对数运算练习题
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学案正标题
一、知识梳理
1.图象变换
（1）平移变换
（2）对称变换
①y＝f（x）y＝－f（x）；
②y＝f（x）y＝f（－x）；
③y＝f（x）y＝－f（－x）；
④y＝a x（a＞0且a≠1）y＝log a x（a＞0且a≠1）．（3）翻折变换
①y＝f（x）y＝|f（x）|.
②y＝f（x）y＝f（|x|）．
2.对数的性质与运算法则
（1）对数的性质
几个恒等式（M，N，a，b都是正数，且a，b≠1）
①＝N；
②log a a N＝N；
③log b N＝；
④＝log a b；
⑤lo g a b＝，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.
（2）对数的运算法则（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）
①log a（M·N）＝log a M＋log a N；
②log a＝log a M－log a N；
③log a M n＝nlog a M（n∈R）；
④log a＝log a M.
3.对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1 图象
性质（1）定义域：（0，＋∞）
（2）值域：R
（3）过点（1,0），即x＝1时，y＝0
（4）当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0 （5）当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0
（6）在（0，＋∞）上是增函数（7）在（0，＋∞）上是减函数4.指数函数的图象与性质
y＝a x a＞1 0＜a＜1
图象
定义域R
值域（0，＋∞）
性质过定点（0,1）
当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，
y＞1
在（－∞，＋∞）上是增函数在（－∞，＋∞）上是减函数
5.有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①零指数幂：a0＝1（a≠0）．
②负整数指数幂：a－p＝（a≠0，p∈N*）；
③正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
④负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质
①a r a s＝a r＋s（a＞0，r，s∈Q）；
②（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．
6.根式
（1）根式的概念
根式的概念符号表
示
备注
如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数±负数没有偶次方根
（2）两个重要公式
①
②（）n＝a.
一、典型例题
1.已知log a2＝m，log a3＝n，则a2m＋n＝________．
【答案】12
【解析】a m＝2，a n＝3，
∴a2m＋n＝·a n＝22×3＝12．
2.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝________．
【答案】2
【解析】原式＝（lg2）2＋（1＋lg5）lg2＋lg52
＝（lg2＋lg5＋1）lg2＋2lg5＝（1＋1）lg2＋2lg5
＝2（lg2＋lg5）＝2．
3.已知函数f（x）满足：当x≥4时，f（x）＝；当x＜4时，f（x）＝f（x＋1）．则f（2＋log23）＝（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于，则
规律方法：（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．
（2）熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．
4.的值是________．
【答案】1
【解析】原式
＝
＝
＝
＝＝＝＝1．
答案：1
5.当x∈[－2,2]时，a x＜2（a＞0，且a≠1），则实数a的范围是（）．
A．（1，）
B．
C．∪（1，）
D．（0,1）∪（1，）
【答案】C
【解析】x∈[－2,2]时，a x＜2（a＞0，且a≠1），
若a＞1，y＝a x是一个增函数，则有a2＜2，可得a＜，故有1＜a＜；
若0＜a＜1，y＝a x是一个减函数，则有a－2＜2，可得a＞，故有＜a＜1．综上知a∈∪（1，）．
6.化简：=（）
A ．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故选C．
7.计算：
（1）÷0．062 50．25；
（2）若＝3，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】解（1）原式＝＝÷＝
×2＝．
（2）由＋＝3，得x＋x－1＋2＝9，∴x＋x－1＝7，∴x2＋x－2＋2＝49，
∴x2＋x－2＝47．∵＝3－3＝27－9＝18，∴原式＝＝
．
规律方法：进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：
（1）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；（2）应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1（a≠0）简化运算．
8.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则log4f（2）的值为（）．
A．B．－C．2 D．－2
【答案】A
【解析】设f（x）＝xα，由图象过点，得＝＝⇒，log4f（2）＝＝.
9.（2013·日照模拟）已知是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）．
A．（0,1）B．
C．D．
【答案】C
【解析】解析当x＝1时，log a1＝0，若f（x）为R上的减函数，则（3a－1）x＋4a≥0在x ＜1时恒成立．
令g（x）＝（3a－1）x＋4a，
则必有，即⇒≤a＜.
10.f（x）＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）．
A．（1，＋∞）B．[4,8）C．（4,8）D．（1,8）
【答案】B
【解析】[错解]由题意知，解得1＜a＜8.
答案D
[错因]忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．
[正解]f（x）在R上单调递增，则有
解得：4≤a＜8.
[答案]B
[防范措施]对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增（减）时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性
质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．。
