3(建)第三章 点、线、面的投影

东北大学 工程图学教研室
§3－3
平面的投影
e f
QH
h
e
e f
h g
h
g
Z e
h
（2）铅垂面
e (f) (g) h l
f X e(f)
QH
O f Z

h(g) YH i l
K
efgh--直线; g YW 反映、角 的真实角度; efgh和efgh --类似形。
1)在与其平行的投影面上的投 影反映平面的实形； 2)另两个投影积聚成直线，且 分别平行于相应的投影轴。
a az a ay a ax
a
1. 点的正面投影 和水平投影的连 线垂直于OX轴 （aaOX）；
2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（aaOZ）； 3. 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离 （aax=aaz）。
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§3－1
点的投影
c
o x
b b a
c
o c
a 两相交直线 b x b 两平行直线
c
直线和线外一点
各种形式可以互相转换
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§3－3
平面的投影
2. 用迹线表示平面(P50)
Z PV PV PW PW O PH YH 正面迹线 水平迹线 侧面迹线 YW

PH
X
迹线 —— 平面与投影面的交线
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i j i j
i (l)
i (l)
（3）侧垂面
j RW X (k ) j i j
O l k YH
k
ijkl --直线; j (k) 反映、角 YW 的真实角度; ijkl和ijkl --类似形。

W X
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a

X
O
YW

X
B O
b
a
a

b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b

b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。

第3章点、直线、平面的投影复习思考题答案3.1 简述为什么不能用单一的投影面来确定空间点的位置？答：确定空间点的位置需要三个坐标，而单面投影只能确定点的两个坐标值。

所以，由点的单面投影，可对应无数的空间点，故不能用单一的投影面来确定空间点的位置。

3.2 为什么根据点的两个投影便能作出其第三投影？具体作图方法是怎样的？答：在三面投影体系中，任意一个投影面上投影都能确定点的两个坐标值，任意两个投影面共一个投影轴，都能反映三个方向的坐标，所以在三面投影体系中，只要给出一个点的任意两个投影，就可以求出其第三个投影。

具体的作图方法是利用点的投影规律（“三等关系”）求得第三面投影。

3.3 如何判断重影点在投影中的可见性？怎么标记？答：看重影点的不同的第三个坐标值的大小，坐标值大的就是可见的，反之不可见。

重合投影中不可见的点的投影用括号“（）”标记。

3.4 空间直线有几种？答：两大类七小种：一般位置直线和特殊位置直线。

而特殊位置直线有分为平行线和垂直线。

平行线又分为正平线、水平线和侧平线；垂直线分为铅垂线、正垂线和侧垂线。

3.5 如何在投影图上判断点是否属于直线？答：利用从属性和定比性都可判定。

从属性：如点在直线上，点的投影一定在直线的同名投影上；定比性：点分线段成比例，其各面投影也一定成相同比例。

3.6 什么是直线的迹点？在投影图中如何求直线的迹点？答：直线的迹点是直线与投影面的交点。

迹点既是直线上的点，又是投影面上的点，所以，迹点的投影总会有一个是在某投影轴上，同时也一定会在直线的同名投影上（即找直线的一个投影与坐标轴的交点），这样就可得到迹点的一面投影，再根据点在直线上的从属性，在直线的另一投影上求得迹点的另一投影。

3.7 试叙述直角三角形法的原理，即直线的倾角、实长、距离差、投影长的之间的关系。

答：直角三角形法是根据已知直角三角形的两个直角边，就可以画出直角三角形斜边的原理，将直线对同一个投影面的距离差、投影长作为两个直角边，画直角三角形，其斜边即为实长。