2017-2018学年高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案：第一章 §1 第二课时 平行线分线段成比例定理

1.1平面直角坐标系1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)教材整理1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.()(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.()(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.()【解析】(1)√(2)√(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.填空：(1)x轴的直线方程为________.1(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是____________.【答案】(1)y＝0(2)x2＋y2＝1(3) 椭圆教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1(1)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝4的图形2变为椭圆.()(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.()(3)在伸缩变换下，直线依然是直线.()x2 【解析】(1)√因为x2＋y2＝4的圆的形状变为方程＋y2＝1表示的椭圆.4(2)×平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化.【答案】(1)√(2)×(3)√预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2 3).∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上.k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，1∴直线PD的方程为y－3＝(x＋4). ①3又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，x2 y2双曲线方程为－＝1(x≥2).②4 5联立①②，解得P点坐标为(8,5 3).5 3∴k PA＝＝3.8－3因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A，B，C的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.1.已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】(1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，由椭圆的定义知，点 C 的轨迹是以 A ，B 为焦点，长轴长 2a ＝4，焦距 2c ＝2的椭圆(去除 落在直线 AB 上的两点).以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则点 C 的轨迹方程为x 2 y 2＋ ＝1(y ≠0). 4 3易知点 D 也在此椭圆上，要使平行四边形 ABCD 的面积最大，则 C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积 S ＝2 3(km 2).x 2 y 2(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆 ＋ ＝1(y ≠0)内，故暂不 4 3 3需要加固水沟的长就是直线 l ：y ＝ (x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图.3因此，由Error!⇒13x 2＋8x －32＝0， 那么弦长＝ 1＋k 2|x 1－x 2|38 32 4848 ＝ 1＋(3 )2· (－13 )2－4 × (－13 )＝，故暂不加固的部分长km.1313平面直角坐标系中曲线方程的确定3(1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点到 G2的两个焦点的距离之和为 12，求椭圆 G 的方程；(2)在边长为 2的正△ABC 中，若 P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点 P 的轨 迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合 思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件 用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根 据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为x2 y 2＋ ＝1(a >b >0)， a 2 b 2c 3则 2a ＝12，知 a ＝6.又离心率 e ＝ ＝ ，故 c ＝3 3. a 2∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.x 2 y 2∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 36 9(2)以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系， 设 P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则 A (0， 3).222∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求.→→→→2.如图1­1­1，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量CM与PN的夹角为120°，QC·QM＝2.5图1­1­1(1)求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程.【解】(1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，△CQM为正三角形.→→∴QC·QM＝r2·cos60°＝2，∴圆C的半径为2.又圆心为(0,0)，∴圆C的方程为：x2＋y2＝4.(2)由(1)知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，3)，∴2a＝|QN|＋|QM|＝2 3＋2，∴a＝3＋1，c＝2，∴b2＝a2－c2＝2 3，x2 y2∴椭圆方程为：＋＝1.4＋2 3 2 3平面直角坐标系中的伸缩变换探究1在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？圆、椭圆、双曲线和抛物线呢？【提示】在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3在伸缩变换中，若x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后，变换后的坐标(x′，y′)与原坐标(x，y)有什么关系？【提示】一般地，在平面直角坐标系xOy中：使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k>0)，则当k＝1时，x轴与y轴具有相同的单位长度；即为Error!的伸缩变换，当k>1时，相当于x轴上的单位长度保持不变，y轴上1的单位长度缩小为原来的，即为Error!的伸缩变换，当0<k<1时，相当于y轴上的单位长度k保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为Error!的伸缩变换.x2 y2在下列平面直角坐标系中，分别作出＋＝1的图形：25 9(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；1(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.2【精彩点拨】先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.x2 y2 【自主解答】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则＋＝125 9的图形如图①.1 x2 y2(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的2 25 9图形如图②.1 x2 y2(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的2 25 9图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题中即为Error!的伸缩变换，本题中即为Error!的伸缩变换.x2 y23.本例中，＋＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：25 95(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍；33(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.53 x2【解】(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋5 25y2＝1的图形如图①.93 x2 y2(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的5 25 9图形如图②.1.曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是()1 1A.(0,0)B.( 5 )，5C.(1,5)D.(4,4)【解析】将答案代入验证知D正确.【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A.|x|－|y|＝1B.|x－y|＝1C.||x|－|y||＝1D.|x±y|＝1【解析】由题知C正确.【答案】 Cx2 y2 13.已知一椭圆的方程为＋＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的，则该椭16 4 2圆的形状为()1【解析】如果y轴上单位长度不变，x轴的单位长度变为原来的倍，则方程变为x2＋y2＝24，故选B.【答案】 B4.将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换Error!后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】由Error!得Error!x′2 y′2代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.16 9x2 y2∴变换后的曲线方程为＋＝1.16 9x2 y2【答案】＋＝116 95.已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.求动点M的轨迹C的方程.【解】如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2 x－12＋y2，x2 y2化简得＋＝1，4 3x2 y2∴动点M的轨迹C的方程为＋＝1.4 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)10。

§1不等式的性质[对应学生用书P1][自主学习]1．实数大小的比较2．不等式的性质(1)性质1(对称性)：如果a >b ，那么b <a ； 如果b <a ，那么a >b .>b )． ④推论4(开方法则)：如果a >b >0，那么a 1n >b 1n(n 为正整数)．[合作探究]1．怎样比较两个代数式的大小？提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大小．2．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？提示：不可以，两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需求差或商时，可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘，例如：a >b 且c <d ⇒a >b 且－c >－d ，⇒a －c >b －d .3．若a >b >0，当n <0时，a n>b n成立吗？ 提示：不成立，如当a ＝3，b ＝2，n ＝－1时， 3－1＝13<12＝2－1.[对应学生用书P1][例1] (1)比较a 4－(2)设a ＞0，b ＞0，求证：a a b b≥(ab )a ＋b2.[思路点拨] 本题考查求差比较法及求商比较法在比较代数式大小中的应用，同时考查了运算及转化能力，解答此题(1)需要用求差的方法比较，解答(2)需要用求商的方法证明．[精解详析] (1)a 4－b 4－4a 3(a －b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3(a －b ) ＝(a －b )[(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3] ＝(a －b )(a 3＋ab 2＋ba 2＋b 3－4a 3)(b 3－a 3)] (a 2＋b 2＋ab )]，∴a ab b ab2a b +＝a2a b -·b2b a -＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2a b -.①当a ＝b 时，显然有(a b )a －b2＝1， ②当a ＞b ＞0时，a b＞1，a －b2＞0， ③当b ＞a ＞0时，0＜a b＜1，a －b2＜0.由指数函数的单调性，②③均有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2＞1. 综上可知，对任意正数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.比较大小的常用方法及步骤：1．求差法：a ≥b ⇔a －b ≥0，a ≤b ⇔a －b ≤0. 一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．2．求商法：当a ＞0，b ＞0时，把比较a ，b 的大小转化为比较a b与1的大小关系，此即为作商比较法．理论依据是不等式的性质：若a ＞0，b ＞0，则a b ≥1⇔a ≥b ，a b≤1⇔a ≤b . 一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论．1．已知x ≠0，求证：(x 2－1)2＜x 4＋x 2＋1. 证明：(x 2－1)2－(x 4＋x 2＋1) ＝x 4－2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝－3x 2＜0，∴(x 2－1)2＜x 4＋x 2＋1.2．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝a －ba ＋b 2－a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝2ab a －ba 2＋b 2a ＋b>0，所以原不等式成立． 法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0. 故左边>0，右边>0.∴左边右边＝a ＋b 2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b2>1.∴原不等式成立.[(1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则|a |>|b |； (5)若c >a >b >0，则ac －a >bc －b.[思路点拨] 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．[精解详析] (1)由于c 的符号未知，因而不能判断ac ，bc 的大小关系，故该命题是假命题．(2)由ac 2>bc 2知c ≠0，而c 2>0， ∴a >b ，故该命题是真命题．(3)⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0⇒a 2>ab ；又⎨⎪⎧a <b ，⇒ab >b 2，⇒ac －a ＞bc －b，故该命题是真命题．在利用不等式性质判断不等式真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选择使用不等式的性质，当否定一个结论时只需举一个反例即可；有时也可采用特殊方法比较判断．3．若a ＞b ＞c ，则下面不等式中一定成立的是( ) A ．a |c |＞b |c | B ．ab ＞ac C ．a －|c |＞b －|c |D.1a ＜1b ＜1c解析：选项A 需要c ≠0，选项B 需要a ＞0，选项D 需要a ，b ，c 同号． 答案：C4．利用不等式的性质判断下列各命题是否成立，并简述理由． (1)a ＞b ⇒2－x·a ＞2－x·b . (2)a ＞b ，c ＞d ⇒a －c ＞b －d . (3)a ＞b ，c ＜d ，cd ≠0⇒a c ＞b d. (4)a ＜b ＜0⇒1a －b ＞1a. 解：(1)成立．因为2－x＞0，由性质(4)知2－x·a ＞2－x·b .(2)不成立．令a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝1，有a －c ＜b －d . (3)不成立．当a ＞b ＞0，c ＜0，d ＞0时显然有a c ＜b d. (4)不成立． 1a －b －1a ＝b aa －b ，由a ＜b ＜0，可得1a －b ＜1a.[例3] 已知60＜x ＜84,28＜y ＜33，则x －y 的取值范围为________，y的取值范围为________．[思路点拨] 利用不等式性质，先求－y 和1y 的取值范围，再求x －y 和xy的取值范围．[精解详析] x －y ＝x ＋(－y )， 所以需先求出－y 的取值范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的取值范围． ∵28＜y ＜33，∴－33＜－y ＜－28，133＜1y ＜128.又60＜x ＜84，∴27＜x －y ＜56，6033＜x y ＜8428.即2011＜xy＜3. [答案] 27＜x －y ＜562011＜x y＜3本题不能直接用x 的取值范围去减或除y 的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．如已知20＜x ＋y ＜30,15＜x －y ＜18，要求2x ＋3y 的取值范围，不能分别求出x ，y 的取值范围，再求2x ＋3y 的取值范围，应把已知的“x ＋y ”“x －y ”视为整体，即2x ＋3y ＝52(x ＋y )－12(x －y )来求2x ＋3y 的取值范围，或根据线性规化知识求目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围．5．已知①－1≤a ＋b ≤1，②1≤a －b ≤3，求3a －b 的取值范围． 解：设3a －b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.由①＋②×2得：－1＋2≤(a ＋b )＋2(a －b )≤1＋3×2， a >b >0，c <d <0，e <0.求证：(2)a －2>b －2.思路点拨] 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答本题可先比较a －c 与b －d ，(a －c )2与(b －d )2的大小，进而判断1a －c 与1b －d ，1a －c2与1b －d2的大小，再两边同乘以负数e ，得出要证明的结论．[精解详析] ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. (*) (1)由(*)式知1a －c <1b －d.又∵e <0，∴ea －c >eb －d.(2)由(*)式知(a －c )2>(b －d )2>0， ∴1b －d2>1a －c2.又∵e <0，∴e b －d 2<e a －c2.即e a －c2>e b －d2.利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．6．已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，且a b ＝cd，求证：a ＋d ＞b ＋c . 证明：∵a b ＝c d ，∴a －b b ＝c －dd. ∴(a －b )d ＝(c －d )b . 又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0，∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且bd＞1， ∴a －bc －d ＝bd＞1， ∴a －b ＞c －d ，即a ＋d ＞b ＋c .本课时内容是不等式的基础，是高考的重要考点，主要考查比较大小问题，不等式正误的判断以及利用不等式性质确定代数式的取值范围问题．一般与函数、方程等知识交汇命题．[考题印证](江苏高考)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．[命题立意]本题主要考查不等式的性质与函数的最大值的概念的综合应用及函数方程思想、转化分类及运算求解能力．[自主尝试]由题设知，实数x ，y 均为正实数， 则条件可化为lg 3≤lg x ＋2lg y ≤lg 8， lg 4≤2lg x －lg y ≤lg 9，令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg 3≤a ＋2b ≤3lg 2，2lg 2≤2a －b ≤2lg 3.又设t ＝x 3y4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b ), 解得m ＝－1，n ＝2.即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27.∴x 3y4的最大值是27. 另解：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y2≤81，①又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，②由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y4的最大值是27.[答案] 27[对应学生用书P4]一、选择题1．若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( ) A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，b －1＜0,1－b ＞0,0＜b 2＜1， ∴1－b 2＞0，ab －a ＝a (b －1)＞0. ∴ab ＞a .又ab －ab 2＝ab (1－b )＞0， ∴ab ＞ab 2.又a －ab 2＝a (1－b 2)＜0， ∴a ＜ab 2.故ab ＞ab 2＞a .答案：D2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中，正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：由a >b >1，c <0得，1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a－c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：D3．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2解析：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜－β＜－α＜π2.∴－π＜α－β＜β－α＜π， 且α－β＜0.∴－π＜α－β＜0. 答案：A4．若a ＞b ＞0，则下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a＞b b解析：选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2a ＋b a ＋2b ＝54，ab ＝2，由此可知选项A 不成立．利用不等式的性质可知，当a ＞b ＞0时，1a ＜1b，由此可知，选项C 不恒成立．取a ＝12，b ＝14，则a ＞b ＞0，则a a ＝b b，故选项D 不恒成立．故选B. 答案：B 二、填空题5．设a ≥b ＞0，P ＝3a 3＋2b 3，Q ＝3a 2b ＋2ab 2，则P 与Q 的大小关系是________．解析：P －Q ＝3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a 2≥b 2＞0. 所以3a 2≥3b 2＞2b 2，即3a 2－2b 2＞0. 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，即P ≥Q . 答案：P ≥Q6．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式： ①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2.其中不成立的是________． 解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a a －＝a －ba a －.因为a －b ＞0，a (a －1)符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＞0，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立． 答案：①②③ 7．有以下四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0. 其中能使1＜1成立的有个条件．∴a ＞b.④∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b.综上知，①②④均能使1a ＜1b成立．答案：38．若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________． 解析：∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3.答案：(－3,3)三、解答题9．当a ≠0时，比较(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)与(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)的大小． 解：∵(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)＝[(a 2＋1)＋2a ][(a 2＋1)－2a ]＝(a 2＋1)2－2a 2＝a 4＋2a 2＋1－2a 2＝a 4＋1，(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)＝[(a 2＋1)＋a ][(a 2＋1)－a ]＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋2a 2＋1－a 2＝a 4＋a 2＋1，∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)－(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)＝(a 4＋1)－(a 4＋a 2＋1)＝－a 2. ∵a ≠0，∴a 2＞0，∴－a 2＜0，∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)＜(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)．10．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. 证明：原不等式变形为：1a －b ＋1b －c >1a －c . 又∵a >b >c ，∴a －c >a －b >0.从而有1a －b >1a －c ， 又∵1b －c >0，∴1a －b ＋1b －c >1a －c . 即1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. 11．已知一次函数f (x )＝ax ＋b ，且－1≤f (－1)≤2，－2≤f (2)≤3，求f (3)的取值范围．解：法一：(不等式基本性质)∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤－a ＋b ≤2， ①－2≤2a ＋b ≤3. ②又∵f (3)＝3a ＋b ＝－13(－a ＋b )＋43(2a ＋b )， ∴－103≤f (3)≤133.法二：(线性规划)因为⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤－a ＋b ≤2，－2≤2a ＋b ≤3，所以点(a ，b )所表示的区域如图阴影所示，又∵f (3)＝3a ＋b ，所以由线性规划知识可知，当(a ，b )在D⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13位置时f (3)取得最大值；在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23位置时f (3)取得最小值， ∴－103≤f (3)≤133. 法三：(利用斜率公式)∵P 1(－1，f (－1))，P 2(2，f (2))，P 3(3，f (3))三点共线，∴kP 1P 2＝kP 1P 3. ∴f －f －2－－＝f －f －3－－.∴f (3)＝－13f (－1)＋43f (2)． 又∵－1≤f (－1)≤2，－2≤f (2)≤3，。

章末复习课[对应学生用书P30][对应学生用书P30]换的特点：即图形的位置、形状、大小会发生如何变化，从而解决与之相关的问题．[例1] 如图，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A (8，8)，B (4,0)，C (12，－4)，D (16,4)，画出它以原点O 为位似中心、相似比为12的位似图形，并确定其对应点的坐标．[解] A 、B 、C 、D 的对应点的坐标分别为A ′(4,4)，B ′(2,0)，C ′(6，－2)，D ′(8,2)和A ″(－4，－4)，B ″(－2,0)，C ″(－6,2)，D ″(－8，－2)．通常涉及这四类角，因此圆周角定理，圆心角定理，弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．[例2] (1)已知⊙O 是∠ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BOC ＝ ，∠BIC ＝ .(2)如图，过点P 作⊙O 的割线P AB 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线分别与AE ，BE 相交于点C ，D .若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝ .[解析] (1)如图，∵∠A ＝80°，由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠BOC ＝2∠A ＝160°.又∵在△ABC 中，∠A ＝80°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－80°＝100°. 又∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12×100°＝50°.∴在△IBC 中，∠BIC ＝180°－50°＝130°.(2)由圆的切割线定理可得PE 2＝PB ·P A ⇒PE PB ＝P APE ，∴△PEB ∽△P AE ， 设∠P AE ＝α，则∠PEB ＝α，∠PBE ＝α＋30°，∠APE ＝150°－2α， ∴△PCE 中，∠EPC ＝75°－α，∠PEC ＝30°＋α， ∴∠PCE ＝75°.[答案] (1)160° 130° (2)75°切割线定理和弦切角定理，从而获得成比例线段，再结合相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明，或列出方程解得线段的长．[例3]如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.[证明](1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.[例4]如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点F，连接CF并延长CF交AB于E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长．[解](1)证明：连接OD，OF，DF.∵四边形ABCD是边长为a的正方形，∴BC＝CD，∠EBC＝∠OCD＝90°，∵OF＝OC，DF＝DC，OD＝OD，∴△OFD≌△OCD，∴∠ODC＝∠ODF，∠ECB ＝12∠FDC ＝∠ODC ，∴△EBC ≌△OCD ，∴EB ＝OC ＝12AB ，即E 是AB 的中点．(2)由BC 为⊙O 的直径易得BF ⊥CE ， ∴S △BEC ＝12BF ·CE ＝12CB ·BE ，∴BF BE ＝CB CE ，∴BF ＝55a .[对应学生用书P31]一、选择题1．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列式子：①AE EC ＝BF FC ；②AD BF ＝AB BC ； ③EF AB ＝DE BC ；④CE CF ＝EA BF. 其中，正确式子的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析：选B 由DE ∥BC ，EF ∥AB 知①②④正确，③错误． 2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( )A ．457B ．335C ．395D ．152解析：选C过A 作AG ∥DC ，交EF 于H ，交BC 于G ，设AE ＝x ，DF ＝y ，由AB ＝BG ＝6，可得AE ＝EH ＝x . 由题意知x ∶6＝y ∶4. 所以2x ＝3y .①又梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等， 所以3＋x ＋3＋x ＋y ＝6－x ＋9＋4－y ＋3＋x . 所以x ＋y ＝8.②由①②解得x ＝245，所以EF ＝245＋3＝395.3. 如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM＝1.5，BM ＝4，则OC ＝( )A ．2 6B ． 6C ．2 3D ．2 2解析：选D 延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.4.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC .①若∠A ＝90°，AB ＋CD ＝BC ，则以AD 为直径的圆与BC 相切； ②若∠A ＝90°，当以AD 为直径的圆与BC 相切时，则以BC 为直径的圆也与AD 相切；③若以AD 为直径的圆与BC 相切，则AB ＋CD ＝BC ；④若以AD 为直径的圆与BC 相切，则以BC 为直径的圆与AD 相切． 以上判断正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C (1)过AD 的中点E ，作EG ⊥BC 于点G ，过E 作AB 的平行线EF ，则EF 是梯形ABCD 的中位线．所以EF ＝12(AB ＋CD )＝12BC ＝CF .所以∠CEF ＝∠ECF ， 因为EF ∥CD ， 所以∠DCE ＝∠CEF ， 所以∠DCE ＝∠ECF . 因为在△DCE 和△GCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DCE ＝∠ECG ，∠D ＝∠CGE ，EC ＝EC ，所以△DCE ≌△GCE (AAS)，所以EG ＝DE ＝12AD ，则以AD 为直径的圆与BC 相切．故命题①正确；(2)若∠A ＝90°，当以AD 为直径的圆与BC 相切时，设以AD 为直径的圆的圆心是E ，则E 是AD 的中点，设圆与BC 相切于点G ，则连接EG ，则EG ⊥BC ，且EG ＝ED .因为在Rt △DCE 和Rt △GCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧EG ＝ED ，EC ＝EC ， 所以Rt △DCE ≌Rt △GCE (HL)， 所以CD ＝CG ，同理，BG ＝AB ， 所以AB ＋CD ＝BC ，故③正确；取BC 的中点F ，连接EF ，则EF 是梯形ABCD 的中位线， EF ＝12(AB ＋CD )＝12BC ，又因为若∠A ＝90°，则EF ⊥AD ，所以以BC 为直径的圆也与AD 相切．故②正确；(3)若以AD 为直径的圆与BC 相切，则以BC 为直径的圆与AD 相切，根据(2)可以得到当中位线EF 是F 到AD 的垂线段时，以BC 为直径的圆与AD 相切，否则就不相切．故④错误．故正确的是①②③.故选C. 二、填空题5.如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，已知AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则CD ＝ .解析：因为⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，所以AP ·PB ＝CP ·PD ， 因为AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3， 所以PD ＝AP ·PB CP ＝8，所以CD ＝CP ＋PD ＝3＋8＝11. 即CD 的长是11. 答案：116.(天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为 ．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83.答案：837.(广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝ .解析：因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥BC .又BC ＝CD ，所以△ABD 是等腰三角形，所以AD ＝AB ＝6，∠DAC ＝∠BAC .因为CE 切圆O于点C ，所以∠ECA ＝∠ABC .又因为∠BAC ＋∠ABC ＝90°，所以∠DAC ＋∠ECA ＝90°，故CE ⊥AD .故CD 2＝DE ·DA ＝2×6＝12，所以BC ＝CD ＝2 3.答案：2 38.如图，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，在劣弧AB 上任取一点C ，过C 作⊙O 的切线分别交P A ，PB 于D ，E 两点．(1)若P A ＝5，则△PDE 的周长为 ； (2)若∠APB ＝50°，则∠DOE ＝ . 解析：(1)由切线长定理得DC ＝DA ， EC ＝EB ，P A ＝PB ，∴△PDE 的周长为PD ＋PE ＋DE ＝PD ＋DC ＋PE ＋CE ＝PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝P A ＋PB ＝2P A ＝10.(2)连接OP .∵P A 、DC 均为切线，∴∠P AO ＝90°.由切线长定理得 ∠APO ＝12∠APB ＝25°，∴∠AOP ＝65°.又C 在PO 上，且∠DOC ＝∠AOD ， ∴∠COD ＝65°2，∴∠DOE ＝2∠COD ＝65°.答案：10 65° 三、解答题9.如图，已知BC 是⊙O 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A 为BF 的中点，BF 交AD 于点E ，且BE ·EF ＝32，AD ＝6.(1)求证：AE ＝BE . (2)求DE 的长． (3)求BD 的长．解：(1)证明：连接AF ，AB ，AC . 因为A 是BF 的中点， 所以∠ABE ＝∠AFB . 又∠AFB ＝∠ACB ，所以∠ABE ＝∠ACB . 因为BC 为直径，所以∠BAC ＝90°.因为AH ⊥BC . 所以∠BAE ＝∠ACB . 所以∠ABE ＝∠BAE . 所以AE ＝BE .(2)设DE ＝x (x >0)，由AD ＝6，BE ·EF ＝32， AE ·EH ＝BE ·EF ， 则(6－x )(6＋x )＝32， 解得x ＝2， 即DE 的长为2.(3)由(1)，(2)知：BE ＝AE ＝6－2＝4， 在Rt △BDE 中，BD ＝42－22＝2 3.10．(辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB . 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ， 从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ， 所以EF 2＝AD ·BC .。

§圆与四边形
[对应学生用书]
．圆内接四边形的性质定理
．四点共圆的判定定理
由圆内接四边形的性质定理知，圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？
提示：矩形、正方形、等腰梯形
[对应学生用书]
[例] 如图所示，在△中，＝，延长到，再延长到，使得＝.求证：△
的外心与，，四点共圆．
[思路点拨]本题主要考查四点共圆的判断．解题时，先连接，，，，.要证，，，四点共圆，只需证∠＝∠即可，为此只要证△≌△即可．
[精解详析]如图，连接，，，，.
在△和△中，＝，
∴∠＝∠.
由已知＝，＝，
∴＝.
又是等腰△的外心且＝，
∴∠＝∠，
∴∠＝∠.
∴△≌△.∴∠＝∠，＝.
∴∠＝∠.
∴∠＝∠
＝(∠＋∠)
＝(∠＋∠＋∠－∠)
＝×∠＝∠.
∴，，，四点共圆．
判定四点共圆的方法：
()如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．
()如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
()如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆
．
()如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与斜边中点距离相等)
．在锐角三角形中，是边上的高，⊥，⊥，，是垂足．
求证：，，，四点共圆．
证明：如图，连接.
∵⊥，⊥，
∴，，，四点共圆．
∴∠＝∠.
∴∠＋∠＝∠＋∠＝°.。

全等与相似【教学目标】1．亲历图形变化的探索过程，体验分析归纳得出图形经过平移、旋转、反射后的位置、大小关系，进一步发展学生的探究、交流能力。

2．掌握相似与位似的概念。

3．熟练运用平行线分段成比例定理和直角三角形的射影定理。

【教学重难点】重点：掌握相似与位似的概念。

难点：熟练运用平行线分段成比例定理和直角三角形的射影定理。

【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习全等与相似，这节课的主要内容有图形变化的不变性，平移、旋转、反射，相似与位似，平行线分段成比例定理，三角形内角平分线定理，直角三角形的射影定理并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解图形变化的不变性的内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习平移、旋转、反射，它的具体内容是图形的平移过程称为平移变换；图形的旋转过程称为旋转变换；一个图形F绕一条直线l翻转180︒得到另外一个图形F',则F与F'关于l对称，这种图形的变化过程称为反射变换，直线l称为反射轴。

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

练习：下图是由_____得到的。

答案：平移。

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：下图是经过旋转_____（填度数）得到的。

答案：90︒（3）接着，我们再来看下相似与位似的内容，它的具体内容是把一个图形按一定比例放大或缩小，这种图形的变化过程称为相似变换；把一个图形变为它的位似图形，这种图形的变化过程称为位似变换。

它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。

例：观察下图，分析图中的右图是由左图经过怎样的变换得到的。

左图为右图按照一定比例缩小后的图形。

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习：观察下图，分析图中的右图是由左图经过怎样的变换得到的。

左图可由右图绕反射轴翻转180︒得到的图形。

（4）接着，我们再来看下平行线分线段成比例定理和三角形内角平分线定理的内容，它的具体内容是：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例；②三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。

2．3弦切角定理[对应学生用书P19][自主学习]1．弦切角的定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．[合作探究]弦切角的三要素是什么？提示：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．[对应学生用书P20][例1]如图，AB CD于点C，若∠CAD ＝25°，求∠C.[思路点拨]本题主要考查弦切角定义及定理的应用．解此题时，需连接BD，创设弦切角∠CDB，然后求∠C.[精解详析]连接BD.∵AB为直径，则∠BDA＝90°.又CD为⊙O的切线，切点为D，∴∠BDC为弦切角．∴∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝40°.利用定义确定弦切角时要紧扣定义中的三要素．确定大小时，要区分弦切角所夹的弧对应的是圆心角还是圆周角．1.如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是 TB上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为()A．20°B．40°C．60°D．80°解析：选D如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接四边形，所以∠E＝180°－∠A＝80°，又CD是⊙O的切线，T为切点，所以∠BTD＝∠E＝80°.[例2]如图，BD⊥DC于D，PQ⊥AB于Q.求证：PQ2＝AC·BD.[思路点拨]本题主要考查弦切角定理的应用，解题时连接P A、PB证明△ACP∽△PQB，△BDP∽△PQA后可证PQ2＝AC·BD.[精解详析]连接P A，PB，如图所示．∵CD切⊙O于P，∴∠1＝∠2.∵AC⊥CD于C，PQ⊥AB于Q，∴∠ACP＝∠PQB＝90°.∴△ACP∽△PQB.∴AC∶PQ＝P A∶BP.同理，△BDP∽△PQA，∴PQ∶BD＝P A∶BP.∴AC∶PQ＝PQ∶BD，即PQ2＝AC·BD.利用弦切角定理证明问题的关键是根据条件创设弦切角，从而寻找角的等量关系．2．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R.求证：RP＝RQ.证明：作直径BC ，连接CQ ，因为BC 是⊙O 的直径，所以∠B ＋∠C ＝90°， 因为OA ⊥OB ， 所以∠B ＋∠BPO ＝90°. 所以∠C ＝∠BPO . 又∠BPO ＝∠RPQ ， 所以∠C ＝∠RPQ . 又因为RQ 为⊙O 的切线， 所以∠PQR ＝∠C . 所以∠PQR ＝∠RPQ . 所以RP ＝RQ .[例3] 如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[思路点拨] 本题考查利用弦切角定理进行计算问题．解此题时，连接BE ，AC ，OC .可知△AEB 为直角三角形，利用角的关系确定∠EBA ＝30°可求AE .[精解详析] 连接OC ，BE ，AC ，则BE ⊥AE . ∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO ＝∠COB ＝60°. 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°.在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，利用弦切角定理时，注意结合条件添加适当的辅助线以构造弦切角．3.如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，点C 在AB 上，CD ⊥AB ，CE ⊥P A ，CF ⊥PB ，垂足分别为D ，E ，F .求证：CD 2＝CE ·CF . 证明：连接CA ，CB .因为P A ，PB 是⊙O 的切线， 所以∠CAP ＝∠CBA ， ∠CBP ＝∠CAB .又因为CD ⊥AB ，CE ⊥P A ，CF ⊥PB ， 所以Rt △CAE ∽Rt △CBD ， Rt △CBF ∽Rt △CAD ， 所以CA CB ＝CE CD ，CB CA ＝CFCD ，所以CE CD ＝CDCF，即CD 2＝CE ·CF .本课时常考查弦切角定理及应用，题目难度中等．[考题印证]如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE . [命题立意]本题考查平面几何中的弦切角定理及相似三角形的判定与性质．[自主尝试] (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB . 从而AC DA ＝AB DB ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ， 得△EAD ∽△ABD . 从而AE BA ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，AC ＝AE .[对应学生用书P21]一、选择题1．如图，AB 是⊙O 的直径，DB ，DC 分别切⊙O 于B ，C 两点，若∠ACE ＝25°，则∠D 为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°解析：选A 连接BC ，根据弦切角定理，得∠ACE ＝∠ABC ＝25°. 又因为AB ⊥BD ，所以∠CBD ＝90°－∠ABC ＝65°. 因为DC ，DB 是圆的切线， 所以∠CBD ＝∠DCB ＝65°， 所以∠D ＝180°－2×65°＝50°.2．过圆内接△ABC 的顶点A 引⊙O 的切线交BC 的延长线于点D ，若∠B ＝35°，∠ACB ＝80°，则∠D 为( )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°解析：选A 如图，∵AD 为⊙O 的切线，∴∠DAC ＝∠B ＝35°.又∠ACB ＝80°， ∴∠D ＝∠ACB －∠DAC ＝80°－35°＝45°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点C ，AD ⊥EF 于点D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．23D ．4 解析：选C 连接BC ，如图所示，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠ACD ＝∠ABC .又AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又AD ⊥EF ，∴∠ACB ＝∠ADC . ∴△ADC ∽△ACB .∴AB AC ＝AC AD .∴AC 2＝AD ·AB ＝2×6＝12.∴AC ＝2 3.4.已知如图，E 是两相交圆⊙M 和⊙N 的一个交点，且ME ⊥NE ，AB 为外公切线，切点分别为A ，B ，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为( )A ．145°B ．140°C ．135°D ．130°解析：选C 连接AM ，BN ，因为∠BAE ＝12∠AME ，∠ABE ＝12∠BNE ，所以∠BAE ＋∠ABE ＝12(∠AME ＋∠BNE )，因为MA ⊥AB ，NB ⊥AB ， 所以MA ∥NB ，所以∠AMN ＋∠BNM ＝180°. 因为∠MEN ＝90°，所以∠EMN ＋∠ENM ＝90°，所以∠AME ＋∠BNE ＝180°－90°＝90 °，所以∠BAE ＋∠ABE ＝12×90°＝45°，所以∠AEB ＝180°－45°＝135°. 二、填空题5.如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝ .解析：由P A 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠P AB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝ABCB ，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35. 答案：356．如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝ .解析：因为直线PB 是圆O 的切线，所以∠ABP ＝∠C ，又因为∠ABP ＝∠ABD ，所以∠ABD ＝∠C ，又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AD AB ＝AB AC ，所以AB ＝AD ·AC ＝mn .答案：mn7.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC .AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于 ．解析：如图，连接AC ，由弦切角定理知∠ACB ＝∠BAT ＝55°， 因为AB ＝BC ，所以∠ACB ＝∠CAB ＝55°， 所以∠B ＝180°－2∠ACB ＝70°， 所以∠D ＝180°－∠B ＝110°. 答案：110°8．如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 ．解析：过点D 作DE ⊥PC ，垂足为E .∵∠POD ＝120°， ∴∠DOC ＝60°.可得OE ＝12，DE ＝32，在Rt △PED 中，∴PD ＝PE 2＋DE 2＝254＋34＝7. 答案：7 三、解答题9．过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线P A ，切点为A ，连接OP 与⊙O 交于点C ，过C 作AP的垂线，垂足为D .若P A ＝12 cm ，PC ＝6 cm.求CD 的长．证明：连接AO ，P A 为圆的切线，∴△P AO 为直角三角形，设⊙O 的半径为r ， 则122＋r 2＝(r ＋6)2， ∴r ＝9.又CD ⊥P A ，于是PC PO ＝CDAO. ∴CD ＝185(cm)．10.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，E 为垂足．(1)求证：∠ADE ＝∠B .(2)过点O 作OF ∥AD ，与ED 的延长线相交于点F ，求证：FD ·DA ＝FO ·DE .证明：(1)连接OD ，因为OA ＝OD ， 所以∠OAD ＝∠ODA . 因为AB 是⊙O 的直径， 所以∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC . 又因为AB ＝AC ， 所以AD 平分∠BAC ， 即∠OAD ＝∠CAD .所以∠ODA ＝∠DAE ＝∠OAD . 因为∠ADE ＋∠DAE ＝90°，所以∠ADE ＋∠ODA ＝90°，即∠ODE ＝90°，OD ⊥EF . 因为OD 是⊙O 的半径， 所以EF 是⊙O 的切线． 所以∠ADE ＝∠B . (2)因为OF ∥AD ， 所以∠F ＝∠ADE .又因为∠DEA ＝∠FDO ＝90°， 所以△FDO ∽△DEA .所以FD DE ＝FODA，即FD ·DA ＝FO ·DE .11．如图，⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BC的中点，连接AD 并延长，与过C 点的切线交于P ，OD 与BC 相交于点E .求证：(1)OE ＝12AC ；(2)PD P A ＝BD 2AC2. 证明：(1)因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC . 因为D 是弧 BC 的中点，由垂径定理得OD ⊥BC ， 因此OD ∥AC ，又因为点O 为AB 的中点，所以点E 为BC 的中点，所以OE ＝12AC .(2)连接CD ，因为PC 是⊙O 的切线， 所以∠PCD ＝∠P AC .又∠P 是公共角，所以△PCD ∽△P AC . 得PC P A ＝PD PC ＝CD AC ，得PD P A ＝CD 2AC 2， 因为D 是弧 BC的中点，所以CD ＝BD ， 因此PD P A ＝BD 2AC 2.。

第一章不等关系与基本不等式章末复习课[对应学生用书P28][对应学生用书P28]是高考中对绝对值不等式考查的一个重要考向，每年高考均有重要体现，以填空题、解答题为主，属中档题．解绝对值不等式的基本思想，是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，通过利用绝对值的几何意义、平方法、零点分区间讨论法等将绝对值不等式转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解．[例1] 不等式|x ＋1|＋|x |<2.[解] 法一：利用分类讨论的思想方法． 当x ≤－1时，－x －1－x <2， 解得－32<x ≤－1；当－1<x <0时，x ＋1－x <2， 解得－1<x <0；当x ≥0时，x ＋1＋x <2， 解得0≤x <12.因此，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.法二：利用方程和函数的思想方法． 令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x ，－－1≤x，－2x －x <－作函数f (x )的图像(如图)，知当f (x )<0时，－32<x <12.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 法三：利用数形结合的思想方法．由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32＜x <12.法四：利用等价转化的思想方法． 原不等式⇔0≤|x ＋1|<2－|x |， ∴(x ＋1)2<(2－|x |)2，且|x |<2， 即0≤4|x |<3－2x ，且|x |<2.∴16x 2<(3－2x )2，且－2<x <2. 解得－32<x <12.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32＜x <12.[例2] 不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，求a 的取值范围． [解] 设f (x )＝x ＋|x －2a |， 则函数f (x )在R 上恒大于1，又∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2ax ≥2a ，2a x <2a ，∴x ≥2a 时，f (x )≥f (2a )＝2a . ∴函数f (x )在R 上的最小值为2a . ∴要使f (x )在R 上恒大于1，只要2a >1， ∴a >12.常与函数数列、解析几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出现．在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x ，y 为正数；②“和”或“积”为定值；③等号一定能取到．这三个条件缺一不可．[例3] 当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3[解析] 利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转化变形，再用均值不等式求解．f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x2sin x cos x＝cot x ＋4tan x .∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cot x >0，tan x >0.故f (x )＝cot x ＋4tan x ≥2cot x ·4tan x ＝4. [答案] C[例4] 为了提高产品的年产量，某企业拟在2014年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2014年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2014年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k .∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1. 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2014年的利润y ＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5×8＋16x x－(8＋16x )－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0， ∴16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤29－8＝21. 当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3，y max ＝21. ∴该企业2014年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．常与函数、数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有：1．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．[例5] 若x ，y ，z ∈R ，a >0，b >0，c >0， 求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． [证明] ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2－2(xy ＋yz ＋zx ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ax 2＋a b y 2－2xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cby 2＋b cz 2－2yz ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x －a b y 2＋ ⎝⎛⎭⎪⎫c by －b c z 2＋⎝⎛ a cz⎭⎪⎫－c a x 2≥0， ∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立． 2．综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误．如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．[例6] 设a >0，b >0，a ＋b ＝1. 求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. [证明] (1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，∴1ab ≥4.∴1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)∵a ＋b2≤a 2＋b 22，则a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a＋b ＋1b 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫1＋21ab 22≥252. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 3．分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[例7] 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1， 求证：a ＋12＋b ＋12≤2. [证明] 要证 a ＋12＋b ＋12≤2，只要证⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＋b ＋122≤4，即证a ＋b ＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4. 只要证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1.也就是要证：ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14.∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14成立．故 a ＋12＋b ＋12≤2.4．反证法和放缩法证明不等式(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．[例8] 已知0<a <1,0<b <1,0<c <1.求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 至少有一个小于等于14.[证明] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，∵0<a <1,0<b <1,0<c <1. ∴b 与1－a 都是正数． 根据平均值不等式，有－a ＋b2≥－a b >14＝12. 同理，－b ＋c 2>12，－c ＋a 2>12. ∴－a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a 2>12＋12＋12＝32. ∴32>32，此为矛盾． 所以假设不成立，∴(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 至少有一个小于等于14.[例9] 设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋(n ＝1，2,3，…)．证明：n n ＋2<a n <n ＋22.[证明] 对于一切正整数k 都有k <k k ＋<k ＋k ＋2＝2k ＋12.令k ＝1,2，…n ，有1<1×2<32，2<2×3<52，…，n <n n ＋<2n ＋12. 以上各式相加得1＋2＋…＋n <1×2＋2×3＋…＋nn ＋<32＋52＋…＋2n ＋12，整理即得n n ＋2<a n <n ＋22.故原不等式对于n ∈N ＋都成立．[对应学生用书P31]一、选择题1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1解析：∵x ≥52，∴x －2≥12.∴f (x )＝x －2＋1x －＝12(x －2)＋1x －≥2 x －22·1x －＝1， 当且仅当x －22＝1x －，即x ＝3时，等号成立． ∴f (x )min ＝1. 答案：D2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b2 B.a b 2>a b>a C.a b >a b 2>aD.a b >a >a b2解析：本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较1b ，1b2，1的大小，再比较a b ，a b2，a 的大小．又因为a <0，所以又可认为是在比较－1b，－1b2，－1的大小．因为b <－1，所以1>1b 2>1b.也可以令a ＝－1，b ＝－2，分别代入A ，B ，C ，D 中，知A ，B ，D 均错．答案：C3．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是( )A.1a ＋1b ＋1c ≥9B.1a ＋1b ＋1c＜9C.1a ＋1b ＋1c＝9D ．不确定解析：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号.答案：A4．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋y x ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(当且仅当y x＝a 时，取等号)．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴只需(a ＋1)2≥9.∴a ≥4. 答案：B 二、填空题 5．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是______． 解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n＝nn＝n . 答案：A ≥n6．(陕西高考)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是________．解析：∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |＞2， ∴|x －a |＋|x －b |＞2恒成立，则解集为R . 答案：(－∞，＋∞)7．不等式|x －1|＋|x ＋3|≥6的解集是________．解析：∵|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ≤－，4， －3<x，2x ＋2， x当x ≤－3时，－2x －2≥6⇒x ≤－4； 当x ≥1时，2x ＋2≥6⇒x ≥2； 当－3<x <1时，4≤6，舍去．故不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}． 答案：{x |x ≥2或x ≤－4}8．(天津高考)设a ＋b ＝2，b >0, 则12|a |＋|a |b 的最小值为________．解析：因为12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 的最小值是34.答案：34三、解答题9．某数列由下列条件确定：x 1＝a >0，x n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋a x n ，n ∈N ＋.(1)证明：对n ≥2总有x n ≥a ； (2)证明：对n ≥2总有x n ≥x n ＋1.证明：(1)由x 1＝a >0，及x n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋a x n 可以归纳证明x n >0，从而有x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x n ＋a x n ≥x n ·ax n ＝a (n ∈N ＋)，所以当n ≥2时，x n ≥a 成立．(2)当n ≥2时，因为x n ≥a >0，x n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋a x n ，所以x n ＋1－x n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋a x n －x n ＝12·a －x 2nx n≤0.故当n ≥2时，x n ≥x n ＋1成立． 10．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解； 当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．[对应学生用书P51](时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b ”或“b ＞1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当0＜ab ＜1时，若b ＞0，则a ＜1b ，若b ＜0，则b ＞1a .反之，a ＜1b ⇒a －1b＜0⇒b (ab－1)＜0.当b ＞0时，ab ＜1；当b ＜0时，ab ＞1.同理，当b ＞1a时；若a ＞0时，则ab ＞1，若a ＜0，则ab ＜1，所以“0＜ab ＜1”是“a ＜1b ”或“b ＞1a”的充分而不必要条件．答案：A2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析：a >b >1⇒lg a >0，lg b >0，Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，R >lg ab ＝12(lga ＋lgb )＝Q ⇒R >Q >P .答案：B3．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，3－x 3＋x ＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－x 2＋x 的解集是( )A ．(0,2)B ．(0,2.5)C ．(0，6)D ．(0,3)解析：用筛选法，容易验证x ＝2是不等式的解，否定A ；x ＝52不是不等式的解，否定D ；x ＝6使3－x 3＋x 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－x 2＋x 取“＝”，∵6＜52，故否定B. 答案：C4．(江西高考)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋|y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3. 答案：C5．若a >0，b >0，则p ＝(ab )a ＋b2，q ＝a b b a的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q解析：a >0，b >0，即p q＝ab a ＋b2a b ba＝aa －b 2b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a ≥b 时，0<ab≤1，a －b2≥0.∴p ≥q .同理a <b 时，p >q ，综上可知p ≥q . 答案：A6．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－215C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，23 解析：如果在[－1,1]内没有满足f (c )＞0的数c ，则⎩⎪⎨⎪⎧f －，f，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴此时p 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫p | p ≤－3或p ≥32，取补集即得所求实数p 的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫p | －3＜p ＜32.答案：A7．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a ＝( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：由|ax ＋2|＜6⇒－8＜ax ＜4. 当a ＞0时，－8a ＜x ＜4a.∵解集是(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－8a ＝－1，4a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，a ＝2，两值矛盾．当a ＜0时，4a＜x ＜－8a.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1，－8a ＝2⇒a ＝－4.答案：C8．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由题意，知a ＋b ＝1，则α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab≥1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝5.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：C9．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c | B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b |＋1a －b≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a解析：因为|a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |，所以选项A 恒成立； 在选项B 两侧同时乘以a 2，得a 4＋1≥a 3＋a ⇒(a 4－a 3)＋(1－a )≥0⇒a 3(a －1)－(a －1)≥0⇒(a －1)2(a 2＋a ＋1)≥0，所以选项B 恒成立；在选项C 中，当a ＞b 时，恒成立，a ＜b 时，不成立；在选项D 中，分子有理化得2a ＋3＋a ＋1≤2a ＋2＋a恒成立．答案：C10．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y＝2，a ＋b ＝4，则2x ＋1y的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：依题意得4＝a ＋ b ≥2a ·b ，则a b ≤4，a 2b ≤16，当且仅当b ＝a 2＝4时，等号可以取到．因为x ＝log a 2，y ＝log b 2，所以2x ＋1y＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2a 2b ≤log 216＝4，即2x ＋1y的最大值为4.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是________． 解析：用分析法比较，a ＞b ⇔3＋5＞2＋ 6 ⇔8＋215＞8＋212，同理可比较得b ＞c . 答案：a ＞b ＞c12．(上海高考)设常数a ＞0.若9x ＋a 2x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．解析：由题意可知，当x ＞0时，f (x )＝9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a ≥a ＋1⇒a ≥15，当且仅当9x ＝a 2x ，即x ＝a3时等号成立．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，∞13．不等式|2|x |－3|＜|x |＋1的解集为________． 解析：原不等式等价于(2|x |－3)2＜(|x |＋1)2， 所以4x 2－12|x |＋9＜x 2＋2|x |＋1， 所以3x 2－14|x |＋8＜0. 所以3|x |2－14|x |＋8＜0. 所以(3|x |－2)(|x |－4)＜0. 所以23＜|x |＜4.所以－4＜x ＜－23，或23＜x ＜4.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －4＜x ＜－23，或23＜x ＜4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －4<x <－23，或23<x <414．a >0，b >0，给出下列四个不等式： ①a ＋b ＋1ab≥22；②(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；③a 2＋b 2ab≥a ＋b ；④a ＋1a ＋4≥－2.其中正确的不等式有________．(只填序号) 解析：∵a >0，b >0， ∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥2·2ab ·1ab＝22；②(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4ab1ab＝4；③∵a 2＋b 22≥a ＋b2，∴a 2＋b 2≥a ＋b22＝(a ＋b )a ＋b2≥(a ＋b )ab .∴a 2＋b 2ab≥a ＋b .④a ＋1a ＋4＝(a ＋4)＋1a ＋4－4≥2a ＋1a ＋4－4＝2－4＝－2，当且仅当a ＋4＝1a ＋4，即(a ＋4)2＝1时等号成立，而a >0，∴(a ＋4)2≠1.∴等号不能取得． 答案：①②③三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围． 解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a ＝1a＋a ≥2. 当且仅当“1a＝a ，即a ＝1时”取等号．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.16．(本小题满分12分)设x >－1，求函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．解：∵x >－1，∴x ＋1>0，y ＝x ＋x ＋x ＋1＝x ＋＋x ＋＋1]x ＋1＝(x ＋1)＋5＋4x ＋1≥2· x ＋4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴y 的最小值是9.17．(本小题满分12分)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)法一：记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k 的取值范围是k ≥1.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|||2x ＋1|－2|x ＋1| ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x ＋12|－|x ＋1|≤1，由|f (x )－2f (x2)|≤k 恒成立，可知k ≥1，所以k 的取值范围是k ≥1.18．(本小题满分14分)(北京高考)给定数列a 1，a 2，…，a n .对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i＝q (i ＝1,2，…，n －2)， 即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差． 对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0， 所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}， 所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列． 因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1， 所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．。

§全等与相似
第一课时平移、旋转、反射和相似与位似
[对应学生用书]
．平移、旋转、反射
．相似与位似
．平移、旋转变换过程中有何异同点？
提示：相同点：两者不改变图形的形状和大小．
不同点：平移不会改变图形的方向，而旋转改变图形方向．
．反射变换其实质是轴对称变换对吗？
提示：对．反射变换其实质就是轴对称变换．反射是由一条反射线确定，反射线也叫对
称轴，是连接图形中任一点与该点映象之间的所有线段的垂直平分线．
．位似变换是特殊的相似变换吗？
提示：相似变换是把一个图形按一定比例放大或缩小，而位似变换是图形的位置发生了改变，其形状、对应角的大小都不变．位似变换是一种特殊的相似变换．
[对应学生用书]
[例]△放大，位似变换后，求，，的对应点的坐标．
[思路点拨]本题主要考查相似和位似变换，解答此题需要先利用相似变换后再利用位
似中心确定图形．
[精解详析]如图，，的对应点的坐标分别为
′()，′()，′()和″(－，－)，
″(－，－)，″(－，－)．
相似变换的关键是确定相似比，而位似变换是由位似比决定的．若设和′是和′上任意一对对应点，则，，′共线且＝·，(定值)为与′的位似比，是位似中心．当和′居位似中心同侧时，>，当和′分别位居位似中心两侧时，<.故可知与′的相似比为.特别地当＝－时，位似变换就是中心对称变换．
．如图，用放大镜将图形放大，应该属于( )
．相似变换．平移变换
．反射变换．旋转变换
解析：选用放大镜放大是按一定比例放大的．属相似变换．．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(，
)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为( )。