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一种三角形网格的优化算法
王崑凌
【期刊名称】《电子科技》
【年(卷),期】2010(23)7
【摘要】处理复杂三维模型时,采用边折叠方法进行三角形网格优化.并通过使二次误差测度最小来计算折叠点的坐标,既保留了原始网格的形状,又摆脱了折叠边的限制.实验结果证明,该算法不仅获得了简化效果且确保得到了质量较高的简化模型.【总页数】2页(P72-73)
【作者】王崑凌
【作者单位】西安工程大学,计算机与科学学院,陕西,西安,710048
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.一个平面三角形网格的多目标优化算法 [J], 罗特军;罗季军;汪榴
2.空间三角形网格优化算法的研究 [J], 王群;陈明;李爱平
3.一种三角形网格空洞修复算法 [J], 刘全;杨凯;伏玉琛;张书奎
4.一种基于三角形网格的图像分块盲复原算法 [J], 邓莉;鲁瑞华
5.空间三角形网格优化算法 [J], 黄雪梅;陈吉红
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面向有限元分析的三角网格迭代优化
沈建国;陈志杨;张引;张三元;叶修梓
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2009(021)012
【摘要】从逆向工程或者简单离散实体模型得到的网格质量较差,通常不能直接用于有限元分析,为此提出一种迭代优化算法.首先对给定网格进行细分得到足够的自由度,以改变网格的几何和拓扑;然后在误差允许的范围内,通过简化和规则化来提高网格质量.该过程不断迭代,直到网格质量满足分析要求或者达到迭代上限.实验结果表明,该算法既能灵活地控制网格属性,又能有效地提高网格质量.
【总页数】7页(P1715-1721)
【作者】沈建国;陈志杨;张引;张三元;叶修梓
【作者单位】浙江大学CAD & CG国家重点实验室,杭州,310027;浙江工业大学软件学院,杭州,310014;浙江大学CAD & CG国家重点实验室,杭州,310027;浙江大学CAD & CG国家重点实验室,杭州,310027;浙江大学CAD & CG国家重点实验室,杭州,310027
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.面向同步建模分析的三角网格局部光顺优化算法 [J], 魏一雄;程五四;张祥祥;胡祥涛
2.面向3D打印的三角网格模型高质量细分 [J], 贺强;徐艺;杨晓强
3.平面区域有限元三角网格迭代优化方法 [J], 李宗领;阎春平
4.一种面向孔洞修复的三角网格复杂孔洞分割方法 [J], 张善辉;武伟;魏威;边静
5.面向仿真结果的三角网格模型缺陷修复技术 [J], 李子涵;万睿喆;郑国磊;肖怡宁;于谋雨;郑祖杰
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三角网格的能量优化参数化方法
薛均晓;罗钟铉
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2009(021)010
【摘要】三角网格参数化是纹理映射、曲面拟合与曲面重构、网格编辑等工作的基础和环节,参数化变形的大小是衡量参数化好坏的标准.为此提出一种基于变形能量优化的三角网格参数化方法.采用区域增长算法逐层展平空间三角网格,得到空间三角网格曲面的自由边界的参数化结果,并利用保形变换将自由边界的参数化结果变换为规则边界的参数化结果;同时兼顾了参数化的角度变形和面积变形,使得参数化结果具有整体变形较小的特点,并能够避免三角形折叠的现象.将该方法应用于纹理映射中的数值实验表明,其比常见的几种参数化方法具有更好的纹理映射效果.【总页数】8页(P1472-1479)
【作者】薛均晓;罗钟铉
【作者单位】大连理工大学数学科学学院,大连,116024;大连理工大学数学科学学院,大连,116024;大连理工大学软件学院,大连,116620
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.几种典型三角网格曲面参数化方法的分析与比较 [J], 晏冬梅;张丽艳
2.基于能量优化的数据参数化方法 [J], 李锋;张彩明
3.一种基于车身曲面重建的三角网格曲面参数化方法 [J], 李居莉;李旭;肖振;季惠
4.一类参数曲线的积累平均弧长参数化方法 [J], 贺诗涛;申立勇
5.基于参数化方法的圆碟形水下滑翔机结构轻量化设计 [J], 甄春博;王强;王晓旭;英扬
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有限元网格自动生成的组合处理方法
杨名生
【期刊名称】《大连理工大学学报》
【年(卷),期】1994(034)005
【摘要】给出有限元网格自动生成的相互配合协调处理的新方案，它处理的是平面上任意形状的多连通区域．边界描述采用边界顶点序列法，生成有限元分析的单元以四边形元（八点元或四点元）为主；根据边界形状的复杂性辅以三角形元（六点元或三点元）．所建议的组合处理方法具有容易控制网格密度、确保有限元分析中的单元质量、对于指定点（如集中荷载作用点或支撑点）可以自动成为网格的结点、可实现无人工控制的有限元网格自动生成等特点，对于有限元重分析系统尤其表现出高效率．本方法可推广到相当广泛一类三维问题中，在并行处理方面也有很大的潜力．
【总页数】6页(P507-512)
【作者】杨名生
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
【相关文献】
1.加筋组合结构有限元网格自动生成 [J], 邓可顺;张雄
2.空间板系组合结构有限元网格的自动生成 [J], 孙惠学;张庆
3.空间板块组合结构有限元网格自动生成 [J], 崔小朝;冯培恩
4.MATLAB上的有限元网格自动生成 [J], 刘瑶;谭建国
5.基于C#和AutoCAD平面有限元网格自动生成程序开发 [J], 黄向东
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面向CAE的STL模型三角网格均匀化陈志杨;丁豪;张引【摘要】The paper presents an algorithm of the Finite Element mesh generation based on STL Data. The algorithm is mainly used for CAE engineering analysis. Considering the bad shape of STL model from CAD system, we need re-meshing the STL model so that the shape of triangular is better use for CAE analysis. The algorithm includes 4 steps: topologic creation, mesh clustering, mesh re-sampling, triangulation. The results show that our algorithm can reduce the ratio of the longest edge and the shortest edge of triangle mesh effectively to make shape of triangular is in uniform.%提出了一种基于STL数据的有限元网格再生成算法,该算法主要用于CAE工程分析.鉴于CAD模型的网格特征形态不匀称,分布不均匀的特点,对CAD 模型进行网格再生成,使其符合CAE工程分析的要求.算法主要由拓扑建立、网格聚类、网格重采样和三角化四部分组成.实验表明该算法能够有效降低三角网格最长边和最短边的比值,使得模型的网格特征形态趋于均匀.【期刊名称】《计算机系统应用》【年(卷),期】2012(021)010【总页数】6页(P66-70,104)【关键词】三角网格均匀化;有限元网格生成;STL模型;CAD【作者】陈志杨;丁豪;张引【作者单位】浙江工业大学计算机科学与技术学院,杭州310023;浙江工业大学计算机科学与技术学院,杭州310023;浙江大学计算机学院,杭州310012【正文语种】中文工程分析是指对工程加以分析、调查, 找出其中浪费、不均匀、不合理的地方, 进而进行改善的方法,是产品设计过程中评价产品设计正确性的主要步骤.在对来自CAD软件的产品模型进行工程分析的工作中, 我们通常使用CAE软件(如: NASTRN, ANASYS等)来确定产品的强度、应力等指标是否符合要求.CAE(Computer Aided Engineering)是用计算机辅助分析计算复杂工程和产品的力学性能以及优化结构性能设计等问题的一种近似数值分析方法. 其核心思想是将实际结构离散为有限数目的规则单元组合体, 实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析, 得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析. 而离散分解过程中, 原有的三角网格的质量对离散的性能有很大影响, 从而对分析的结果产生影响.有限元网格生成的研究有不少, 主要有两种方法,即映射法和直接法[1-4], 而这些方法或者说这些方法的衍生方法都是基于曲面参数方程. 在实际应用中, 出于对CAD 模型保密性要求等诸多原因, 设计方一般不会将原始 CAD模型直接交给第三方进行 CAE分析,代之以一种离散数据方式, 如网格模型方式, 将模型交出去. 当设计人员使用 CAD软件完成产品设计后,如果将模型导出为OBJ、STL等离散网格模型的数据,则由于其曲面的参数信息丢失, 再想对这种模型进行二次三角化是非常困难的. 目前包括如HyperMesh等专业CAE前处理软件, 对导入其系统的网格模型基本上不提供重新三角化方法. 它们只针对原始CAD格式的模型(native format)或B-Rep格式的模型(x_t, sat)等,可以进行三角化或其他形式的网格剖分. 针对这种情况,本文试图通过对三角网格模型的研究, 实现基于网格模型的直接二次三角化, 从而一定程度上突破目前CAD/CAE之间模型传递的这种限制.1 系统概述本文算法的主要步骤如下: 首先对 STL数据文件的读取以及拓扑的修复和重建, 文献[5-7]中有详细叙述. 接下来进行网格面片聚类, 即通过聚类,将同类的三角面片聚集成为一个大区域; 第三步是网格重采样, 针对聚类后的大面片, 重新计算数据点, 尽量满足均匀性的要求. 第四步是点云数据三角化. 这方面的研究也已经比较多了, 详见文献[10-12].2 各模块的算法设计与实现2.1 数据读取、拓扑建立及相关概念有关于STL ASCII格式的介绍、STL文件的读取和使用平衡二叉树删除 STL中的冗余节点, 在文献[5-7]中有详细叙述, 其过程就是逐个读取数据并建立平衡二叉树. 这里简单说明下本文所用到的片.片是由若干三角面按一定规则组合的三维平面,是本文算法的基本单元. 由于本算法是把原对象分成若干片来分开做的, 那么所分开的每一片都有属于自己的边界边, 且片与片之间会有重合的边界边(方向属性不算), 因此在某一片上已经分好段的边界边, 在其它片上就不能再分一次了, 而分段数和网格重采样密度有关.2.2 三角网格面片聚类这一步的任务是将单个的三角形按照是否相邻以及法相量是否相同进行聚类, 为后面的两步做好准备.按照这样的规则聚类是为了在之后的均匀化中不破坏模型原有的形态. 下图是聚类的效果:图1 (a) CAD系统导出的连杆零件STL网格模型图1 (b) 连杆零件网格模型面片聚类2.3 网格(面片)数据点重采样这一步是本算法的核心, 一共分为八个步骤: 单片边界求取; 包围盒求取; 网格重采样模式选择; 网格重采样密度判断; 网格重采样初始化; 包围盒内网格重采样; 点的合法性判断; 边界上网格重采样. 以上八个步骤分别对上一小节划分的每一片都做一遍.2.3.1 单片边界求取遍历所有半边, 并且将这些半边按照其包含的起点的顺序升序排列, 再将起点相同的那些半边按照终点的顺序升序排列, 并对具有相同起点的半边的位置和起点ID 号做记录, 这样在寻找相邻半边的时候, 根据终点的ID号就可以轻松锁定其相邻半边的位置, 缩短寻找时间, 最后没有相邻半边的半边就是边界边.接下来就是把这些杂乱无序的边界边按照环的要求排序, 使它们变成真正意义上的边界.2.3.2 包围盒求取遍历片中所有的点, 求出其中在x,y,z轴上的最大和最小值max_x, min_x, max_y, min_y, max_z, min_z并做记录, 利用这六个值可以构造出一个长方体包围盒, 并且定义 x轴上的最大和最小值的差为该包围盒的长dis_x, y轴上的最大和最小值的差为该包围盒的高 dis_y, z轴上的最大和最小值的差为该包围盒的宽dis_z.2.3.3 网格重采样模式选择这一步其实是将当前面片投影到 xoy、yoz、xoz坐标轴中的一个, 选择的标准是面积最大化. 将当前面分别投影到xoy、yoz、xoz坐标轴中的一个, 选择投影面的面积最大的坐标轴来选择应该投影的位置.2.3.4 网格重采样密度判断网格重采样密度有全局密度和局部密度两种. 全局密度 Density_all由用户输入, 其含义为整个对象的包围盒的最长边的分段数, 参数为大于等于1的整数.而局部密度Density_part是局部对象的包围盒的最长边, 就是dis_x、dis_y、dis_z中的最大值)的分段数, 参数也为大于等于1的整数. 其与全局密度关系如下:Density_part=Density_all*Dismax_part/Dismax_all.2.3.5 网格重采样初始化初始化包括起始点的确定和x,y,z三轴方向增加值(add_x,add_y,add_z)的确定. 起始点的坐标就是由2.3.2中所求得的min_x,min_y,min_z组成, 作为网格重采样的起点. 增加值和网格重采样模式有关, 以投影到xoy坐标为例:add_x=Dismax_part/Density_partadd_y = 0.866*add_x;//31/2/2row = 四舍五入取整[(max_y-min_y)/add_y], 若为0, 则其值以1论.add_y = (max_y-min_y)/row;xoy坐标模式下, add_x为首, add_y为辅, add_z不予理会, add_y的选择主要是出于对正三角形网格的需求, 如果把add_x当成正三角形的边, 则add_y就是正三角形的高. 后面的三行公式是对 add_y的修正, 主要目的是为了满足(max_y-min_y)/add_y为整数, 其它投影模式类似.2.3.6 包围盒内网格重采样网格重采样也是和网格重采样模式密切相关的,以xoy模式为例:1.point.x累加add_x;2.判断(point.x是否超过 max_x), 若是, 执行步骤3, 不是, 步骤5, 然后返回步骤1生成下一个点.3.若偶数行point.x = min_x;若奇数行point.x = min_x+add_x*0.5;point.y += add_y;4.判断(point.y是否超过 max_y) 若是, 结束, 不是, 步骤5, 然后返回步骤1生成下一个点的坐标值.5.point.z=(D-A*point.x-B*point.y)/C;下一个点的x为前一个点的x+add_x, 然后判断其是否大于等于max_x, 若是, 该点的x按照行的奇偶性重新赋值, 奇偶行之间的交错是为了构成正三角形且该点的y+add_y, 该点的 z是通过当前片的平面方程Ax+By+Cz=D求得的, 其它模式类似.2.3.7 点的合法性判断对于点的合法性, 主要是判断该点是否位于有效区域内. 由于在CAD模型中边界是由一段一段的有向线段组成, 因此在这些边界段中找到离该点最近的那段有向线段, 然后通过向量法判断该点在该线段左边还是右边, 左边则合法, 右边反之.2.3.8 面片边界重采样由于上一步网格重采样是不管边界边的, 为了三角形分布的整体均匀, 边界也需要均匀重采样, 所谓边界重采样, 其实就是把原来的长边界割成大小均匀的小边界, 小边界的数量就是采样密度. 由于这是在线段上均匀重采样, 其基本思路就是先求出空间线段的包围盒, 再仿照2.3.4中局部密度的算法, 得到该线段的局部密度(小边界的数量), 然后确定起始点和x,y,z三轴方向增加值(add_x,add_y,add_z), 最后网格重采样以及重复点判断, 防止在同一条边界边上进行重复网格重采样, 算法简单,因此就不详细说明了. 以下是网格重采样的效果图:图2 (a) 连杆零件STL模型图2 (b) 连杆零件STL模型中的数据点图2 (c) 连杆零件网格冲采样后点阵(采样密度20)图2 (d) 连杆零件网格冲采样后点阵(采样密度40)2.4 重采样数据点三角化由于重采样是按照之前网格聚类的结果进行的,因此三角化只需要对每一个聚类片包含的数据点进行即可. 三角化算法很多, 针对本文的特点, 需要特殊处理的是各个聚类片边界上的点的三角化结果必须一致, 否则最终重新生成的网格模型可能会出现缝隙等问题, 这样的网格模型是不能用来进行CAE分析计算的. 在文献[10-12]的基础上, 我们重新写了三角化算法实现网格模型生成. 本文采用Lawson算法, 先构造一个大的三角形或多边形, 再逐点插入并进行空外接圆检测和交换对角线来得到Delaunay三角网, 然后再将Lawson算法产生的非法三角形删除, 删除的方法是先求出三角形的几何中心, 再通过2.3.7中的算法判断该点是否在合法区域内, 以此判断当前三角形是否合法.2.5 算法实现与结果分析本文算法在PC机上借助MFC和OPENGL已经实现, 以下是实验结果. 在这里我们采用两个衡量三角网格均匀程度的参数: 三角形最大长短比 M1和三角形平均长短比 M2. 长短比是指一个三角形最长边和最短边的比值, 最大长短比是指在所有三角形中长短比最大的值, 平均长短比是指所有三角形长短比的平均值, 利用最大长短比和平均长短比我们可以较客观的衡量三角形的形态优劣.图3 (a) 控制臂零件STL模型 M1=124, M2=9.9图3 (b) 控制臂零件网格均匀化后采样密度:20,M1=52, M2=4.2图3 (c) 控制臂零件网格均匀化后采样密度:40,M1=52, M2=2.7图4 (a) 连杆零件STL模型 M1=119, M2=18图4 (b) 连杆零件网格均匀化后采样密度:10,M1=16, M2=6.4图4 (c) 连杆零件网格均匀化后采样密度:30 M1=18,M2=2.6图5 (a) 支撑物零件STL模型M1=21, M2=10图5 (b) 支撑物零件网格均匀化后采样密度:15,M1=17, M2=3.5图5 (c) 支撑物零件网格均匀化后采样密度:30,M1=19, M2=1.7图6 (a) 支架零件STL模型M1=158, M2=8.2图6 (b) 支架零件网格均匀化采样密度:15,M1=58, M2=4.5图6 (c) 支架零件网格均匀化采样密度:25,M1=57, M2=3.23 结语本文提出了一种基于STL网格模型的有限元网格生成算法. 本文算法的重要性(创新性)体现在: 无需参数曲面信息, 即可完成对模型的二次三角网格剖分.目前在CAE前处理领域, 网格剖分基本上都是针对CAD原始格式模型(native format)或用B-Rep表达的含有面片参数信息的模型进行. 因此作为产品设计一方, 必须要将包含完整形状参数信息的模型提供给第三方, 这对于设计者来说是有一定风险的. 通过对三角网格面片的聚类和重新采样, 我们实现了基于三角网格模型的网格二次均匀化, 使得三角形形态不好的STL模型成为更加符合FEA计算要求的形态良好的网格. 通过对采样密度的控制, 实现了网格密度和网格形态的调节可控. 接下来我们还要实现从三角网格模型直接生成形态均匀的四边网格模型, 进一步满足FEA计算的需求.参考文献【相关文献】1 关振群,单菊林,顾元宪.基于黎曼度量的复杂参数曲面有限元网格生成方法.计算机学报,2006,29(10):1823-1832.2 Gu CZ, Wu XY. A review of FEM and trend of development.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2008,2(3):248-259.3 关振群,宋超,顾元宪,隋晓峰.有限元网格生成方法研究的新进展.计算机辅助设计与图形学学报,2003,15(1):1-14.4 黄晓东,丁问司,杜群.基于波前法的参数曲面有限元网格生成算法.计算机辅助设计与图形学学报,2010,22(1):51-59.5 卫炜,周来水,张丽艳.海量 STL文件的快速读取与显示.机械科学与技术,2006(8):935-975.6 张必强,邢渊,阮雪榆.面向网格简化的 STL拓扑信息快速重建算法.上海交通大学学报,2004,38(1):39-42.7 崔树标,张宜生,梁书云,等.STL面片中冗余顶点的快速滤除算法及其应用.中国机械工程,2001,12(2):173-175.8 Shreiner D, Woo M, Neider J, Davis T. 徐波译.OpenGL编程指南.6th ed.北京:机械工业出版社,2008.1-420.9 陈志杨,喻谷鸣,张引.基于样条链(环)的 CAD 模型过渡特征识别与抑制.中国机械工程,2011,22(22):2707-2711.10 丁永祥,夏巨谌,王英,肖景容.任意多边形的Delaunay三角剖分.计算机学报,1994,17(4):270-275.11 Wu XB. A New Study of Delaunay Triangulation Creation.Acta Geodaectica et Carto graphica Sinica, 1999,28(1):28-35.12 徐永安,杨钦,吴壮志,陈其明,谭建荣.三维约束 Delaunay三角化的实现.软件学报,2001,12(1):103-110.。
平面区域有限元三角网格迭代优化方法
李宗领;阎春平
【期刊名称】《新型工业化》
【年(卷),期】2013(003)008
【摘要】为了提高有限元分析计算结果的准确性,提出一种平面区域有限元三角网格迭代优化算法.该算法首先利用一种基于Loop模式的1-2细分方法来实现给定网格的局部细分;然后利用顶点自由度与边折叠相结合的新方法对细分后的网格进行简化;最后,基于正三角形为最优三角形的事实,提出一种最小角最大化方法对网格进行几何优化.算法的特点是在不同的阶段采用不同的评价标准对网格质量进行评价,即在网格细分和简化阶段采用边长法,而在几何优化阶段采用角度法.将该算法应用于建筑金属结构工程有限元分析系统,取得了较好的应用效果.
【总页数】9页(P32-40)
【作者】李宗领;阎春平
【作者单位】重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆400030;重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆400030
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.复杂平面区域的三角网格生成算法 [J], 陈欣;熊岳山
2.影像信息驱动的三角网格模型优化方法 [J], 张春森;张萌萌;郭丙轩
3.面向有限元分析的三角网格迭代优化 [J], 沈建国;陈志杨;张引;张三元;叶修梓
4.单位平面区域上随机折线映射及其交叉迭代的混沌分析 [J], 于万波;杨雪松;魏小鹏
5.一种矩形口径三角网格平面阵列的方向图数值优化方法 [J], Zhao Fangyuan;Chen Yangyang;Zhao Shumin;Jiang Zhongjin
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一种简单高效的有限元网格优化算法及应用
左正兴
【期刊名称】《机械设计》
【年(卷),期】1998()8
【摘要】针对三维有限元实体模型中网格形状优化的问题，提出了一种新的网格优化算法，并编制了基于这种算法的网格优化程序。
该算法的优点是计算简单、节省机时，且网格优化效率较高，性能较为可靠。
【总页数】3页(P21-23)
【关键词】有限元;网格;优化;三维;算法
【作者】左正兴
【作者单位】北京理工大学
【正文语种】中文
【中图分类】TB115;O242.21
【相关文献】
1.一种大型三维有限元网格的显示和高效消隐方法 [J], 陈良玉;杨文通
2.一种简单高效的改进人工蜂群优化算法 [J], 陈雷;程学伟
3.简单高效的面向对象四叉树有限元网格生成技术研究 [J], 张弢;汤广发;邓启红;张峻岭
4.三维六面体有限元网格自动划分中的一种单元转换优化算法 [J], 左旭;卫原平;陈军;阮雪榆
5.一种有限元网格节点编号的优化算法 [J], 张媛媛;侯华;程军;赵宇辉
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一种新的曲面有限元三角网格划分方法
熊英;胡于进
【期刊名称】《华中科技大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2001(29)4
【摘要】新方法在参数域内按修改的Delaunay准则生成网格 ,然后将此二维网格映射到曲面 .由于映射变形的存在 ,曲面上的三角形外接圆对应到参数域上会变形为椭圆 ,插点位置也随之改变为外接椭圆圆心 ,对此提出了一种插点定位算法和椭圆近似构造算法 ;针对边界附近的插点而提出了一种边界段外接椭圆构造算法 ;采用了多个指标对曲面边界离散和参数域网格加密进行控制 ,有效保证了网格质量 .【总页数】4页(P40-43)
【关键词】有限元;曲面网格;映射法;Delaunay三角化
【作者】熊英;胡于进
【作者单位】华中科技大学机械科学与工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.船体曲面三角网格划分的并行性计算方法 [J], 陈宾康;余金洲;赵成璧
2.三角形机翼参数化有限元网格划分与调整方法 [J], 许孟辉;邱志平
3.基于映射法和Delaunay方法的曲面三角网格划分算法 [J], 熊英;胡于进;赵建军
4.NURBS曲面的有限元网格三角划分 [J], 梅中义;范玉青
5.一种基于车身曲面重建的三角网格曲面参数化方法 [J], 李居莉;李旭;肖振;季惠因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第16卷第3期山 东 矿 业 学 院 学 报Vol.16№3 1997年9月JOU RNAL OF SHANDONG MINING INSTITUTE Sep.1996有限元平面三角形网格的优化张均锋 刘桂斋 陈 刚(山东矿业学院) (武汉大学)摘 要 本文对有限元平面三角形网格优化的基础上,系统地提出了“结构优化”的概念,并对以往的网格光顺算法做了改进,提出了一种将结构优化和位置优化相结合的网格优化方法,弥补了以往的优化方法中对结构优化的忽视,使网格优化更加完善。
关键词 有限元;网格优化;结构优化;位置优化分类号 O242.21在利用电子计算机进行有限元分析过程中,可充分利用其容量大、速度快的特点,自动生成后序计算所需要的网格节点信息,而由于给定区域边界的不规则,一般来说这样生成的网格会有畸形(即瘦长或扁平形状),因此对生成的网格需作进一步的调整,使之尽量均匀化,即通常所称的网格优化。
在实践中,不管用哪种方法产生的初始网格,都可通过优化程序使网格形状得到进一步改善,而随着网格规模的扩大,优化在网格生成的全过程中所占的时间比已从原来的50%上升到大于98%〔1〕,可见这一步工作的重要程度。
平面三角形网格优化的目标是使网格在总体上接近等边三角形网格,而这又主要进行两种性质的优化:“结构优化”和“位置优化”。
前者调整网的拓扑结构,后者调整内部节点的位置。
网格的形状同它的结构有着密切的关系。
在讨论网格结构时,首先引进节点的“度”的概念。
在图论中,一个无向图中节点的度是共享该节点的边的数目。
在本文中重新定义节点的度为共享该节点的单元数目。
对于共享同一内部节点的正三角形单元来说,该节点的度为6,也就是说三角形网格内部节点的理想度为6。
为了使输出三角形网格中不包含钝角单元,因此限定节点的度≥5,又根据文献〔2〕的经验,三角形网格内部节点的度应该≤8。
用δ表示三角形网格内部节点的度,那么5≤δ≤8是较为合适的。
1 结构优化按照节点的度的不同,分别讨论各种结构的单元节点(包括边界点和内部节点):(1)度为1的节点 度为1的节点是边界节点,包含该节点的单元有两条边在边界上。
设收稿日期:1996—10—23张均峰:男,1970年生,讲师,中科院力学研究所,博士学位研究生。
以该节点为顶点的单元内角为α,作如图1所示的变换。
图1图2(2)度为2的节点 三角形网格中度为2的节点是边界节点,若以该节点为顶点的单元内角大于π2,作如图2所示的变换。
(3)度为3的节点 若三角形网格内部节点的度为3,那么以共享该节点的三个单元刚好拼成一个新的三角形,如图3所示。
图3图4(4)度为4的节点 度为4的节点在边界上可以不予考虑。
若内部节点的度为4,则要设法使它增至5。
如图4所示,节点N 的度为4,由共享N 的三角形围成的四边形为ABCD ,设α为以N 为顶点的内角中最大的一个,那么作如图4所示的变换。
(5)度大于8的节点 度大于8的节点无论在边界上还是内部,都可以不考虑出现大内角的情况,因为在后面的“位置优化”中会把大内角调整为小内角,所用的方法与图4所示的类似。
在以上的讨论中,度为5、6、7、8的内部节点都不需要进行结构优化,而其它的所有节点都要接受检查,有的还要进行优化处理。
边界节点由于不能位置优化,因而结构优化对它们显得尤为重要。
总的原则是张角过大则增加度,张角过小则减少度。
采用的方法是“相邻单元改变公共边”(见图4),所不同的是相邻单元的选择,如果张角过大,选择的相邻单元是与角α相对的单元(图2)。
2 位置优化位置优化被抽象成一个带约束的最优化问题。
设被优化网格有n 个内部节点,m 个单元,则设计向量D(x 1,y 1,x 2,y 2,…,x n ,y n ),问题被描述成: MinF (D )=-1n ∑m i =1α2i S ub .to :g i (D )≤0 (j =1,2,…,m )(1)276 山 东 矿 业 学 院 学 报 第16卷其中α是衡量单个三角形形状好坏的指标,其定义为〔3〕:设三角形ABC 的3个顶点坐标分别为(x A ,y A )、(x B ,y B )、(x C ,y C ),三角形面积为S ■ABC ,则 α=S ■ABC AB 2+ BC 2+ CA 2=0。
5＊x A y A 1x B y B 1x C y C 1(x A -x B )2+(y A -y B )2+(x B -x C )2+(y B -x C )2+(x C -x A )2+(y C -y A )2(2)α的值在三角形为等边三角形时达到最大αmax =0.1443,当三角形离等边三角形越远(如图5)时,α的值也就越小。
图5约束条件g j (D)定义为一个小正数δ与第j 个三角形的有向面积之差,即 g j (D )=δ-0.5＊x jA y jA 1x jB y jB 1x jC y jC 1(3)对于拓扑结构正确的网格,其单元有向面积必须大于零,δ代表所允许的有向面积的最小值。
这里采用可行方向法解决该优化问题,它是解决约束优化问题的一类基本方法,其迭代格式是:①从可行点D0开始,设已迭代到容许点D k ;②在Dk 处用某种方法确定一个下降可行方向P k ;③在Pk 方向上寻找新迭代点D k +1=D k +t k P k ,使得D k +1是可行点且F (D k +1)<F(D k ),置k =k +1,然后转②,直到某迭代点满足最优条件为止。
不同的可行方向法的主要区别在于确定下降可行方向的方法不同,还有在迭代点超出可行域之后的处理策略也有所不同。
我们在这里将Topkis _Veinott 可行方向法作一下改动,形成以下的迭代算法:(a )网格的初始坐标D0作为初始点,置k =0;(b )关于约束问题277第3期 张均锋等:有限元平面三角形网格的优化 (Ⅰ)如果不存在主动约束,则采用Fletcher _Reeves 共轭梯度法〔4〕确定下降方向,即 P k =- F (D k -1)+βP k -1(4)其中 β= F (D k -1) 2 F (D k -2) 2(Ⅱ)如果存在主动约束,则求解下列线性规划确定可行下降方向: min y s .t . F (Dk )T P k -y ≤0 g i (D k )T P k +y ≤-g i (D k ) i =1,2,…,m(5) -1≤P j ≤1 j =1,2, (2)最优解为〔P T k ,y k 〕T ;(c )若 y k ≤ε,则D k 是最优的点,否则转④(d )利用直线搜索技术确定 t =min {t g i (D k +tP k )=0,i =1,2,…,m }(6)同时求解 min F (D k +tP k )s .t .0≤t ≤ t(7)设其最优解为t k ,则D k +1=D k +t k P k ;(e )置k =k +1,转②。
判断一个约束是否为主动约束是依赖于一个小正数ε(一般取0.003),当g i (D k )<ε时,认为第i 个约束即为主动约束。
图6给出了按本文的方法进行优化后产生的网格。
其中图6-a 是按单元尺寸函数的等值线划分子域后,在子域内产生的均匀网格,图6-b 是经过优化处理后的网格。
由该例可见,用本文的方法优化处理后的网格质量是非常高的。
图6—a 各子域内部分别生成均匀网格,形状较差的单元出现在子域交界处图6-b 优化之后,生成有梯度的网格 278 山 东 矿 业 学 院 学 报 第16卷由于内部节点向边界靠近会把边界单元压扁从而使目标函数值增大,所以很少遇到违反约束的情况。
在多数情况下三角形内部节点的位置优化退化成一个无约束优化问题,因而有较快的收敛速度。
一般来说,经过结构优化和位置优化(有时要经过几次反复处理)之后,最终的三角形网格可以不包含钝角单元,这一优良的性质使该方法有较强的实用价值。
在下述情况下有时可能出现例外:(1)三角形单元的三个顶点都在边界上;(2)边界段定义极不合理(相邻边界段尺寸相差太大,或控制点的单元尺寸不合理)。
在遇到上述情况时,必须重新定义边界数据和控制点数据,否则在理论上可证明不可能产生高质量的网格。
参考文献1 Parthhasara thy V .N .,Stiniv as K odiy alam ,A Constrained Optimization A pproach to Finite Element M eshSmoo thing ,Finite Element A nalysis and Design ,V ol .9,1991,pp .309-320.2 K emp A .J .,P reto rius J .A .and Smit W .,T he Generation of a M esh for Resistance Calculation in Integ rated Cir -cuits ,I EEE T rans .Computer A ided Design ,Vol .7,1988,pp .1029-1037.3 Lo S .H .,A New M esh Generation Scheme for A rbitrary Planar Domains ,International Journal o f N umerical M ethods Engineering ,Vol .21,1985,pp .1403-1426.4 Vanderplaats G .N .,Numerical Optimization T echniques for Engineering Desing :with A pplicatio ns ,M cG raw -Hill ,New York ,1984.Optimization of Planar Triangular Meshesfor Finite Element MethcdZhang Junfeng Liu Guizhai Chen Gang(S handong Ins .of Min .and Tech .) (Wuhan Univ .)ABSTRAC T In this paper a new co ncept of “Structure Optimization ”is put forw ard to optimize planar triangular meshes ,and modification of old smoothing method is made .An optimization combining structure optimization w ith position optimization is developed ,and more attention is g iven to structure optimization in comparision w ith old optimization method .KEY WORDS finite element ;mesh optimization ;structure optimization ;position optimization 279第3期 张均锋等:有限元平面三角形网格的优化 。
