上海市闸北区2009学年度第一学期高三数学(文科)期末练习卷 2010.1

闸北区2009学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷 2010.1考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．若x x f 3)(=，则=-)(1x f．2．若00210221=--x x ，则=x ． 3．若指数函数)(x f 的图像经过点)41,2(，则)1(-f 的值为 ．4．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是_________．（用数字作答）5．若=||1||=，且||3||-=+，则a 与b 夹角为 ．6．某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30方向，它向正北方向航行24海里到达B 处，看灯塔S 在北偏东75方向．则此时货轮到灯塔S 的距离为 海里．7．若用与球心距离为1的平面去截球面，所得圆的面积为π，则球的表面积为 ． 8．不等式a x x 4|1||1|≥++-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．9．若11=b ，对于任何*∈N n ，都有0>n b ，且0)12(21221=---++n n n n b b n b nb ．则=20102log b ．10．方程组⎩⎨⎧-==|)2(|,1x x y xy 共有 组解．11．在等比数列}{n a 中，若21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 ．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．135(21)lim(21)n n n n →∞++++-+ = 【 】A ．14B ．12C ．1D ．213．若4tan =α，31cot =β，则=+)tan(βα 【 】 A ．711-B ．711C ．713-D ．71314．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 【 】A ．βαβα⊥⊥,//,b aB ．βαβα//,,//⊥b aC ．βαβα//,,⊥⊥b aD ．βαβα⊥,//,//b a15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定}4,3,2,1{=A ，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有 【 】 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（满分12分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知复数1z 满足()i z i +=+311，复数0z 满足4010=+⋅z z z ． （1）求复数0z ；（2）设0z 是关于x 的实系数方程02=+-q px x 的一个根，求p 、q 的值．17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，1=AB ，1=⋅AC PA ，)900( ≤<=∠θθABC ．（1）若 90=θ，E 为PC 的中点，求异面直线PA 与BE 所成角的大小；（2）试求四棱锥ABCD P -的体积V 的最小值．18．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分． 设x x x f 2sin 3cos 2)(2+=，a x x f x g +++=)125(21)(π，其中a 为非零实常数．（1）若31)(-=x f ，]3,3[ππ-∈x ，求x ；（2）试讨论函数)(x g 在R 上的奇偶性与单调性，并证明你的结论． 19．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权．根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额)(x R （万元）满足：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-+-=.5397.14508.02.44.0)(2x x x x x x R ，　，， （1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时，利润是多少万元？ 20．（满分19分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分．记数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有奇数项之和为'S ，所有偶数项之和为''S ． （1）若}{n a 是等差数列，项数n 为偶数，首项11=a ，公差23d =，且-''S 15S '=，求n S ； （2）若无穷数列}{n a 满足条件：①n S 531S 1n -=+)(*∈N n ，②'''S S =．求}{n a 的通项； （3）若}{n a 是等差数列，首项01>a ，公差*∈N d ，且36S '=，27S ''=，请写出所有满足条件的数列．P E A D B θC高三数学（文科）评分标准与参考答案（2010.1）一、 1．x 3log ； 2．4-； 3．2；4．15； 5．3π； 6．212； 7．π8 8．]21,(-∞； 9．2009； 10．3； 11．(][),13,-∞-+∞ ；11. 【解】∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=； 当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭二、12．B ；13．A ； 14．B ； 15．D ． 15. 【解】“孤立元”是1的集合：}1{、}4,3,1{； “孤立元”是2的集合：}2{； “孤立元”是3的集合：}3{；“孤立元”是4的集合：}4{、}4,2,1{；三、16．解：（1）因为()i z i +=+311，所以i iiz -=++=2131，…………………2分 设()R b a bi a z ∈+=,0，且4010=+⋅z z z .所以()()42=-+-+bi a i bi a ()()43=-++⇒i a b b a …………………2分由两复数相等的定义得：⎩⎨⎧=-=+043a b b a ，解得⎩⎨⎧==11b a ………………………1分所以复数i z +=10. …………………………1分（2）由题意，得i -1是实系数方程02=+-q px x 的根， ………………………2分 所以2)1()1(=-++=i i p …………………………………………………………2分2)1()1(=-⋅+=i i q ……………………………………………………………2分 17．解：（1）设O 为PC 的中点，连接OE ，则PA OE //，OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成角…1分 ⊥PA 平面ABCD⊥∴OE 平面ABCDBOE ∆∴为直角三角形…………………………2分90=θ，1=AB ，2=∴AC又1=⋅AC PA ，22=∴PA42=∴OE ，22=BO ………………………2分 所以，异面直线PA 与BE 所成角2arctan =∠OEB …………………………1分P EA DB θC（2）由已知，四边形ABCD 的面积θsin =S ， ………………………………………1分 由余弦定理可求得θcos 22-=AC ，…………………………………………………1分∴θcos 221-=PA ，……………………………………………………………………1分∴θθcos 22sin 31-⋅=V ……………………………………………………………………1分 解1：θθθcos 162cos 1sin 622+⋅=-⋅=V …………………………………………2分所以，当0cos =θ，即90=θ时，四棱锥ABCD V -的体积V 的最小值是62．…2分解2：θθcos 1sin 62-⋅=V 2sin 2sin 62θθ⋅=2cos 312sin 22cos 2sin 262θθθθ=⋅= ………2分 所以，当0cos =θ，即90=θ时，四棱锥ABCD V -的体积V 的最小值是62．…2分18．解：（1）由已知x x x f 2sin 3cos 2)(2+=)62sin(21π++=x ，………………………………………………2分由31)62sin(21-=++πx 得：23)62sin(-=+πx ，………………………………1分33ππ≤≤-x ，65622πππ≤+≤-x …………………………………………………1分362ππ-=+∴x ，4π-=x ． …………………………………………………2分（2）由已知，得212sin )(++-=a x x x g ，……………………………………………2分① 当21-=a 时，对于任意的R x ∈，总有)()2s i n ()2s i n ()(x g x x x x x g -=--=---=-， ∴)(x g 是奇函数．…………………………………………………… 2分（没有过程扣1分）②当21-≠a 时， )2()2(ππ-±≠g g 或)()(ππ-±≠g g 等所以，)(x g 既不是奇函数，又不是偶函数．………………………2分（没有过程扣1分）)6()0(πg g >，故)(x g 不是单调递增函数， …………………………………………1分又 )2()6(ππg g <，故)(x g 不是单调递减函数．………………………………………1分∴)(x g 既不是单调递减函数，也不是单调递增函数． （没举反例扣1分）注：用求导的方法做对给满分令02cos 21)(=-=x x g ‘，6ππ±=k x ，易得：)(x g 在区间))(6,6(Z k k k ∈+-ππππ上递增，在区间))(65,6(Z k k k ∈+-ππππ上递减．19．解：（1）2.325.71)5.7(=-⨯-R ， …………………………………………6分 所以，生产750套此种品牌运动装可获得利润2.3万元…………………………………1分 （2）由题意，每生产x （百件）该品牌运动装的成本函数2)(+=x x G ，所以，利润函数⎪⎩⎪⎨⎧>---≤≤-+-=-=)5(,397.12)50(,8.22.34.0)()()(2x x x x x x x G x R x f 当50≤≤x 时，6.3)4(4.0)(2+--=x x f ， …………………………………3分 故当4=x 时，)(x f 的最大值为6.3． ……………………………………………1分当5>x 时，7.3]39)3[(7.9)(≥-+--=x x x f ，……………………………………3分 故当6=x 时，)(x f 的最大值为7.3． ……………………………………………1分所以，生产600件该品牌运动装利润最大是3.7万元 …………1分20．解：（1）若数列}a {n 项数n 为偶数，由已知，得-''S 22315S 'n⋅==，…………3分 解得20=n ，…………………………………………………………………………………1分.3052321920201S n =⨯⨯+⨯=……………………………………………………………1分 （2）n S 531S 1n -=+ )(*∈N n ①1n 531S --=∴n S )2(≥∈*n N n ， ②①减去②得：531-=+n n a a ． ……………………………………………2分所以数列}a {n 是从第二项开始的无穷等比数列，公比53-=q ，且1||0<<q由题意，得221'1S q q a a -+=，22''1S q a -=，……………………………………………2分 '''S S =，221251a q a a =+=∴， ……………………………………………1分又n S 531S 1n -=+ )(*∈N n ，55821=+∴a a211=∴a ……………………………………………………………………………………1分所以，对应的数列的通项为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-==-2)53(511212n n a n n ………………………………1分（3）假设数列}a {n 项数n 为偶数，-''S 02S '>⋅=d n与9S '''-=-S 矛盾．故数列}a {n 项数n 不为偶数，………………1分 解法1：设数列}a {n 项数12n +=k （N k ∈），则)1(2S 1211231'+⋅+=+⋅⋅⋅++=++k a a a a a k k k a a a a a kk ⋅+=+⋅⋅⋅++=2S 22242''k k a a a a 22121+=++ ，27361'''=+=∴k k S S ， 解得3k =，项数7132n =+⨯=， ……………………………………………2分d a S S S ⋅⨯+==+=2677631'''7 ，931=+∴d a ，0391>-=d a ，3<∴d ．又*N d ∈，所以，1=d 或2=d ． 当1d =时，6a 1=，此时，51)1(6+=⋅-+=n n a n ，所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．……………………………………………2分 当2d =时，3a 1=，此时，122)1(3+=⋅-+=n n a n所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．……………………………………………2分解法2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-++=⋅-++++27221()(362211)(1()1(11d k k d a k d k k a k ））⎩⎨⎧=⋅+=+++2736)1()1(211d k ka kd k a k ，解得3=k ，项数7132n =+⨯=，……………………2分 d a S S S ⋅⨯+==+=2677631'''7 ， 931=+∴d a ，0391>-=d a ，3<∴d ．又*N d ∈，所以，1=d 或2=d ． 当1d =时，6a 1=，此时，51)1(6+=⋅-+=n n a n ，所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．……………………………………………2分 当2d =时，3a 1=，此时，122)1(3+=⋅-+=n n a n所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．……………………………………………2分。

上海市闸北区2009届高三模拟考试卷数学（文科）（考试时间：120分钟满分：150分）-.填空题（本大题满分50分）本大题共有每题填对得5分，否则一律得零分•1 .函数y ^ log0.5 x的定义域为_______________ .12 •若cot ，贝U tan2 的值为____________ .21 2 53 .增广矩阵为的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为3 1 84•若（2x 1）9展开式的第9项的值为12,则lim（x x2x n）= _______ .10题，只要求直接填写x 0,5.设实数x, y满足条件x y,则z 2x y的最大值是x 2y 3.6 •从5名男同学，3名女同学中选有女同学的不同选法共有_______ 3名参加公益活动，则选到的3名同学中既有男同学又种（用数字作答）.2x 7.设圆C与双曲线—92y1的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点,16则圆C的标准方程为_____________________ .2&设x, y,z为正实数，满足x y 2z 0,则—的最小值是_____________________XZx 19 .方程sin x 1的实数解的个数为___________ .2 310•如图是一个跨度和高都为2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是___________ .得分评卷人二•选择题（本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出代号为A、B C D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错一律得零分.第10题图.解答题（本大题满分85分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤求证：山高H htan -tan tan得分评卷人14.（本小题满分14分）如图，在四棱锥0 ABCD 中，底面ABCD 是边长为 2的正方 形, 0A 底面 ABCD ,OA 2 , M 为0A 的中点.（I ）求四棱锥0（n ）求异面直线ABCD 的体积；0B 与MD 所成角的大小.D得分评卷人15.（本小题满分15分） 如图，AB 是山顶一铁塔,C 是地面上一点•若已知塔高为 h ，在A处测得C 点的俯角为 ，在B 处测得C 点的俯角为22 11•已知复数z 1 i ，则z --------------- zz 1B .2iC. D .212•已知向量a 和b 的夹角为120 , | a|2，且（2a b)则|b|B . 7C.D . 913•右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几 何体的表面积是 ....................... （: ... ） A . 10 n B . 11 n C . 12 nD . 13o I2 ro1 3 r俯视图正（主）视图 侧（左）视图16.(满分18分)a 2设f (x)-，其中实常数a1 2(I)求函数f (x)的定义域和值域;(n)试研究函数 f(x)的基本性质，并证明你的结论.17 .(本小题满分18 分) 已知△ ABC 的顶点A , B 在椭圆x 2 3y 2 4上，C 在直线l : y x 2上，且 AB//I . (I)当AB 边通过坐标原点 O 时，求AB 的长及△ ABC 的面积;(n)当 ABC 90°，且斜边AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程.17.(本小题满分20 分)a 1 a 2 将数列a n 中的所有项按第一行排 3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a 4 a 5a 6a 7 a 8 a 9 a 10ana 12记表中的第一列数 a 1, a 4 , a 8 , (I)设b 8 a m ，求m 的值；-，构成数列b n .(n)若d 1，对于任何n N2 2，都有b n 0，且(n 1)b n 1 nb n 0 .求数列d 的通项公式; (川)对于(n)中的数列b n若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为1 .分闸北区09届高三数学(文)学科模拟考试参考答案与评分标准q(q 0)的等比数列，且a 66 求上表中第k (k N )行所有项的和S(k).1 . (0,1］； 2. 3. (3, 1)4. 2;5. 4;6. 45;(x 5)2 y 2 168. 8; 10. (0,罟).二•选择题： 三•解答题： 15•解:(I) 11. 12. C ;13. C.所以，求棱锥由已知可求得，正方形O ABCD 的体积VABCD 的面积S 1 32.分.(n)方法设线段AC 的中点为E ,连接ME , 则EMD 为异面直线OC 与MD 所成的角 (综合法)(或其补角)由已知，可得DE •、. 2, EM..3,MD.5 ,(2)2 (、一3)2 (：5)2DEM 为直角三角形：2.分 tan EMD 匹 2 ,EM：4•分.3血 EMD arctan3所以，异面直线 OC 与MD 所成角的大小arctan 匚2 .3.：.：1..分方法二(向量法)以AB,AD,AO 所在直线为X, y, Z 轴建立坐标系,则 O(0,0,2),C(2,2,0),M (0,0,1), D(0,2,0),2-分,OC (2,2, 2), MD (0,2, 1), ................................................................................. ：：2•分设异面直线OC 与MD 所成角为| OC MD I 15 cos|OC | |MD |5.3.分.••• OC 与MD 所成角的大小为 arccos 」55h ta n tan tan［解二］延长 AB 交地平线与 D , .............................................................. 3•分 ....22H h 2由已知，得(H h)2 (H cot )2()2 ............................................... 4•分 sin(n)假设函数 f (x)是奇函数，则，对于任意的 x R ，有f ( x)f (x)成立,当a 1时，函数f (x)是奇函数. ....................................... .3•分 .... 当a 1，且a 1时，函数f(x)是非奇非偶函数. .................................. .1••分•…对于任意的为，X 2 R ，且花 X 2,(a 1)2为(2' ］ 1) (1 2x 1)(1 2x 2)16.［解一］由已知，在 ABC 中， C 由正弦定理，得BC sin( )AB sin( )BChcos sin( )因此，Hhcos sin sin( )h cos sinsin cos cos sin••••2 分•- - - & 分--5•分整理，得Hh tan tan tan8 •分2-分f / v \1 2x 24 a 1T(x)x1x1 22 1当a1时, 因为 2x 0,所以2x 11 a 1 ，从而 1 f(x) a 2x 11 ,...................................................... ..4•分a 2x 1 2x(a 1)(2x 1) 0f (X 1) f(X 2)17.［解］(I)函数f(x)的定义域为R所以函数f (x)的值域为(1,a).1 .分（I ）因为 AB//1，且AB 边通过点（0,0），所以AB 所在直线的方程为 y x . 1设A, B 两点坐标分别为（捲，y i ）,（x 2, y 2）. 由 X 2 3y 24，得 x 1 .y x此时AB 所在直线的方程为 y x 1 .(n)解法 1：由 b 1 1 且(n 1)b^ 1 nb ： b n 1b n0知2b ； b 2 1 0 ,b 2 0,b 2 -2当a 1时，函数f （x ）是递减函数.••••1 •分• 18. ［解］ (n)设 所以 AB J2|x ,X 2 2.2 . ::4分•…又因为AB 边上的高h 等于原点到直线I 的距离. 1所以h 匹,S A ABCAB 所在直线的方程为由％23『4得4x 2y x m6mx c 23m:…分… .•.•1•分•….：.：2 •分.因为A, B 在椭圆上，所以 212m 64 0 .：：1分设A, B 两点坐标分别为(x i ，y i ),(X 2, y 2), 则 x 1 x 23mT ，x1x 23m 2 44所以AB .2 X i X 2.32 6m 2,...3.分....又因为BC 的长等于点（0, m ）到直线l 的距离，即BC2 m、-2：.2分所以AC AB BC2小m 2m210 (m 1)11•.：2 •分所以当m 1时，AC 边最长，（这时12 64 0)17.［解］(I)由题意，m 3 4 56 7 8 9 1 436•分.212b 3 b 3 1 0 , b 30 ,匕3 21 因此，可猜测b n （ n N ）............................... 4分 .....n1 1将b n 丄，b n 1 — 代入原式左端得n n 1左端」1丄 0n 1 n n （n 1）1即原式成立，故 b n为数列的通项. ................................. .3 •分……n用数学归纳法证明得 3分解法 2：由（n 1）b ；1 nb ] b n b 0, b n 022 1因此 366 bg q .又 b|0，所以 q 2 . ................................. ：：3••分• 510k 2则 S(k)bk(1 q―)^(2k 2 1) . k N ............................................................... 2•分…1 q k即（t 所以因此加得t 0，且（na n1)[(n 1)tn] 0,1)t 2 t...4.分b n 1 b nb 2 b 1b 3 b 223，.b n n 1 b n 1 n将各式相乘得b n3 •分（川）设上表中每行的公比都为 且q 0 .因为3 4 511 63,所以表中第1行至第9行共含有数列b n 的前63叽故a 66在表中第10行第三列,。

闸北区高三年级物理学科期末练习卷（2010．1）考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

考生应用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卡上。

2.第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

第Ⅰ卷一、单项选择题。

(本大题共8小题，每小题2分。

每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的)1．国际单位制规定力学量所选用的基本量是（ ）A. 长度、力、时间B. 长度、质量、时间C. 长度、力、质量D. 速度、加速度、力 2．下列哪个措施是为了防止静电产生的危害（ ）A ．在高大的建筑物顶端装上避雷针B ．静电复印C ．在高大的烟囱中安装静电除尘器D ．静电喷漆3．一个质点沿半径为R 的圆周运动一周回到原地。

它在运动过程中路程和位移大小的最大值分别是（ ）A. 0 ，2R πB.2R ,2RC.2R , 2R πD. 2R π ,2R 4.下列各器件中，可用来制作传感器的是（ ）A ．与门控制器 B. 光敏电阻 C. 小灯泡 D. 蜂鸣器 5.关于力和运动的关系，下列哪句话是正确的（ ）A ．力与物体运动无关B ．力是维持物体运动的原因C ．力是改变物体运动状态的原因D ．力是物体获得速度的原因 6．如图所示，下列图象中表示物体做匀速直线运动的是（ ）7.对于匀速圆周运动的物体，下列物理量中不断变化的是（ ）A ．线速度B ．角速度C ．周期D ．频率 8.如图所示为欧姆表测某一电阻时指针偏转的位置，此时选择开关拨在“R ×100”档，指针恰好指在100与500之间的中间位置，则被测电阻值可能为（ ）A ．2.5k ΩB ．20k Ω C. 30k Ω D ．40k Ω二、单项选择题。

(本大题共8小题，每小题3分。

每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的)9.关于磁感线的描述，下列说法中正确的是（ ）A.磁感线可以形象地描述磁场的强弱和方向，所以磁感线是真实存在的B.磁感线是从磁铁的N 极出发，终止于磁铁的S 极C.磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向D.磁感线就是磁场中铁屑排列成的曲线10. 关于物体的内能，以下说法中正确的是（）A.不同的物体，若温度相等，则内能也相等B.物体速度增大，则分子动能增大，内能也增大C.体积相同的同种气体，它们的内能一定相等D.物体的内能与物体的质量、温度和体积都有关系11．正在做简谐运动的单摆，摆球到达最高点时的机械能为E1，摆线对摆球的拉力大小为F1；摆球通过最低点时的机械能为E2，摆线对摆球的拉力大小为F2,若不计空气阻力，以下结论正确的是（）A.E1=E2， F1＜F2B.E1＜E2， F1＜F2C.E1＜E2， F1＞F2D.E1= E2， F1=F212．如图所示是一实验电路图，在滑动触头由a端滑向b端的过程中，下列表述正确的是（）A．电路的总电阻变大 B．电源内阻消耗的功率变大C．电流表的示数变大 D．路端电压变大13.如图所示，水平放置的条形磁铁中央，有一闭合金属弹性圆环，条形磁铁中心线与弹性环轴线重合，现将弹性圆环均匀向外扩大，下列说法中正确的是（）A.穿过弹性圆环的磁通量增大B.从左往右看，弹性圆环中有顺时针方向的感应电流C.弹性圆环中无感应电流D.弹性圆环受到的安培力方向沿半径向外14.波速均为v=1.2 m/s的甲、乙两列简谐横波都沿x轴正方向传播，某时刻波的图象分别如图所示,其中P、Q处的质点均处于波峰,关于这两列波,下列说法正确的是（）A.如果这两列波相遇可能发生稳定的干涉图样B.甲波的周期大于乙波的周期C.甲波中M处的质点比P处的质点先回到平衡位置D.甲波中P处的质点比乙波中Q处的质点先回到平衡位置15.作用于原点O的三力平衡，已知三力均位于ｘOｙ平面内，其中一个力的大小为F1，沿ｙ轴负方向；力F2的大小未知，与ｘ轴正方向的夹角为θ，如图所示。

闸北区09届高三数学（文）学科期末练习卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题 (本大题满分50分）本大题共有10题，只要求直接 填写结果，每题填对得5分，否则一律得零分. 1. 复数i i -+1123的虚部是 ．2. 若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ． 3. ])43(21[lim 22nn nn ++-∞→的值是 ． 4. 若()2tan ,0(2)log ,0x x f x x x ≥⎧⎪+=⎨-<⎪⎩，则(2)(2)4f f π+⋅-= ．5. 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 （用数字作答）．6.设y x ,是满足42=+y x 的正数，则y x lg lg +的最大值是 ． 7．函数)(1sin )(R x x x x f ∈++=,若()2f a =，则()f a -的值为 ．8.若动直线x a =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点，则MN 的最大值为 ．9.5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ．10. 已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是n b n 3=，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．则数列}{n c 的前28项的和._______28=S二．选择题（本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错一律得零分．11.“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为单调函数”的 （ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知,,O A B 是平面上的三点,直线AB 上有一点C ,满足=,则OC 等于 ( ) A. OB OA - B. OB OA + C.OB OA 2121- D. OB OA 2121+ 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图像大致是（ ）三．解答题 (本大题满分85分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 14. （本小题满分14分） 在ABC △中,内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c .（Ⅰ）若2=c ，3π=C ，且ABC △的面积3=S ,求,a b 的值； （Ⅱ）若A A B C 2sin )sin(sin =-+,试判断ABC △的形状. [解]（Ⅰ）（Ⅱ）A BCDMNP A 1B 1C 1D 115. （本小题满分14分） 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且AD,PA =E 、F 分别是线段CD PA 、的中点． （Ⅰ）求证：⊥BA 平面PAD ；（Ⅱ）求异面直线EF 与BD 所成的角α； [解]（Ⅰ）（Ⅱ）16. （本小题满分17分） 某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元） 其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计]8,6[ m ．另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（Ⅰ）写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润12,y y 与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；（Ⅱ）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划． [解]（Ⅰ） （Ⅱ）17.(本小题满分20分)已知数列{}n a ，n S 为其前n 项和，满足：且3(1)n n S a =-，数列{}n b 满足：11132,43(2)7n n n b b b n --==-≥. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）证明数列}{n b 不是等比数列； （Ⅲ）设714-=nn n b c ，n n n a c d 432-=，求数列}{n d 的最小项的值. [解]（Ⅰ） (Ⅱ) (Ⅲ)18．(本小题满分20分) 在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A 由全体二元有序实数组组成，在A 上定义一个运算，记为⊙，对于A 中的任意两个元素),,(b a =α),(d c =β，规定：α⊙β)(　，d b ac +=． （Ⅰ）计算：)3,2(⊙)4,1(-；（Ⅱ）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；（Ⅲ）A 中是否存在唯一确定的元素I 满足：对于任意A ∈α，都有α⊙=I I ⊙αα=成立，若存在，请求出元素I ；若不存在，请说明理由；（Ⅳ）试延续对集合A 的研究，请拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由． [解]（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）闸北区09届高三数学（文）学科期末练习卷参考答案与评分标准一．填空题：1.2；2.10；3.-1；4.2；5.10；6. 2lg ；7.0； 8．2； 9.21； 10.820； 二．选择题：11．B ； 12. D ； 13. B ．三．解答题：14. 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，…………….3分 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ······························· 2分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ··························································· 2分（Ⅱ）由题意得A A A B cos sin cos sin =， ········································································ 3分当cos 0A =时，2A π=，ABC △为直角三角形 ································································ 2分 当cos 0A ≠时，得A B sin sin =，由正弦定理得b a =， 得：ABC △为等腰三角形． ································································································· 2分 15. 解（Ⅰ）证明：由已知PA ⊥平面ABCD 得BA PA ⊥，………………………………1分又由已知ABCD 为正方形得AD BA ⊥………………………………………………………1分 又PAD PA 平面⊂,PAD AD 平面⊂,且AD PA 与相交∴⊥BA 平面PAD ． …………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）解法一：取BC 的中点M ，连结EM 、FM ，则FM//BD ，∴∠EFM （或其补角）就是异面直线EF 与BD 所成的角。

上海市闸北区2015届高三上学期期末（一模）练习数学(文)试题考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数．2．若为奇函数，当时，，则．3．设动点在函数图像上，若为坐标原点，则的最小值为．4．用数字“”组成一个四位数，则数字“”都出现的四位数有个．5．设，圆122141:()(1)41nn nC x yn+--+-=+的面积为，则．6．在中，，是斜边上的两个三等分点，则的值为．7．设函数，若存在，使得对任意的，都有成立．则关于的不等式的解为．8．若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为．9．关于曲线，给出下列四个结论：①曲线是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确命题的序号都填上）二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 10．“”是“关于的二元一次方程组有唯一解”的【】A．必要不充分条件；B．充分不必要条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件．11．已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是【】A．若，则；B．若，则；C．若，则；D．若，则．12．对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素是集合对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素是集合对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“”： ①，运算“”为普通减法；②{表示阶矩阵， }，运算“”为矩阵加法；③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．其中对运算“”有单位元素的集合序号为 【 】 A ．①②； B ．①③； C ．①②③； D ．②③．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）请仔细阅读以下材料：已知是定义在上的单调递增函数．求证：命题“设，若，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题． 证明 因为，由得．又因为是定义在上的单调递增函数， 于是有． ① 同理有． ②由① + ②得)1()1()()(bf a f b f a f +>+．故，命题“设，若，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．请针对以上阅读材料中的，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则：”是真命题； （2）解关于的不等式11()(2)()(2)x x x x f af f a f ---+>+（其中）．14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点． （1）求椭圆方程；（2）直线过椭圆的右焦点且斜率为与椭圆交于两点，求弦的长；（3）以第（2）题中的为边作一个等边三角形，求点的坐标． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段， 该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧． （1）求曲线段的函数表达式；（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值． 16．（本题满分20分，第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题8分）设数列满足：①；②所有项；③⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=+1211n n a a a a ．设集合C y 2EQPx D BF (- 4,0{}*∈≤=N ,|m m a n A n m ，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）请写出数列1,4,7的伴随数列； （2）设，求数列的伴随数列的前之和；（3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和．参考答案一、填空题：； ； ； ； ； ； ； ； ②④． 二、选择题：三、解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设，若，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+.……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题：因为，由得：， …………………………1分 又是定义在上的单调递增函数所以…………（1） …………………………1分 同理有：…………（2） …………………………1分由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b+≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：，即： ………………………3分①当时，即时，不等式的解集为： ……………3分 ②当时，即时，不等式的解集为： ………3分14. 解（1）由题意得 …………………2分又， 得，，解得或（舍去）， …………………2分则， …………1分 故椭圆方程为． …………………1分 （2）直线的方程为． …………………1分联立方程组222162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去并整理得． …………………3分设，．故，． …………………1分 则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+= …………2分（3）设的中点为．可得， …………………1分． …………………1分 线段的中垂线斜率为， 所以设 …………………1分所以32MP ==-． …………………1分 当△为正三角形时，，可得， 解得或． …………………2分即，或． …………………1分15. 解：（1）由已知条件，得 ……………………………1分又∵23,12,46T T ππωω===∴= ……………………………2分 又∵当时，有22sin()263y ππφφ=-+=∴=……2分∴ 曲线段的解析式为22sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-． ………1分（2）由22sin()163y x ππ=+=得6(1)4()k x k k Z =+--∈ …………2分又[4,0]0,3(3,1)x k x G ∈-∴==-∴- ……………………2分……………………1分∴ 景观路长为千米 ……………1分 (3)如图，,1,2,6OC CD OD COD π==∴=∠=…1分作轴于点，在中，θθsin 2sin 1==OP PP …………………1分在中，)60sin(120sin 00θ-=OMOP …………………1分 ∴θθθθsin 332cos 2)60sin(34120sin )60sin(000-=-⋅=-⋅=OP OM ………1分C 1y 2EQP xD BF (- 4,0)θθθsin 2)sin 332cos 2(1⋅-=⋅=PP OM S OMPQ 平行四边形 …………………1分 θθθ2sin 334cos sin 4-=3322cos 3322sin 2-+=θθ 332)62sin(334-+=πθ …………………2分 当时，即时：平行四边形面积最大值为…………………1分16. 解：（1）数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，（后面加3算对） ………………5分（2）由，得*31log ()n m m N ≤+∈∴ 当时， …………………………2分 当时， …………………2分当时，320289==⋅⋅⋅==b b b ……………2分∴5012362212021=⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b …………1分 （3）∵ ∴ …………………1分当时，∴ …………………1分 由得： 因为使得成立的的最大值为，所以 *12342121,2,,()t t b b b b b b tt N -====⋅⋅⋅==∈ …………………1分当时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+ …………………2分 当时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+ …………………2分 所以 2**(1)(21,4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩ …………………1分。

题号-一一-——二 三——三总分1-1011-131415161718得分上海市闸北区2009届高三模拟考试卷数学（文科）（考试时间：120分钟 满分：150分）-.填空题（本大题满分50分）本大题共有 每题填对得5分，否则一律得零分•1 •函数 y Jlog 0.5X 的定义域为 _______________ .12•若cot，贝U tan2 的值为 ____________ •212 53 •增广矩阵为的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为3184•若（2x 1）9展开式的第9项的值为12,则|im （x x 2 x n ）= ________ •x 2y 3.有女同学的不同选法共有 _________ 种（用数字作答）方程为 _____________________ .2&设x, y, z 为正实数，满足 x y 2z 0 ,则—的最小值是 ___________________xzx 19.方程sinx 1的实数解的个数为 ___________ •2310•如图是一个跨度和高都为 2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门 的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是 ___________ •二•选择题（本大题满分 15分）本大题共有 3题，每题都给出代号 为A 、B C D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须 把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错一律得零分.得分评卷人纟 10题，只要求直接填写x 0,5.设实数x, y 满足条件x y, 则z 2x y 的最大值是6 •从5名男同学, 3名女同学中选3名参加公益活动，则选到的 3名同学中既有男同学又2x7•设圆C 与双曲线92y 161的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C 的标准得分评卷人第10题图211 .已知复数z 1 i，则----- ----- zz 1B . 2i12.已知向量a和b的夹角为120 , |a|2，且（2a b) a，则|b|13.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是................................ （A . 10 n C. 12n B. 11 nD. 13o 2 r o3F22侧（左）视图俯视图正（主）视图.解答题（本大题满分85分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤得分评卷人14.（本小题满分14分）如图，在四棱锥0ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形, 0A 底面ABCD ,OA 2 , M为0A的中点.（I）求四棱锥0 （n）求异面直线ABCD的体积；0B与MD所成角的大小.D得分评卷人15.（本小题满分15分）如图，AB是山顶一铁塔, C是地面上一点.若已知塔高为h，在A 处测得C点的俯角为，在B处测得C点的俯角为求证：山高H htan -tan tana 2设f (x)-，其中实常数a1 2(I)求函数f (x)的定义域和值域;(n)试研究函数 f(x)的基本性质，并证明你的结论.17 .(本小题满分18 分) 已知△ ABC 的顶点A , B 在椭圆x 2 3y 2 4上，C 在直线l : y x 2上，且 AB//I . (I)当AB 边通过坐标原点 O 时，求AB 的长及△ ABC 的面积;(n)当 ABC 90°，且斜边AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程.17.(本小题满分20 分) a 1 a2将数列a n 中的所有项按第一行排 3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a 4 a 5 a 6 a 7a 8a 9 a 10 an a 12 记表中的第一列数 a 1 , a 4 , a 8 , (I)设b 8 a m ，求m 的值；-，构成数列 b n .(n)若d 1，对于任何n N2 2，都有b n 0，且(n 1)b n 1 nb n 0 .求数列d 的通项公式; (川)对于(n)中的数列b n若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为16.(满分18分)闸北区09届高三数学（文）学科模拟考试参考答案与评分标准q （q 0）的等比数列，且a 66 求上表中第k （kN ）行所有项的和S （k ）.2. 3. (3, 1)5. 4;6. 45;7. (x 5)2 y 2168. 8; 9. 3;10.（0,罟）.二•选择题： 三•解答题： 15•解:（I ）11.12. C ;13. C .所以，求棱锥 由已知可求得，正方形 O ABCD 的体积V ABCD 的面积S 1 3 （n ）方法 设线段AC 的中点为E ,连接ME , 则 EMD 为异面直线OC 与MD 所成的角（综合法） （或其补角） ..1分由已知，可得DE ■, 2, EM ,.3,MD .5 ,(2)2 (、一3)2 (：5)2 DEM 为直角三角形 .2分 tan EMD 匹 2 ,EM .4分3血EMD arctan 3 3 ；2 所以，异面直线 OC 与MD 所成角的大小arctan ------------ 3..1分 方法二（向量法） 以AB,AD,AO 所在直线为X, y, Z 轴建立坐标系, 则 O(0,0,2), C(2,2,0), M (0,0,1), D(0,2,0), OC (2,2, 2) MD (0,2, 1),..216.［解一］由已知，在 ABC 中， C1 2x 2x1 21 a 1 ,从而 1 f (x)1分 设异面直线 OC 与MD 所成角为COS|OC MD I |OC I |MD IJ5 5• ••OC 与MD 所成角的大小为.15 arccos —5BC 由正弦定理，得 sin(2 )ABsin( )BChcos sin( )h cos sin ) sin( hcos sin sin cos cos sinh ta n tan tan分 ［解二］ 分 由 延长AB 交地平线与D ,(H 已22H h 2h)2 (Hcot )2 (- -)2sin理h tan tan tan17.［解］(I)函数f (x)的定义域为 1时，因为2x 所以2x.2f(x)0 2a• •4所以函数f (X )的值域为(1,a) •f(x)是奇函数，则，对于任意的 X R ，有f( x) f(x)成立, a 2有(a 1)(2X 1)0 a11，且a 1时，函数 f (x)是非奇非偶函数.对于任意的X 1 , x 2R ，且 x 1 x 2,1时，函数f(x)是递减函数.设A, B 两点坐标分别为(为，y i ),(x 2, y 2). 由 x 2 3y 2 4，得 x 1. y x又因为AB 边上的高h 等于原点到直线I 的距离. 1-|ABgh1时,函数f (x)是奇函数..3f (X 1) f(X 2)(a 1)2为(2X2X 19 (1 2"^ )(1 2X2)..1(n)假设函数.1..118.因为 AB//I ，且AB 边通过点 (0,0)，所以AB 所在直线的方程为 y所以 |AB | J2|X ,X 2 ..4分所以h 迈,S A ABC.3分 (n)设 AB 所在直线的方程为..1分由 X 2 3y24得 4x 26mx 3m 2..2分..1分此时AB 所在直线的方程为 y 17.［解］（I ）由题意, m 3 4 5 6 7 8 9 143 ................................. 6分 (n)解法1：:由b 1 1且(n 1)bn 1 2nb n b n 1b n 0 知2b ； b 2 1 0 ,b 20,b 2 122b ； b 3 1 0,b 3 0,b 31 2因此， 可猜测 b n --(n N) (4)n分n(n 1)分用数学归纳法证明得解法 2：由(n 1)b n 1 nb ；b n 1b n^a 12令 t 4 得 t 0,且(n 1)t t a n 即(t 1)[( n 1)t n] 0,因为A , B 在椭圆上，所以 12m 2 640 ...1分设A ,B 两点坐标分别为 (x i , yj,(x 2, y 2),则X 1 X 23m ,X 1X 223 m 24 4 所以AB 2 X i X 2■ 32 6m 2..3分又因为BC 的长等于点（0, m ）到直线l 的距离，即BC2 m.2 ...2分所以AC 所以当m AB BC2m 2m1时，AC 边最长， （这时 210 (m 1)1112 64 0)..2分将b nbn 1-代入原式左端得1左端 即原式成立，故 b n丄为数列的通项.n.3..4分所以b n 1b nn n1因此b21b32b n n 1,b12b23b n 1 n将各式相乘b n1 .................................. Q Zk..................... 3 分n(川)设上表中每行的公比都为q，且q 0 •因为3 4 5 11 63,所以表中第1行至第9行共含有数列b n的前63项，故a ee在表中第10行第三列， (2)分2 2 1因此a66b10q •又bj0，所以q 2 • ....................................................... ..35 10分则k 2b k (1 q ) 1 k 2S(k) —(2 1) • k N ...................................................... 2分1 q k。

上海闸北区届高三第一学期期末抽查数学试卷TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】上海闸北区2006届高三第一学期期末抽查数学试卷一、 填空题：1、集合{}{}b a B A a ,,2,3==，若{}2=⋂B A ，则=⋃B A {}3,2,1 。

2、设函数()()02<=x x x f ，则()21-f 的值为 2- 。

3、设等差数列{}n a 的公差为2，且1010=a ，则=+++1021a a a 10 。

4、不等式1≤⋅x x 的解为 (]1,∞- 。

5、已知21tan =α，则α2sin 的值为 54。

6、2005年1月6日是“中国十三亿人口日”，如果要使我国总人口在2015年以前控制在十四亿之内，那么从2005年1月6日开始的随后10年中我国的年平均人口自然增长率应控制在 74.0 %以内（精确到）。

7、若函数()()x f x x g ⋅=cos 是奇函数，且周期为π，则()=x f x sin （写出一个你认为符合题意的函数即可）。

8、一个布袋中共有10个除了颜色之外完全相同的球，其中4个白球，6个黑球，则一次任意摸出两球中至少有一个白球的概率为32。

9、方程1222=+x x 的正实数根≈x 5.2（结果精确到）。

10、考察下列一组不等式：221212252533442233525252525252525252⋅+⋅>+⋅+⋅>+⋅+⋅>+ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 。

二、 选择题：11、设a 、R b ∈，则b a >是22b a >的 （ D ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不是充分条件，也不是必要条件12、若2cos sin -=+θθ，则θθcot tan +的值为 （ A ） A 、2 B 、1- C 、1 D 、2-13、若等比数列{}n a 对一切正整数n 都有12-=n n a S ，其中n S 是{}n a 的前n 项的和，则公比q 的值为（ C ）A 、21B 、21- C 、2 D 、2-14、函数()1+=ax x f 在区间[]1,1-上存在0x ，使()00=x f ，则a 的取值范围是 （ C ）A 、11<<-aB 、1>aC 、11>-<a a 或D 、1-<a 三、 解答题：15、设()x f 为奇函数，且当0>x 时，()x x f 21log =（Ⅰ）求当0<x 时，()x f 的解析表达式； （Ⅱ）解不等式()2≤x f 。

2011学年第一学期高三文科数学期末练习卷 考生注意： 分11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．方程的全体实数解组成的集合为________． 2．不等式的解集为 ． 3．设，则数列的各项和为 ． 4．等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于 . 5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 ． 6．从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为 （用数字作答）． 7．在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为． 8．设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为 ． 9．A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 ． 10．不等式的解集为 ． 11．如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边 长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状， 记，梯形面积为．则关于的函数解 析式及定义域为 ． 二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 12．设直线与的方程分别为与，则“”是“”的 【】 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．曲线的长度为 【 】 A． B． C． D． 14．已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中 表示数列的前项和．则 【 】 A． B． C． D． 15．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”． 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： ①； ②若，，则； ③若，则，对于任意，； ④对于复数，若，则. 其中真命题的序号为 【 】 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 三、解答题（本题满分7分）有最小值． （1）求实常数的取值范围； （2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式． 17．（14分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为． （1）求的取值范围； （2）求函数的最小值． 18．（15分）证明下面两个命题： （1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大； （2）余弦定理：如右图，在中，、、 所对的边分别为、、，则． 19．（16分）椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列． （1）求证：； （2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程． 20．（16分）设和均为无穷数列． （1）若和均为等比数列，它们的公比分别为和，试研究：当、 满足什么条件时，和仍是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式． （2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）． 2011学年第一学期高三理科数学期末练习卷 考生注意： 分11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．方程的全体实数解组成的集合为________． 2．不等式的解集为 ． 3．设，则数列的各项和为 ． 4．等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于 . 5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 ． 6．从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为 （用数字作答）． 7．在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为． 8．设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为 ． 9．A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 ． 10．关于的不等式（）的解集为 ． 11．如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边 长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状， 记，梯形面积为．则关于的函数解 析式及定义域为 ． 二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 12．设直线与的方程分别为与，则“”是“”的 【】 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．曲线的长度为 【 】 A． B． C． D． 14．已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中 表示数列的前项和．则 【 】 A． B． C． D． 15．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”． 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则，对于任意，； ④对于复数，若，则. 其中所有真命题的个数为 【 】 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本题满分7分）有最小值． （1）求实常数的取值范围； （2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式． 17．（14分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为． （1）求的取值范围； （2）求函数的最小值． 18．（15分）证明下面两个命题： （1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大； （2）余弦定理：如右图，在中，、、 所对的边分别为、、，则． 19．（16分）椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列． （1）求证：； （2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程． 20．（16分）设和均为无穷数列． （1）若和均为等比数列，试研究：和是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式． （2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）． 2011学年第一学期高三文科数学期末练习卷 参考答案与评分标准 一、1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．，． 二、12．B． 13．D． 14．C． 15．B． 三、……………………………………3分 所以，当时，有最小值，………………………………………3分 （2）由为奇函数，有，得． ………………………2分 设，则，由为奇函数，得． …4分 所以，…………………………………………………2分 17．解：（1）设中角的对边分别为， 则由，，……………………………………………………4分 可得，．…………………………………………………………2分 （2）………………………5分 ，， 所以，当，即时，……………………………3分 18．证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数……………1分 由基本不等式2：，可得：， …………………………4分 当且仅当时，等号成立， …………………………………………………………1分 即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值． ……………………1分 证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 ……………1分 于是，长方形的面积， …………………………4分 所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形……2分 （2）证法一： …………………………4分 ． 故，．……………………4分 证法二 已知中所对边分别为 以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 则，……………………4分 ． 故，．……………………4分 证法三 过边上的高，则 ……………………4分 ． 故，． …………………4分 19．解：（1）由题设，得， 由椭圆定义，………………………………………………4分 所以，．………………………………………………………………………2分 （2）由点在椭圆上，可设椭圆的方程为，…………2分 设，，，：，代入椭圆的方程，整理得 ，（*） …………………………2分 则 ， 于是有， ……………………………………………………4分 解得，故，椭圆的方程为． …………………………2分 20．解：（1）①设， 则设 （或） 当时，对任意的， （或）恒成立， 故为等比数列； ……………………………………………………3分 …………………………………………………1分 当时， 证法一：对任意的，，不是等比数列．……2分 证法二：，不是等比数列． …2分 注：此处用反证法，或证明不是常数同样给分． ②设， 对于任意，，是等比数列． ………………3分 …………………………………………………1分 （2）设，均为等差数列，公差分别为，，则： ①为等差数列；……………………2分 ②当与至少有一个为0时，是等差数列，………………………………1分 若，；………………………………………………1分 若，．………………………………………………1分 ③当与都不为0时，一定不是等差数列．………………………………1分 2011学年第一学期高三理科数学期末练习卷 参考答案与评分标准 一、1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．，． 二、12．B． 13．D． 14．C． 15．B． 三、……………………………………3分 所以，当时，有最小值，………………………………………3分 （2）由为奇函数，有，得． ………………………2分 设，则，由为奇函数，得． …4分 所以，…………………………………………………2分 17．解：（1）设中角的对边分别为， 则由，，……………………………………………………4分 可得，．…………………………………………………………2分 （2）………………………5分 ，， 所以，当，即时，……………………………3分 18．证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数……………1分 由基本不等式2：，可得：， …………………………4分 当且仅当时，等号成立， …………………………………………………………1分 即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值． ……………………1分 证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 ……………1分 于是，长方形的面积， …………………………4分 所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形……2分 （2）证法一： …………………………4分 ． 故，．……………………4分 证法二 已知中所对边分别为 以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 则，……………………4分 ． 故，．……………………4分 证法三 过边上的高，则 ……………………4分 ． 故，．…………………4分 19．解：（1）由题设，得， 由椭圆定义， 所以，．………………………………………………………………………3分 设，，，：，代入椭圆的方程，整理得 ，（*）…………………………2分 则 ， 于是有， ……………………………………………………4分 化简，得，故，． ……………………………………………………1分 （2）由（1）有，方程（*）可化为 ………………1分 设中点为，则， 又，于是． ………………………………………………2分 由知为的中垂线，， 由，得，解得，， …………………………2分 故，椭圆的方程为．…………………………………………………1分 20．解：（1）①设， 则设 （或） 当时，对任意的， （或）恒成立， 故为等比数列； ……………………………………………………3分 …………………………………………………1分 当时， 证法一：对任意的，，不是等比数列．……2分 证法二：，不是等比数列． …2分 注：此处用反证法，或证明不是常数同样给分． ②设， 对于任意，，是等比数列． ………………3分 …………………………………………………1分 （2）设，均为等差数列，公差分别为，，则： ①为等差数列；……………………2分 ②当与至少有一个为0时，是等差数列，………………………………1分 若，；………………………………………………1分 若，．………………………………………………1分 ③当与都不为0时，一定不是等差数列．………………………………1分 。

闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．x -； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{. 二、11．C ． 12．D ． 13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则)3,1(-=． ……………………………………………………2分 所以，1010||||cos =⋅=AB AO A ， …………………………………………………….2分 所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….2分 【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….2分综上所述，)425,4(∈b ． ..………………………………………………2分（2）【解一】若A ∠为锐角，则0>⋅AB AO ，即09164>++-b ，得425<b ．.….2分若B ∠为锐角，则0>⋅，即0)4(>--b b ，得0<b 或4>b ．……………….2分若O ∠为锐角，则0>⋅，即04>b ，得0>b ．………………...………………..2分 综上所述，)425,4(∈b ．..……………………………………………………………………2分 【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得22,1=-==EB AB AE DE ，….2分 所以，.3222212213122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 （2）【解一】如图所示，以B 为原点，分别以线段BC 、BA 所在的直线为x 轴、z 轴，通过B 点，做垂直于平面ABCD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．………………….1分 由题意，得)2,0,0(A ，)22,0,1(D ，)0,sin ,(cos 'θθC ，)22,sin ,(cos 'θθD ， ………2分 )22,sin ,(cos '-=θθAD ，)22,sin ,1(cos '--=θθDC若''DC AD ⊥，则021sin )1(cos cos 2=++-θθθ， (4)得23cos =θ，与1cos 1≤≤-θ矛盾， (1)故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)【解二】取BA 的中点E ，连DE ，E C '，则E DC '∠（或其补角）就是异面直线''DCAD 与所成的角． (1)在E DC '∆中，26''==AD EC ，1==CB DE ，.cos 22cos 2112'θθ-=-+=CC .3分 .cos 225)cos 211(212'22'θθ-=-++=+=CC DC DC .…….………….…………. .2分 02cos 232cos ''''22'2''>⋅-=⋅-+=∠∴DC ECD C EC DE EC DC E DC θ，.…….….…….…………. .2分 故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)16．解：（1）由题意可知，当0=x 时，1=m （万件），由13+-=x km 可得2=k ．所以123+-=x m ．………………………………………………………………………….3分由题意，有2123≥+-=x m ，解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元）， 所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(8411628+--=x x ． ……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ， 所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分最大值为38、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：];1,0[单调递减区间：]0,1[-；...…………………………………………1分 零点：0=x ．.…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.33)(xxx f --= 设]1,0[21∈x x ，，21x x <，)3333()33()()(21212121x x x x x x x f x f ⋅-+-=-)3311)(33(2121x x x x ⋅+-=证明)(x f 在区间]1,0[上是递增函数由于函数x y 3=是单调递增函数，且03>x恒成立，所以03321<-xx ，0331121>⋅+x x， 0)()(21<-∴x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是增函数．…………………………………………………….4分证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数【证法一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x0)()()()(2121>---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是减函数． …………………………………………………..4分 【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得 .33)()(x x x f x f -=-=-以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数 ………………………………………..4分 （2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以.33)2()()(22k x xk x k f x f x f ---=-=-=………………………………………….4分 18．解：（1）【解一】由)0,2()1(11≠≥-+=-+λλλn b b b n n n 得， )(11-+-=-n n n n b b b b λ．又1121=-=b b a ，0≠λ，0≠n a ．所以，{n a }是首项为1，公比为λ的等比数列，1-=n n a λ．…………………………….5分由)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n b b b b b b b b ，得)2(121≥+⋅⋅⋅++=--n b b n n λλ所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ……………………………………………….6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………..1分【解二】猜测1-=n n a λ，并用数学归纳法证明 …………………………………………….5分 n b 的求法如【解一】 ………………………………………………………………………..7分 【解三】猜测⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ，并用数学归纳法证明 ………………………….7分 1-n 1λ=-=+n n n b b a …………………………………………………………………..5分（2）当1=λ时，3b 不是6b 与9b 的等差中项，不合题意；……………………………….1分当1≠λ时，由32b 96b b +=得02258=-+λλλ，由0≠λ得0236=-+λλ（可解得32-=λ）..…………………………………………2分对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项． .………………………………….2分 证明：0)2(1263163=---=-+-++λλλλn n n n b b b ，263+++=∴n n n b b b ， .………………………………….3分 即，对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项．闸北区2010学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．)0(2≥-x x ； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{； 二、11．C ．12．D ．13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则．………………………………………………………………………… ….2分 所以，1010cos ==A ， …………………………………………………….2分 所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….3分 【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….3分（2）【解一】若A ∠为钝角，则0<⋅AB AO ，…………………………………………….3分即09164<++-b ，…………………………………………………….……………2分解得425>b ，故，),425(+∞∈b ． ..…………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得2,2=-==EB AB AE DE ，….2分所以，.321622223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 （2）连接''CC DD ，，有6'==AD AD ，θcos 882'2'-==CC DD ，………….3分由题意，得22'2'AD AD DD +=， ……………….…………………….………………….2分 即12cos 88=-θ ……………….………………….……………….………………….2分21cos -=θ，）（或 12032πθ=． ……………….………………….……………….………………….2分 16．解：（1）由题意，有2123≥+-=x m ， …………………………………………….3分 解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元）， 所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(84 11628+--=x x ． ……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ， 所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数； .………………………………………………………………………1分 最大值为2、最小值为0； .…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：]0,1[-，单调递减区间：];1,0[ ...………………………………………1分 零点：0=x ． .…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.2)(2x x x f -=设]1,0[21∈x x ，，21x x <，221<+x x ，0)2)(()2()2()()(212122212121>-+-=---=-x x x x x x x x x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是递减函数． ………………………………………………….4分以下证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． 【证明一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x 0)()()()(2121<---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． ………………………………………………...4分 【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得.2)()(2x x x f x f +=-=以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数 ………………………………………..4分 （2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以).1(4)21(2)2(2)2()2()()(22-+-+=---=-=-=k k k x x k x k x k f x f x f 4分 18．解：（1）由)0,2()1(11≠≥-+=-+q n qa a q a n n n 得， )(11-+-=-n n n n a a q a a ，即)2(1≥=-n qb b n n ．又1121=-=a a b ，0≠q ，0≠n b ．所以，{n b }是首项为1，公比为q 的等比数列．…………………………………………..5分（2）由（1）有，1-=n n q b)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n a a a a a a a a)2(12≥+⋅⋅⋅++=-n q q n所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111q n q qq a n n ……………………………………………..6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………1分（3）1=q 符合题意；…………………………………………………………………………2分若1≠q ，11111-->--+n n q q q 0)111)(1(1>-+--qq n ………………………………………………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧>-+>--0111,011q q n 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.0111,011q q n 解得：)2,1()1,0( ∈q ………………………………………………………………………..3分综上，)2,0(∈q ………………………………………………………………………………..1分。