直角三角形的判定(导学案)定稿

12.2.4 直角三角形全等的判定(HL) 导学案一、学习目标：1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．二、学习过程：课前自测1.判定两个三角形全等方法____________________.2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.(1)若∠A=∠D，AB=DE. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(2)若∠A=∠D，BC=EF. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(3)若AB=DE，BC=EF. 则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).思考：若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？_______________合作探究探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=A B. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？作图区：【归纳】直角三角形“HL”判定方法文字语言：____________ ____________ ____________ ____________ _________几何语言：典例解析例1.如图，AC ⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.【针对练习】如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥A B. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？例2.如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=B C.【针对练习】已知：如图，AB BC⊥，AD DC⊥，AB AD=，求证：BC DC=．例3.如图，已知AD是△ABC的角平分线,且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F.求证BE=CF.【针对练习】已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝A D．求证：BE＝DE．例4.如图，在△AB C中，∠C ＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB 于E，点F在边AC上，连接DF．（1）求证：AC ＝AE；（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n 的代数式表示）．达标检测1.判定两个直角三角形全等的方法有________________________________.2.如图，已知∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件?把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由.(1)________________( )(2)________________( )(3)________________( )(4)________________( )3.如图，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D,若BC=10cm，则BD=______cm.4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF.5.如图，已知，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，AC=CE.求证：AC⊥CE.6.如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)。

(5)直角三角形全等的判定导学案学习目标1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．2．使学生掌握“斜边、直角边”定理，并能熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等学习重难点直角三角形全等的判定方法导学过程：一、知识链接三角形全等的判定方法有哪几种？二、自主学习阅读课本第19至20页内容，并自主探究下列几个问题：1. 如图，在△ABC 与△A ＇B ＇C ＇中，若AB=A ＇B ＇，AC=A ＇C ＇，∠C=∠C ＇=90°，这时Rt △ABC 与Rt △A ＇B ＇C ＇是否全等？②由此得到直角三角形全等的判定定理：(可以简写成“__________”或“________”)．2.直角三角形全等的判定方法共有：___________________________三、合作探究1、如图，AB ⊥BC, DC ⊥BC,AC=BD,那么∠DBC=∠ACB 吗？为什么？2、如图,DG=EH, DG ⊥DE, EH ⊥HG, 求证：DE=HG （提示：添加辅助线）3.如图,在△ABC 中,∠C=90°,点D 在AC 上,DE ⊥AB 于E ,且DC=DE ,∠CBD ∶∠A=2 ∶1,则∠A 的度数为C'B'A'CBA D E F G H D C A B4.如图,在△ABC 中,∠ABC=100°,∠C=30°,并且DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,E ,F 为垂足,且DE=DF ,则∠ADC 的度数为 .四、综合提升 先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:如图,已知∠A=∠B=90°,M 是AB 的中点,DM 平分∠ADC ,求证:CM 平分∠BCD.五、当堂检测1、判断（1）有两角对应相等的两个直角三角形全等。

（ ）（2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

八年级数学导学案学科：数学 主备人： 审核人_____ 班级____ 姓名____ 课题：勾股定理-----------直角三角形的判定一、自主学习（一）学习目标（重、难点）会用勾股定理判定一个三角形是否是直角三角形（二）自学指导我们都知道：一个直角三角形的两条直角边的平方的和等于斜边的平方。

反之，如果一个三角形的两条边的平方的和等于第三边的平方，那么，这样的三角形是直角三角形吗？如果是，又该怎样判定一个三角形是否是直角三角形？带着问题去预习吧！（三）合作探究1.判断由下列各组线段a 、b 、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.（1）a ＝6.5，b ＝7.5，c ＝4； （2）a ＝11，b ＝60，c ＝61；（3）a ＝38，b ＝2，c ＝310； （4）a ＝433，b ＝2，c ＝414；2. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9.(1)求DC 的长.(2)求AB 的长.(3)求证: △ABC 是直角三角形.二、学生展示C A BD三、学习检测（一）基础题1.如图，下列三角形中是直角三角形的是( )2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）.A ．12，15，17B ．9，16，25C ．5a ，12a ，13a （a>0）D ．2，3，43．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结论不正确的是（ ）.A ．△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边B ．△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°C ．△ABC 的面积是60D ．△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ：b ：c ＝1：3：2，则下列说法错误的是（ ）.A ．∠C ＝90°B ．c 2－a 2＝b 2C ．c 2＝2a 2D ．若a ＝k ，则c ＝2k （k>0）5．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）.A ．∠A ＝∠B －∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2C ．a ：b ：c ＝4：5：6D ．a 2－c 2＝b 26．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为cm 2.（二）综合题在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c. a ＝n 2－16，b ＝8n ，c ＝n 2+16（n>4）.求证: ∠C=90°.（三）拓展题如图，AD=7，AB ＝25，BC ＝10，DC ＝26，DB ＝24，求四边形ABCD 的面积.四、小结反思D 5 12 13 C 5 6 7 B 7 5 8 A 6 3 5A B C D。

§14.1.2直角三角形的判定导学案学习目标：(目标明确，学习才更有效)（1）探索并掌握勾股定理逆定理（2）会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形（3）通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，体会数形结合的思想.知识衔接(学过的知识要记牢)1、（回忆）直角三角形的性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角的和为90°（互余）；（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.活动一：合作探究(相信自己行，自己才行，大胆展示出自己的风采。

)1、拼三角形：（1）3 、4、5；（2）6、8、10；（3）5、12、132、按要求填表：（用直角三角板判断三角形的形状）三边的长三边的关系（计算）三角形的形状较短边a 较短边b最长边c两条较短的边的平方和最长边的平方三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方的关系（“≠”或“=”）直角三角形（填“是”或“不是”）哪边对直角（填a或b或c）3 4 56 8 105 12 133、猜想填空：（1）三角形的两条较短(a、b)的边的平方和与最长边（c）的平方满足，那么这个三角形是直角三角形。

边所对的角是直角。

你的结论：如果三角形的三边长a、b、c有关系：，那么这个三角形是直角三角形。

4、思考：如果三角形的两条较短的边的平方和不等于最长边的平方，那么这个三角形还是直角三角形吗？活动二：当堂练习（别低估了自己的潜力，你一定行的！）1 、下面以a 、b 、c 为边长的△ABC 是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1) a =12， b =16， c =20 ； 。

(2) a =10， b =9， c =5 ； 。

(3) a =8 ，b =12 ，c =15 ； 。

2、若△ABC 的两边长为3和5,则能使 △ABC 是直角三角形的第三边的平方是 ( )A 、16B 、34C 、4D 、16或343、满足下列条件△ABC ，不是直角三角形的是（ ） A 、b 2 = a 2 －c 2 B 、a ∶b ∶c =3∶4∶5C 、∠C =∠A －∠BD 、∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5活动三：学以致用（知识的拓展是一种更为重要的努力哟）1、下列各组线段中,能组成直角三角形的是( )A. 5,6,7B. 222543、、,C. 5,11,12D. 5,12,132、小蒋要求△ABC 的的最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm 。

课题;直角三角形全等判定（HL）（导学案）教学内容：直角三角形全等的判定教学目标：1、在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题2、经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，3、培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵.提高合情推理的能力.教学重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法. 教学难点：培养有条理的思考能力，正确使用“综合法”表达例题讲解例 1. AC±BC, BD±AD, AC=BD,求证 BC=AD.【思路点拨】欲证BC= AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有AABD和△BAC, AADO和△BCO, 0为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ ABD 和ABAC具备全等的条件.例2.下列说法正确的是（）A、面积相等的两个直角三角形全等B、周长相等的两个直角三角形全等C、斜边相等的两个直角三角形全等D、有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等例3.有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角匕ABC和ZDFE的大小有什么关系？A. SSSB. AASC. SASD. HL例 4.AE_LBC, DF±BC, E, F 是垂足，且 AE=DF, AB=DC,求证：ZABC=ZDCB.例 5. AB=CD, AE±BC, DF±BC,垂足分另【J 为 E, F, CE 二BF.求iiE ： AB 〃CD.例 6.在AABC 中，ZB=ZC, D 是 BC 中点，DE_LAB, DF±AC, E, F 为垂足，求 证：AD 平分ZBAC.课外作业A.基础题自测1、 如图 1,点 C 在ZDAB 的内部，CD1AD 于 D, CB1AB 于 B, CD=CB 那么RtAADC^RtAABC 的理由是（）A.SSS B. ASAC. SASD. HL2、 如图 2, CE±AB, DF±AB,垂足分别为 E 、F, AC 〃DB,JI AC=BD,那么 RtAAEC^RtABFC 的理由是（）.图1 图2 图3 B. 中档题演练1、0C 是ZBOA 的平分线,PE±OB, PDJLOA,若 PE二5cm,2. 判断题：%1 判断直角三角形全等的方法只有“HL” （）有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等（）%1 有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）全等三角形对应边上的高相等（）（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中,①这两个三角形全等；②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等，真命题的个数是（）个0 B. 1 C. 2 D. 3在下列定理中假命题是（）A. 一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C. 两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形如图,在RtAABC 中，ZACB=90° , CD 、CE,分别是斜边AB 上的高与中线,CF 是ZACB 的平分线。

学案《直角三角形全等的判定》学习目标：已知斜边及一直角边，会作Rt △；理解直角三角形全等的判定公理“HL ”公理；会用“HL ”公理判定两个直角三角形全等。

课 前 活 动 单1．在小组内叙述SSS 公理，SAS 公理，ASA 公理及AAS 的具体内容.2．已知：∠ɑ，∠β，线段a ，如图.求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.3．在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠B=∠E ，要使 △ABC ≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．AC=DFB ．BC=EFC ．∠A=∠D D ．∠C=∠F课 堂 活 动 单活动一：小组交流课前单，并派代表汇报。

活动二：探究两个直角三角形全等的条件对于两个直角三角形，若满足一边一锐角对应相等，就可以根据 判定这两个直角三角形全等；若满足两直角边对应相等，就可以根据 判定这两个直角三角形全等。

思考：若满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90°，再画一个Rt △A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC ，A′B′=AB. (1)你能画出满足上述条件的△A ′B ′C ′吗？应该怎样画呢？β aCDFα(2)把画好的△A′B′C剪下，放到△ABC上，它们全等吗？这反映了什么规律？基本事实：直角三角形判定定理。

简写为或符号语言表示：小结：判定两个直角三角形全等的方法有种，分别是即时反馈：1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等2．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD。

求证：BC=AD3．如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由小结本课收获？课后作业单一、选择题1. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB=DE，AC=DF B．AC=EF，BC=DFC．AB=DE，BC=EF D．∠C=∠F，BC=EF2. 已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边（第2题）（第3题）（第4题）3.如图，AD=BC，∠C=∠D=90°，下列结论中不成立的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DAE与△CBE不一定全等D．∠1=∠24.如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC 于F，则图中全等的直角三角形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对二、填空题5. 如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加（第5题）（第6题）（第7题）6. 如图所示，BA∥DC，∠A=90°，AB=CE，BC=ED，则△CED≌△，AC= ，∠B=∠．7. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= ．三：解答题8.如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．9.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD=CD．试说明BE=CF．11．如图，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共（）A.5对B.4对C. 3对D.2对12．如图，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：BF是△ABC中AC边上的高.。

B'C'AA'B'C'AA'1.2直角三角形全等的判定初二（______）班 学号__________ 姓名________________【学习目标】1、了解直角三角形全等的判定定理（HL ），完善三角形全等知识点。

2、能用HL 证明两个直角三角形全等，并解决实际问题。

【学习重点】理解HL 的数学原理【学习难点】能用HL 证明两个直角三角形全等，并解决实际问题。

【基础部分】一、复习回顾与课前自学：1、判断两个三角形全等的方法有：_______________________________________________2、判断下列命题的真假，若是真命题，请说明依据（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （4）斜边及一直角边分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ 3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，BC=4cm ，则AC=_____cm4、已知：如图，在Rt ABC ∆和'''Rt A BC ∆中，'0C=C 90∠∠=°，''AB=A B 5=，''AC=A C 3=． 求证：'''Rt ABC Rt A BC ∆≅∆【要点部分】5、已知：如图，线段a ,c （a <c ）,直角α求作：Rt ABC ∆，使C α∠=∠，BC a =，AB c =.与小组其他同学所作的三角形比较，观察思考，你们所作的三角形全等吗？6、已知：如图，在Rt ABC ∆和'''Rt A BC ∆中，'0C=C 90∠∠=°，''AB=A B ，''AC=A C ． 求证：'''Rt ABC Rt A BC ∆≅∆（提示：用勾股定理求2BC 和2BC ，再用SSS 证明三角形全等）规范书写格式：在___________和___________中______________________⎧⎨⎩∴___________________(______)小结：斜边、直角边判定定理：_______________________________________的两个直角三角形全等这一定理可以简述为：_________________________ 或 ______________温馨提示：（笔记）__________________________________________________________________________【目标检测】7、已知：如图AB CD =，DE AC ⊥，BF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，且DE BF =. 求证：（1）AE CF = （2）AB // CD第___组___层 评价等级______ca α8、如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。

课题：直角三角形全等的判定一、学生自学（25分钟）相信你能行！（一）自学内容：教材第13页思考---14页练习。

（二）自学方式：自主学习与小组合作相结合。

（三）自学要求：认真思考，独立完成；有困难的，请做出标记，或小组合作完成。

书写要规范。

1、一般三角形全等的判定方法有：(1)______,(2)______,(3)______,(4)_______.2、由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形，除直角相等外,再满足_________对应相等，或____________对应相等，这两个直角三角形就全等了。

3、如图，已知Rt△ABC，其中∠C=90°。

在草纸上画Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′B′=AB,B′C′=BC.画法：(1)画∠M C′N=______°,在射线C′M上取______=______,以B′为圆心，_______为半径画弧，交射线C′N于点A′，连接A′B′，得Rt△A′B′C′.把你画好的图形剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？你的结论是：________________.由此，可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：文字语言：__________________________________________,简写为_____或____.符号语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB= A′B′，BC= B′C′,∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）.4、如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证BC=AD.证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，∴∠__=∠___=_____°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，______________,______________, A B∴Rt△ABC____ Rt△BAD( ).∴____=____.5、想一想：现在你有几种判定两个直角三角形全等的方法？（四）自学检测：（20分钟）我能行！如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地。