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数学中的近似算法近似算法是指通过一系列计算步骤，近似地求解某个数学问题。
在数学领域中，我们经常会遇到一些难以精确求解的问题，这时候，近似算法就能帮助我们在可接受的误差范围内获得近似的解。
一、近似算法简介近似算法通常是在充分利用已知信息和资源的情况下，通过适当的逼近和调整，得出一个接近于准确解的结果。
它的优势在于其可行性和实用性，虽然无法保证完全准确，但却能在较短的时间内给出一个比较好的解。
二、常见的近似算法1. 近似求解函数极值的方法在数学中，我们经常会面临求函数的极值问题，通常可以通过近似求解的方法得到一个较优的解。
例如，梯度下降法、模拟退火算法等都是常用的近似求解函数极值的方法。
这些算法通过调整函数的自变量，以逐步优化目标函数的值，最终得到一个极值点。
2. 近似计算积分的方法计算复杂函数的积分往往是一项具有挑战性的任务，而近似计算积分的方法可以大大简化计算过程。
例如，辛普森法则、梯形法则等都是常用的近似计算积分的方法。
这些方法通过将区间分割为若干个小段，并在每个小段上做线性或非线性逼近，从而得到整个区间上的近似积分值。
3. 近似求解方程的方法求解非线性方程在数学中也是一项困难的任务，而近似求解方程的方法可以提供一个接近准确解的答案。
例如，牛顿迭代法、二分法等都是常用的近似求解方程的方法。
这些方法通过不断迭代的方式，逐步逼近方程的根，从而得到一个近似解。
4. 近似计算特殊函数值的方法特殊函数在数学中广泛应用，但其计算常常十分复杂。
而近似计算特殊函数值的方法可以在保证一定精度的情况下，大大简化计算。
例如，泰勒展开、二项式展开等都是常用的近似计算特殊函数值的方法。
这些方法通过将函数在某一点展开为幂级数或多项式，再仅计算有限项，从而得到特殊函数的近似值。
三、近似算法的应用案例1. 图像压缩图像压缩是一种常见的应用场景。
在图像压缩中，我们可利用近似算法，通过降低图像色彩的精度或其他方法，以减少图像文件的大小，同时尽量保留图像的质量。
近似计算的概念
近似计算是一种通过使用简化的数学模型或方法，来获得数值结果的过程。
在一些问题中，准确计算结果可能非常复杂或耗时较长。
此时，近似计算可以提供一个接近实际结果的近似值，以满足实际需求。
近似计算可以应用于各种数学问题和科学领域，例如物理学、工程学、经济学等。
它常常通过以下方法进行：
1. 数值逼近：利用近似函数代替原始函数，通过对近似函数进行计算来获得结果。
例如，泰勒级数将一个函数近似为多项式。
2. 截断误差：通过忽略某些小的或高次项来简化计算，从而减小误差。
3. 近似求解法：使用近似算法，如迭代法或数值积分，对问题进行逼近求解。
4. 模拟方法：通过生成一系列随机样本，利用随机模拟的方式来近似计算结果。
这种方法常用于求解概率和统计问题。
需要注意的是，近似计算得到的结果通常不是完全准确的，但在实际应用中，接近实际结果的近似值已经足够满足要求。
因此，合理的近似计算方法可以在节省计算资源和时间的同时，提供可接受的结果。
算法复杂度分析中的近似算法随着计算机科学的发展，算法复杂度分析成为了评估算法效果和性能的重要方法之一。
在算法复杂度分析中，近似算法是一种重要的技术手段，用于解决NP-难问题或其他无法在多项式时间内求解的问题。
本文将介绍算法复杂度分析中的近似算法及其应用。
一、近似算法的基本概念近似算法是一类用于求解问题近似解的算法，其核心思想是在有限时间内找到一个接近最优解的解。
近似算法常用于求解优化问题，例如旅行商问题、背包问题等。
近似算法的输出称为近似解，与最优解的差距被称为近似比。
二、近似算法的分类根据问题的性质和求解过程的策略，近似算法可以分为以下几种类型：1. 贪心算法：贪心算法通过每一步都选择当前最优的解决方案来逐步求解问题。
尽管贪心算法不一定总能得到最优解，但它具有高效性和简单性的优势，常常应用于实际问题的求解。
2. 近似随机算法：近似随机算法通过引入随机性来求解问题，其中最著名的算法是马尔科夫链蒙特卡洛方法。
该方法通过在状态空间中的随机游走来逼近问题的最优解，其近似比与马尔科夫链的收敛速度有关。
3. 近似启发式算法：近似启发式算法通过结合问题的特点和启发信息来搜索问题的解空间。
典型的近似启发式算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
这些算法通常具有较好的近似性能，但在计算复杂度上较高。
4. 近似线性规划算法：近似线性规划算法通过对问题进行线性规划松弛来获得问题的近似解。
该方法可以用于求解整数规划问题，并且具有较好的性能保证。
三、近似算法的性能评估在使用近似算法时，一个关键的问题是评估其解的质量和性能。
为此，我们引入了近似比的概念。
近似比是近似算法输出解与最优解之间的比值。
对于最大化问题，我们希望近似比越大越好；而对于最小化问题，我们则希望近似比越小越好。
通常情况下，我们希望近似算法具有多项式时间复杂度，并且能够输出具有较好近似比的近似解。
四、近似算法的应用近似算法在实际问题中具有广泛的应用，以下是其中一些典型的应用：1. 旅行商问题：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条经过所有城市且总长度最短的路径。
第一章有关近似算法的一个介绍1.1 什么是近似算法以及，为什么要有近似算法从大量的数据中进行筛选，从而做出一个尽可能准确的选择，这样的需求在当今社会中是普遍存在的，其中的难度也是普遍存在的。
我们知道的是，在当今的信息科技领域，许多决定都可以由电脑通过数据库来迅速做出，比如规划班车路线，比如为有效率的检索去组织数据。
如何做出这些类的决定从而获得尽可能是最好的结果或目标，人们在研究这些的过程中创造了一个新的领域，离散最优。
不幸的是，最有趣的离散最优问题是NP-hard问题。
NP-hard问题中，除非P=NP，否则对于这类问题是不存在有效率的算法来求最优解的。
这里我们依照惯例，定义有效率的算法为，可在一定时间内通过一个输入的多项式运算完成的。
这本书考虑的就是关于“这种情况下我们应该怎么办”这个问题的解答。
工程界有个老话说的是“快速，便宜，可靠。
你只能选两个。
”简单的来说，如果P不等于NP，我们不能同时拥有以下的三种算法：(1)寻找到最优解。
(2)在多项式的时间之内。
(3)对任何情况都可用。
在面对一个NP困难问题寻求最优解的过程中，不管运用什么方法以上三个要求中，至少有一个必须被设为松弛条件。
现在有一种算法，这个算法中，“对任何情况都可用”这项要求被松弛，从而寻求一个特殊情况下的多项式时间内的算法。
当有人要寻求这几个情况下的最优解时，这种算法是非常有用的，但是这几种情况都不是特别常见的。
一种更普遍的方法是放松对多项式时间内可解性的要求。
放松要求后，对一个问题的全套的可能的解决方法进行聪明的探索，从而得到最优解是我们的目标。
如果有人愿意花上几分钟，或者甚至是几小时来获得一个最佳的可能解的话，这通常是一个成功的方法。
甚至可以说是更重要的是，如果一个人甚至都不确定他将要输入的数据，那么这个算法会在任何合理的时间停止。
运筹学和数学规划领域的学者在解决整数规划下的离散最优解问题时，或者是人工智能领域的学者在研究A*搜索或约束规划类的技术问题时，上述的方法就会被采用。
近似算法和概率算法的特点与计算方法、分类及概率算法的计算过程与应用1．近似算法1近似算法的计算方法设D是一个最优化问题，A是一个算法，若把A用于D的任何一个实例I，都能在|I|的多项式时间内得到I的可行解，则称算法A为问题D的一个近似算法，其中|I|表示实例I的规模或输入长度，进而，设实例I的最优值为OP（I），而算法A所得到实例I的可行解之值为A（I），则称算法A解实例I的性能比为R A（I）的性能比为R A（D），同时称D有R A—近似解．其中A ( I)OP(I) ，若D为最小化问题.R A ( I) =OP(I) ，若D为最大化问题.A ( I)R A(D)=inf{r≥|R A(I)≤r，I∈D}2近似算法的特点（1）解同一个问题的近似算法可能有多个（2）算法的时间复杂性：近似算法的时间复杂性必须是多项式阶的，这是设计近似算法的基本目标。
（3）解的近似程度：近似最优解的近似程度也是设计近似算法的重要目标。
近似程度可能与近似算法本身、问题规模，乃至不同的输入实例都有关。
3近似算法的分类（1）基于线性规划的近似算法（2）基于动态规划的近似算法（3）绝对近似类（4）相对近似类（5）PTAS类和FPTAS类（6）随机近似算法2．概率算法1概率算法的计算方法概率算法允许算法在执行的过程中随机选择下一个计算步骤。
许多情况下，当算法在执行过程中面临一个选择时，随机性选择常比最优选择省时。
2概率算法的特点（1）不可再现性。
概率算法的一个特点是对所求解问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果。
（2）分析困难。
要求有概率论、统计学和数论的知识。
3概率算法的分类（1）数值概率算法。
数值概率算法常用于数值问题的求解。
这类算法所得到的往往是近似解。
而且近似解的精度随计算时间的增加不断提高。
在许多情况下，要计算出问题的精确解是不可能或没有必要的，因此用数值概率算法可得到相当满意的解。
（2）蒙特卡罗（Monte Carlo）算法。
近似计算掌握近似计算的方法和应用场景近似计算是一种通过对问题进行近似处理，以减少计算量、提高计算效率的方法。
在现实生活和科学研究中，许多问题往往难以直接求解，但通过近似计算，我们可以获得接近最优解的结果。
本文将介绍近似计算的方法和应用场景。
一、方法在解决问题时，我们可以使用以下几种常见的近似计算方法：1. 近似算法：近似算法通过在有限时间内给出一个接近最优解的解决方案来减少计算量。
它不保证给出的解是最优解，但通常能够满足实际需求。
近似算法的设计往往涉及到权衡时间和精度的考虑，常见的近似算法有贪心算法、启发式算法等。
2. 数值计算：数值计算是一种通过数值近似的方法来求解数学问题的技术。
它通过将问题转化为数值计算的形式，使用数值方法进行求解。
数值计算广泛应用于科学计算、工程设计等领域，例如求解微分方程、进行数值积分等。
3. 统计估计：统计估计是一种通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
它通过从总体中抽取一部分样本数据，并基于这些数据进行参数估计。
统计估计广泛应用于数据分析、市场调查等领域，例如利用抽样数据对总体的均值、方差进行估计。
二、应用场景近似计算在许多领域都有广泛的应用场景，下面列举了几个常见的应用场景：1. 优化问题：优化问题是一类通过在一组可能解中寻找最优解的问题。
在实际问题中，优化问题往往存在着庞大的搜索空间，直接求解是困难的。
通过近似计算，我们可以在有限时间内得到接近最优解的结果，例如在旅行商问题中，通过近似算法可以在很短时间内得到接近最优解的路线。
2. 数据挖掘：数据挖掘是一种通过对大量数据进行分析，发现其中隐藏的规律和关联性的方法。
由于数据量庞大，计算复杂度高，直接进行全面的分析是不现实的。
通过近似计算，可以对数据进行降维、采样等处理，从而提高计算效率，例如在聚类分析中，通过数值计算和统计估计可以对数据进行近似处理，得到聚类结果。
3. 机器学习：机器学习是一种通过训练模型从数据中学习规律的方法。
近似计算的技巧近似计算是在现实生活中很有用的技巧。
它的原理是用一种较为简单的方法来算出一个大致的结果，而不需要精确地计算。
在许多情况下，近似计算可以帮助我们快速估算并作出决策。
本文将介绍近似计算的一些常用技巧，并讨论它在不同领域的应用。
近似计算的第一个技巧是去掉数值中的幂指数。
例如，当我们进行乘除运算时，经常会遇到指数函数，比如10的2次方或者10的3次方。
在近似计算中，我们可以将这些指数简化为更容易计算的数值。
例如，10的2次方可以近似为100，而10的3次方可以近似为1000。
通过这种简化，我们可以快速估算乘除运算的结果。
第二个技巧是减少复杂运算。
在大多数情况下，我们可以用简单的近似方法代替复杂的计算。
例如，当我们计算一个复杂的数学公式时，我们可以用一些近似的数值来代替其中的变量。
这样一来，我们可以快速得出一个大致的结果，而不需要进行繁琐的计算。
第三个技巧是采用适当的精度。
在一些情况下，我们并不需要非常精确的计算结果。
例如，在进行定量分析时，我们只需要一个近似的参考值。
在这种情况下，我们可以采用更低的精度来进行计算，以节省时间和精力。
近似计算在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，近似计算可以帮助我们估算物理量的数值。
例如，在计算机模拟中，我们可以用近似计算来预测系统的行为。
在经济学中，近似计算可以帮助我们评估市场趋势和风险。
在工程学中，近似计算可以帮助我们设计和优化复杂的系统。
然而，近似计算也有一些限制。
在某些情况下，精确计算是必要的。
例如，在进行科学实验或者进行高精度计算时，我们需要精确计算结果。
此外，近似计算也可能引入一些误差。
因此，我们在使用近似计算时需要注意误差的范围，并在需要精确计算时使用更精确的方法。
总而言之，近似计算是一种有效的快速估算方法，在许多领域都有广泛的应用。
通过运用近似计算的技巧，我们可以快速得出一个大致的结果，并用来进行决策和评估。
然而，我们在使用近似计算时需要注意精度和误差的范围，以确保结果的准确性。
近似算法1 近似算法所有已知的解决NP-难问题算法都有指数型运行时间。
但是，如果我们要找一个“好”解而非最优解，有时候多项式算法是存在的。
给定一个最小化问题和一个近似算法，我们按照如下方法评价算法：首先给出最优解的一个下界，然后把算法的运行结果与这个下界进行比较。
对于最大化问题，先给出一个上界然后把算法的运行结果与这个上界比较。
1.1最小顶点覆盖先来回忆一下顶点覆盖的定义，它是一个与图中所有边相关联的顶点集。
最小顶点覆盖问题是要找一个顶点数最少的顶点覆盖。
最小顶点覆盖的下界可以由最大匹配给出。
因为匹配中任两边不相邻，所以匹配中的每条边至少有一个顶点在顶点覆盖中。
而且，注意到在最大匹配中所有匹配顶点的集合就是一个顶点覆盖。
这是因为，任何一条两端点均未被匹配的边可以添加到匹配中，与匹配的最大性相矛盾。
显然，这个算法包含的顶点数是我们的下界，最大匹配的边数，的两倍。
因此，算法得到的值不会超过最优值的两倍。
我们感兴趣的两个问题是：相对于最优解，我们的下界到底有多“好”，而最后的解又有多“好”？首先来说明下界可能是最优值的两倍。
例如n条边的完全图，最大匹配有条边，所以我们的下界是。
但是，需要n-1个顶点来覆盖这个图。
因为任取一个n-2个顶点的集合，此图是完全图，在被删掉的两个顶点之间肯定存在一条边与选中的这n-2个顶点不关联。
N足够大时，我们有。
因此，比较算法与这个界，不可能有比最优值的2倍更好的下界了。
接下来比较算法的最后结果与最优解。
算法输出被最大匹配匹配的所有顶点。
考虑每部分有n个顶点的完全二分图，这个图存在完美匹配，因此算法输出每一个顶点，即2n个顶点。
但是最优顶点覆盖仅包含来自一边的n个顶点。
可以看出，算法的下界是紧的。
1.2 旅行售货员问题旅行售货员问题如下：给定一个完全图和一个定义在每条边上的距离函数，找一个长度最小的哈密顿圈。
注意，最小支撑树(MST)是最优解的一个下界。
因为如果有一条途径比MST更短，那么在此途径中删掉一条边，就可以得到更小的支撑树。
近似算法的概念及其在计算机科学中的应用随着计算机技术的飞速发展，越来越多的问题需要得到快速有
效的解决。
尤其是在大数据领域的应用，很多时候需要在非常短
的时间内计算出尽可能准确的结果。
然而，有些问题的求解是 NP 难的，传统的精确算法难以在短时间内得到解决。
近似算法应运
而生，成为了解决这类问题的重要工具之一。
所谓近似算法，指的是在保证解法正确性的前提下，寻找一种
计算速度更快，但可能会导致一定误差的算法。
这些误差通常会
受到算法设计者所设定的精度要求的限制。
尽管使用近似算法不
能保证计算结果的完全准确，但是可以在很多情况下得到可接受
的精度，同时还能显著降低计算时间和空间成本。
近似算法在计算机科学中的应用非常广泛。
比如，它可以被用
于解决图论问题，如最短路径问题、最大匹配问题、色彩问题等，这些问题都是 NP 难的，传统的精确算法需要长时间才能得到解答。
但是近似算法可以通过某种方式缩小问题规模，从而大大缩短计
算时间。
此外，近似算法还可以用来处理优化问题，比如旅行商
问题、背包问题等。
通过将问题的实际解答与一个近似解答进行
对比，可以根据所需的精度得到一种较快速的算法方案。
总的来说，近似算法在计算机科学中有着广泛的应用前景。
从理论角度来说，近似算法的设计和分析是一个非常重要的研究方向，同时也是计算机科学中的一个热门问题。
通过设计出更高效的近似算法，可以大幅提高计算速度，为我们的工作和生活带来更多便利。
近似估算算法1. 引言近似估算算法是一种在计算机科学和数学中常用的方法，用于在给定约束条件和不完整信息的情况下，快速估计问题的解或结果的技术。
这些算法主要基于近似和简化的原理，通过使用已知的信息和启发式的方法来进行估算，从而达到快速求解问题的目的。
在实际应用中，很多问题都非常复杂，存在着大量的约束条件和未知的因素，直接求解问题的解可能是非常困难甚至不可能的。
此时，近似估算算法就可以派上用场，通过在允许的误差范围内快速估算问题的解，为进一步的优化或计划提供参考。
本文将介绍近似估算算法的一些常见应用和方法，并探讨它们的原理和优势。
主要内容包括：近似估算算法的基本概念、常见的近似估算算法、近似估算算法的优缺点、近似估算算法的应用案例等。
2. 基本概念2.1 近似近似是指在给定的误差范围内，找到合适的解或结果。
在近似估算算法中，我们通过将问题进行适当的简化和约束，以获得一个接近最优解的估算值。
这个估算值可以作为问题的一个近似解或结果，可以为后续的决策、规划或优化提供参考。
2.2 启发式方法启发式方法是指基于经验和直觉的方法，通过一系列的规则和策略来构建问题的解。
在近似估算算法中，启发式方法常常用于指导问题的求解过程，通过选择适当的启发式规则，可以在保证解的质量的同时大幅度提高求解的效率。
3. 常见的近似估算算法3.1 贪婪算法贪婪算法是一种简单而直观的近似估算算法，其基本思想是每一步都选择当前看起来最好的解，然后将问题规模减小，继续寻找下一个局部最优解，直到达到整个问题的解。
贪婪算法通常适用于那些不需要后续调整或者具有最优子结构性质的问题。
贪婪算法的优势在于其简单性和高效性。
由于每一步只需考虑当前的最优解，不需要进行全局搜索或者遍历，因此贪婪算法能够在较短时间内得到一个相对接近最优解的估算值。
3.2 近似搜索算法近似搜索算法是一种通过搜索空间中的不同解来逼近最优解的方法。
这类算法通常基于一些启发式的规则和策略，通过不断更新当前的解，逐渐接近真正的最优解。
近似算法设计及其在优化中的应用研究随着科技的发展和社会进步，我们面临的问题越来越复杂，需要处理的数据量越来越庞大，如何高效地解决问题，已经成为了各个领域研究的重中之重。
近似算法正是为了解决这个问题而应运而生。
一、近似算法的定义和意义近似算法，也叫做近似计算，是指在计算中不严格求解最优解，而是找到一个接近最优解的解法，尽可能地减少计算时间和资源的消耗。
在实际应用中，不可能拥有足够的时间和计算资源去处理每个问题，这时候就需要近似算法来解决这个矛盾。
近似算法的研究和应用范围非常广泛，如图像处理、文本分析、网络优化、资源分配、运输调度等等。
而且随着互联网、物联网等技术的飞速发展，需要处理的数据量会越来越大，这使得近似算法的优越性日益凸显，得到了各个领域研究的广泛关注和应用研究。
二、近似算法的分类和设计思路根据具体的求解问题和约束条件，近似算法可以分为多种不同的算法类型，如贪心算法、局部搜索算法、随机算法、退火算法、遗传算法、模拟退火算法等等。
每种算法都有自己的优缺点和适用范围，一般情况下需要结合实际问题进行选择和调试。
近似算法的设计思路一个是寻找最近似的解、二是把时间复杂度缩小到最小。
常用的思路有：分治法、近似、局部搜索、贪心等思想。
其中分治法和贪心算法在近似算法中得到了广泛应用。
在实际设计中，需要分析问题的特点、约束条件和优化目标等，结合具体问题进行算法的设计和优化。
一般来说，设计一个好的近似算法需要满足以下三个要素：（1）准确性：尽量接近最优解或最优解。
（2）复杂性：算法的时间和空间复杂度不能太高。
（3）创新性：算法的思路和方法必须有新颖性和独创性，不能重复已有的算法方法。
三、近似算法在优化中的应用实例近似算法在优化中的应用非常广泛，下面列举几个实例来说明：（1）路径计算问题：近似算法常用于路径计算中，如最短路径问题、旅行商问题等，可以大大缩短计算时间。
（2）数据压缩问题：近似算法可以用于图像、音频等多媒体数据的压缩，用较小的文件代表原文件，压缩比较高，也可以加密保密。
近似计算如何快速进行近似计算近似计算是一种广泛应用于科学、工程和计算等领域的数值计算方法。
它通过使用近似的方式和简化的模型来对复杂的问题进行求解，从而在较短的时间内得到比较准确的结果。
在本文中，将介绍近似计算的基本原理、常见的近似计算方法以及如何快速进行近似计算。
1. 近似计算的基本原理近似计算是以折中的方式解决复杂问题的方法。
它通过对问题进行简化和逼近，以降低计算的复杂度和提高计算效率。
近似计算的基本原理是在允许一定误差的情况下，用更简单的方式来近似表示原始问题，从而在时间和空间上减少计算成本。
2. 常见的近似计算方法2.1. 插值法插值法是一种基于已知数据点之间的曲线或曲面插值的方法。
它通过在给定的数据点之间构造一个逼近函数，从而估计出未知点的数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
2.2. 近似求解法近似求解法是通过将原始问题转化为更简单或更适合求解的数学模型来进行计算。
常见的近似求解法包括最小二乘法、线性规划和非线性规划等。
这些方法在处理大规模问题和高维数据时能够发挥出很好的效果。
2.3. 数值积分法数值积分法是一种通过将连续函数曲线分割为若干小区间，并在每个小区间上进行近似计算的方法。
常见的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
这些方法可以在一定误差范围内近似计算出原始函数的积分值。
2.4. 近似统计法近似统计法是一种利用概率和统计理论来估计未知量的方法。
它通过采样、抽样和模拟等技术，根据得到的样本数据进行推断和估计。
常见的近似统计法有蒙特卡洛法、置信区间法和贝叶斯估计等。
3. 快速进行近似计算的技巧为了快速进行近似计算，可以考虑以下技巧：3.1. 数据优化在进行近似计算之前，可以对原始数据进行优化和预处理。
例如，可以采用数据降维、特征选择和离群点检测等技术，以减少计算的复杂度和提高计算速度。
3.2. 并行计算并行计算是通过将计算任务划分为多个子任务，并在多个处理器或计算节点上同时进行计算的方法。
近似算法和概率算法的特点与计算方法、分类及概率算法的计算过程与应用1．近似算法1近似算法的计算方法设D是一个最优化问题，A是一个算法，若把A用于D的任何一个实例I，都能在|I|的多项式时间内得到I的可行解，则称算法A为问题D的一个近似算法，其中|I|表示实例I的规模或输入长度，进而，设实例I的最优值为OP（I），而算法A所得到实例I的可行解之值为A（I），则称算法A解实例I的性能比为R A（I）的性能比为R A（D），同时称D有R A—近似解．其中A ( I)OP(I) ，若D为最小化问题.R A ( I) =OP(I) ，若D为最大化问题.A ( I)R A(D)=inf{r≥|R A(I)≤r，I∈D}2近似算法的特点（1）解同一个问题的近似算法可能有多个（2）算法的时间复杂性：近似算法的时间复杂性必须是多项式阶的，这是设计近似算法的基本目标。
（3）解的近似程度：近似最优解的近似程度也是设计近似算法的重要目标。
近似程度可能与近似算法本身、问题规模，乃至不同的输入实例都有关。
3近似算法的分类（1）基于线性规划的近似算法（2）基于动态规划的近似算法（3）绝对近似类（4）相对近似类（5）PTAS类和FPTAS类（6）随机近似算法2．概率算法1概率算法的计算方法概率算法允许算法在执行的过程中随机选择下一个计算步骤。
许多情况下，当算法在执行过程中面临一个选择时，随机性选择常比最优选择省时。
2概率算法的特点（1）不可再现性。
概率算法的一个特点是对所求解问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果。
（2）分析困难。
要求有概率论、统计学和数论的知识。
3概率算法的分类（1）数值概率算法。
数值概率算法常用于数值问题的求解。
这类算法所得到的往往是近似解。
而且近似解的精度随计算时间的增加不断提高。
在许多情况下，要计算出问题的精确解是不可能或没有必要的，因此用数值概率算法可得到相当满意的解。
（2）蒙特卡罗（Monte Carlo）算法。
蒙特卡罗算法用于求问题的准确解。
对于许多问题来说，近似解毫无意义。
例如，一个判定问题其解为“是”或“否”，二者必居其一，不存在任何近似解答。
又如，我们要求一个整数的因子时所给出的解答必须是准确的，一个整数的近似因子没有任何意义。
用蒙特卡罗算法能求得问题的一个解，但这个解未必是正确的。
求得正确解的概率依赖于算法所用的时间。
算法所用的时间越多，得到正确解的概率就越高。
蒙特卡罗算法的主要缺点就在于此。
一般情况下，无法有效判断得到的解是否肯定正确。
Monte Carlo 算法偶然会犯错，但它无论对何实例均能以高概率找到正确解。
当算法出错时，没有警告信息。
偏真偏假的概念只在Monte Carlo 算法里出现。
Def1：设 p 是一个实数，且 1/2<p<1，若一个 MC 算法以不小于 p 的概率返回一个正确的解，则该 MC 算法称为 p-正确，算法的优势（advantage）是 p-1/2。
Def2：若一个 MC 算法对同一实例决不给出两个不同的正确解，则该算法称是相容的（consistent）或一致的。
基本思想：为了增加一个一致的、p-正确算法成功的概率，只需多次调用同一算法，然后选择出现次数最多的解。
Def：(偏真算法)为简单起见，设 MC(x)是解某个判定问题，对任何 x，若当MC(x)返回 true 时解总是正确的，仅当它返回 false 时才有可能产生错误的解，则称此算法为偏真的(true-biased)。
Def：(偏 y0 算法)更一般的情况不再限定是判定问题，一个 MC 是偏 y0的(y0 是某个特定解)，如果存在问题实例的子集 X 使得：若被解实例x ∉ X，则算法 MC(x)返回的解总是正确的(无论返回 y0 还是非 y0)。
（3）拉斯维加斯（Las Vegas）算法。
拉斯维加斯算法不会得到不正确的解，一旦用拉斯维加斯算法找到一个解，那么这个解肯定是正确的。
但是有时候用拉斯维加斯算法可能找不到解。
与蒙特卡罗算法类似。
拉斯维加斯算法得到正确解的概率随着它用的计算时间的增加而提高。
对于所求解问题的任一实例，用同一拉斯维加斯算法反复对该实例求解足够多次，可使求解失效的概率任意小。
算法的一般形式：LV(x, y, success) —— x 是输入的实例，y 是返回的参数，success 是布尔值，true 表示成功，false 表示失败p(x) —— 对于实例 x，算法成功的概率s(x) —— 算法成功时的期望时间e(x) —— 算法失败时的期望时间Obstinate(x) {repeatLV(x, y, success);until success;return y;}设 t(x)是算法 obstinate 找到一个正确解的期望时间，则t(x) = ( ) ( ) + (1 − ( ))( ( ) + ( ))t(x)是指第一次成功的期望时间，第一次失败，后面再成功就需要花费的时间。
（4）舍伍德（Sherwood）算法。
舍伍德算法总能求得问题的一个解，且所求得的解总是正确的。
当一个确定性算法在最坏情况下的计算复杂性与其在平均情况下的计算复杂性有较大差别时，可以在这个确定算法中引入随机性将它改造成一个舍伍德算法，消除或减少问题的好坏实例间的这种差别。
舍伍德算法精髓不是避免算法的最坏情况行为，而是设法消除这种最坏行为与特定实例之间的关联性。
Sherwood 算法预处理的数学模型1. 确定性算法：f: X -> Y2. 确定性算法的实例集合：X, size 为 n 时写作 Xn3. Sherwood 算法用于均匀随机抽样的集合：A，size 为 n 时写作An，|An|=|Xn|4. 随机抽样的预处理及后处理时用到的一对函数，对应上面的①③u: X × A -> Yv: A × Y -> Xu,v 满足三个性质：1(∀n ∈ N)(∀x, y ∈ Xn)(∃! r ∈ An)，使得 u(x, r) = y这条对应①，其中∃!表示有且仅有一个2(∀n ∈ N)(∀x ∈ Xn)(∀r ∈ An)，使得 f(x) = v(r, f(u(x, r)))这条对应③3函数 u,v 在最坏情况下能够有效计算Sherwood 算法的过程，确定算法f(x)可改造为 Sherwood 算法：RH(x) {// 用 Sherwood 算法计算 f(x)n ← length*x+; // x 的 size 为 nr ← uniform(An); // 随机取一元素y ← u(x, r); //将原实例 x 转化为随机实例 ys ← f(y); // 用确定算法求 y 的解 sreturn v(r, s); // 将 s 的解变换为 x 的解}4概率算法的应用（1）离散事件建模（2）种群概率模型的优化（3）智能计算机的应用（4）统计计算（5）密码学（6）数字信号（7）系统安全三．模拟退火算法1模拟退火算法的思想在一定温度下，搜索从一个状态随机地变化到另一个状态；随着温度的不断下降直到最低温度，搜索过程以概率1停留在最优解。
算法的目的是为了解决NP复杂性问题；克服优化过程陷入局部极小；克服初值依赖性。
2模拟退火算法的计算原理Step1 设定初始温度t = tmax, 任选初始解r = r0Step2 内循环Step2.1 从r的邻域中随机选一个解rt, 计算r和rt对应目标函数值, 如rt对应目标函数值较小，则令r = rt; 否则若exp(-(E(rt)-E(r))/t)>random(0,1), 则令r=rt.Step2.2 不满足内循环停止条件时，重复Step2.1Step3 外循环Step3.1 降温t = decrease(t)Step3.2 如不满足外循环停止条件，则转Step2；否则算法结束3．遗传算法遗传算法（Genetic Algorithm）是一类借鉴生物界的进化规律（适者生存，优胜劣汰遗传机制）演化而来的随机化搜索方法。
它是由美国的J.Holland教授1975年首先提出，其主要特点是直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性的限定；具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力；采用概率化的寻优方法，能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整搜索方向，不需要确定的规则。
遗传算法的这些性质，已被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和人工生命等领域。
它是现代有关智能计算中的关键技术。
2遗传算法的运算过程遗传算法的基本运算过程如下：a)初始化：设置进化代数计数器t=0，设置最大进化代数T，随机生成M个个体作为初始群体P(0)。
b)个体评价：计算群体P(t)中各个个体的适应度。
c)选择运算:将选择算子作用于群体。
选择的目的是把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。
选择操作是建立在群体中个体的适应度评估基础上的。
d)交叉运算：将交叉算子作用于群体。
遗传算法中起核心作用的就是交叉算子。
e)变异运算：将变异算子作用于群体。
即是对群体中的个体串的某些基因座上的基因值作变动。
群体P(t)经过选择、交叉、变异运算之后得到下一代群体P(t 1)。
f)终止条件判断:若t=T,则以进化过程中所得到的具有最大适应度个体作为最优解输出，终止计算。
3遗传算法的应用随着应用领域的扩展，遗传算法的研究出现了几个引人注目的新动向：一是基于遗传算法的机器学习，这一新的研究课题把遗传算法从历来离散的搜索空间的优化搜索算法扩展到具有独特的规则生成功能的崭新的机器学习算法。
这一新的学习机制对于解决人工智能中知识获取和知识优化精炼的瓶颈难题带来了希望。
二是遗传算法正日益和神经网络、模糊推理以及混沌理论等其它智能计算方法相互渗透和结合，这对开拓21世纪中新的智能计算技术将具有重要的意义。
三是并行处理的遗传算法的研究十分活跃。
这一研究不仅对遗传算法本身的发展，而且对于新一代智能计算机体系结构的研究都是十分重要的。
四是遗传算法和另一个称为人工生命的崭新研究领域正不断渗透。
所谓人工生命即是用计算机模拟自然界丰富多彩的生命现象，其中生物的自适应、进化和免疫等现象是人工生命的重要研究对象，而遗传算法在这方面将会发挥一定的作用，五是遗传算法和进化规划（Evolution Programming,EP）以及进化策略（Evolution Strategy,ES）等进化计算理论日益结合。
EP和ES 几乎是和遗传算法同时独立发展起来的，同遗传算法一样，它们也是模拟自然界生物进化机制的智能计算方法，即同遗传算法具有相同之处，也有各自的特点。
目前，这三者之间的比较研究和彼此结合的探讨正形成热点。
