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研究性课题：杨辉三角●教学目标(一)教学知识点1.理解二项式定理中二项式系数与组合数的关系.2.理解杨辉三角和二项式系数.3.有关二项式系数的性质(即杨辉三角性质)(二)能力训练要求1.会运用杨辉三角中的有关性质证明或求解有关组合数问题2.具有一定的代数逻辑推理的计算能力，数式变换能力.3.观察问题，概括问题证明问题的能力.(三)德育渗透目标1.培养学生学会提出问题、明确探究方向、体验数学活动的过程.2.培养学生创新精神、探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想.3.加强对学生的爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的精神.●教学重点杨辉三角的基本性质的探索和发现是本节课的教学重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，它与排列、组合与概率的知识结合起来.事实上，许多重要的数学公式都跟组合数有关，因此，适当记住杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是不无帮助的.●教学难点杨辉三角中的性质是本节课的教学难点，用数学归纳法证明二项式定理，也是一个难点，由于杨辉三角中有许多有趣的数量关系，究竟有什么样的关系，要利用从特殊到一般的归纳、猜想与证明的方法来突破难点.●教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法，因为杨辉三角中的许多性质不是轻易能发现的，从一般的情况求解显得枯燥无味，而本节也是研究性课题，在教学中采用“特殊→一般”的科学思维方法，让学生讨论研究，从中发现问题，提出问题，最后利用所学的知识解决问题.让每个学生都参与教学的全过程，让他们都是智力参与.这样学生对杨辉三角性质有了主动建构的基础.●教具准备实物投影仪(或幻灯机，幻灯片)，学生的讨论成果展示.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在第十章，我们在学习二项式定理时，已经简单介绍了杨辉三角的问题.(幻灯片或多媒体)早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里记载着类似下面的表：图2—7这个表称为杨辉三角，在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪，在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal ，1623年~1662年)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角，这就是说，杨辉三角的发现是比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.(这段文字由学生齐读，目的在于让他们了解中华民族文化的辉煌，激励他们立志为中华民族伟大复兴而读书)［师］鉴于杨辉在数学上的伟大贡献，今天我们特此专门来研究杨辉三角的有关数量关系，(板书课题，研究性课题：杨辉三角)Ⅱ.讲授新课［师］一般的杨辉三角如下： 其中)!(!!C r n r n r n -=.［师］在学习二项式定理时，我们知道，杨辉三角的第n 行就是二项式(a +b )n展开式的系数，请同学们回顾一下，二项式定理的内容是什么？［生］(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n bb a b a b a a C C C C C 2221110++++⋅++--- . ［师］你们能证明这个定理吗？ ［生］利用定义证明：(a +b )n=(a +b )·(a +b )·(a +b )·…·(a +b ).(n 个括号).等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项.a n ，a n －1b ，a n －2b 2，…，a n －r b r ，…，b n .现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么，在上面n 个括号中：每个都不取b 的情况有1种，即0C n 种，所以a n的系数为0C n; 恰有1个取b 的情况有1C n 种，所以a n －1·b 的系数为1C n ; 恰有2个取b 的情况有2C n 种，所以a n －2·b 2的系数为2C n; ……恰有(n －1)个取b 的情况有1-C n n种，所以ab n －1的系数为1-C n n; n 个都取b 的情况有n n C 种，所以b n 的系数为nnC 因此，n n n r r n r n n n n n n n n bb a b a b a a b a C C C C C )(222110++++⋅++=+--- . ［师］这种定义法证明固然是好，但不能代表更广泛的意义？你们能用其他方法给予证明吗？［生］用数学归纳法证明:(1)n =1时，左边=(a +b )1=a +b ，展开式的系数为1，1.而右边b a b a +=+=1101C C ，∴左边=右边，∴n =1时等式成立.(2)假设当n =k 时等式成立，即kk k r r k r k k k k k k bb a b a a b a C C C C )(110++⋅+++=+-- . 当n =k +1时， (a +b )k +1=(a +b )k(a +b )利用,,C C C ,,C C C ,C C 1111101010 +++++=+=+=r k r k r k k k k k k 1111C C ,C C C +++-==+k k k k k k k k k k ， 得到kk k r r k r k k k k k k abb a b a a b a 1111111011C C C C )(++-+++++++++++=+ 这就是说，如果n =k 时等式成立，那么n =k +1时等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对于任意正整数n ，等式都成立.这样，我们就证明了二项式定理.［师］杨辉三角有哪些基本性质？［生甲］(1)对称性，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即kn nk n -=C C (k =0，1，2，…，n ).这一性质可直接由组合数计算公式或性质得到.将r n C 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{0，1，2，3，…，n }直线r =2n将其图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值.因为，由(1)可知kn n k n n n n n n n --===C C ,,C C ,C C 110 .又kk n k k k n n n n k nk n 1C )!1()1()2)(1(C 1+-⋅=-+---=- ，所以)(1C C 1k g kk n k n k n =+-=-,那么f (k )的单调性情况由21+-k n 来决定，即g (k )＞1还是g (k )＜1.由2111+<⇔>+-n k k k n .可知，当k ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间的一项二次式系数2C n n取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数2121C,C+-n nn n相等，且同时取得最大值.［生乙］这个三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是rn r n r n 111C C C ---+=，这也是杨辉三角的最基本的性质.［师］除了杨辉三角的基本性质外，仔细观察杨辉三角的图形，我们还可以发现什么样有趣的排列规律呢？(引导启发学生观察问题，分析问题、提出问题，最后再解决问题，教师应参与学生一起讨论)［生］计算杨辉三角中各行数字的和，我们有：(板书) 第1行 1+1=2， 第2行 1+2+1=4， 第3行 1+3+3+1=8， 第4行 1+4+6+4+1=16， 第5行 1+5+10+10+5+1=32， ……于是：猜想第n 行 nn nn n r n n n n 2C C C C C C 1210=+++++++- ，即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n.［师］你能证明这个结论吗？［生］可以，用数学归纳法证明：(板书)(1)当n =1时，左边=1101C C +，右边=21=2. ∴左边=右边，即当n =1时，等式成立. (2)假设n =k 时，结论成立，即kk k k k r k k k k 2C C C C C C 1210=+++++++- . 那么n =k +1时，11111131211101C C C C C C C C +++++++++++++++++++k k k k r k r k k k k k 11210132101111132211001222)C C C C C C (2C C C 2C 2C 2C 2C 2C 2C )C C ()C C ()C C ()C C ()C C ()C C (C +--++---+=⋅=+++++++=+++++++++=+++++++++++++++=k k k kk k r k k k k k k k k k k r k k k k k k k k k k k r k r k r k r k k k k k k k k 即n =k +1时，等式也成立.由(1)、(2)可知，等式对一切自然数n ∈N *都成立. ［师］你在证明过程中用到了什么技巧？［生］利用①杨辉三角的基本性质3.(前面证明过了)②01C +k 换成0C k ，③11C ++k k 换成k kC ，然后合并再用归纳假设. ［师］他的这两步代换是十分重要的，也是较好的.如果也利用性质3是无法操作的，所以在具体的解题过程中要因题、因情而宜，不能千篇一律地都使用一个技巧.同学们，思考一下，还有其他的方法可以证明吗？［生丙］用赋值法.在二项式定理中，对a ，b 都赋值1，即可得出结论.证明：∵(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n bb a b a b a a C C C C C 222110++++++--- . 在上式中令a =b =1.即得，(1+1)n= +⋅⋅+⋅⋅+⋅--22211011C 11C 1C n nn n n n r r n r n 11C ⋅⋅+-nn n1C ⋅++ ， 故有:nn n r n n n n 2C C C C C 210=++++++ . ［师］请同学们再观察杨辉三角，还可以得到什么结论呢！ ［生］经观察计算知，每行的奇数项的和等于偶数项的和，即：15314202C C C C C C -=+++=+++n nn n n n n . ［师］你怎样证明它呢？ ［生］利用赋值法.因为(a +b )n=nn n r r n r n n n n n n n b b a b a b a a C C C C C 222110++++++--- . 令a =b =1得：n n nr n n n n 2C C C C C 210=++++++ ① 令a =1，b =－1得:0C )1(C )1(C C C C 3210=-++-++-+-n n n r n r n n n n ②由②得∴531420C C C C C C n n n n n n ++=+++ +…又由①知：14202C C C -=+++n nn n .故命题得证. ［师］用赋值法证明有关组合恒等式是十分简捷的.请同学们再观察杨辉三角的第1，3，7，15行的各数字有什么特点？［生］第一行是1；第三行是1，3，3，1；第7行数字是1，7，21，35，35，21，7，1，第15行数字是1，15，105，…，105，15，1，这些行上的各个数字都是奇数，而第2，4，5，6，8，9，10，11，12，13，14行上的数字有奇数有偶数.［师］总结概括的很好！你们能将这种情况推广吗？ (稍等片刻，让学生之间互相讨论，交流自己的研究结果，应该给学生留一定的时间和空间)［生丁］因为1=21－1，3=22－1，7=23－1，15=24－1，所以我们大胆猜想第2k－1行(k ∈N*)的各个数字都是奇数.［师］你能证明吗？［生丁］这个我没有证明，但我认为应该是正确的！ ［师］不能仅靠直觉，前面我们也介绍了一些国际级数学大师在猜想中也会犯错误的，所以我们提出的猜想，要尽可能地给予证明，如果课堂上不能解决，课后再讨论证明方法也行.［生戊］我有一种证明思路，利用组合数定义进行证明即可.因为：12)2()1()2()32)(22)(12(C 12⋅⋅-⋅-⋅----=- r r r r k k k k rk，下面对r 进行分类，当r 为偶数时，设为r =2m (m ∈N) ∴12)22)(12(2)22()32)(22)(12(C 12⋅------=- m m m m k k k k rk下面再对m 的奇偶性分类讨论，经过有限步的约分化简，可以得到r k12C -在r =2m 时是奇数.同样地，当r 为奇数时，r =2m +1时，我们也用这种无穷递降法进行化简，得出r k12C -也是奇数.［师］同学们，他用这种无穷递降法求解思想来证明，你们能听懂吗？［众生］思路我们是清楚的，就是没有哪一种情况是坚持到底的.［师］这种无穷递降法证明有关整数类问题是十分有效的方法，他在证明过程中奇偶性是交替的，分子与分母的各个因数中只要有偶数项一定将2提取进行约分.由于r 是有限的，所以经过有限步的变换可以实现将所有的偶数因子中的“2”约分，化为全是奇数的乘法与除法.也就是他的叙述上稍加改进，即更加完善了.［生壬］我在戊的基础上进行改进，也是利用无穷递降法求证，同时也运用数学归纳法的思想求解.“因为当r =0时012C -k=1，r =1时，112C -k=2k－1都是奇数，命题成立.”(2)假设当r =l (l ≥0)时结论成立，即l k12C -－1是奇数.那么r =l +1时，当l 是偶数时2k－l －1，l +1都是奇数. ∴112C +-l k是奇数.当l 是奇数，即l =2m +1(m ∈N)，112222221121+--=+--=+---m m m m l l k k k ，对m 的奇偶性再进行分类讨论，这样无穷递推下去，因k 是有限的，只要经过有限步的变换即可使112+--l l k 变为奇数奇数.由归纳假设可知，这个命题对r =l +1时也成立. 由(1)(2)可知，命题对r ∈{0，1，2， (2)－1}都成立. ［师］很好！这个学生的思路也是很清楚的，他将数学归纳法的思想运用到这个问题中了，虽然数学归纳法仅适合于无限个取值，但这种思想递推关系是可以用的.Ⅲ.课堂练习归纳已经总结的杨辉三角的性质. Ⅳ.课时小结［师］这节课我们研究了杨辉三角的有关性质，同学们，你们能归纳概括吗？［生］(1)对称性.rn n r n -=C C (r =0，1，2，…，n )，关于r =2n对称.(2)单调性及最大值.当n 为偶数时，210C,,C ,C nnn n 是单调递增，n nn nn n C ,,C,C 122 +是单调递减，且2C n n是最大.当n 为奇数时，2110C ,,C ,C -n n nn是递增，n nn nn n C ,,C,C 12121 +++是递减，2121CC+-=n nn n且为最大.(3)rn r n r n 11C C C +-=+.(4)n n nn n n 2C C C C 210=++++ . 15314202C C C C C C -=+++=+++n nn n n n n . (5)第2k－1行的各项都是奇数.Ⅴ.课后作业请同学们观察杨辉三角的第2，4，8，16行中除去两端的“1”之外的数字有什么特点？并根据这些特征，你能得到一般结论吗？并证明之.提示：第2k行中除1外，各个数字都是偶数，证明方法.依照问题5的方法进行证明，数学归纳法和无穷递降法结合.●板书设计。
杨辉三角的性质教学设计【学情分析】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。
通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。
高三的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。
【教学目标】使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.【教学重点】二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.【教学方法】【教学情景设计】杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。
杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右。
1、杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等。
2、第n行的数字个数为n-1个，n行数字和为：y=2^n3、数字等于上一行的左右两个数字之和。
4、杨辉三角的第2k行中第k+1个数最大；第2k＋1行中第是k个数与第k+1个数相等且最大。
5、每一行的第二个数，可以构成一个等差数列6、每一行的第三个数等于上一行的第三个加行数减一。
