(3)循环小数与周期性问题

循环小数与周期1、把67化成小数。

（1）小数点后面第50位是多少？（2）小数点后面第2003位“四舍五入”取近似数，第2002位是多少？2、把181化成小数后，小数点后面前100位数字之和是多少？3.在循环小数2.42890123的某一位上再添上一个表示循环的点后，使新的循环小数尽可能大，这个新循环小数是多少？4、循环小数0.13579和0.3456789在小数点后的第几位上首先同时出现数字9？5、在循环小数0.1234567中，移动表示循环节的前一个小圆点，使得到的新的循环小数在小数点后面第100位上的数·· · · · · ·字是5，这个新循环小数是多少？6、在循环小数0.2763824中，最少从小数点右面的第几位开始到第几位为止的数字之和等于1987？7、在一个循环小数0.2345678中，要使这个循环小数小数点后面第100位上的数字是6，那么表示循环节的两个小圆点应重新分别移到哪两个数字上？8、循环小数0.28375463与0.4972163在小数点后第几位时，首先同时出现在该数位上的数字都是3？9、20032003的个位数字是几？· · · · · · · ·10、3247-1630的个位数字是几？11、64×3817×698287的尾数是多少？12、20011000+20021000+23301000的尾数是多少？13、连写100个12得到一个自然数，这个数除以13的余数是多少？14、有一串数排成一列，其中第一个数字是4，第二个数字是9，第三个数起，每个数正好是前两个数的和，这串数中，第2003个数字被3除所得余数是几？15、有一列数2.9.8.2.6从第三个数起，每个数都是前面两个数乘法的个位数，这列数字第2003个是几？16、有一串数，6、3，从第三个数起，每个数都比它前，后两个数的和小5，这串数前398数之和是多少？17、一列数前3个是1、9、9，以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3的余数，这列数中的第1999个数几？。

简单的周期问题一、填空题1．某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_________．2．1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_________．3．按如图摆法摆80个三角形，有_________个白色的．4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_________灯．5．时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是_________时．6．把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在_________列．7．把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_________．8．循环小数与．这两个循环小数在小数点后第_________位，首次同时出现在该位中的数字都是7．9．一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数．（1）其中共有_________个1，_________个9_________个4；（2）这些数字的总和是_________．10．所得积末位数是_________．二、解答题（共4小题，满分0分）11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6…这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13．n=，那么n的末两位数字是多少？14．在一根长100厘M的木棍上，自左至右每隔6厘M染一个红点，同时自右至左每隔5厘M也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘M的短木棍有多少根？参考答案与试卷解读一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期二．考点：日期和时间的推算。

小数的循环小数与无限不循环小数小数是我们日常生活中经常遇到的数的一种表现形式，可以表示小于1的部分。

然而，小数在其内部又可以分为循环小数和无限不循环小数。

本文将介绍这两种类型的小数，以及它们的特点和应用。

1. 循环小数循环小数是指小数部分中有一个或多个数字序列循环出现的小数。

例如，1/3可以表示为0.3333...，其中数字3永远循环出现。

这种循环可以是一个数字、多个数字或整个小数部分。

循环小数可以用有限表示法来表示，也可以用无限循环线上加数字循环的方式表示。

有限表示法是指当循环节是一个数字时，可以直接使用该数字表示循环小数。

例如，1/6可以表示为0.1666，循环节为6。

无限循环线上加数字循环的表示法则是将循环节用一条横线覆盖，并在上方标注循环数字。

例如，1/7可以表示为0.142857，循环节为142857，可以写为0.142857上有一条横线，循环数字为142857。

循环小数有一些有趣的数学性质。

例如，循环小数可以通过除法算法或计算机程序转化为分数形式。

此外，循环小数还可以用连分数形式表示，其中每个循环节数字可以表示为一个分数。

循环小数还与数论中的周期性问题有关，在一些数学证明中有重要应用。

2. 无限不循环小数无限不循环小数是指小数部分中没有任何数字序列重复出现的小数。

例如，π（圆周率）和e（自然对数的底数）就是无限不循环小数的例子，它们的小数部分包含无限多个数字，并且没有重复的循环节。

无限不循环小数具有无穷无尽的数字序列，因此无法用有限表示法表示。

我们通常会使用近似值来表示无限不循环小数，例如π可以使用3.14或3.14159作为近似值。

然而，这些近似值只能精确到一定的小数位数，无法完全表示无限不循环小数的真实值。

无限不循环小数在科学和工程领域有广泛的应用。

例如，π在几何学中用于计算圆的周长和面积，e在金融学和概率论中用于计算复利和概率分布。

综上所述，小数可以分为循环小数和无限不循环小数两种类型。

循环小数和周期性规律综合问题一、基础知识讲解1.循环小数的周期性循环节不断重复，具有周期性。

2.周期性规律综合问题的求解方法二、考法技法提炼考法：循环小数和周期性规律综合问题解题方法：用位数除以循环节中的数字个数，得出共含有几组循环节，若有余数，则为循环节的第几个数字。

例题：3.2567567…的小数部分第200位上的数字是( )。

【答案】5【分析】根据所给数据发现：从小数点后面第2位开始，每3个数字一循环；因为第一个数字不参与循环，所以先用200－1＝199，再求199里有几组循环，还余几，余数是几就表示一个循环里的第几个数字，据此解答。

【详解】200－1＝199199÷3＝66（组）……1（个）所以第200位小数为循环节的第1个数字5。

三、易错提示易错点：错误判断第几位的数字易错诠释：解题关键是根据循环小数各位上的数字的排列规律确定所求数位上的数字。

例题：判断：循环小数6.13621362…的小数部分，第23位上的数是2。

( )【答案】×【分析】循环小数6.13621362…的循环节是1362，循环节由4个数字组成，把一个循环节看作一个周期，则一个周期有4个数字，要想知道循环小数6.13621362…的小数点后面第23位上的数字是几，就要看23里面有几个这样的周期，再根据余数来确定。

如果周期正好是整数且没有余数，那么第23位上的数字就是循环节的最后一个数字2；如果有余数，余数是几，所求数字就是循环节中从前往后数的第几个数字。

【详解】23÷4＝5（个）……3（个）循环节1362的第3位是6，所以第23位上的数是6。

即原题说法错误。

故答案为：×。

循环小数的规律循环小数是指在十进制下，某个数的小数部分是无限重复的一段数字。

例如，1/3在十进制下的小数表示为0.3333...，其中数字3无限重复。

循环小数的规律是指这种重复数字的模式或规律性。

本文将探讨循环小数的规律，并说明其应用和性质。

一、循环小数的表示与性质循环小数可以通过将分数除法转化为长除法的形式来表示。

例如，将1除以3，得到的商为0，余数为1，将1乘以10，得到的商为3，余数为1，再将1乘以10，得到的商为3，余数为1，以此类推，余数重复出现。

循环小数的循环节长度为循环节中数字的个数，例如1/3的循环节长度为1。

二、循环小数的规律性循环小数的规律性主要表现在循环节的重复和循环节中数字的排列。

循环节的重复意味着循环小数在无限位数下，会无限重复同一段数字。

例如，1/7的循环节为142857，这六个数字会无限重复下去。

循环节中数字的排列也有一定的规律性，例如1/7的循环节中的数字按照142857的顺序排列。

三、循环小数的应用循环小数广泛应用于数学和科学领域。

在数学中，循环小数常用于解决分数的表示和计算问题。

在科学领域，循环小数常用于表示重复周期的现象，例如地球的公转周期、月亮的自转周期等。

此外，循环小数还与无理数有关，无理数可以表示为循环小数的无穷小数部分。

循环小数的规律性也与数论中的周期性函数和模运算相关。

四、循环小数的研究和发展循环小数的研究和发展始于古希腊时期的数学家毕达哥拉斯和欧几里得。

他们提出了循环小数的概念，并发现了一些循环小数的规律。

随着数学的发展，人们对循环小数的研究越来越深入。

现代数学中，循环小数的规律性被广泛应用于数论、解析数论和分形几何等领域的研究中。

五、循环小数的计算方法计算循环小数可以通过长除法、连分数展开和递推公式等方法进行。

长除法是最常用的方法，通过将分数除法转化为长除法的形式，得到循环节中的数字。

连分数展开是将循环小数表示为连分数的形式，可以更好地展示循环小数的规律性。

3.4《循环小数》（教案）20232024学年数学五年级上册人教版在今天的数学课上，我们要学习的是五年级上册人教版的《循环小数》这一章节。

我们将探讨循环小数的定义，如何写出循环小数，以及如何判断一个数是否为循环小数。

教学目标是让学生理解循环小数的含义，掌握循环小数的写法，以及能够判断一个数是否为循环小数。

同时，通过实例分析，培养学生对数学问题的解决能力。

在板书设计上，我会将循环小数的定义，写法以及判断方法进行板书，以便学生能够清晰的理解和记忆。

对于作业设计，我会布置一道判断题和一道应用题。

判断题是让学生判断给出的数是否为循环小数，应用题则是让学生运用所学知识，解决实际问题。

课后，我会进行反思和拓展延伸。

对于循环小数的学习，学生是否掌握了基本的定义和写法，是否能够运用所学知识解决实际问题，这些都是我需要思考的问题。

同时，我也会根据学生的学习情况，进行适当的拓展延伸，以提高学生的数学素养。

重点和难点解析：1. 循环小数的定义：循环小数是一个小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数。

例如，1/3=0.3333，其中3就是重复出现的数字。

这个定义是理解循环小数的基础，因此，我会通过具体的例子，让学生深刻理解循环小数的含义。

2. 循环小数的写法：循环小数的写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小圆点。

例如，0.3333可以写作0.$$_3$$。

这个写法是学生容易混淆的地方，因此，我会通过反复的练习，让学生掌握循环小数的写法。

3. 如何判断一个数是否为循环小数：判断一个数是否为循环小数，需要看它的小数部分是否从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现。

这个方法是解决循环小数问题的关键，因此，我会通过具体的例子，让学生学会如何判断一个数是否为循环小数。

4. 循环小数的性质：循环小数的性质包括：循环小数的位数是无限的；循环小数可以转化为分数；循环小数可以进行四则运算等。

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】第三讲 循环小数与周期性问题阅读与思考从前有座山，山里有个庙，庙里老和尚在给小和尚讲故事，讲什么呢？老和尚讲：从前有座山，山里有个庙，庙里老和尚在给小和尚讲故事，讲什么呢？老和尚讲：从前有座山……小朋友，这个故事听过吗？其实呀，在我们日常生活中有许多不断循环出现的现象，如：春夏秋冬，一年四季，周而复始；星期天星期六，一周又一周，不断地循环往复等等。

在这些现象中，我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

四季的变化以一年为周期，星期的变化以七天为一周期。

在数学里，也常常会碰到一些重复出现的周期性规律的问题。

例如末位数字问题、星期问题、循环小数问题等。

本讲我们重点研究后者。

在周期性问题里，关键是找到规律性现象的周期，这样就可以使较难的问题转化为较简单的问题。

所以解决此类问题必须抓住两点：1、找出规律，发现周期现象，确定重复出现的元素的个数是几，周期就是几。

2、将题中要求的问题和某一周期的等式相对应，再运用一些简单的计算和分析求出答案。

循环小数是无限小数，它的小数从某位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这一个或几个数字叫做循环节。

解决有关循环小数的问题，应先弄清循环节，循环节有几个数字，利用周期性问题的相关知识解决问题。

典型例题|例①|计算：1÷7，小数点后面第100位上的数字是几？ 分析与解 1÷7=0.142857142857142857…观察小数点后面的数字，每6个数字一循环，循环节是“142857”，周期为6。

因为100÷6=16……4，余数是4，可知小数点后面第100位上的数字是第17个周期中的第4个数字，即是8。

训练快餐1计算4÷7，并将结果用“四舍五入法”精确到小数后第100位，这第100位上的数字是几？|例②|计算：6÷7=0.857142，在一个循环节里，数字和=（8+5+7+1+4+2）=27，1000÷6=166……4，1000个数字和=166×27+8+5+7+1=4503 训练快餐2循环小数0.21999小数点后第100位上的数字是几？这100个数字的和是多少？|例③|在循环小数0.2763824中，最少从小数点右面第几位开始到第几位为止的数字之和等于2020。

从循环小数到周期现象
生活是现实的、丰富的，而数学的特征之一就是高度的抽象性。

如果不把数学与现实生活联系起来，学生就会感到枯燥而无味、难以理解，长此下去，学生就必然会对数学产生厌倦。

因此，数学教学生活化就显得非常必要而且重要了。

如在循环小数的教学中，在学生已掌握循环小数的基础上，我让学生想一想：我们日常生活中还有哪些周而复始的循环现象呢？这下学生可高兴了，纷纷举手发言：一年四季的春、夏、秋、冬是循环现象；“四年一润，百年不润，四百年又一润”；哈雷彗星每隔七十六年回归地球；日常生活中七天为一周，每天24小时；太阳的东升西落是循环现象……
学生还举出自然界中水的循环和人体血液的循环等例子，学习兴趣空前高涨。

老师趁势引导，说明了什么是周期现象，并联系循环节说明周期的概念。

然后，教会学生运用周期变化规律解决实际问题，从而达到提高学生应用规律解决问题的能力。

如:①有一串数2、0、0、3、2、0、0、3、……共2003个，最后一个数字是（），其中有（）个2。

②计算：2000+1999-1998-1997+1996+1995-1994-1993+1992+……1=（）③周恩来总理出生于1898年，你能算出他属什么生肖吗？等等，在学生原有基础上进行提高，取得了较好的效果。

教师必须首先要留心学生的生活内容，收集一些生活中的数学问题。

然后再把这些活生生的内容移进课堂，让学生用数学的眼光去重新审视。

长此以往，不断深化，就能逐步让学生学会用数学的眼光去
看待周围的世界，从数学的角度出发提出一些生活中的问题，用数学的思想和方法去分析和解决问题，用数学的语言去解释得出的答案或结论。