADB D．∠C＝∠B，DB＝DC3．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（）A．①B．②C．③D．④4．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE5．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（）分钟后，△CAP与△PQB全等．A．2B．3C．4D．86．如图，E，F是BD上两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AED≌△CFB的是（）A．∠B＝∠D B．AD＝BC C．AE＝CF D．AD∥BC7．如图，∠C＝∠DFE＝90°，下列条件中，不能判定△ACB与△DFE全等的是（）A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EFC．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E8．嘉淇发现有两个结论：在△A1B1C1与△A2B2C2中，①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．对于上述的两个结论，下列说法正确的是（）A．①，②都错误B．①，②都正确C．①正确，②错误D．①错误，②正确9．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和△ABC全等的图形是（）A．甲、丁B．甲、丙C．乙、丙D．乙10．如图，D为△ABC边BC上一点，AB＝AC，∠BAC＝56°，且BF＝DC，EC＝BD，则∠EDF等于（）A．62°B．56°C．34°D．124°二．填空题11．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件，使△ABC≌△ADC．12．如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）13．如图，已知AB＝CD，只需再添一个条件就可以证明△ABC≌△CDA的是．A．BC＝ADB．AD∥BCC．∠B＝∠DD．AB∥DC14．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论正确的是．A．∠1＝∠2；B．BE＝CF；C．△CAN≌△ABM；D．CD＝DN．15．如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画个．三．解答题16．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．17．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．18．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．参考答案一．选择题1．解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC ≌△DEC，故本选项符合题意；B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；C．∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，∵∠B＝∠E，AB＝DE，∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：A、依据SSS可知△ABD≌△ACD，故A不符合要求；B、依据SAS可知△ABD≌△ACD，故B不符合要求；C、依据AAS可知△ABD≌△ACD，故C不符合要求；D、依据SSA可知△ABD≌△ACD，故D符合要求．故选：D．3．解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第3块．故选：C．4．解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：A．5．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故选：C．6．解：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE，∵∠AEF＝∠CFE，A、添加∠B＝∠D，利用ASA能判定△AED≌△CFB，不符合题意；B、添加AD＝BC，不能判定△AED≌△CFB，符合题意；C、添加AE＝CF，利用SAS能判定△AED≌△CFB，不符合题意；D、添加AD∥BC，得出∠B＝∠D，利用ASA能判定△AED≌△CFB，不符合题意；故选：B．7．解：A、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°，根据AAS判定△ACB与△DFE 全等，不符合题意；B、∵AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据SAS判定△ACB与△DFE全等，不符合题意；C、∵AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据HL判断Rt△ACB与Rt△DFE全等，不符合题意；D、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠E，∠C＝∠DFE＝90°，由AAA不能判定△ACB与△DFE全等，符合题意；故选：D．8．解：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，根据SSS判定△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，A1C1＝A2C2，B1C1＝B2C2，不能判定△A1B1C1≌△A2B2C2．故选：C．9．解：A、△ABC和甲两个三角形根据SAS可以判定全等，△ABC与丁三角形根据ASA可以判定全等，故本选项正确；B、△ABC与丙两个三角形的对应角不一定相等，无法判定它们全等，故本选项错误；C、△ABC与乙、丙都无法判定全等，故本选项错误；D、△ABC与乙无法判定全等，故本选项错误；故选：A．10．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣56°）＝62°，在△BFD和△EDC中，，∴△BFD≌△EDC（SAS），∴∠BFD＝∠EDC，∴∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝180°﹣62°＝118°，则∠EDF＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣118°＝62°．故选：A．二．填空题11．解：添加的条件是AD＝AB，理由是：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．12．解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．13．解：A．根据BC＝AD、AB＝CD和AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SSS）；B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴根据AB＝CD、AC＝AC和∠BCA＝∠DAC不能推出△ABC≌△CDA；C．根据AB＝CD，AC＝AC和∠B＝∠D不能推出△ABC≌△CDA；D．∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，根据AB＝CD，∠BAC＝∠DCA和AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS）；故答案为：AD．14．解：如图，∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ACF（AAS），∴∠F AC＝∠EAB，BE＝CF，AB＝AC，∴∠1＝∠2，故A，B正确；又∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM，∴△ACN≌△ABM（ASA），故C错误；∵△ACN≌△ABM（ASA），∴AN＝AM，∴MC＝BN，而∠B＝∠C，∠CDM＝∠BDN，∴△DMC≌△DMB（AAS），∴DC＝DB，∴DC≠DN，故D错误．故答案为：A，B；15．解：如图，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．所以可画出6个．故答案为：6．三．解答题16．证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．17．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．18．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△F AC中，，∴△AEB≌△F AC（SAS），∴AE＝F A；（2）解：∵△AEB≌△F AC，∴∠E＝∠CAF，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．。

第12章全等三角形——动点全等模型专题训练1．综合与探究如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝，∠AED＝．（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．3．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝6cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段BP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．4．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）5．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动，若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．6．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？7．如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a ≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．（1）BQ＝，BP＝．（用含a或t的代数式表示）（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t和a的值，若不能，说明理由．8．如图，AB＝36米，CB⊥AB于点B，EA⊥AB于点A，已知CB＝24米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿BA向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒．（1）如图，S△BFC＝．（用t的代数式表示）（2）点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值，使得△AFD与△BCF全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．10．如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM上运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）试求∠ACB的度数；（2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．11．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．（1）直接写出：①BD＝厘米；②BP＝厘米；③CP＝厘米；④CQ＝厘米；（可用含t、a的代数式表示）（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值；（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动．设运动的时间为t秒；直接写出t＝秒时点P与点Q第一次相遇．12．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M为AC上一点且AM＝BC，过A点作射线AN⊥CA，A为垂足，若一动点P从A出发，沿AN运动，P点运动的速度为2cm/秒．（1）经过几秒△ABC与△PMA全等；（2）在（1）的条件下，AB与PM有何位置关系，并加以说明．14．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M以2cm/秒的速度运动．（1）若点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向A点运动，它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①当t＝时，MN∥AC；（直接写出答案）②经过3秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．（2）如果点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，试求点N运动的速度．（直接写出答案）15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，∠B＝∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线段BC上从B向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE．（1）运动秒时，AE＝DC（不必说明理由）（2）运动多少秒时，∠ADE＝90°﹣∠BAC，并请说明理由．16．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．。

12.2.6 全等专题-几何变换模型平移全等模型【例题1】（2021·衡阳）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC △△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上 △//,//AC DF BC EF△,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DEABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABC DEF ASA △≌△【点睛】平移是几何变换中的一种，平移不改变形状和大小，三角形平移得到的两个三角形是全等的.本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．此题型通常结合线段的和差以及平行线的性质与判定综合考察.1. 平移全等模型，如下图：变式训练【变式1-1】（2021·河南）如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的—个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． △AB DE =；△AC DF =；△ABC DEF ∠=∠；△BE CF =； 解：我写的真命题是：在ABC 和DEF 中，已知：________________． 求证：________________．（不能只填序号） 【详解】解：将△△△作为题设，△作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB DE =，AC DF =，BE CF =． 求证：ABC DEF ∠=∠． 证明：△BE CF =， △BC EF =．在ABC 和DEF 中，AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△()ABC DEF SSS ≌． △ABC DEF ∠=∠；将△△△作为题设，△作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB DE =，ABC DEF ∠=∠，BE CF =． 求证：AC DF =． 证明：△BE CF =， △BC EF =．在ABC 和DEF 中，AB DEABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABC DEF SAS ≌， △AC DF =．【变式1-2】（2021·北京一模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可． 【详解】证明：△//AB DE ， △B DEF ∠=∠． △BE CF =，△BE EC CF EC +=+． △BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC DEF △≌△． △A D ∠=∠．【变式1-3】（2021·湖北武汉市·九年级三模）已知：如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB △DE ，AC △DF ．求证：△ABC △△DEF ．【分析】由BE ＝CF ，可推出BC ＝EF ，再由平行线的性质可推出△B ＝△DEF ，△ACB ＝△F ．即可利用“ASA”证明△ABC △△DEF ． 【详解】证明：△BE ＝CF ， △BC ＝EF ，△AB △DE ，AC △DF ， △△B ＝△DEF ，△ACB ＝△F ， 在△ABC 和△DEF 中，B DEFBC EF ACB F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， △△ABC △△DEF （ASA ）．翻折全等模型【例2】（2021·全国九年级专题练习）如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，△BAE ＝△DAC ．求证：△C ＝△E ． 【分析】根据△BAE =△DAC ，可推出△BAC =△DAE ，解题已知可证△BAC △△DAE 即可得出答案． 【详解】△△BAE =△DAC ，△△BAE ＋△EAC =△DAC ＋△EAC ， 即：△BAC =△DAE ． 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BAC △△DAE ． △△C =△E ．【点睛】翻折是几何变换中的一种，翻折不改变形状和大小，其实就是一种抽对称变换.翻折的边，角都对应相等．此题型通常结合公共边、公共角、角的和差以及等量代换综合考察三角形全等. 变式训练【变式2-1】（2021·苏州一模）已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，,AD AE BD CE ==． 求证：B C ∠=∠．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 推出即可． 【详解】证明：△AD ＝AE ，BD ＝CE ， △AB ＝AC ，翻折全等模型，如下图：在△ABE 和△ACD 中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABE △△ACD （SAS ）， △△B =△C ．【变式2-2】（2021·昆明二模）如图，已知AE 平分CAD ∠，AC AD =，求证：CBE DBE ∠=∠． 【分析】根据题意得出CAB DAB ∠=∠，再利用SAS 即可证明ABC ABD △≌△，然后利用全等三角形的性质得出CBA DBA ∠=∠，最后根据等角的补角相等即可证明．【详解】证明：△AE 平分CAD ∠， △CAB DAB ∠=∠． 在ABC 和ABD △中，,,,AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC ABD △≌△（SAS ）． △CBA DBA ∠=∠． △CBE DBE ∠=∠．【变式2-3】（2021·全国练习）你见过如图所示的风筝吗？开始制作时，AB CD =，AC DB =，后来为了加固，又过点O 加了一根竹棒EF ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，且AOE DOF =∠∠，你认为OE ，OF 相等吗？请说明理由．【答案】OE OF =，理由见解析【分析】连接BC ，首先证明△ABC △△DCB 可得△A =△D ，然后再证明△ABO △△DCO 可得AO =DO ，最后证明△AEO △△DFO 可得EO =FO ． 【详解】解：OE OF =；理由如下： 连接BC ，如图在ABC ∆和DCB ∆中，AB DC AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC DCB SSS ∴∆≅∆，A D ∴∠=∠，在ABO ∆和DCO ∆中，A D AOB DOC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABO DCO AAS ∴∆≅∆，AO DO ∴=，在AEO ∆和DFO ∆中，A D AO DOAOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AEO DFO ASA ∴∆≅∆，EO FO ∴=．中心对称全等模型【例题3】（2020·浙江温州市·八年级期末）如图，,,AE BF AD BC DF CE===，求证：//AD CB．【分析】根据AE=BF，得到AF=BE，再利用SSS证明△ADF△△BCE，得到△A=△B，可得AD//B C．【详解】解：△AE=BF，△AE+EF=BF+EF，△AF=BE，又△AD=BC，DF=CE，△△ADF△△BCE（SSS），△△A=△B，△AD//B C．【点睛】中心对称是几何变换中的一种，中心对称不改变形状和大小，其实就是一种特殊的旋转变换（旋转180°）.中心对称的边，角都对应相等．此题型通常结合公共边、公共角、角的和差以及等量代换综合考察三角形全等.变式训练【变式3-1】（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF△BE，AB△CD．求证BE＝CF．中心对称全等模型，如下图：【分析】根据线段的和差关系可得AE ＝DF ，根据平行线的性质可得△D ＝△A ，△CFD ＝△BEA ，利用ASA 可证明△ABE △△DCF ，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】 △AF ＝DE ，△AF ＋EF ＝DE ＋EF ，即AE ＝DF ， △AB //CD ， △△D ＝△A ， △CF //BE ， △△CFD ＝△BEA ，在△ABE △△DCF 中，A D AE DF BEA CFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABE △△DCF ， △BE ＝CF ．【点睛】本题考查平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【变式3-2】（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【详解】//DF BE BEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠ //AB CD ∴【变式3-3】（2021·山东济南市·七年级期末）如图，已知//AB CD ，AB CD =，BF CE =．求证：AE DF =且//AE DF ．【答案】见解析 【分析】先由平行线的性质得△B =△C ，结合BF EF CE EF +=+，从而利用SAS 判定△ABE △△DCF ；根据全等三角形的性质得AE DF =且//AE DF ． 【详解】 证明：BF CE =，BF EF CE EF ∴+=+，即BE CF =，//AB CD ， B C ∴∠=∠，在ABE △与CDF 中，AB CD B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE CDF SAS ∴△≌△，AEB DFC ∴∠=∠，AE DF =//AE DF ∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．简单旋转全等模型【例题4】（2021·广东广州市·九年级一模）如图，∠B ＝∠E ，∠1＝∠2，BC ＝EC ． 求证：AB ＝DE ．【分析】先证出△ACB =△DCE ，再根据AAS 证明 △ABC △△DEC ，即可得出AB =DE ； 【详解】证明：△△1=△2 ， △△ACB =△DCE ， 在△ABC 和△DCE 中，=B E ACB DCE BC EC ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ △△ABC △△DEC (AAS )， △AB =DE ．变式训练【变式4-1】（2021·陕西中考真题）如图，//BD AC ，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．【分析】由题意易得EBD C ∠=∠，进而可证EDB ABC ≌△△，然后问题可求证． 【详解】证明：△//BD AC ， △EBD C ∠=∠． △BD BC =，BE AC =， △()EDB ABC SAS ≌． △D ABC ∠=∠．简单旋转全等模型，如下图：【变式4-2】（2021·昆明二模）如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：△AC BC ⊥，DC EC ⊥，△90ACB ECD ∠=∠=︒△ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE BCD ≌△△ △AE BD =【变式4-3】在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD =AE ，△DAE =△BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果△BAC =90°，则△BCE 为多少？说明理由；（2）设△BAC =α，△BCE =β．△如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；△当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．【答案】（1）90°；（2）△α＋β＝180°，理由见详解；△点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得△ABC ＝△ACB ＝45°，由“SAS”可证△BAD△△CAE ，可得△ABC ＝△ACE ＝45°，可求△BCE 的度数；（2）△由“SAS”可证△ABD△△ACE 得出△ABD ＝△ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；△分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD△△ACE 得出△ABD ＝△ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）△AB ＝AC ，△BAC ＝90°，△△ABC ＝△ACB ＝45°，△△DAE ＝△BAC ，△△BAD ＝△CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，△△BAD△△CAE （SAS ）△△ABC ＝△ACE ＝45°，△△BCE ＝△ACB ＋△ACE ＝90°；（2）△α＋β＝180°，理由：△△BAC ＝△DAE ，△△BAC−△DAC ＝△DAE−△DAC ．即△BAD ＝△CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ACE （SAS ），△△B ＝△ACE ．△△B ＋△ACB ＝△ACE ＋△ACB ．△△ACE ＋△ACB ＝β，△△B ＋△ACB ＝β，△α＋△B ＋△ACB ＝180°，△α＋β＝180°；△如图1：当点D 在射线BC 上时，α＋β＝180°，连接CE ，△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ACE （SAS ），△△ABD ＝△ACE ，在△ABC 中，△BAC ＋△B ＋△ACB ＝180°，△△BAC ＋△ACE ＋△ACB ＝△BAC ＋△BCE ＝180°，即：△BCE ＋△BAC ＝180°，△α＋β＝180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．连接BE ，△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△CAE ，又△AB ＝AC ，AD ＝AE ，△△ABD△△ACE（SAS），△△ABD＝△ACE，△△ABD＝△ACE＝△ACB＋△BCE，△△ABD＋△ABC＝△ACE＋△ABC＝△ACB＋△BCE＋△ABC＝180°，△△BAC＝180°−△ABC−△ACB，△△BAC＝△BCE．△α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD△△ACE是解本题的关键．。

⼈教版数学⼋年级上册第12章全等三⾓形证明经典题练习（含答案）全等三⾓形证明经典题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。

连接AP ,BP∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平⾏四边形⼜∠ACB=90 ∴平⾏四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三⾓形BCF 全等于三⾓形EDF(边⾓边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三⾓形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。

∵∠ABC=∠AED 。

∴∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三⾓形ABF 和三⾓形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三⾓形ABF 和三⾓形AEF 全等。

∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACBC ADBC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶⾓）∴△EFD≌△CGDEF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD ⼜EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三⾓形，AC ＝CG ⼜ EF ＝CG∴EF ＝AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。