数学建模案例分析2.双层玻璃的功效

第一章 初等方法建模如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。

需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。

§1 双层玻璃窗的功效背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。

模型假设1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。

2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

模型构成与求解记 a T —内层玻璃的外侧温度b T —外层玻璃的内侧温度1K —玻璃的热传导系数2K —空气的热传导系数空气Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量 由热传导过程的物理定律：dT K Q ∆=，得到 dT T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211'-= （2） 从（1）中消去b a T T ,，可得dl h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 22+='S Q Q （4） 显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取1621=K K ，由(3)、(4)即有 dl h h Q Q =+=',181 （5） 模型分析 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，h 不宜选择过大，通常建筑要求是4≈h ，按此模型，%3≈'Q Q ，即使用同样材料制成的双层窗较单层窗节约热量97%左右。

数学建模实例-双层玻璃的功效双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如下左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。

我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。

一、模型假设1、热量的传播过程只有传导，没有对流。

即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2、室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

二、 符号说明1T ——室内温度2T ——室外温度d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度a T ——内层玻璃的外侧温度b T ——外层玻璃的内侧温度k ——热传导系数Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即dT k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数。

1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为： dT T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2）由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dl h k k h s s d T T k Q ==+-= , , 2)(21211 （3）2、单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： dT T k Q 2211-=' （4）3、 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<。

双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.一、模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2.室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.二、符号说明T——室内温度1T——室外温度2d——单层玻璃厚度l——两层玻璃之间的空气厚度T——内层玻璃的外侧温度aT——外层玻璃的内侧温度bk——热传导系数Q——热量损失三、模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q，与T∆成正比，与d成反比，即dT k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数.1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为：d T T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2） 由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dl h k k h s s d T T k Q ==+-=, , 2)(21211 （3） 2. 单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d T T k Q 2211-=' （4）3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<.为了获得更具体的结果，我们需要21,k k 的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （J/cm.s.ºC ），常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （J/cm.s.ºC ），于是32~1621=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取1621=k k ，由（3）（5）可得：d l h h Q Q =+=' 181 （6） 4. 模型讨论 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，下图给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由0增加时，Q Q '迅速下降，而当h 超过一定值（比如4>h ）后Q Q '下降缓慢，可见h 不宜选得过大.四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求4≈h.按照这个模型，%3≈'QQ，即双层玻璃窗比用同=d l样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k，而2这要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。

§2.2 双层玻璃窗的功效问题：在北方城镇的许多建筑物的窗户是双层的，即在窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，这样就减缓室内外热量的交换，特别在冬天，这样做的保暖效果是很有效的。

能否建立一个适当的数学模型分析其有效性，并给出相应的实用设计。

一、 模型假设1．热量的传播形式只考虑传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。

2．室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

3．玻璃材料均匀，热传导系数是常数1k ，空气的热传导系数是常数2k 。

二、 模型建立物理定律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为△T ，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与△T 成正比，与d 成反比，即d tk Q ∆⋅=，k 为热传导系数。

这里d 、l 分别表示玻璃以及中间夹层的厚度。

由d T T k l T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-=，消去b a T T ,，得)(2212121T T k d k l k k Q -⋅+⋅⋅=。

因为玻璃的规格通常是确定的，因此，在这里可将热量Q 视为l 的一元函数。

三、 模型求解不难发现)(l Q 为一单调减函数，因此在建筑材料与设计美观允许的前提下尽可能加大两层玻璃且中间的空隙总在使)(l Q 减小。

下面我们是从分析其功效的角度考虑的，我们以d T T k Q 2)0(211-⋅=作为参照，记)1(1)/(212+⋅=d l k k d l h 。

常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （焦耳/厘米·秒·度），做保守估计，取31104-⨯=k （焦耳/厘米·秒·度），干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （焦耳/厘米·秒·度）。

这时)18(1)/(+⋅=d l d l h 。

数学建模双层玻璃的功效模型评价
双层玻璃是一种常见的建筑材料，具有一些独特的功效。

本文将基于数学建模方法，对双层玻璃的功效进行评价。

首先，我们可以通过数学模型评估双层玻璃的保温性能。

双层玻璃的两层之间通常会填充一种叫做气体的绝热材料，如氩气或氪气。

这些气体具有较低的热传导性，可以减少室内与室外的热量传递。

我们可以利用传热学中的热传导理论，建立数学模型来计算双层玻璃的热传导系数。

通过对比单层玻璃和双层玻璃的热传导系数，我们可以评估双层玻璃在保温方面的功效。

其次，我们可以利用数学模型来研究双层玻璃的隔音效果。

双层玻璃通过夹层的气体和两层之间的距离，可以有效吸收声波的能量，减少声音的传播。

我们可以运用声学原理，建立声波传播的数学模型，计算双层玻璃的声学性能指标，如声传递系数和噪音减少量。

通过与单层玻璃进行对比，我们可以评估双层玻璃在隔音方面的功效。

此外，数学建模还可以应用于评估双层玻璃的安全性能。

双层玻璃的两层之间可以夹入一层薄膜，以增强玻璃的抗冲击能力和防护性能。

我们可以运用力学原理建立数学模型，评估双层玻璃在受力情况下的强度和稳定性。

通过计算双层玻璃的抗压强度和抗张强度，我们可以对其安全性能进行评价。

总之，数学建模是评价双层玻璃功效的有效工具。

通过建立合适的数学模型，我们可以准确评估双层玻璃在保温、隔音和安全性能方面的优势，为建筑设计和使用提供科学依据。

数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果摘要：中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。

通过对问题一的数学模型进行分析后得到：一般情况下，建筑标准要求d l /≈4。

据此模型可得12/Q Q ≈3.03%，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量约为96.97%； 双层玻璃的隔声优势为 ：lge ，根据以上推导的结果，当空气的吸收系数与两片玻璃的距离越大时，双层玻璃窗的隔音效果就越好。

游客节能低碳的交通出行工具安排：〔1〕长途参观者建议直接或间接购买碳信用额度；〔2〕对中短途参观者，建议优先选择火车、轮船和长途客车等公共交通方式；〔3〕对于长三角等周边地区自驾车出行的参观者，建议采用停车换乘〔P+R 〕方式；〔4〕对上海城区内的参观者，建议优先选择轨交、公共汽车等公共交通，减少私人汽车的使用；〔5〕对距世博园区较近的参观者，建议步行或自行车出行。

最后，我们计算了各种出行方式的二氧化碳的排放量后，据此代表上海世博会组委会给游客写了一份建议书。

关键字：双层玻璃窗 隔热效果 隔音效果 碳足迹目录1、问题重述与分析 (3)1.1、问题重述 (4)1.2、问题分析 (4)2、条件假设 (4)3、符号说明 (4)4、模型的建立及求解 (5)双层玻璃隔热效果探究 (5)模型建立 (5)4.1.2、模型的应用 (8)4.2、双层玻璃隔音效果探究 (9)4.2.1、模型建立 (9) (11) (11) (11) (15)参考文献 (16)1、问题重述与分析中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。

中国现在是工业排放量占大头，交通和建筑类排放较小。

随着生活水平的提高，建筑节能的比重将逐步上升，有很大发展潜力。

据研究报告称，相关交通工具所使用燃料释放的气体是目前造成全球变暖的主要原因之一。

为此请考虑以下几个问题：1、请用数学模型说明双层〔中间有密封空气层〕玻璃窗户对单层玻璃窗户的优势以及双层玻璃窗户的隔音效果如何？2、请你为参观上海世博会的各种游客分别设计节能低碳的交通出行工具安排，计算相应二氧化碳的排放量，并据此代表上海世博会组委会给游客一份建议书。