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第十八章 曲线积分和曲面积分§1 第一类曲线积分一、定义背景：在计算曲线段上的质量分布问题时，我们曾把曲线段上的质量转化为如下一个有限和0lim (,,)i i i i f s λξης→∆∑的极限，这个有限和的极限正是本节要介绍的第一类曲线积分，先给出数学定义。
给定光滑曲线段:l AB ，),,(z y x f 定义在l 上且连续，给定l 的一个分割：T ：B A A A A n =<<<= 10这里“<”表示曲线上从A 到B 的顺序。
记1||i i i s A A -∆=（弧长），max{}i s λ=∆（分割细度）。
定义1、设存在实数I ，使对任意的0ε>，存在0δ>，使对任意分割T ，当λδ<时， 对任意的1(,,)i i i i i x y z A A -∈，都成立：1|(,,)|ni i i i i f x y z s I ε=∆-<∑，称I 为),,(z y x f 在l 上的第一类曲线积分，记为⎰=lds z y x f I ),,(。
其中),,(z y x f 称为被积函数，l 称为积分路径。
注、显然，定义表明==⎰sds z y x f I ),,(i i i i s z y x f ∆∑→),,(lim 0λ。
注、有时用l 表示弧长，因而，第一类曲线积分也记为(,,)lI f x y z dl =⎰。
不论如何记第一类曲线积分，必须注意到第一类曲线积分是对弧长的积分。
注、其几何意义为：1=f 时，⎰=lds z y x f I ),,(l s =，（l 的弧长）。
注、第一类曲线积分满足类似的积分性质（略）。
二、计算从定义式可知，计算的本质问题在于对i s ∆的处理，下面，就以此为出发点导出其计算公式。
先给出参数方程下的计算公式。
设给定曲线段l ：βα≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z z t y y t x x ,)()()(是C '的，即],[)(),(),(βαC t z t y t x '∈。
第21章 曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点：§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰。
特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a xb ≤≤，那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。
求22()lx y ds +⎰。
例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分lyds ⎰。
例：计算积分2lx ds ⎰，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。
则该曲面块的面积为 xyS σ=。
（2）若曲面的方程为 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v vG x y z =++， 则该曲面块的面积为 S d u d v ∑=。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
曲线积分与曲面积分备课教案第一章：曲线积分概述1.1 曲线积分的概念引入曲线积分的基本概念，理解曲线积分的重要性。
解释曲线积分的定义，通过图形和实例进行说明。
1.2 曲线积分的计算方法介绍常用的曲线积分计算方法，如参数法、极坐标法等。
讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。
第二章：曲线积分的应用2.1 曲线长度引入曲线长度的概念，并解释其与曲线积分的关系。
学习计算曲线长度的方法，并通过实例进行练习。
2.2 曲线围成的面积介绍曲线围成面积的概念，并解释其与曲线积分的关系。
学习计算曲线围成面积的方法，并通过实例进行练习。
第三章：曲面积分概述3.1 曲面积分的概念引入曲面积分的概念，理解曲面积分的重要性。
解释曲面积分的定义，通过图形和实例进行说明。
3.2 曲面积分的计算方法介绍常用的曲面积分计算方法，如参数法、极坐标法等。
讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。
第四章：曲面积分的应用4.1 曲面的面积引入曲面面积的概念，并解释其与曲面积分的关系。
学习计算曲面面积的方法，并通过实例进行练习。
4.2 曲面的体积介绍曲面体积的概念，并解释其与曲面积分的关系。
学习计算曲面体积的方法，并通过实例进行练习。
第五章：曲线积分与曲面积分的进一步应用5.1 曲线积分与曲面积分的联系与区别探讨曲线积分与曲面积分的联系与区别，加深对两种积分概念的理解。
通过实例说明两种积分的应用场景和计算方法的不同。
5.2 曲线积分与曲面积分的综合应用引入实际应用问题，综合运用曲线积分和曲面积分进行解决。
通过实例讲解如何将实际问题转化为曲线积分或曲面积分问题，并进行计算和分析。
第六章：曲线积分与曲面积分的定积分形式6.1 曲线积分的定积分形式引入曲线积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。
学习如何从曲线积分的定积分形式进行计算，并通过实例进行演示。
6.2 曲面积分的定积分形式介绍曲面积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。
曲线积分与曲面积分——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：曲线积分概念及性质1.1 教学目标了解曲线积分的概念掌握曲线积分的性质学会计算曲线积分1.2 教学内容曲线积分的定义曲线积分的性质曲线的参数方程与曲线积分曲线积分的计算方法1.3 教学方法采用讲解、例题、互动讨论的方式进行教学引导学生通过图形直观理解曲线积分概念培养学生运用性质简化计算过程的能力第二章：曲线积分的计算2.1 教学目标学会计算曲线的弧长掌握计算曲线积分的方法能够应用曲线积分解决实际问题2.2 教学内容弧长的计算曲线积分的计算方法曲线积分在实际问题中的应用2.3 教学方法结合实例讲解弧长与曲线积分的计算方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行图形绘制与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分在实际问题中的应用第三章：曲面积分概念及性质3.1 教学目标了解曲面积分的概念掌握曲面积分的性质学会计算曲面积分3.2 教学内容曲面积分的定义曲面积分的性质曲面的参数方程与曲面积分曲面积分的计算方法3.3 教学方法采用讲解、例题、互动讨论的方式进行教学引导学生通过图形直观理解曲面积分概念培养学生运用性质简化计算过程的能力第四章：曲面积分的计算4.1 教学目标学会计算曲面的面积掌握计算曲面积分的方法能够应用曲面积分解决实际问题4.2 教学内容曲面的面积计算曲面积分的计算方法曲面积分在实际问题中的应用4.3 教学方法结合实例讲解曲面的面积与曲面积分的计算方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行图形绘制与计算验证鼓励学生自主探究曲面积分在实际问题中的应用第五章：曲线积分与曲面积分的应用5.1 教学目标学会运用曲线积分与曲面积分解决实际问题掌握曲线积分与曲面积分的几何意义了解曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用5.2 教学内容曲线积分与曲面积分的几何意义曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用实际问题的建模与计算方法5.3 教学方法结合实际问题讲解曲线积分与曲面积分的应用方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行实际问题建模与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用第六章：曲线积分与曲面积分的计算技巧6.1 教学目标学习曲线积分与曲面积分的计算技巧掌握一些特殊的积分公式提高计算曲线积分与曲面积分的速度和准确性6.2 教学内容特殊的积分公式变量代换法在曲线积分与曲面积分中的应用分部积分法在曲线积分与曲面积分中的应用三角函数的积分公式在曲线积分与曲面积分中的应用6.3 教学方法通过讲解和例题展示特殊的积分公式和计算技巧引导学生运用变量代换法和分部积分法解决实际问题鼓励学生自主探究三角函数的积分公式在曲线积分与曲面积分中的应用第七章：曲线积分与曲面积分的应用案例分析7.1 教学目标学会运用曲线积分与曲面积分解决实际问题掌握曲线积分与曲面积分的应用案例分析方法能够应用曲线积分与曲面积分解决工程与科学研究中的问题7.2 教学内容曲线积分与曲面积分在物理学中的应用案例分析曲线积分与曲面积分在工程学中的应用案例分析曲线积分与曲面积分在生物学中的应用案例分析7.3 教学方法结合实际问题讲解曲线积分与曲面积分的应用案例分析方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行实际问题建模与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用第八章：曲线积分与曲面积分的进一步研究8.1 教学目标学习曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识掌握曲线积分与曲面积分的进一步研究方法了解曲线积分与曲面积分的前沿研究领域8.2 教学内容曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识曲线积分与曲面积分的进一步研究方法曲线积分与曲面积分的前沿研究领域8.3 教学方法通过讲解和例题展示曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识和进一步研究方法引导学生阅读相关的学术论文和研究报告鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分的前沿研究领域第九章：曲线积分与曲面积分的综合练习巩固和加深对曲线积分与曲面积分的理解和掌握提高解决实际问题的能力培养学生的综合应用能力9.2 教学内容综合练习题集综合练习题讲解实际问题案例分析9.3 教学方法通过布置综合练习题和实际问题案例分析，巩固和加深对曲线积分与曲面积分的理解和掌握组织学生进行小组讨论和交流，提高解决实际问题的能力引导学生运用所学的知识和方法，培养学生的综合应用能力第十章：总结与展望10.1 教学目标总结学习曲线积分与曲面积分的收获和体会展望曲线积分与曲面积分在未来的发展和应用前景激发学生继续学习和深入研究的兴趣和动力10.2 教学内容学习收获和体会分享曲线积分与曲面积分的未来发展趋势曲线积分与曲面积分的应用前景通过小组讨论和报告，总结学习曲线积分与曲面积分的收获和体会引导学生关注曲线积分与曲面积分的未来发展趋势和应用前景鼓励学生继续学习和深入研究，激发学生的兴趣和动力重点解析本文档详细编写了一套关于曲线积分与曲面积分的教案，包含了十个章节。
第十章 曲线积分与曲面积分一、 一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、 二、 难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。
三、 三、 内容提要1． 1． 曲线（面）积分的定义：（1） （1） 第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。
实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Ldsy x f ),(表示此柱面的面积。
（2） （2） 第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。
（3） （3） 第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。
实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。
（4） （4） 第二类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆+∆+∆∆++n i xyi i i i zx i i i i yz i iiiS R S Q S P Rdxdy Qdzdx Pdydz 1))(,,())(,,())(,,(lim ζηξζηξζηξλ（存在时）其中yz i S )(∆，zx i S )(∆，xy i S )(∆分别表示将∑任意分为n 块小曲面后第I 块i S ∆在yoz 面，zox 面，xoy 面上的投影，dydz ，dzdx ，dxdy 分别表示这三种投影元素; （i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。
实际意义：设变力),,(z y x V =P(x,y ，z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k 为通过曲面∑的流体（稳定流动且不可压缩）在∑上的点（x,y,z ）处的速度。
则⎰⎰⎰⎰∑∑++==ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d V表示在单位时间内从∑的一侧流向指定的另一侧的流量。
2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（1） （1） 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面 （2） （2） 对积分弧段（积分曲面）都具有可加性 （3） （3） 代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关⎰⎰-+-=+L LQdy Pdx Qdy Pdx⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰-∑++-Rdxdy Qdzdx Pdydz3、曲线（面）积分的计算（1） （1） 曲线积分的计算a 、 a 、 依据积分曲线L 的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b 、 b 、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限（2） （2） 曲面积分的计算方法1、 1、 第一类曲面积分的计算a 将积分曲面∑投向使投影面积非零的坐标面b 将∑的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。
C 将ds 换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素 2、 2、 第二类曲面积分的计算a 将积分曲面∑投向指定的坐标面b 同1c 依∑的指定的侧决定二重积分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式 （1） （1） 格林公式⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+DLdxdy yPx Q Qdy Pdx )(其中P 、Q 在闭区域D 上有一阶连续偏导数，L 是D 的正向边界曲线。
若闭区域D 为复连通闭区域，P 、Q 在D 上有一阶连续偏导数，则⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(=∑⎰=+ni L i Qdy Pdx 1 其中i L （=1，2……n ）均是D 的正向边界曲线。
（2） （2） 高斯公式⎰⎰++Rdxdy Qdzdx Pdydz =zRy P x Q ∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰Ω(）dxdydz 其中P 、Q 、R 在闭区域Ω上有一阶连续偏导数，∑是Q 的边界曲面的外侧 （3） （3） 斯托克斯公式⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂RQ P zy x dxdy dzdx dydz =⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 其中P 、Q 、R 在包含曲面∑在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，∑是以Γ为边界的分片光滑曲面，Γ的正向与∑的侧向符合右手规则。
5、平面上曲线积分与路径无关的条件设P 、Q 在开单连同区域G 内有一阶连续偏导数，A 、B 为G 内任意两点，则以下命题等价： （1）⎰+ABL Qdy Pdx 与路径L 无关（2）对于G 内任意闭曲线L,0=+⎰LQdy Pdx(3)yPx Q ∂∂=∂∂在G 内处处成立 （4）在G 内，Pdx+Qdy 为某函数U(x,y)的全微分6、通量与散度、环流量与旋度 设向量),,(z y x A =P(x,y ，z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k则通量（或流量）Φ= ds n A⋅⎰⎰∑其中 n=（cos α, cos β, cos γ）为∑上点（x,y,z ）处的单位法向量。
散度 div A= y P x Q ∂∂+∂∂+ zR∂∂对坐标的曲面积分与∑的形状无关的充要条件是散度为零。
旋度 R Q P z y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=环流量 向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量为⎰Γ++Rdz Qdy Pdx =⎰Γ⋅ds t A四、 四、 难点解析本章中对S ∆在xoy 面上的投影（xy S )∆为（xy S )∆=⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆0cos ,00cos ,)(0cos ,)(γγσγσxy xy其中γcos 为有向曲面S ∆上各点处的法向量与Z 轴的夹角余弦。
xy )(σ∆为S ∆在xoy 上投影区域的面积。
此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择，此规定貌似复杂，但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量。
比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示。
从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。
如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了。
因此上面的规定就显得非常自然合理了。
五、 五、 典型例题例1、计算⎰Γ=ds x I 2Γ：圆周⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x解：由轮换对成性，得⎰Γ=ds x I 2=⎰Γds y 2⎰Γ=ds z I 2=⎰Γ++ds z y x 22231=⎰Γds R 231=332R π例2、设L ：222a y x =+为成平面区域D,计算⎰-+-L dy x dx y 3333 解：=-+-⎰L dy x dx y 3333（格林公式）⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰⋅a rdr r d 02204πθ=42a π 例3、求⎰⎰∑dxdy z 2，其中∑为曲面2222a z y x =++的外侧。
解法一、将∑分为上半球面1∑：222y x a z --=和下半球面2∑：222y x a z ---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=+=120222222222222=-----⎰⎰⎰⎰≤+≤+dxdy y x a dxdy y x a a y x a y x 解法二、利用高斯公式⎰⎰∑dxdy z2=)200(2222⎰⎰⎰≤++++a z y x z ）dxdydz=0 （对称性）例4、求曲线y=x y x 2,22=及x y =2所围成的图形的面积。
解：求曲线的交点B(1，1)，C(32,34)法一、定积分法 则所求面积为A=⎰-1022)2(dy y y +⎰-3402)2(dy y y =+6161=31法二、二重积分法 设所给曲线围成的闭区域为D.则 A=⎰⎰Dd σ=⎰⎰1222y y dx +⎰⎰32402yy dx dy =⎰-1022)2(dy y y +⎰-3402)2(dy y y =31法三、曲线积分法 设所给曲线围成的图形的边界曲线为L ，则 A=⎰Lxdy =⎰⎰⎰++OC CB BO xdy xdy xdy=⎰12dy y +⎰341dy y +⎰04232dy y =+3132+（32-）=31 例5、计算⎰+Lxdy ydx ，L ：从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周222R y x =+。
解：法一 用曲线积分与路径无关因为y P x Q ∂∂==∂∂1在xoy 面上恒成立，且xQ ∂∂及y P∂∂在xoy 面上连续，所以曲线积分⎰+Lxdy ydx 与路径无关。
于是⎰+Lxdy ydx =⎰+ABxdy ydx =⎰-RRdx 0=0法二、用曲线积分与路径无关，则⎰+AACB xdy ydx =0 （其中C(0,R)）法三、用曲线积分与路径无关，则⎰+Lxdy ydx =⎰-+)0,()0,(R R xdy ydx =⎰-)0,()0,()(R R xy d =)0,()0,(][R R xy -=0法四、用格林公式 因为y P x Q ∂∂=∂∂且xQ ∂∂及y P∂∂在闭曲线ACBA 上围成的闭区域D 上连续。
故由格林公式得⎰+AACB xdy ydx =⎰⎰∂∂-∂∂-Ddxdy yPx Q )(=0 于是⎰+Lxdy ydx =0⎰+-BAxdy ydx =0法五、用定积分计算，则L 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x ，L 的起点A 对应与πθ=，综点对应于0=θ，于是 ⎰+Lxdyydx =⎰⋅+-⋅0]cos cos )sin (sin [πθθθθθd R R R R =⎰022cos πθθd R=2]2sin 21[πθR =0 例六、计算对坐标的曲面积分⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(其中∑是)0222h z y x z ≤≤+=（的下侧 解：设1∑为平面Z=h 被锥面222y x z +=所围成部分的上侧。
