下载文档原格式
数学人教B 必修3第二章2.3 变量的相关性1．会通过现实问题中两个相关变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．2．理解用最小二乘法求回归直线方程的思想，在所给数据较简单的情况下，能用最小二乘法求回归直线方程．1．【做一做1】下列关系中不属于相关关系的是( )． A ．产品的样本数量与生产数量 B ．正方形的周长与面积 C ．家庭的支出与收入 D ．人的年龄与体重 2．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)描在____________中得到的图形．(2)正相关与负相关①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也__________，这种相关称为正相关．②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值__________，这种相关称为负相关．【做一做2】判断下列图形中具有相关关系的两个变量是( )．3．最小二乘法设x ，Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx ，当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝________作为总离差，并使之达到______．这样，回归直线就是所有直线中Q 取________的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“____________”的方法，叫做最小二乘法．【做一做3】已知回归直线方程y ^＝0.5x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值是__________．1．函数关系与相关关系的区别和联系 剖析：函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系．然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高，而且由于长大身高也会高些．两种关系之间的联系．两类关系在一定条件下可以相互转化，如正方形面积S 与其边长x 之间虽然是确定性关系，但在每次测量面积时，由于测量误差等原因，其数值大小表现为一种随机性．而对于具有线性关系的两个变量来说，在求得其回归直线之后，又可以用一种确定性的关系来对这两种变量间的关系进行估计．在现实生活中，相关关系大量存在．从某种意义上说，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度．2．散点图的重要作用剖析：散点图对于探究两种事物、两种现象之间的关系起着重要的作用．它是用平面直角坐标系上点的散布图形来表示两种事物之间的相关性及联系的模式，例如：为研究小学生的身高与体重之间的关系，研究人员分别以每个学生的身高、体重为横、纵坐标，在平面直角坐标系内画出相应的点，这些点便组成了相关的散点图．散点图直观地反映了两个事物的成对观测值之间是否存在相关性，至于什么样的相关，就要看研究的角度．散点图的制作通常有两种方法：一是手工绘图；二是用计算机作图．手工作图比较烦琐，也易出现误差，不够精确，我们通常利用计算机作图，简单而准确．求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．3．教材中的“思考与讨论”图210和图211中画出直线的标准合理吗？怎样判别拟合的优劣程度呢？ 解答：不合理．判断拟合的优劣程度就是判断找出的这条直线“是否最贴近”已知的数据点．题型一 相关关系的判断【例1】下列两个变量之间的关系为相关关系的是( )． A ．角度和它的正弦值 B ．圆的半径和圆的面积C ．正n 边形的边数和内角之和D ．人的年龄和身高 反思：此问题为非数据型两个变量的相关性判断，要根据两个变量之间是否具有确定性关系及因素关系来判断．题型二 利用回归直线对总体进行估计【例2】炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼(2)求回归直线方程．(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？分析：画出散点图，看两者是否具有相关关系，然后利用最小二乘法可求出回归直线方程．最后利用方程计算含碳量为160时，应炼多长时间．反思：最小二乘法是求回归直线方程的常用方法，可以通过本题的解答体会最小二乘法的优越性．为了便于计算，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器算出各个量．题型三 易错辨析【例3】由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法中不正确的是( )．A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的总离差1ni =∑[y i －(b ^x i ＋a ^)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的总离差中最小的直线错解：A错因分析：选A 是因为没有抓住回归直线y ^＝b ^x ＋a ^中a ^，b ^的取值及意义，事实上，因为1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑ ，a ^＝y －b ^x ，所以直线y ^＝b ^x ＋a ^必过定点(x ，y )，C 项显然正确，由回归直线方程的推导知D 项也正确，只有B 项不能确定，可能直线y ^＝b ^x ＋a ^经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的许多点，也可能都经过或都不经过．1下面哪些变量是相关关系( )． A ．出租车费与行驶的里程 B ．房屋面积与房屋价格 C ．身高与体重D ．铁的大小与质量2下列关于线性回归，以下说法正确的是( )． ①变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归直线方程最能代表观测值x ，y 之间的线性相关关系；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程。
一、變數間的相關關係1.常見的兩變數之間的關係有兩類：一類是函數關係，另一類是相關關係;與函數關係不同，相關關係是一種非確定性關係.2.從散點圖上看，點分佈在從左下角到右上角的區域內，兩個變數的這種相關關係稱為正相關，點分佈在左上角到右下角的區域內，兩個變數的相關關係為負相關.二、兩個變數的線性相關1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分佈在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變數之間具有線性相關關係，這條直線叫回歸直線.當r>0時，表明兩個變數正相關;當r<0時，表明兩個變數負相關.r的絕對值越接近於1，表明兩個變數的線性相關性越強.r的絕對值越接近於0時，表明兩個變數之間幾乎不存在線性相關關係.通常|r|大於0.75時，認為兩個變數有很強的線性相關性.三、解題方法1.相關關係的判斷方法一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關係數作出判斷.2.對於由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區域較窄，說明兩個變數有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性.3.由相關係數r判斷時|r|越趨近於1相關性越強.【同步練習題】1.(2014•銀川模擬)為了解兒子身高與其父親身高的關係，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x(cm)174176176176178；兒子身高y(cm)175175176177177，則y對x的線性回歸方程為()A.y^=x-1B.y^=x+1C.y^=88+12xD.y^=176解析：因為x=174+176+176+176+1785=176，y=175+175+176+177+1775=176，又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(x，y)，所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗知選C.答案：C2.(2014•衡陽聯考)已知x與y之間的一組數據：x0123ym35.57已求得關於y與x的線性回歸方程y^=2.1x+0.85，則m的值為()A.1B.0.85C.0.7D.0.5解析：回歸直線*樣本中心點(1.5，y)，故y=4，m+3+5.5+7=16，得m=0.5.答案：D3.有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大於等於85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績，得到如下所示的列聯表：優秀非優秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優秀的概率為27，則下列說法正確的是()A.列聯表中c的值為30，b的值為35B.列聯表中c的值為15，b的值為50C.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D.根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”解析：由題意知，成績優秀的學生數是30，成績非優秀的學生數是75，所以c=20，b=45，選項A、B錯誤.根據列聯表中的數據，得到K2=105×10×30-20×45255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”.答案：C4.在吸煙與患肺病這兩個分類變數的計算中，下列說法正確的是()①若K2的觀測值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那麼在100個吸煙的人中必有99人患有肺病;②從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那麼他有99%的可能患有肺病;③從統計量中得知有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤.A.①B.①③C.③D.②解析：①推斷在100人吸煙的人中必有99人患有肺病，說法錯誤，排除A，B;③正確.答案：C5.調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關係，並由調查數據得到y對x的回歸直線方程：y^=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.解析：解法一：特殊值法.令x1=1得y^1=0.254+0.321.令x2=1+1=2得y^2=2×0.254+0.321.y^2-y^1=0.254.解法二：由y^1=0.254x1+0.321，y^2=0.254(x1+1)+0.321，則y^2-y^1=0.254. 答案：0.254。
2.3 变量间的相关关系
一、本节知识结构
二、教学重点与难点
重点：
1．利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．
2．了解最小二乘法的思想．
3．根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．
4．变量之间相关关系的理解．
难点：回归思想的建立；对回归直线与观测数据的关系的理解．
三、编写意图与教学建议
教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”引导学生考察变量之间的关系．在讨论这种关系的过程中，使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，从而体会研究变量之间的相关关系的重要性．随后，教科书通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系，引入描述两个变量之间关系的线性回归方程(模型)，使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，体会最小二乘法的思想，掌握计算回归方程的斜率与截距的方法．通过引导学生观察对应于年龄x的脂肪含量数据y和yˆ=0．57x－0．446之间的关系，领悟到利用同归方程可以做预测．通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考．使
学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程，体会线性回归方程做出的预测结果的随机性，并且可能犯错误．
在阅读与思考栏日“线性关系的强与弱”中．进一步介绍了描述两个变量之间关系强弱的样本特征相关系数的计算公式及统计含义，通过具有不同相关系数的数据的散点图，进一步加深对相关系数的直观理解．
教学中，应该让学生了解本节知识和其他数学知识之间的相互关系，从总上把握研究变量之间关系的基本方法，体会利用线性回归方程解决实际问题的全过程以及对所得结论的正确理解．。
