(3)循环小数与周期性问题

循环小数与周期1、把67化成小数。

（1）小数点后面第50位是多少？（2）小数点后面第2003位“四舍五入”取近似数，第2002位是多少？2、把181化成小数后，小数点后面前100位数字之和是多少？3.在循环小数2.42890123的某一位上再添上一个表示循环的点后，使新的循环小数尽可能大，这个新循环小数是多少？4、循环小数0.13579和0.3456789在小数点后的第几位上首先同时出现数字9？5、在循环小数0.1234567中，移动表示循环节的前一个小圆点，使得到的新的循环小数在小数点后面第100位上的数·· · · · · ·字是5，这个新循环小数是多少？6、在循环小数0.2763824中，最少从小数点右面的第几位开始到第几位为止的数字之和等于1987？7、在一个循环小数0.2345678中，要使这个循环小数小数点后面第100位上的数字是6，那么表示循环节的两个小圆点应重新分别移到哪两个数字上？8、循环小数0.28375463与0.4972163在小数点后第几位时，首先同时出现在该数位上的数字都是3？9、20032003的个位数字是几？· · · · · · · ·10、3247-1630的个位数字是几？11、64×3817×698287的尾数是多少？12、20011000+20021000+23301000的尾数是多少？13、连写100个12得到一个自然数，这个数除以13的余数是多少？14、有一串数排成一列，其中第一个数字是4，第二个数字是9，第三个数起，每个数正好是前两个数的和，这串数中，第2003个数字被3除所得余数是几？15、有一列数2.9.8.2.6从第三个数起，每个数都是前面两个数乘法的个位数，这列数字第2003个是几？16、有一串数，6、3，从第三个数起，每个数都比它前，后两个数的和小5，这串数前398数之和是多少？17、一列数前3个是1、9、9，以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3的余数，这列数中的第1999个数几？。

简单的周期问题一、填空题1．某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_________．2．1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_________．3．按如图摆法摆80个三角形，有_________个白色的．4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_________灯．5．时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是_________时．6．把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在_________列．7．把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_________．8．循环小数与．这两个循环小数在小数点后第_________位，首次同时出现在该位中的数字都是7．9．一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数．（1）其中共有_________个1，_________个9_________个4；（2）这些数字的总和是_________．10．所得积末位数是_________．二、解答题（共4小题，满分0分）11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6…这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13．n=，那么n的末两位数字是多少？14．在一根长100厘M的木棍上，自左至右每隔6厘M染一个红点，同时自右至左每隔5厘M也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘M的短木棍有多少根？参考答案与试卷解读一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期二．考点：日期和时间的推算。

小数的循环小数与无限不循环小数小数是我们日常生活中经常遇到的数的一种表现形式，可以表示小于1的部分。

然而，小数在其内部又可以分为循环小数和无限不循环小数。

本文将介绍这两种类型的小数，以及它们的特点和应用。

1. 循环小数循环小数是指小数部分中有一个或多个数字序列循环出现的小数。

例如，1/3可以表示为0.3333...，其中数字3永远循环出现。

这种循环可以是一个数字、多个数字或整个小数部分。

循环小数可以用有限表示法来表示，也可以用无限循环线上加数字循环的方式表示。

有限表示法是指当循环节是一个数字时，可以直接使用该数字表示循环小数。

例如，1/6可以表示为0.1666，循环节为6。

无限循环线上加数字循环的表示法则是将循环节用一条横线覆盖，并在上方标注循环数字。

例如，1/7可以表示为0.142857，循环节为142857，可以写为0.142857上有一条横线，循环数字为142857。

循环小数有一些有趣的数学性质。

例如，循环小数可以通过除法算法或计算机程序转化为分数形式。

此外，循环小数还可以用连分数形式表示，其中每个循环节数字可以表示为一个分数。

循环小数还与数论中的周期性问题有关，在一些数学证明中有重要应用。

2. 无限不循环小数无限不循环小数是指小数部分中没有任何数字序列重复出现的小数。

例如，π（圆周率）和e（自然对数的底数）就是无限不循环小数的例子，它们的小数部分包含无限多个数字，并且没有重复的循环节。

无限不循环小数具有无穷无尽的数字序列，因此无法用有限表示法表示。

我们通常会使用近似值来表示无限不循环小数，例如π可以使用3.14或3.14159作为近似值。

然而，这些近似值只能精确到一定的小数位数，无法完全表示无限不循环小数的真实值。

无限不循环小数在科学和工程领域有广泛的应用。

例如，π在几何学中用于计算圆的周长和面积，e在金融学和概率论中用于计算复利和概率分布。

综上所述，小数可以分为循环小数和无限不循环小数两种类型。

循环小数和周期性规律综合问题一、基础知识讲解1.循环小数的周期性循环节不断重复，具有周期性。

2.周期性规律综合问题的求解方法二、考法技法提炼考法：循环小数和周期性规律综合问题解题方法：用位数除以循环节中的数字个数，得出共含有几组循环节，若有余数，则为循环节的第几个数字。

例题：3.2567567…的小数部分第200位上的数字是( )。

【答案】5【分析】根据所给数据发现：从小数点后面第2位开始，每3个数字一循环；因为第一个数字不参与循环，所以先用200－1＝199，再求199里有几组循环，还余几，余数是几就表示一个循环里的第几个数字，据此解答。

【详解】200－1＝199199÷3＝66（组）……1（个）所以第200位小数为循环节的第1个数字5。

三、易错提示易错点：错误判断第几位的数字易错诠释：解题关键是根据循环小数各位上的数字的排列规律确定所求数位上的数字。

例题：判断：循环小数6.13621362…的小数部分，第23位上的数是2。

( )【答案】×【分析】循环小数6.13621362…的循环节是1362，循环节由4个数字组成，把一个循环节看作一个周期，则一个周期有4个数字，要想知道循环小数6.13621362…的小数点后面第23位上的数字是几，就要看23里面有几个这样的周期，再根据余数来确定。

如果周期正好是整数且没有余数，那么第23位上的数字就是循环节的最后一个数字2；如果有余数，余数是几，所求数字就是循环节中从前往后数的第几个数字。

【详解】23÷4＝5（个）……3（个）循环节1362的第3位是6，所以第23位上的数是6。

即原题说法错误。

故答案为：×。

循环小数的规律循环小数是指在十进制下，某个数的小数部分是无限重复的一段数字。

例如，1/3在十进制下的小数表示为0.3333...，其中数字3无限重复。

循环小数的规律是指这种重复数字的模式或规律性。

本文将探讨循环小数的规律，并说明其应用和性质。

一、循环小数的表示与性质循环小数可以通过将分数除法转化为长除法的形式来表示。

例如，将1除以3，得到的商为0，余数为1，将1乘以10，得到的商为3，余数为1，再将1乘以10，得到的商为3，余数为1，以此类推，余数重复出现。

循环小数的循环节长度为循环节中数字的个数，例如1/3的循环节长度为1。

二、循环小数的规律性循环小数的规律性主要表现在循环节的重复和循环节中数字的排列。

循环节的重复意味着循环小数在无限位数下，会无限重复同一段数字。

例如，1/7的循环节为142857，这六个数字会无限重复下去。

循环节中数字的排列也有一定的规律性，例如1/7的循环节中的数字按照142857的顺序排列。

三、循环小数的应用循环小数广泛应用于数学和科学领域。

在数学中，循环小数常用于解决分数的表示和计算问题。

在科学领域，循环小数常用于表示重复周期的现象，例如地球的公转周期、月亮的自转周期等。

此外，循环小数还与无理数有关，无理数可以表示为循环小数的无穷小数部分。

循环小数的规律性也与数论中的周期性函数和模运算相关。

四、循环小数的研究和发展循环小数的研究和发展始于古希腊时期的数学家毕达哥拉斯和欧几里得。

他们提出了循环小数的概念，并发现了一些循环小数的规律。

随着数学的发展，人们对循环小数的研究越来越深入。

现代数学中，循环小数的规律性被广泛应用于数论、解析数论和分形几何等领域的研究中。

五、循环小数的计算方法计算循环小数可以通过长除法、连分数展开和递推公式等方法进行。

长除法是最常用的方法，通过将分数除法转化为长除法的形式，得到循环节中的数字。

连分数展开是将循环小数表示为连分数的形式，可以更好地展示循环小数的规律性。

3.4《循环小数》（教案）20232024学年数学五年级上册人教版在今天的数学课上，我们要学习的是五年级上册人教版的《循环小数》这一章节。

我们将探讨循环小数的定义，如何写出循环小数，以及如何判断一个数是否为循环小数。

教学目标是让学生理解循环小数的含义，掌握循环小数的写法，以及能够判断一个数是否为循环小数。

同时，通过实例分析，培养学生对数学问题的解决能力。

在板书设计上，我会将循环小数的定义，写法以及判断方法进行板书，以便学生能够清晰的理解和记忆。

对于作业设计，我会布置一道判断题和一道应用题。

判断题是让学生判断给出的数是否为循环小数，应用题则是让学生运用所学知识，解决实际问题。

课后，我会进行反思和拓展延伸。

对于循环小数的学习，学生是否掌握了基本的定义和写法，是否能够运用所学知识解决实际问题，这些都是我需要思考的问题。

同时，我也会根据学生的学习情况，进行适当的拓展延伸，以提高学生的数学素养。

重点和难点解析：1. 循环小数的定义：循环小数是一个小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数。

例如，1/3=0.3333，其中3就是重复出现的数字。

这个定义是理解循环小数的基础，因此，我会通过具体的例子，让学生深刻理解循环小数的含义。

2. 循环小数的写法：循环小数的写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小圆点。

例如，0.3333可以写作0.$$_3$$。

这个写法是学生容易混淆的地方，因此，我会通过反复的练习，让学生掌握循环小数的写法。

3. 如何判断一个数是否为循环小数：判断一个数是否为循环小数，需要看它的小数部分是否从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现。

这个方法是解决循环小数问题的关键，因此，我会通过具体的例子，让学生学会如何判断一个数是否为循环小数。

4. 循环小数的性质：循环小数的性质包括：循环小数的位数是无限的；循环小数可以转化为分数；循环小数可以进行四则运算等。

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】第三讲 循环小数与周期性问题阅读与思考从前有座山，山里有个庙，庙里老和尚在给小和尚讲故事，讲什么呢？老和尚讲：从前有座山，山里有个庙，庙里老和尚在给小和尚讲故事，讲什么呢？老和尚讲：从前有座山……小朋友，这个故事听过吗？其实呀，在我们日常生活中有许多不断循环出现的现象，如：春夏秋冬，一年四季，周而复始；星期天星期六，一周又一周，不断地循环往复等等。

在这些现象中，我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

四季的变化以一年为周期，星期的变化以七天为一周期。

在数学里，也常常会碰到一些重复出现的周期性规律的问题。

例如末位数字问题、星期问题、循环小数问题等。

本讲我们重点研究后者。

在周期性问题里，关键是找到规律性现象的周期，这样就可以使较难的问题转化为较简单的问题。

所以解决此类问题必须抓住两点：1、找出规律，发现周期现象，确定重复出现的元素的个数是几，周期就是几。

2、将题中要求的问题和某一周期的等式相对应，再运用一些简单的计算和分析求出答案。

循环小数是无限小数，它的小数从某位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这一个或几个数字叫做循环节。

解决有关循环小数的问题，应先弄清循环节，循环节有几个数字，利用周期性问题的相关知识解决问题。

典型例题|例①|计算：1÷7，小数点后面第100位上的数字是几？ 分析与解 1÷7=0.142857142857142857…观察小数点后面的数字，每6个数字一循环，循环节是“142857”，周期为6。

因为100÷6=16……4，余数是4，可知小数点后面第100位上的数字是第17个周期中的第4个数字，即是8。

训练快餐1计算4÷7，并将结果用“四舍五入法”精确到小数后第100位，这第100位上的数字是几？|例②|计算：6÷7=0.857142，在一个循环节里，数字和=（8+5+7+1+4+2）=27，1000÷6=166……4，1000个数字和=166×27+8+5+7+1=4503 训练快餐2循环小数0.21999小数点后第100位上的数字是几？这100个数字的和是多少？|例③|在循环小数0.2763824中，最少从小数点右面第几位开始到第几位为止的数字之和等于2020。

从循环小数到周期现象
生活是现实的、丰富的，而数学的特征之一就是高度的抽象性。

如果不把数学与现实生活联系起来，学生就会感到枯燥而无味、难以理解，长此下去，学生就必然会对数学产生厌倦。

因此，数学教学生活化就显得非常必要而且重要了。

如在循环小数的教学中，在学生已掌握循环小数的基础上，我让学生想一想：我们日常生活中还有哪些周而复始的循环现象呢？这下学生可高兴了，纷纷举手发言：一年四季的春、夏、秋、冬是循环现象；“四年一润，百年不润，四百年又一润”；哈雷彗星每隔七十六年回归地球；日常生活中七天为一周，每天24小时；太阳的东升西落是循环现象……
学生还举出自然界中水的循环和人体血液的循环等例子，学习兴趣空前高涨。

老师趁势引导，说明了什么是周期现象，并联系循环节说明周期的概念。

然后，教会学生运用周期变化规律解决实际问题，从而达到提高学生应用规律解决问题的能力。

如:①有一串数2、0、0、3、2、0、0、3、……共2003个，最后一个数字是（），其中有（）个2。

②计算：2000+1999-1998-1997+1996+1995-1994-1993+1992+……1=（）③周恩来总理出生于1898年，你能算出他属什么生肖吗？等等，在学生原有基础上进行提高，取得了较好的效果。

教师必须首先要留心学生的生活内容，收集一些生活中的数学问题。

然后再把这些活生生的内容移进课堂，让学生用数学的眼光去重新审视。

长此以往，不断深化，就能逐步让学生学会用数学的眼光去
看待周围的世界，从数学的角度出发提出一些生活中的问题，用数学的思想和方法去分析和解决问题，用数学的语言去解释得出的答案或结论。

一、前言：循环小数在数学学科中较为普遍，其涉及到数论、高等数学、微积分等数学领域，尤其是在初中数学教学中更是一项难点。

教师在教学中不仅需要掌握相关知识，还要了解学生的认知水平和需求，针对不同的学生开设个性化教学，为学生提供更多的学习机会和帮助。

本文主要围绕循环小数教学中的常见难点和教案设计，希望对初中数学教师进行参考和借鉴。

二、循环小数概述：循环小数是指在分数形式下，分母有一个以上的质因数，或者分母是无法整除十进制小数的情况。

例如，若分数的分母是一个质数p，则它的分母就可以表示为1/p，此时它的十进制小数永远有一个无限循环的小数部分，它就是循环小数。

三、循环小数教学的常见难点：1.循环小数的概念及其形成原因不易理解对于初学者来说，循环小数的概念不易理解。

其形成原因与小数点后面的数字有关，但很多学生对于小数点后面的数字没有具备深刻的认识，也就不能理解循环小数的产生原因。

2.因数分解的难度较大因数分解是循环小数教学的重点难点，在教学中一定要针对学生的认知水平进行讲解和指导，让学生理解分解的概念和方法，要引导学生在思考和解答问题时用到因数分解。

3.循环小数的表示法有多种，易混淆学习循环小数时，学生经常会在不同表达形式之间产生混淆，如对于其分数的约分、小数的无穷截尾、循环节长度等定义不清楚，难以准确应用此知识点。

4.循环小数的计算循环小数的计算方法需要掌握，两者之差一定等于无限不循环小数，会用上面两个数的和等于循环小数的技巧解决问题，这是循环小数计算的基本思想。

但这对于绝大多数学生来说仍然是难以掌握的。

四、教学设计：1.概念及问题引入循环小数本身是小数的一种特殊形式，可以很方便地扩展到分数、整数的运算及转化，引入教材中一些经典的例子，让学生感受到它们产生的原因和形式，使学生对循环小数有个初步的概念和认识。

2.以生活实例为例，引导学生思考将教学对象从抽象符号向生活实例引导，系上何帆一元（0.4周期）的环节、时钟等常见的实例，引导学生关注问题本质，从中获取启发和思考，探索循环小数与生活实际的关联性和意义。

2010年五年级奥数题：周期性问题（B）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_________．2．（3分）黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是_________色的，这种颜色的珠子在这串中共有_________颗．3．（3分）流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是_________色．4．（3分）把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中．第1992粒珠子投在_________袋中．5．（3分）将数列1，4，7，10，13…依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第_________行第_________列．6．（3分）分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_________．7．（3分）化成小数后，小数点后面1993位上的数字是_________．8．（3分）在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在_________和_________这两个数字上．9．（3分）1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是_________．10．（3分）算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是_________．二、解答题（共4小题，满分0分）11．乘积1×2×3×4×…×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？13．表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是_________．14．甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_________厘米．2010年五年级奥数题：周期性问题（B）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期五．考点：日期和时间的推算．分析：在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365×10+3，365被7除余1，所以总天数被7除的余数是13﹣7=6，因此10年后的1月18日是星期五．解答：解：（365×10+3）÷7=3653÷7=521（星期）…6（天），因此10年后的1月18日是星期五．故答案为：五．点评：考查了日期和时间的推算，本题得到从1992年1月18日起再过十年的1月18日的总天数是关键，同时还考查了星期几是7天一个循环．2．（3分）黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是黑色的，这种颜色的珠子在这串中共有26颗．考点：周期性问题．分析：根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三白”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4，由此即可得出答案．解答：解：因为，（102﹣1）÷4，=101÷4，=25…1，所以，最后一颗珠子是黑色的．又因为，1×25+1=26（颗），所以，这种颜色的珠子在这串中共有26颗；故答案为：黑，26．点评：解答此题的关键是，根据图示，找出珠子排列的周期数，由此即可解答．3．（3分）流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是黑色．考点：周期性问题．分析：小木球是依次按5红，4黄，3绿，2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个周期为15．由1993÷15=132…13，所以第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色．解答：解：5+4+3+2+1=15，1993÷15=132…13，所以第1993个小球是第133周期中第13个，应该与第一周期的第13个小球颜色相同，是黑色．答：第1993个小珠的颜色是黑色．故答案为：黑．可得出．4．（3分）把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中．第1992粒珠子投在B袋中．考点：周期性问题．分析：根据题干，可以将已知图形化出分析示意图如下：这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题，由上图中的数字排列可以看出：右边为第一列，下边为第一行，从1开始依次排列；其规律是：每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B；由此规律，只要求出1992是第几周期的第几个数字，即可得出答案．解答：解：根据题干分析可得：上述数字的排列规律为：每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B；1992÷10=199…2，所以1992是第200个周期的第二个数字，与第一周期的第二个数字相同，即是B．答：第1992粒珠子投在B袋中．故答案为：B点评：此题抓住投珠子的方法，把这个实际操作的问题转化成一个单纯的数字问题，可以使分析简洁明了．5．（3分）将数列1，4，7，10，13…依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第24行第4列．考点：周期性问题．分析：根据题干可得：①此题是一个等差数列，公差是3；②从排列可以看出，两行为一个周期，即10个数为一个周期，位置分别在的列数为：2、3、4、5、6、5、4、3、2、1；所以只要求出349是这个数列中的第几个数，在第几周期的第几个数字即可得出答案．解答：解：根据题干分析可得：（349﹣1）÷3+1=117，所以349是这列数中的第117个数．117÷10=11…7，所以这个数是第12周期的第7个数字，那么这个数是第1周期的第二行，所以这个数在第12×2=24行，与第一周期的第7个数字位置相同即：在第4列，答：数列中的数349应排在第24行第4列．故答案为：24；4．点评：此题要从两个方面考虑周期①行数，两行一周期，②列数，即10个数字依次排列的列数．6．（3分）分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是6．考点：周期性问题．分析：=，很显然小数点后面的数字循环周期是6，由此只要得出1993在第几周期的第几个数字即可解决问题．解答：解：=，它的循环周期是6，因为1993÷6=332…1，即在第333周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同，是6．故答案案为：6．点评：此题抓住的循环节，即可解决问题．7．（3分）化成小数后，小数点后面1993位上的数字是7．考点：周期性问题．分析：题目要求“小数点后面1993位上的数字是多少”，所以就要从化成小数后寻找规律．解答：解：=从小数点后面第二位开始，它的循环周期是6，因为（1993﹣1）÷6=332，则循环节“142857”恰好重复出现332次．所以小数点后面第1993位上的数字是7．故答案为：7．点评：此题考查了小数化分数的方法以及对循环节的掌握情况，同时培养学生寻找规律的能力．8．（3分）在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在3和7这两个数字上．考点：循环小数及其分类．分析：表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面，且数字“5”肯定包含在循环节中，然后分情况讨论前一个循环节的点应放在哪．（1）设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，（100﹣4）÷3=32，第100位数字是7．（2）设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，（100﹣3）÷4=24…1，第100位数字是4．（3）设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，（100﹣2）÷5=19…3，第100位数字正好是5．故答案为：3，7．点评：容易看出后一个小圆点应加在7的上面，但前一个圆点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办？唯一的办法就是“试”．因为循环节肯定要包含5，就从数字5开始试．逐步向前移动，直到成功为止．这就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索：先试一试这条，再试一试那条．9．（3分）1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是2．考点：周期性问题；乘积的个位数．分析：根据题干，要求它们的连乘积的个位数字，可以先求出它们各自的乘积的个位数字是几，由特例不难归纳出：（1）9的连乘积的个位数字按9，1循环出现，周期为2；（2）8的连乘积的个位数字按8，4，2，6循环出现，周期为4；（3）7的连乘积的个位数字按7，9，3，1循环出现，周期为4．由此即可解决问题．解答：解：根据上述分析可以得出1991个9的乘积个位数字、1990个8的乘积个位数字、1989个7的个位数字分别为：（1）因为1991÷2=995…1，所以1991个9的连乘积的个位数字是第996周期的第一个数，与第一周期的第一个数字相同即是9；（2）因为1990÷4=497…2，所以1990个8的连乘积的个位数字是第498周期的第二个数字，与第一周期的第一个数字相同即是4；（3）因为1989÷4=497…1，所以1989个7的连乘积的个位数字是第498周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同即是7．所以，9×4×7=252，即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2．答：连乘积的个位数是2．故答案为：2．点评：抓住题干，求出9的连乘积、8的连乘积和7的连乘积的个位数字的规律，是解决本题的关键．10．（3分）算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是9．考点：周期性问题．分析：分别找出个位数字7、2、3的连乘积的个位数的循环周期：如7的连乘积，积的尾数以7，9，3，1，循环出现，周期为4，因为367÷4=913，所以，367367的尾数为3；如此类推，…即可解决问题．解答：解：（1）7的连乘积，尾数（个位数字）以7，9，3，1循环出现，周期为4；因为367÷4=91…3，所以，367367的尾数为3．（2）2的连乘积，尾数以2，4，8，6循环出现，周期为4；因为762÷4=190…2，所以，762762的尾数为4．（3）3的连乘积，尾数以3，9，7，1循环出现，周期为4；123÷4=30…3，所以，123123的尾数为7．（4）综上所述，（367367+762762）×123123的尾数就是（3+4）×7的尾数，（3+4）×7=49，答：得数的尾数是9．故答案为：9．点评：此题考查了利用个位数字为7，2，3的连乘积的积的尾数的规律进行解决问题的方法二、解答题（共4小题，满分0分）11．乘积1×2×3×4×…×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？考点： 周期性问题．分析： 我们用所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数．2的495次方的个位数字是8（2的n 次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123…3）那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2（就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2．解答： 解：此题中是1991个数字的连乘积，原式中去掉所有5的倍数得：1×2×3×4×6×7×8×9×11×12×13×14×16×17×18×19×21×22×23×24×26×27×28×29×…×1981×1982×1983×1984×1986×1987×1988×1989×1991≡（1×2×3×4×6×7×8×9）×（1×2×3×4×6×7×8×9）×…×（1×2×3×4×6×7×8×9）×1≡6×6×…×6×1所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数．2的495次方的个位数字是8；2的n 次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期，495÷4=123…3；那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2（就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2．点评： 将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5乘积的个位数字特点进行分析，得出从右边数第一位不为0的数字规律；根据2的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是本题的关键所在．12．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？考点： 周期性问题．分析： （1）因为第一个数×=第二个数×，所以第一个数：第二个数=：=3：10．又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…（2）要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规律是什么；由此即可解决问题．解答： 解：根据题干分析可得这串数字为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…这串数字被3除所得的余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8．因为1991÷8=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2．答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是2．点评： 解答此题应注意以下两个问题：（1）由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数；（2）求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期．一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性．13．表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是（好，好）．考点：周期性问题．分析：此题分成两部分来看：（1）上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共→产→党→好；那么第340个字在340÷4=85周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同；（2）同样的方法可以得出下面的周期为：五字一周期：社→会→主→义→好，由此即可解决问题．解答：解：根据题干分析：（1）上面四字一周期，分别为：共→产→党→好；那么第340个字在340÷4=85周期的最后一个，与第一组中第四个字“好”相同；（2）下面五字一周期，分别为：社→会→主→义→好，那么第340个字在340÷5=68周期最后一个数字，与第一周期的最后一个字“好”相同；答：由上述推理可得：第340组的数字是（好，好），故答案为：（好，好）．点评：此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数．因为340÷20=17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是（好，好）．14．甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为75厘米．考点：公约数与公倍数问题．分析：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行；乙按白、黑，白、黑交替进行，如图所示．由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5×6×2=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现，据此可以轻松求解．解答：解：按60厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是，1+3+5+4+2=15（厘米）；所以，在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是，15×（300÷60）=75（厘米）．故答案为：75．点评：此题主要考查最小公倍数问题，注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍，而不是5与6的最小公倍数．。

循环小数与周期性问题从前有座山，山里有个庙，庙里老和尚在给小和尚讲故事，讲什么呢老和尚讲：从前有座山，山里有个庙，庙里老和尚在给小和尚讲故事，讲什么呢老和尚讲：从前有座山，山里有个庙……小朋友，这个故事听过吗其实，在我们日常生活中有许多不断循环出现的现象，如：春夏秋冬，一年四季，周而复始；星期天星期六，一周又一周，不断地循环往复等等。

在这些现象中，我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

四季的变化以一年为周期，星期的变化以7天为一周期。

在数学里，也常常会碰到一些重复出现的周期性规律的问题。

例如余数问题、星期问题等，而我们这里重点是学习有关循环小数的问题。

在周期性问题里，关键是找到规律性现象的周期，这样就可以使较难的问题转化为较简单的问题。

所以解决此类问题必须抓住两点：1．找出规律，发现周期现象，确定重复出现的元素的个数是几，周期就是几。

2．将题中要求的问题和某一周期的等式相对应，再运用一些简单的计算和分析求出答案。

【例1】计算1÷7，小数点后面第100位上的数字是几练习：1．4÷7，并将结果用“四舍五入法”精确到小数后第100位，这第100位上的数字是几【例2】计算6÷7商的小数点后面1000个数字的和是几练习：1．循环小数小数点后第100位上的数字是几这100个数字的和是多少【例3】在循环小数中，最少从小数点右面第几位开始到第几位为止的数字之和等于2020。

练习：在循环小数0.中，最少从小数右面第几位开始，到第几位为止的数字之和等于200110【例4】划去小数0.后面的若干位数字，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数（例如：）使得新的循环小数是最大的或最小的练习：1． 在小数0.末尾划去若干个数字，添上表示循环节的两个小圆点，得到一个循环小数，使得新的循环小数是尽可能大的或尽可能小的【例5】 求2937847143⨯积的个位数字是几练习：1． 求1113333322⨯积的个位数字是几【例6】 下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，那么“”处表示的数字是几练习：1． 下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是15，你知道“”处表示的数字是几吗这个11位数你能写出来吗2．19987表示1998个7连乘，它的结果末位上的数字是几【例7】 2007年1月1日正好是星期一，那么2007年6月1日是星期几练习：1．2006年3月15日是小明11岁生日，是星期三，那么小明12岁生日时是星期几2．如果今天是星期五，再过80天是星期几【例8】将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问2001所在的列以哪个字母作为代表A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25……………………练习：1．将偶数2、4、6、8……按下图依次排列，2014出现在哪一列A B C D E8 6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32……………………2．把自然数按下面规律排列，865排在哪一列A B C D1 2 36 5 47 8 912 11 10………………3．上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。

循环小数的周期问题姓名分数家长评议哲理小故事在一个村庄里，住着一位睿智的老人，村里有什么疑难问题都来向他请教。

有一天聪明又调皮的孩子，想要故意为难那位老人。

他捉了一只小鸟，握在手掌中，跑去问老人：“老爷爷，听说您是最有智慧的人，不过我却不相信。

如果您能猜出我手中的鸟是活还是死的，我就相信了。

”老人注视着小孩子狡黠的眼晴，心中有数，如果他回答小鸟是活的，小孩会暗中加劲把小鸟掐死；如果他回答是死的，小孩就会张开双手让小鸟飞走。

老人拍了拍小孩的肩膀笑着说：“这只小鸟的死活，就全看你的了！”每个人的前途与命运，就像那只小鸟一样，完全掌握在你自己的手中。

升学也罢，就业也好，创业亦如此，只要奋发努力，均会成功。

一位哲人说：人生就是一连串的抉择，每个人的前途与命运，完全掌握在自己手中，只要努力，终会有成。

【运河通道1】知识点1．两个数相除，如果不能得到整数商，就会有两种情况：一种是能除尽，商是有限小数，如：1÷4＝0.25；另一种是除不尽，商是无限小数。

2．循环小数是无限小数，那么什么是循环小数“一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫循环小数。

”3．循环小数包括循环小数和循环小数。

【关键词】你想说什么？【运河通道2】建立一棵树【关键词】。

【经典例题】【经典导航1】在循环小数4.207中，小数点后面第100位上的数字是几？【经典变例】在在循环小数4.69207中，小数点后面第100位上的数字是几？【扬帆起航1】计算2÷7，小数点后面第2009位上的数字是多少？【要点】 。

【经典变例1】把分数74化成小数后，小数点第110位上的数字是_____.【关键词】 。

【经典变例2】已知3÷7=0.4285714285671……1）第1992位小数是几？2）如果数到某一位小数时，这位小数前的小数数字之和是492，这位小数是第几位小数？【关键词】 。

【数海拾贝】，除数是7的除法算式的商十分奇妙，它们的周期都是6，而循环节的6个数字都是1、4、2、8、5、7，它们不断地依次循环。

循环小数及周期知识要点：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9.9的个数与循环节的位数相同。

能约分的要约分。

混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。

分母的头几位数是9，末几位是0.9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

例1 计算：∙∙∙∙∙∙∙∙+++++++98.087.076.065.054.043.032.021.0解：将以上循环小数化成分数后： 原式＝90819071906190519041903190219011+++++++ ＝⨯901（11+21+31+41+51+61+71+81） ＝⨯90192×8÷2 ＝4454 例2 3716写成循环小数后，小数点后500个数字之和是多少？ 解：3716＝999432＝∙∙234.0 又因为：500÷3＝166……2，所以这个循环小数小数点后500个数字之和是：166×（4＋3＋2）+4+3＝1501。

例3 分母是31的所有最简真分数的和是∙61.0的多少倍？解：分母是31的所有最简真分数的和为：31303129313312311++⋅⋅⋅+++ ＝⨯311（1＋2＋3＋……29＋30） ＝⨯31131×30÷2 ＝15∙61.0化成分数是6190116=- 15÷61＝90 所以，分母是31的所有最简真分数的和是∙61.0的90倍。

例4132化成小数后，它小数部分前1000位数字偶位数字之和与奇位数字之和的差是多少？ 解：132化成小数是∙∙653841.0，又因为1000÷6＝166……4 所以它小数部分前1000位数字偶位数字之和与奇位数字之和的差是：[（5+8+6）×166＋5＋8]－[（1+3+4）×166＋1＋3]＝（5+8+6－1－3－4）×166＋5＋8－1－3＝5×166＋9＝839例5 对循环小数∙∙720.0与∙∙653841.0的乘积成绩取近似值，要求保留一百位小数。

一日一悟头脑风暴求循环小数数位上的数字、循环小数的数字和以及循环节的的确定等问题时，长结合周期问题的方法。

解题的一般过程是：(1)判断题目中的循环小数是纯循环小数还是混循环小数(2)把所有数位上的数字看成一个数列，找到数字排列的规律，确定重复出现的数字有几个，周期是多少？(3)最后结合解周期问题的方法解决具体问题思维建模【例1】观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个．【例2】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。

问：（1）第100盏灯是什么颜色？（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？5÷的商的小数点后面第100个数字是几？【例3】75÷的商的小数点后面前100个数字相加后个位数字为几？【例4】75÷的商的小数点后面前100个数字相加结果为几？【例5】7课堂检测1、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则前2017个图形中三角形有多少个？2、有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。

问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？16÷化成小数，小数点后第100位是几？3、3716÷化成小数，小数点后前100个数字相加后个位数字为几？4、3716÷化成小数，小数点后前100个数字相加后结果为几？5、37课内菁华1、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○□○△□□○△□○□○△□□○△□○┅┅，若第一个图形是正方形，则前2017个图形中三角形有多少个？2、有一串很长的珠子，它是按照3颗红珠、4颗白珠、1颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。

循环小数的
循环小数指的是小数部分无限重复的小数形式。

它们可以表示为一个有限的小数加上一个无限循环的小数分数。

常见的循环小数形式有以下几种：
1. 周期性循环小数：小数部分有一个或多个数字的有限序列，然后无限重复。

例如，1/3 = 0.3333...，以及2/7 =
0.285714285714...。

2. 不完全循环小数：小数部分有一些数字的有限序列，然后无限重复，但其中可能有一些数字不在循环中。

例如，1/6 = 0.1666...，其中6在一个循环中，但1不在。

3. 真循环小数：小数部分的有限序列在循环中不重复。

例如，1/7 = 0.142857142857...，这里的序列142857在循环中没有重复。

循环小数可以通过将分数表示为一个分数分子除以一个除数来确定。

我们可以通过观察小数部分的循环模式并进行计算来将循环小数转换为分数。

例如，0.3333...可以写成1/3，
0.285714285714...可以写成2/7等等。