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专题01有理数（17个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 不是有理数；(2)有理数的分类:①负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；a ＞0 a 是正数；a ＜0 a 是负数；a≥0 a 是正数或0 a 是非负数；a≤0 a 是负数或0 a 是非正数.【例1】把下列各数填在相应的大括号里：2 ，－3.14，0，18%，435，2019，227，132 ，－1整数： ______...；正分数： ______...；非负有理数： ______...．【答案】2 ，0，2019，－1；18%，435 ，227；0，18%，435，2019，227【分析】根据整数（包括正整数，0和负整数），正分数（大于0的分数）以及非负有理数（包括0和正有理数）的定义解答即可．【详解】解：22 ，443355，整数： 2,0,2019,1 ；正分数：42218%,3,57；非负有理数：4220,18%,3,2019,57．故答案为：2 ，0，2019，－1；18%，435 ，227；0，18%，435，2019，227．【点睛】本题考查的是有理数的分类，多重符号的化简，绝对值的含义，掌握有理数的分类是解题的关键，难点是非负有理数的理解.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.【例2】．（2023•馆陶县校级模拟）如图，数轴上的两个点分别表示数a 和﹣2，则a 可以是（）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．2【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a 的取值范围，进而得出答案．【解答】解：根据数轴得：a ＜﹣2，∴a 可以是﹣3．故选：A ．【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意：a-b+c 的相反数是-(a-b+c)=-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.(4)相反数的商为-1.（5）相反数的绝对值相等【例3】如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是它本身，则m n 的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】A【分析】先根据相反数的定义确定m 、n 的值，再代入m ＋n ，计算即可求出其值．【详解】∵m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是它本身,∴m ＝1,n ＝0，∴m ＋n ＝1＋0＝1，故A 选项是正确答案．4.绝对值：(1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：)0a (a )0a (0)0a (a a 或)0()0(a a a a a ；(3)0a 1aa ；0a 1aa ；(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；【例4】（2022秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题．（1）a ＝，b ＝．（2）已知|m ﹣a |+|b +n |＝0，求mn的值．【解答】解：（1）∵a 与2互为相反数，而2的相反数是﹣2，∴a ＝﹣2，∵b 与﹣互为倒数，而﹣的倒数是﹣3，∴b ＝﹣3，故答案为：﹣2，﹣3；（2）∵|m ﹣a |+|b +n |＝0，∴m ﹣a ＝0，b +n ＝0，又∵a ＝﹣2，b ＝﹣3，∴m ＝﹣2，n ＝3，∴mn ＝﹣2×3＝﹣6，答：mn 的值为﹣6．【点评】本题考查的是非负数的性质，相反数以及互为倒数，掌握相反数、倒数的定义以及绝对值的非负性是正确解答的前提．5.有理数比大小：（1）正数永远比0大，负数永远比0小；（2）正数大于一切负数；（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。
专题1.5 有理数的乘方1.乘方的概念求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在 n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
3.有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
4.科学记数法把一个大于10的数表示成 n a 10⨯的形式（其中101<≤a ， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。
5.近似数的精确位：目标导航一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 考点1：乘方的定义及计算典例：（1）（2022·全国·七年级）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __． （2）（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）．A ．23与32B ．32-与()32-C ．23-与()23-D ．232⨯与()232⨯ 巩固练习1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）下列计算正确的是（ ）A ．224-=-B ．()224--=C ．()236-=D ．()311-= 2．（2022·黑龙江绥化·期末）22-的倒数等于（ ）A ．4-B ．4C ．14D ．14- 3．（2022·四川成都·二模）计算2(2)(5)-⨯-的结果等于（ ）A ．10B ．50-C ．50D ．204．（2022·河北邯郸·三模）计算：222333m n ++++⨯⨯⨯=个个（ ） A ．23m n + B ．23+m n C ．32m n + D ．23n m +5．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）有理数2(1)-，42-，312⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，|3|--，0，(5)--，3(2)-中正数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2022·全国·七年级）a ，b 互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（ ）考点精讲A ．a 2与b 2B ．a 3与b 5C ．a 2n 与b 2n （n 为正整数）D ．a 2n +1与b 2n +1（n 为正整数） 7．（2022·上海·位育中学期中）56-的底数是 ____________ ．考点2：非负数的和为零典例：（2022·河北邢台·一模）若（a -1）2+|b -a +3|=0，则a =_____，b =_____．巩固练习1．（2022·湖南长沙·七年级期末）已知()22650x y -++=，则x y 的值为（ ）．A ．15B ．15-C ．125-D ．125 2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）若()230a b b ++-=，则b a =______．3．（2022·广西崇左·七年级期末）若2|1|(2)0x y -++=，则2022()x y +=________．4．（2022·上海市闵行区颛桥中学期中）已(m - 4)2 + 3n += 0 知，则nm 的值是_________________ 考点3：含有乘方的四则混合运算典例：（1）（2022·陕西渭南·七年级期末）计算：()()20222515153⎛⎫--+-÷-+- ⎪⎝⎭． （2）（2022·江西赣州·七年级期末）计算：20214(1)2(2)43-⨯--÷+- 巩固练习1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）计算：(1)()()32412453⎡⎤---÷⨯--⎣⎦(2)251136412⎡⎤⎛⎫-+-+-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2．（2022·内蒙古· 七年级期末）计算： (1)211(1)323⎛⎫-÷--⨯- ⎪⎝⎭(2)2332025(2)41(1)3⎡⎤⎛⎫⨯--÷-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(3)22112(6)(4)()4⎡⎤--⨯-+-÷-⎣⎦3．（2022·河南南阳·七年级期末）计算 (1)()()5753362964⎛⎫-+-⨯-+- ⎪⎝⎭(2)()()()()224313110.5153232---⨯⨯--+-⨯-÷ 4．（2022·全国·七年级）定义一种新运算“☆”，规则为：m ☆n ＝mn +mn ﹣n ，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：(1)（﹣2）☆4；(2)（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．考点4：科学计数法典例：（1）（2022·河北沧州·七年级期末）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射升空，三位航天员入驻距离地球约400000米的中国空间站，开启为期半年的太空任务．将400000用科学记数法表示应为（ ） A ．6410⨯B ．40.410⨯C ．5410⨯D ．60.410⨯方法或规律点拨此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．（2）（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）一个整数x 用科学记数法表示为281.38110⨯，则x 的位数为（ ）A ．27B ．28C ．29D ．30 巩固练习1．（2022·宁夏·银川市第三中学模拟预测）2021年5月11日，我国第七次人口普查结果发布．宁夏回族自治区总人口达到720万这个数字用科学记数法表示为（ ）A ．7.2×106B ．7.2×105C ．0.72×107D ．0.72×1062．（2022·浙江绍兴·二模）据人民日报报道，截至2022年4月5日，15省份38000多名医务人员驰援上海．其中38000用科学记数法表示为（ ）A ．3.8×103B ．3.8×104C ．0.38×105D ．0.38×1063．（2022·河南南阳·二模）华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）A ．140.202210⨯B ．1220.2210⨯C ．132.02210⨯D ．142.02210⨯4．（2022·北京·中考真题）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（ ） A ．1026.288310⨯ B ．112.6288310⨯ C ．122.6288310⨯ D ．120.26288310⨯5．（2022·全国·七年级）一个整数81550…0用科学记数法表示为108.15510⨯，则原数中“0”的个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．106．（2022·全国·七年级课时练习）全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资81.02310⨯元资金．数据81.02310⨯可表示为（ ）A ．0.1023亿B ．1.023亿C ．10.23亿D ．102.3亿考点5：近似数与有效数字典例： （1）（2022·全国·七年级课时练习）近似数37.5的实际值表示大于或等于 ___而小于 ___的数．从2020年7月23日发射，到2021年2月10日，“天问一号”探测器飞行了7个月才进入环火星轨道总飞行里程约475490000千米，数据475490000精确到百万位并用科学记数法表示为 ___．（2）（2022·全国·七年级课时练习）数a 四舍五入后的近似值为1.30，则a 的取值范围是（ ） A ．1.295 1.305a <<B ．1.295 1.305a ≤<C ．1.295 1.305a <≤D ．1.295 1.305a ≤≤巩固练习1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）数3.14159精确到百分位约为（ ）．A ．3.14B ．3.15C ．3.141D ．3.1422．（2021·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）用四舍五入法对0.07011取近似值，其中错误的是（ ）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.07（精确到千分位）C ．0.07（精确到0.01）D ．0.0701（精确到0.0001）3．（2022·全国·七年级）在近似数0.0270中，共有（ ）有效数字．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．（2022·江苏苏州·二模）截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22 699 938，精确到万位，用科学记数法表示为（ ）A ．22.699938×108B ．22.7×1010C ．2.27×108D ．2.270×1075．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）下列对圆周率π的取值说法错误．．的是（ ） A ． 3.0π≈（精确到个位）B ．31π≈.（精确到十分位）C ．31π≈.（精确到0.1）D ． 3.14π≈（精确到百分位）6．（2022·全国·七年级课时练习）近似数4.50所示的数a 的取值范围是（ ）A ．4.495 4.505a ≤<B ．4.040 4.60a ≤<C ．4.495 4.505a ≤≤D ．4.500 4.5056a ≤<7．（2022·上海市西南模范中学九年级阶段练习）长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为______米．8．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）按四舍五入法取近似数：2.704≈_________（精确到0.01）． 9．（2021·全国·课时练习）对非负有理数数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题：（1）＜π＞＝ （π为圆周率）；（2）若＜x ＞＝6，则x 的取值范围是 ．一、单选题（每题3分）1．（2022·福建厦门·七年级期末）下列式子可以表示2的3次方的是（ ）A ．222++B ．32C ．33+D ．23 2．（2022·全国·七年级课时练习）据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（ ） A ．7位数B ．8位数C ．9位数D ．10位数3．（2022·天津南开·二模）今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，三位航天员顺利返回地面，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离200000m ，远地距离356000m ．将“356000”用科学记数法表示为（ ）A ．435.610⨯B ．53.5610⨯C ．63.5610⨯D ．60.35610⨯4．（2022·河南南阳·七年级期末）对于有理数a b ，，规定了一种运算：2a b a ab ⊗=-.如2121121⊗=-⨯=-，则计算()532⎡⎤-⊗⊗-⎣⎦的值是（ ）A ．100-B ．100C ．1-D ．905．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）观察下列三组数的运算：3(2)8-=-，328-=-；3(3)27-=-，3327-=-；3(4)64-=-，3446-=-．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母a 表示的式子：①当0a <时，33()a a =-；②当0a >时，33()a a -=-．其中表示的规律正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①、②都正确D ．①、②都不正确6．（2022·江苏扬州·二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反能力提升复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈1421→→→．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取3m =，由上述运算法则得出：3105168421→→→→→→→，共需经过7个步骤变成1，得7n =．则下列命题错误的是（ ）A ．当7m =时，16n =B ．若5n =，则m 只能是5C ．若2n =，则m 只能是4D ．随着m 的增大，n 不一定也增大二、填空题（每题3分）7．（2022·福建·模拟预测）计算：3(1)|2|-+-=___________．8．（2022·江苏镇江·七年级期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为96.2510⨯，则原数中“0”的个数为______．9．（2020·浙江·七年级期末）把a 精确到千分位得到的近似数是6.010，则a 的范围是________． 10．（2022·北京大兴·二模）某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类有一袋茶叶，B 类有二袋茶叶，C 类有三袋茶叶，D 类有五袋茶叶，E 类有七袋茶叶，价格如下表：小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为___________元．11．（2020·浙江杭州·七年级期中）已知a 和n 都是正整数，且16n a =，则a 可能取的值是_____． 12．（2022·广东梅州·一模）已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费________元．三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）13．（2020·江西景德镇·七年级期中）计算： (1)1251631236⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)221224143⎡⎤⎛⎫-⨯-÷--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 14．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）在学习了有理数的计算后，数学王老师给出这样三道题： ①()112334⎛⎫÷-+⨯- ⎪⎝⎭；②()()10623-÷⨯-；③()()2423+-⨯⨯-． 甲、乙、丙三名同学各计算一道题，过程如下：甲同学：解①：原式()()()()112232332431824634⎡⎤⎛⎫=÷-+÷⨯-=⨯-⨯-+⨯⨯-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 乙同学：解②：原式()()()()102362353331596=÷⨯--÷⨯-=⨯--⨯-=-+=-．丙同学：解③：原式()()()()()2432238343241212=⨯-⨯-+⨯⨯-=-⨯-+⨯-=-=．(1)甲、乙、丙三名同学的计算是否正确？(2)如果不正确，请你写出正确的计算过程．15．（2022·全国·七年级期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩需求量大幅增加，巴中市某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是2月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）、(1)根据记录可知前三天共生产口罩 个；产量最多的一天比产量最少的一天多生产口罩 个；(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩需支付工人0.4元的工资，每个口罩的材料成本为0.6元，该工厂以每个1.5元的批发价将前5天的口罩全部售出后，为响应国家“一方有难，八方支援”的号召，决定将剩下两天的口罩全部捐出，试通过计算说明该工厂本周是赚了还是亏了？。
