河北省石家庄市2018年4月高考一模考试数学试题(理)含答案

河北省石家庄市2018 年 4 月高考一模考试数学试题（文）含答案石家庄市 2018 届高中毕业班模拟考试（一）文科数学（ A 卷）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U {1,2,3,4,5,6,7}，A { x | x 3, x N }，则C U A（）A． {1,2} B． {3,4,5,6,7} C． {1,3,4,7} D． {1,4,7}1 2i2.复数1i （）1 3i 3 3iA ．iB．iC． 2 D ． 23.已知四个命题：①如果向量a与b共线，则ab 或 a b ；② x 3 是x 3的必要不充分条件；③命题p：x0 (0,2) ，x0 2 2x0 3的否定p ：x (0, 2) ，x2 2x 3 0 ；1 x 1 x④ “指数函数y ax是增函数，而y (2 )是指数函数，所以y ( 2 )是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（）A ．0B ． 1 C． 2 D． 3a n 1 1 a n{ a n } a1 2 1 a n a20184.若数列满足，，则的值为（）1 1A ．2B ．-3 C． 2 D ．35.函数f ( x)2x ( x0)，其值域为 D ，在区间( 1,2)上随机取一个数x ，则xD的概率是（）1 1 1 2A ．2B ．3C．4D ．36. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为s 25，则判断框中可填写的关于i的条件是（）A． i 4? B． i 4? C． i 5? D． i 5?7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，S 1 [ c2a2( c2 a2 b2)2]c），并举例“问沙田一为从隅，开方得积. ”（即： 4 2 ， a b一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A ．84 平方里B．108 平方里C．126 平方里 D ．254 平方里8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）2 4 8A ．3B．3C．2D．39.设 f ( x) 是定义在 [ 2b,3 b]上的偶函数，且在[ 2b,0] 上为增函数，则 f (x 1) f (3) 的解集为（）A．[ 3,3] B． [ 2,4] C． [ 1,5] D． [0,6]y 1 x 210.抛物线C：4的焦点为F ，其准线 l 与 y轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，当MA 2MF时， AMF 的面积为（）A ．1B ． 2C ．2 2D ． 4C11.在 ABC中， AB2 ，6，则AC3BC的最大值为（）A ．7 B ．2 7C ．3 7D ．4 712.已知F 1 ，F 2分别为双曲线x 2 y 2 1(a 0, b0)的左焦点和右焦点， 过F 2的直线 l与双a2 b 2曲线的右支交于 A ， B 两点，AF 1F2 的内切圆半径为r1 ，BF 1F2 的内切圆半径为r2 ，若r 12r2，则直线 l 的斜率为（）A ．1B ．2C ． 2D ．2 2二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.设向量a (1,2 m)，b(m1,1)，若 a b ，则 m．y xx y 114. x ， y满足约束条件：y1，则 z2 xy的最大值为．15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小 .据此推断班长是 ．16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为 2 的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60 分17.已知{ a n }是公差不为零的等差数列，满足a 37，且a2 、a4 、a9 成等比数列.（Ⅰ）求数列{ a n }的通项公式；1（Ⅱ）设数列 {b n }满足bna n a n 1 ，求数列b n 的前 n 项和S n.18.四棱锥S ABCD 的 底 面ABCDAB / /CD， ABBC，为直角梯形，AB 2BC 2CD 2 ，SAD为正三角形 .（Ⅰ）点 M 为棱 AB 上一点，若BC / /平面SDM，AM AB，求实数的值；（Ⅱ）若BC SD，求点B到平面SAD的距离 .19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案 .甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 55 单没有奖励，超过 55 单的部分每单奖励12 元.y（单位：元）与送货单数（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪n 的函数关系式；（Ⅱ）根据该公司所有派送员100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：日均派送单数52 54 56 58 60频数（天）20 30 20 20 10回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这100 天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据： 0.62 0.36 ， 1.42 1.96 ， 2.62 6.76 ， 3.42 11.56 ， 3.62 12.96 ，4.62 21.16 ， 15.62 243.36 ， 20.4 2 416.16 ， 44.42 1971.36 ）x2 y21(a b 0)F1，F2，且离心率为220.已知椭圆C：a2 b2 2 ，M的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，当F1MF2 90 时，F1MF2 的面积为 1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点 A 是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线 AF1， AF2 分别与椭圆交于点 B ，D ，设直线 BD 的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1k2为定值.21.已知函数f ( x) (x b)x (e a (b 0)，在( 1 f, ( 1 )，处的切线方程为(e 1 )x e y e 1 .（Ⅰ）求 a ，b；（Ⅱ）若 m 0 ，证明：f ( x) mx2 x .（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、 23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程x 3 r cos在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y 1 r sin （r 0，为参数），以坐标原点O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin( ) 13，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；MON（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成MON，且满足6，求面积MON的最大值 .23.选修 4-5：不等式选讲已知函数f ( x)2 x3 x m的定义域为 R ；（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）设实数 t 为 m 的最大值，若实数 a ，b， c 满足a2 b2 c2 t ，2 求1 1 1a2 1 b2 2 c2 3的最小值 .石家庄市2017-2018文科数学答案一、选择题学年高中毕业班第一次模拟考试试题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、 12： DD 二、填空题113. 3 14. 3 15. 乙16. 23三、解答题a42 a2a9 17. 解：（ 1）设数列a n 的公差为 d ，且 d 0 由题意得a3 7 ，(7 d )2 (7 d )(7 6d)即a1 2d 7 ，解得d3,a1 1 ，所以数列a n 的通项公式an 3n 2 .（ 2）由（ 1）得bn a nan 1 (3n 2)(3 n 1)1 1 ( 1 1 )b n 3 3n 2 3n 1 ，S n 1 1 ...... 1 1(1 1 1 1 1 1 )b1 b2 b n 3 4 4 7 3n 2 3n 1 1(1 1 ) n3 3n 1 3n 1 .18．（ 1）因为BC //平面 SDM ，BC平面 ABCD ，平面 SDM平面ABCD=DM，所以 BC//DM ，因为 AB // DC ，所以四边形BCDM 为平行四边形，又AB 2CD，所以 M 为 AB 的中点 .因为AMAB ，12.（ 2）因为BC SD， BC CD ，所以BC平面SCD，又因为BC平面 ABCD ，所以平面 SCD 平面 ABCD ，平面 SCD 平面 ABCD CD ，在平面 SCD 内过点 S 作 SE 直线CD于点E，则SE 平面 ABCD ，在 Rt SEA 和 Rt SED 中，因为SASD ，所以AE SA2 SE2 SD2 SE2 DE ，又由题知EDA 45 ，所以AEED ，由已知求得AD2 ，所以 AE ED SE 1，V三棱锥 S ABD 1 1 1 1连接 BD ，则 3 3 ，3又求得SAD 的面积为 2 ，所以由V三棱锥 B ASD V三棱锥S2 3ABD点 B 到平面SAD的距离为 3 .19.解：（ 1 ）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为：y 100 n,n N ，乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：140, (n 55, n N)y55, n N)，k.KS5U12n 520, (n（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为 152 元的有 20 天，日薪为 154 元的有 30 天，日薪为 156元的有 20 天，日薪为 158 元的有 20 天，日薪为 160 元的有 10 天，则1 （）x甲= 100 152 20+154 30+156 20+158 20+160 10 =155.4 ，S甲2 = 1 [20 152 155.4 2 154 155.4 2 156 155.4 2 158 155.4 2+30 +20 +20 +10010 160 155.4 2]=6.44，乙方案中，日薪为140 元的有50 天，日薪为152 元的有 20 天，日薪为176 元的有 20 天，日薪为 200 元的有10 天，则1 （）x乙 = 100 140 50+152 20+176 20+200 10 =155.6 ，S乙2 = 1 [50 140 155.6 2 152 155.6 2 176 155.6 2 200 155.6 2+20 +20 +10 ] 100=404.64，②、答案一：由以上的计算可知，虽然x甲x乙，但两者相差不大，且S甲 2 S乙2，即甲方案日薪收入远小于波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，x甲x乙，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案 .20 解：e c 2 a 2r1 r2 2a r12 r22 4c2（1）设MF1r1, MF2r2,由题1r1 r2 12 ，解得a2, c 1 ，则b2 1，x2 y2 1椭圆C的方程为 2 .（2）设 A(x0 , y0 )( x0 y0 0) ， B(x1, y1 ), C (x2 , y2 ) ，当直线AF 1的斜率不存在时，设 A( 1, 2 )B( 1,2 )2，则2 ，直线AF 2的方程为y2( x 1) x 2 y 217 0 ，4代入2，可得 5 x22 x x 2 7y 22D(7,2)5 ，10 ，则 5 10 ，2 ( 2 )2k 110 2276k 2( 1)直线 BD 的斜率为5，直线 OA 的斜率为 2 ，k 1 k 222 1() 6 ，6 2k 1 k 216 .当直线 AF 2的斜率不存在时，同理可得当直线AF 1、AF2的斜率存在时，x 01，yy 0 (x 1)x 01yy 0( x 1)x 2 y 2 1设直线AF 1的方程为x 0 1，则由 2消去 x 可得：[( x 0 1)2 2y 02 ] x 2 4 y 02 x 2 y 02 2( x 0 1)20 ，x 02y 02 12 2又 2，则2 y2 x 0，代入上述方程可得(3 2x 0 ) x 2 2(2 x 02 )x 3x 02 4x 0 0 ，x 1 x 03x 024x,x 13x 0 4y 1y0 (3x41)y 03 2x 03 2x0 ，则x 0 1 3 2x 03 2x 0B( 3x 04 y 0),2x 0 32x 0 3 ，yy 0( x 1)D(3x 04 , y 0 )设直线AF 2的方程为x 0 1，同理可得2x 0 3 2x 03 ，y 0y 0k 12x 0 3 2x 0 3 4x 0 y 0 x 0 y 03x 0 4 3x 0 4 12 x 02 24 3x 02 6直线 BD 的斜率为2x 0 3 2x 03，k 2y 0直线 OA 的斜率为x 0，2 x 02x 0 y 0y 0121k 1k 2y 03x 026 3x 026 .3x 026 x 0 61k 1 k 21所以，直线 BD 与 OA的斜率之积为定值6 .6，即21．f ( 1)1 1 a 0b解：（Ⅰ）由题意f1，所以e，a ，所以f (b1又 f ( x)x b 1 e x1) e a1 e ，a1e ，则 b2 e 0 ，与 b 0矛盾，故a1 ， b 1.若（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f ( x)x1 e x 1 ， f (0)0, f ( 1)0 ，由m 0，可得xmx 2 x ，g(x)x 1 e x 1 x，令g ( x)x 2 e x 2 ，当 x 2 时，g ( x)x 2 e x2 2 0 ，当x2时，设 h(x) g (x)x 2 e x 2 ，h ( x) x 3e x 0 ，故函数g ( x)在2,上单调递增，又g (0) 0 ，所以当x,0 时， g (x)0 ，当x0,时， g ( x)0 ，所以函数g( x) 在区间,0 上单调递减，在区间0, 上单调递增，g(x) g (0) 0 x 1 e x 1 x mx2 x故故 f ( x) mx2 x .法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f (x) x 1 e x 1， f (0) 0, f ( 1) 0 ，由m 0，可得xmx2 x ，g(x) x 1 e x 1 x令，g ( x) x 2 e x 2 ，令当时，，单调递减，且；当时，，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故 g(x) g (0) 0 x 1 e x 1 x mx2 x ，故 f ( x) mx2 x .选作题22（ 1）由题意可知直线l的直角坐标方程为y 3x 2 ，3 3 1 2r22曲线C是圆心为( 3,1)，半径为 r 的圆，直线l与曲线C相切，可得：；可知曲线 C 的方程为( x3) 2 ( y 1)2 4 ，20 ，所以曲线 C 的极坐标方程为 2 3 cos 2 sin 4sin( )即 3 .(2)由（ 1）不妨设 M （1,N( 2, )0 ），），6，（10,2SMON 1OM ON sin6 2 ，，当12 时，SMON23 ，所以△ MON 面积的最大值为23 .23.【解析】（ 1）由题意可知2x3 x m 恒成立，令 g( x) 2 x 3 x ，x 6,( x 3)g( x) 2 x 3 x6 3x,(0 x 3)去绝对值可得：6 x,( x 0)，画图可知g( x)的最小值为 -3，所以实数m的取值范围为m3 ；（ 2）由（ 1）可知a2 b2 c2 9 ，所以 a 2 1 b2 2 c23 15 ，1 1 1 (a211b 212 c213) (a2 1 b2 2 c2 3)a 2 1 b2 2 c2 3 15b2 2 a2 1 c2 3 a2 1 c2 3 b2 2 31 b2 2 a2 1 c23 b2 2 c2 3 9 3a215 15 5 ，当且仅当 a2 1 b 2 2 c2 3 5 ，即a2 4,b2 3,c2 2等号成立，1 1 1 3所以 a2 1 b2 2 c2 3 的最小值为5 .2017-2018A1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DDB1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD113. 3 14. 3 15. 16.23(a42 a2a917. 1 a n dd 0a3 7 2(7 d )2 (7 d )(7 6d)a1 2d 7 d3,a114a n a n 3n 2 , 621bna n a n 1 (3n 2)(3 n 1)1 1 ( 1 1 )b n 3 3n 2 3n18S n1 1......1 1 1 1 1 1 1) b1 b2 b n(14 4 7 3n 2 3n 13101(1 1 ) n3 3n 1 3n 1 . 12 .181BC //SDM,BCABCD,SDM ABCD=DM,BC // DM2AB//DC , BCDMAB 2CD,M AB 4AM AB126BC SDBC CDBC SCDBC ABCDSCDABCDSCD ABCD CDSCDS SE CDESE ABCD7Rt SEA Rt SEDSASD AE SA2 SE2 SD2 SE2 DEEDA 45AEEDAD2AE ED SE 19V三棱锥 S ABD 1 1 1 1 BD 3 3103SAD2V三棱锥B ASD V三棱锥S 2 3ABD B SAD 3 12 19.1y ny 100 n,n N 3y n140, (n 55, n N)y55, n N)612n 520, (n（ 2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为 152 元的有 20 天，日薪为 154 元的有 30 天，日薪为 156元的有 20 天，日薪为 158 元的有 20 天，日薪为 160 元的有 10 天，则1 （）x 甲= 100 152 20+154 30+156 20+158 20+160 10 =155.4 ，S 甲 2 = 1 [20 152 155.4 2154 155.4 2156 155.4 2158 155.4 2+30 +20 +20 +10010160 155.4 2]=6.44------------8 分乙方案中，日薪为 140 元的有 50 天，日薪为 152 元的有 20 天，日薪为 176 元的有 20 天，日 薪为 200 元的有 10 天，则1 （）x 乙 = 100 140 50+152 20+176 20+200 10 =155.6 ，S 乙 2 = 1 [50 140 155.6 2 152 155.6 2 176 155.6 2 200 155.6 2+20 +20 +10 ]100 =404.64-------------10 分②、答案一：由以上的计算可知，虽然x 甲 x 乙，但两者相差不大，且S甲 2远小于S 乙2 ，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案。

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）文科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】 .故选C.3. 已知四个命题：①如果向量与共线，则或；②是的必要不充分条件；③命题：，的否定：，；④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】①错，如果向量与共线，则；②是的必要不充分条件；正确，由可以得到，但由不能得到，如；③命题：，的否定：，；正确④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.，正确.故选D.4. 若数列满足，，则的值为（）A. 2B. -3C.D.【答案】B【解析】，，所以故数列是以4 为周期的周期数列，故故选B.5. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 84平方里B. 108平方里C. 126平方里D. 254平方里【答案】A【解析】根据题意，，代入计算可得故选A.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为一个半圆柱中间挖去了一个半球，半圆柱的高为4，底面半径为1，半球的半径为1 ，故其体积为故选B.9. 设是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，是定义在上的偶函数，则由函数为增函数，在上为减函数，故故选B.10. 抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的面积为（）A. 1B. 2C.D. 4【答案】B【解析】过作垂足为，则∴∴的高等于，设则的面积又由，三角形为等腰直角三角形，所以，∴的面积2故选B.11. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.12. 已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（）A. 1B.C. 2D.【答案】D故选D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13. 设向量，，若，则__________．【答案】【解析】即答案为.14. ，满足约束条件：，则的最大值为__________．【答案】3【解析】画出可行域如图所示，由图可知当目标函数经过点取到最大值。

石家庄市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC 的面积为（ ） A ．253B ．153C ．154D ．3532．函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i4．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y =B 20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=5．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞6．已知椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．5-12B ．3-12C ．314D ．5147．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24πB ．86πC ．33πD ．12π8．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．411．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试高三数学(理科答案) 一、 选择题（A 卷）1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA 一、选择题（B 卷）1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA 二、 填空题14 815 []1,2- 16 2a π三、 解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分） 17解：（1）解法1∵11(),n n a S n N λ*+=+∈ ∴11n n a S λ-=+(2)n ≥∴1n n n a a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠， 又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………………………………2分 ∴23(1)a λ=+， ∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ= (4)分∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=- (6)分解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*+==+∈∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++ ∴24(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ= (2)分∴11(),n n a S n N *+=+∈ ∴11n n a S -=+(2)n ≥∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， 又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分 ∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………………………………6分 （2）1(32)2n n n a b n -=-g ∴121114272(32)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅L L L ………………………① ∴12312124272(35)2(32)2n nn T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ………②…………8分 ① —②得12111323232(32)2n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅L12(12)13(32)212n nn -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分整理得：(35)25n n T n =-⋅+…………………………………………………………12分18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件,,A B C ，则112(),(),()223p A p B p C ===.依题意，集成电路E 需要维修有两种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=； …………2分②3个元件中的2个不能正常工作，概率为2()()()()p p ABC ABC ABC p ABC p ABC p ABC =++=++11111111241223223223123=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== ……………5分所以,集成电路E 需要维修的概率为1211512312p p +=+=． ……………6分（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则5(2,)12B ξ:，而100X ξ=，2257(100)()()(),0,1,2.1212k k kP X k P k C k ξ-=====…………9分X 的分布列为：………………10分4935252500100200144721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=或52501001002123EX E ξ==⨯⨯=. …………12分 19解：(1)证明一连接AC BD ，交于点F ,在平面PCA 中做EF ∥PC 交PA 于E ,因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE PC ∥平面BDE ，---------------2AD 因为∥,BC 1,3AF AD FCBC ==所以因为EF ∥PC ,1=.3AE AF EP FC =所以-------------4证明二在棱PA 上取点E ，使得13AE EP=,------------2连接AC BD ，交于点F ,AD 因为∥,BCC1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以，EF ∥PC因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE所以PC ∥平面BDE -------------4(2)取BC 上一点G使得BG =连结DG ,则ABGD 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 连结,,,OA OB OD OG .0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==,即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7（或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形. 连接,AG BD 交于点O ，连接PO ，0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面-----------7）,,OG OB OP 因为两两垂直，以O 坐标原点，分别以,,OG OB OP u u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.000001100010010100O P A B D G --则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）（，，）设棱BC 的长为t ，则 ,1,0)C ,(1,0,1),(0,1,1),(,1,1),(0,1,1)22PA PB PC PD =--=-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r --------------9,111(,,),00,001,(1,1,1)PAB x y z PA x z y z PB x PAB =⎧=--=⎧⎪⎨⎨-==⎩⎪⎩=-=-u u u r g u u u r g 设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m-----------10222(,,),0(1)0,001,(1,1,1)PCD x y z PC y z PD y z y PCD t =⎧=+-=⎪⎨=⎪⎪⎩--=⎩==--u u u r g u u u r g 设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.n n n n-----------110,=g m n 解得t=BC 即棱的长为20解：（1）由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x = (4)分（2）设00(,)P x y ，(0,),(0,)B b C c ， 直线PB 的方程为：000()0y b x x y x b --+=， 又圆心（1，0）到PB 的距离为1，1=，整理得：2000(2)20x b y b x -+-=， (6)分同理可得：2000(2)20x c y c x -+-=，所以，可知,b c是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根，所以：00002,,22y x b c bc x x --+==--……………………8分依题意0bc <，即02x >，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以：0022x b c x -=-，………………10分所以00014(2)482(2)S b c x x x =-=-++≥-， 当04x =时上式取得等号，所以PBC∆面积最小值为8.………………………12分 解二：（2）设00(,)P x y ，直线PB ：00()y y k x x -=-与圆D 相切，则1=，整理得：22200000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=，……………………6分20001212220002(1)1,22x y y k k k k x x x x--+=-=--,………………………8分依题意02x > 那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -=---=-，由韦达定理得：12022k k x -=-，则022B Cx y y x -=-，…………………10分所以00014()(2)482(2)B C S y y x x x =-=-++≥-当04x =时上式取得等号，所以PBC∆面积最小值为8.…………………12分 21. 解：（1）由()22ln f x x a x x=++，得()'222af x x x x =-+．因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()'2220af x x x x=-+≥在[]2,3上恒成立，………………2分即222a x x≥-在[]2,3上恒成立，设22()2g x x x =-，则22()40g x x x '=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故max ()(2)7g x g ==-，所以7a ≥-． (4)分（2） 解法一：12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--而()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-故欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->…………………6分即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>…………………8分设t =，()()240u t t t t=+>，则()242u t t t'=- 令()0u t '=得t =，列表如下：()4u t a ≥=>≥ (10)分 ∴()1212122x x x x a x x ++> ∴()()''1212f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x ''->-∴当4a ≤时，1k >…………………12分解法二：对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x3≥＝3 4.5a >> …………………8分∴ ()12221212221x x a x x x x ++-> 而()'222a f x x x x =-+∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-12x x >-…………………10分故：()()''1212f x f x x x ->- ， 即1212()()1f x f x x x ''->- ∴当4a ≤时，1k >………12分22. 证明：（1）连结AB ，AC ， ∵AD 为M e 的直径，∴090ABD ∠=，∴AC为Oe 的直径,∴0=90CEF AGD ∠=∠,∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ∆∽AGD ∆，……………3分 ∴CE AG EFGD=，∴GD CE EF AG ⋅=⋅。

河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题 文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ） A ．{1,2} B ．{3,4,5,6,7} C ．{1,3,4,7} D ．{1,4,7}2.复数121ii-=+（ ） A ．i B ．i - C ．132i -- D ．332i- 3.已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b = 或a b =-；②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4.若数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2018a 的值为（ ） A ．2 B ．-3 C ．12-D ．135.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．236. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤D ．5?i ≥ 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：S =a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．84平方里B ．108平方里C ．126平方里D ．254平方里 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．23π B ．43π C ．2π D ．83π9.设()f x 是定义在[2,3]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(3)f x f -≥的解集为（ ）A ．[3,3]-B ．[2,4]-C ．[1,5]-D ．[0,6] 10.抛物线C ：214y x =的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当MA MF=AMF ∆的面积为（ ）A ．1B ．2 C．．4 11.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则AC +的最大值为（ ）A．．．12.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1 B．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设向量(1,2)a m = ，(1,1)b m =+，若a b ⊥ ，则m = ．14.x ，y 满足约束条件：11y x x y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ． 16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，满足37a =，且2a 、4a 、9a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值；（Ⅱ）若BC SD ⊥，求点B 到平面SAD 的距离.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为2，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时，12F MF ∆的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()x f x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.答案一、选择题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12：DD 二、填空题 13. 13-14. 3 15. 乙16. 三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-. （2）由（1）得1(32)(31)n n n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+， 12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+11(1)33131n n n =-=++. 18．（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //，所以四边形BCDM 为平行四边形，又CD AB 2=，所以M 为AB 的中点. 因为λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD 平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ，则SE ⊥平面ABCD ， 在Rt SEA 和Rt SED 中，因为SA SD =，所以AE DE ===，又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥，由已知求得AD =，所以1AE ED SE ===，连接BD ，则111133S ABD V -=⨯⨯=三棱锥，又求得SAD 的面积为2，所以由B ASD S ABD V V --=三棱锥三棱锥点B 到平面SAD 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为：N ,100∈+=n n y ，乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ，（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则1=15220+15430+15620+15820+16010100x ⨯⨯⨯⨯⨯甲（）=155.4， ()()()()()2222221=[20152155.4+30154155.4+20156155.4+20158155.4+10010160155.4]=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则1=14050+15220+17620+20010100x ⨯⨯⨯⨯乙（）=155.6， ()()()()222221=[50140155.6+20152155.6+20176155.6+10200155.6]100=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙，②、答案一：由以上的计算可知，虽然x x <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，x x <乙甲，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF的斜率不存在时，设(A -，则(1,B -， 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --=，275x ∴=，210y =-7(,)510D -，∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k -==--，直线OA的斜率为22k =-，121(626k k ∴⋅=-=-， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x ，设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=， 又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---，∴直线BD 的斜率为00000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+， 直线OA 的斜率为020y k x =， ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1x f x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e'-=-=-+， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11xf x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11xg x x e x =+--，()()22x g x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<， 当2x >-时，设()()()22x h x g x x e '==+-， ()()30x h x x e '=+>，故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0g '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 故()()2()(0)011xg x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+故2()f x mx x ≥+.法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11xf x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+， 令()()()11xg x x e x =+--，()()22x g x x e '=+-，令当时，，单调递减，且； 当时，，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故()()2()(0)011xg x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+，故2()f x mx x ≥+. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y +，曲线C 是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为22((1)4x y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin()3ρθπ=+.(2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>），6πS MON =∆，，当12πθ=时， 32+≤∆MO N S ， 所以△MON面积的最大值为223. 【解析】（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-，去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-； （2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=， 222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222111123a b c +++++的最小值为35.答案一、选择题 （A 卷答案）1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD （B 卷答案）1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题13. 13-14. 3 15. 乙16. 三、解答题(解答题仅提供一种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………2分即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，……………4分 所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-,………………………………6分 （2）由（1）得1(32)(31)n n n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，…………………………8分 12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+…………………10分11(1)33131n n n =-=++.………………………12分. 18．（1）因为//BC 平面SDM, BC ⊂平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又，CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一） 文科数学（A 卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ）A ．{1,2}B ．{3,4,5,6,7}C ．{1,3,4,7}D ．{1,4,7}2.复数121ii -=+（ ）A ．iB ．i -C ．132i --D ．332i-3.已知四个命题：①如果向量a r 与b r 共线，则a b =r r 或a b =-r r；②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2xy =是增函数” 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.若数列{}n a 满足12a =，111nn n a a a ++=-，则2018a 的值为（ ）A ．2B ．-3C ．12-D ．135.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．236. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤D ．5?i ≥ 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：2222221[()]42c a b S c a +-=-a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．84平方里B ．108平方里C ．126平方里D ．254平方里8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π9.设()f x 是定义在[2,3]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(3)f x f -≥的解集为（ ）A ．[3,3]-B ．[2,4]-C ．[1,5]-D ．[0,6]10.抛物线C ：214y x=的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF =时，AMF ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．22D ．411.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则3AC BC +的最大值为（ ）A 7B ．27C ．37D ．712.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B 2C ．2D ．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设向量(1,2)a m =r ，(1,1)b m =+r ，若a b ⊥r r ，则m = ．14.x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，满足37a =，且2a 、4a 、9a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S.18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=u u u u r u u u r，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求点B 到平面SAD 的距离.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；日均派送单数 52 54 56 58 60 频数（天） 20 30 20 20 10 ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为2，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=o时，12F MF ∆的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值. 21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案 一、选择题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12：DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-.（2）由（1）得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L 11(1)33131n n n =-=++. 18．（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM I 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //，所以四边形BCDM 为平行四边形，又CD AB 2=，所以M 为AB 的中点.因为AB AM λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD I 平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ，则SE ⊥平面ABCD ，在Rt SEA V和Rt SED V 中， 因为SA SD =，所以AE DE ==，又由题知45EDA ∠=o， 所以AE ED ⊥，由已知求得AD =1AE ED SE ===，连接BD ，则111133S ABD V -=⨯⨯=三棱锥， 又求得SAD V的面积为， 所以由B ASD S ABDV V --=三棱锥三棱锥点B 到平面SAD的距离为3. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ，k.KS5U（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则1=15220+15430+15620+15820+16010100x ⨯⨯⨯⨯⨯甲（）=155.4， ()()()()()2222221=[20152155.4+30154155.4+20156155.4+20158155.4+10010160155.4]=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则1=14050+15220+17620+20010100x ⨯⨯⨯⨯乙（）=155.6， ()()()()222221=[50140155.6+20152155.6+20176155.6+10200155.6]100=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙， ②、答案一：由以上的计算可知，虽然x x <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，x x <乙甲，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x yC x y ，当直线1AF 的斜率不存在时，设(1,)2A -，则(1,)2B --，直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --=，275x ∴=，210y =-，则7(,510D -，∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k ---==--，直线OA的斜率为2k =，121()626k k ∴⋅=⋅-=-，当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x ，设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=，又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---，∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+，Q 直线OA 的斜率为20y k x =，∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1xf x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e '-=-=-+， 若1a e =，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x=+--，()()22x g x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，当2x >-时， 设()()()22x h x g x x e '==+-，()()30x h x x e '=+>，故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0g '=， 所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，故()()2()(0)011x g x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+故2()f x mx x ≥+. 法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x=+--，()()22x g x x e '=+-，令当时，，单调递减，且；当时，，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故()()2()(0)011x g x g x e x mx x≥=⇒+-≥≥+，故2()f x mx x ≥+. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为32y x =+，曲线C 是圆心为(3,1)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：33122r ⋅-+==；可知曲线C的方程为22(3)(1)4x y -+-=， 所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即4sin()3ρθπ=+. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>），6sin21πON OM S MON =∆，，当12πθ=时， 32+≤∆MON S ，所以△MON 面积的最大值为23.23. 【解析】 （1）由题意可知32x x m--≥恒成立，令3()2x g x x-=-，去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=，当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立，所以222111123a b c +++++的最小值为35.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案选择题（A 卷答案）1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD （B 卷答案）1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题(解答题仅提供一种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………2分即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，……………4分所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-,………………………………6分（2）由（1）得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，…………………………8分12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L…………………10分11(1)33131n n n =-=++ (12)分.18．（1）因为//BC 平面SDM,BC ⊂平面ABCD,平面SDM I 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又， CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。

河北省石家庄市2018届高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B.C. D.2. 设集合，，则（）A. B. C. D.3. 已知，且，则（）A. B. C. D.4. 两个单位向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.5. 用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（）A. B. C. D.6. 已知，，，则（）A. B. C. D.7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A. 求B. 求C. 求D. 求8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.10. 已知为双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点.若，则的离心率是（）A. B. C. D.11. 已知函数，则下列关于的表述正确的是（）A. 的图象关于轴对称B. ，的最小值为C. 有个零点D. 有无数个极值点12. 已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设，满足约束条件，则的最小值是__________．14. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答）15. 已知为抛物线上异于原点的点，轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点，则__________．16. 在中，角，，的对边分别为，，，边上的高为，若，则的取值范围是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列为单调递增数列，为其前项和，.（1）求的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：.18. 某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤元，成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失元.根据以往的销售情况，按，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.（i）求日需求量的分布列；（ii）该经销商计划每日进货公斤或公斤，以每日利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货公斤还是公斤？19. 如图，在三棱柱中，平面平面，.（1）证明：；（2）若是正三角形，，求二面角的大小.20. 已知椭圆：的左焦点为，上顶点为，长轴长为，为直线：上的动点，，.当时，与重合.（1）若椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于，两点，若，求的值.21. 已知函数，.（1）设，求的最小值；（2）证明：当时，总存在两条直线与曲线与都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）设曲线：（为参数且），与圆，分别交于，，求的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.。

河北省石家庄市2018届高考一模考试数学理科试题（A ）含答案石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A 卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ） A ．{1,2} B ．{3,4,5,6,7} C ．{1,3,4,7} D ．{1,4,7}2.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi +=（ ）A ．B C ．2 D ．43.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．234.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．32C ．3D ．4 6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤ D．5?i ≥7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：S =a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．83π+B ．84π+C ．85π+D ．86π+9.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ） A ．2[1,]3- B ．1[1,]3- C ．[1,1]- D ．1[,1]310.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则3AC BC +的最大值为（ ）A B ．．．11.过抛物线214y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线1y =-上，若ABC ∆为正三角形，则其边长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1412.设xOy ，''x Oy 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox 正方向到'Ox 正方向的角度为θ，那么对于任意的点M ，在xOy 下的坐标为(,)x y ，那么它在''x Oy 坐标系下的坐标(',')x y 可以表示为：'cos sin x x y θθ=+，'cos sin y y x θθ=-.根据以上知识求得椭圆223'''5'10x y y -+-=的离心率为（ ）A ．3．4．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.命题p ：01x ∃≥，200230x x --<的否定为 ．14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．16.已知函数31()1x x f x x -+=-，ln ()xg x x =，若函数(())y f g x a =+有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123x x x <<），则1232()()()g x g x g x ++的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()n n S m m R +=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足211(21)log ()n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求二面角A SB C --的余弦值.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元. （Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在2(1)2(,]1010n n-(1,2,3,4,5)n =时，日平均派送量为502n +单.若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由. （参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时，12F MF ∆的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA 二、填空题13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙 15. 22,0e e ⎛⎫-⎪-⎝⎭三、解答题 17解：(1) 法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()nn S m m R -=+∈，当当2n ≥时，12222n n n n a S S -=-=，即12(2)n n a n -=≥， 又1122ma S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=. 法二：由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩，从而有2213322,4a S S a S S =-==-=， 所以等比数列公比322a q a ==，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=. （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-，1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+，12111111(1)2335212121n n nT b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形， 又CD AB 2=,所以M 为AB 的中点. 因为λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ， 则SE ⊥平面ABCD ， 在Rt SEA 和Rt SED 中， 因为SA SD =，所以AE DE ===，又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===， 以下建系求解.以点E 为坐标原点，EA 方向为X 轴，EC 方向为Y 轴，ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0)E ，(0,0,1)S ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,0,1)SA =-，(0,2,0)AB =，(0,2,1)SC =-，(1,0,0)CB =，设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =，则110n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以020x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量，同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量，12121210cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==⋅，因为二面角A SB C --为钝角， 所以二面角A SB C --余弦值为5-.19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ， （2）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X 甲的分布列为：所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲，()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，所以X 乙的分布列为：所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙，()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙，②答案一：由以上的计算可知，虽然()()E X E X <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出，()()E X E X <乙甲，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF 的斜率不存在时，设2(1,)2A -，则2(1,)2B --， 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --= 275x ∴=，210y =-，则7(,510D -∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k -==--，直线OA的斜率为22k =-121(626k k ∴⋅=-=-， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=， 又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---， ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+， 直线OA 的斜率为020y k x =， ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e'-=-=-+， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=， 设)(x f 在(-1，0)处的切线方程为)(x h ， 易得，()1()11h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =- 即()()()1()1111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，()1()2x F x x e e '=+-， 当2x ≤-时，()11()20x F x x e e e '=+-<-< 当2x >-时，设()1()()2x G x F x x e e'==+-， ()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故0)1()(=-≥F x F ，11()()f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则111me x e'=-+-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤，设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =，令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e '=+-， 当2x ≤-时，()()2220x T x x e '=+-<-<，当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 0)0()(=≥T x T ，22()()f x t x ≥ ，设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故222()()()t x f x t x '=≥，故22x x '≥， 又11x x '≤，2121(12)1111me m e x x x x m e e -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为22((1)4x y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=， 即4sin()3ρθπ=+. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>）6πS MON =∆. 当12πθ=时, 32+≤∆MON S ，所以△MON 面积的最大值为2.23. 【解析】（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-， 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。

河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学试题（理）（A卷）【参考答案】1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 16. 22,0e -e ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解：(1)法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m -=+∈R ,当当2n ≥时,12222n n n n a S S -=-=,即12(2)n n a n -=≥, 又1122m a S ==+,当2m =-时符合上式,所以通项公式为12n n a -=, 法二： 由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩ ,从而有2213322,4a S S a S S =-==-=, 所以等比数列公比322a q a ==,首项11a =,因此通项公式为12n n a -=, （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-,1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+, 12111111(1)2335212121n n n T b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.解：（1）因为//BC 平面SDM ,BC ⊂平面ABCD ,平面SDM 平面ABCD =DM ,所以DM BC //,因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又,CD AB 2=,所以M 为AB 的中点,因为AB AM λ=,12λ∴=； （2）因为BC ⊥SD , BC ⊥CD ,所以BC ⊥平面SCD ,又因为BC ⊂平面ABCD ,所以平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD 平面ABCD CD =,在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ,则SE ⊥平面ABCD ,在Rt SEA 和Rt SED 中,因为SA SD =,所以AE DE ==,又由题知45EDA ∠=,所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===,以下建系求解.以点E 为坐标原点,EA 方向为X 轴,EC 方向为Y 轴,ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系,则(0,0,0)E ,(0,0,1)S ,(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,0,1)SA =-,(0,2,0)AB =,(0,2,1)SC =-,(1,0,0)CB =,设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =,则1100n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以020x z y -=⎧⎨=⎩, 令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量,同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量, 12121210cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅,因为二面角A SB C --为钝角,所以二面角A SB C --余弦值为5-. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ,乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y . ①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X 甲的分布列为：所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲, ()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44.S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲所以X 乙的分布列为： 所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙.()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64.S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙②答案一： 由以上的计算可知,虽然()()E X E X <乙甲,但两者相差不大,且2S 甲远小于2S 乙,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出,()()E X E X <乙甲,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r cr r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩,解得1a c ==,则21b =, ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠,1122(,),(,)B x y C x y , 当直线1AF 的斜率不存在时,设(1,2A -,则(1,2B --, 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=,可得25270x x --= 275x ∴=,210y =-则7(,510D - ∴直线BD的斜率为1(1027(1)5k -==--,直线OA的斜率为22k =-121(6k k ∴⋅==-, 当直线2AF 的斜率不存在时,同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时,10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++,则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得： 22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=,又220012x y +=,则220022y x =-,代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=,2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++,则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++ 设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--,同理可得000034(,)2323x y D x x --- , ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+, 直线OA 的斜率为020y k x =, ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以,直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-,即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=,所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭, 又()()1x f x x b e a '=++-,所以1(1)1b f a e e'-=-=-+, 若1a e=,则20b e =-<,与0b >矛盾,故1a =,1b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=, 设)(x f 在(-1,0)处的切线方程为)(x h ,易得,()1()11e h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令()()()F x f x h x =-即()()()1()1e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭,()1()2e ex F x x '=+-, 当2x ≤-时,()11()2e 0e ex F x x '=+-<-< 当2x >-时,设()1()()2e ex G x F x x '==+-, ()()3e 0x G x x '=+>, 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增,又(1)0F '-=,所以当(),1x ∈-∞-时,()0F x '<,当()1,x ∈-+∞时,()0F x '>,所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减,在区间()1,-+∞上单调递增, 故0)1()(=-≥F x F ,11()()f x h x ≥,设()h x m =的根为1x ',则1e 11em x '=-+-, 又函数()h x 单调递减,故111()()()h x f x h x '=≥,故11x x '≤,设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =,易得()t x x =令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--,()()2e 2xT x x '=+-, 当2x ≤-时,()()2220x T x x e '=+-<-<当2x >-时,故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增,又(0)0T '=,所以当(),0x ∈-∞时,()0T x '<,当()0,x ∈+∞时,()0T x '>,所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增, 0)0()(=≥T x T ,22()()f x t x ≥ ,设()t x m =的根为2x ',则2x m '=,又函数()t x 单调递增,故222()()()t x f x t x '=≥,故22x x '≥,又11x x '≤,2121e (12e)111e 1e m m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22.解：（1）由题意可知直线l的直角坐标方程为2y =+, 曲线C是圆心为,半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,可得：2r =；可知曲线C的方程为22((1)4x y +-=,所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=, 即4sin()3ρθπ=+ ； (2)由（1）不妨设M （1,ρθ）,)6,(2πθρ+N ,（120,0ρρ>>）6πS MON =∆ ,, 当12πθ=时, 32+≤∆MO N S , 所以△MON面积的最大值为2+.23. 解：（1）由题意可知32x x m --≥恒成立,令3()2x g x x -=-, 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩,画图可知()g x 的最小值为-3,所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=,所以22212315a b c +++++=,222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥= 当且仅当2221235a b c +=+=+=,即2224,3,2a b c ===等号成立, 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。