下载文档原格式
大学数学泛函分析一、引言数学泛函分析是数学的一分支，研究数学空间中的函数和它们的性质。
本文将介绍大学数学泛函分析的基本概念、定理和应用，以帮助读者更好地理解和应用泛函分析知识。
二、范数空间与内积空间1. 范数空间范数空间是指一个向量空间上定义了范数的空间。
范数是一个函数，它将向量映射到非负实数。
我们要介绍的几个常见的范数包括：欧几里得范数、p-范数等。
2. 内积空间内积空间是指一个向量空间上定义了内积的空间。
内积是一个二元运算，它将两个向量映射到一个实数。
内积空间具有许多有用的性质，如共轭对称性、正定性等。
三、泛函分析的基本概念1. 线性算子线性算子是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射。
我们要介绍的几类线性算子包括有界线性算子、紧线性算子等。
2. 连续性与收敛性在泛函分析中，我们关心函数序列的收敛性问题。
连续性和收敛性是泛函分析中的重要概念，它们可以帮助我们刻画函数的性质和行为。
3. 凸集与凸函数凸集是指包含所有连接两点的线段的集合。
凸函数是指定义在凸集上的函数，满足一定的凸性质。
凸集和凸函数在泛函分析中有着广泛的应用。
四、泛函分析的重要定理1. Banach不动点定理Banach不动点定理是泛函分析中的重要定理，它与函数的收敛性和连续性有密切关系。
该定理表明，在某些条件下，一个映射总能找到一个不动点。
2. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的核心定理，它在函数的延拓性和存在性方面有重要应用。
该定理表明，在一定条件下，我们可以将一个线性函数延拓到整个向量空间上。
3. Riesz表示定理Riesz表示定理是泛函分析中的经典定理之一，它将内积空间中的连续线性泛函表示为内积的形式。
该定理在量子力学等领域有着重要的应用。
五、泛函分析的应用泛函分析在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 偏微分方程泛函分析在偏微分方程中有着重要的应用。
通过泛函分析的方法，我们可以研究偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等性质。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析是现代数学分析的一个重要分支，它主要研究的是函数构成的函数空间以及这些空间上的线性算子。
相较于高中数学中的实变函数和复变函数，泛函分析更多地关注函数之间的相互关系和映射性质，为解决实际问题提供了新的视角和方法。
一、泛函分析的基本概念1. 函数空间：泛函分析研究的对象是函数，这些函数构成一个集合，称为函数空间。
常见的函数空间有实值函数空间、复值函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。
2. 线性算子：函数空间上的线性算子是一种映射，它将一个函数映射到另一个函数，同时满足线性性质。
线性算子是泛函分析的核心概念，如积分算子、微分算子、傅里叶变换等。
3. 范数：范数是度量函数空间中函数“大小”的一种方式。
一个函数空间的范数满足以下性质：非负性、齐次性、三角不等式和归一性。
4. 内积：内积是度量函数空间中函数“夹角”的一种方式。
一个函数空间的内积满足以下性质：非负性、齐次性、共轭对称性和三角不等式。
二、泛函分析的主要理论1. 线性算子的谱理论：研究线性算子的特征值和特征向量，以及这些特征值和特征向量的性质。
2. 线性算子的有界性：研究线性算子是否具有有界性，以及有界性的条件。
3. 线性算子的连续性：研究线性算子是否具有连续性，以及连续性的条件。
4. 线性算子的可逆性：研究线性算子是否具有可逆性，以及可逆性的条件。
5. 线性算子的对偶性：研究线性算子的对偶算子，以及对偶算子的性质。
三、泛函分析的应用1. 微分方程：泛函分析为微分方程的求解提供了新的方法，如泛函微分方程、积分方程等。
2. 积分方程：泛函分析为积分方程的求解提供了新的方法，如变分法、迭代法等。
3. 函数论：泛函分析为函数论的研究提供了新的工具，如傅里叶分析、Sobolev空间等。
4. 线性代数：泛函分析为线性代数的研究提供了新的视角，如无穷维线性空间、线性算子等。
总之，泛函分析是一门具有广泛应用前景的数学分支。
通过对函数空间、线性算子、范数、内积等基本概念的研究，泛函分析为解决实际问题提供了新的思路和方法。
泛函分析课程总结数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪≤+⎩⎭、的充要条件是、、对任意都成立。
则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。
2. 度量空间的例子①离散的度量空间(),X d设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令()1,,0,x y d x y x y ≠⎧⎫=⎨⎬=⎩⎭当当②序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令()11,21i ii i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑③有界函数空间B （A ）设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义(),()()sup t Ad x y x t y t ∈=-④可测函数空间m(X)设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令()()(),1()()Xf tg t d f g dt f t g t -=+-⎰⑤[],C a b 空间令[],C a b 表示闭区间[],a b 上实值（或复值）连续函数的全体，对[],C a b 中任意两点,x y ，定义(),max ()()a t bd x y x t y t ≤≤=-⑥2l 空间 记{}12k k k x x x l ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭∞===<∞∑，设2k x x l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，2y k y l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，定义 ()1221,()k k k d x y y x ∞=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑注：度量空间中距离的定义是关键。
第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。
定义： 假设一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。
容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。
命题2 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：〔1〕任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。
特别，(0)0T =与()R T TX =〔值域〕是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间〔称为T 的核或零空间〕。
〔2〕假设向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；假设A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。
〔3〕T 是单射(){0}N T ⇔=。
说明：假设0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；假设(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子〔或相似变换，假设0α≠〕，记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。
对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。
假设,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈假设:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。
实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。
容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT RT +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。
数学中的泛函分析与算子代数泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究无限维的向量空间上的函数和算子的性质与行为。
在泛函分析中，算子代数是一个中心概念，它研究的是在一个向量空间上定义的线性算子构成的代数结构。
一、泛函分析的基础概念泛函分析的基础概念包括函数空间、度量空间、拓扑空间等。
函数空间是泛函分析的重要研究对象，它指的是一组具有某些性质的函数构成的集合。
度量空间是指在其中定义了一种距离函数来衡量元素之间的距离的空间。
拓扑空间是指在其中定义了一种拓扑结构的空间，用来刻画元素之间的接近程度。
二、巴拿赫空间与希尔伯特空间巴拿赫空间是一种完备的赋范空间，即其中的柯西序列都有极限。
巴拿赫空间是泛函分析中的核心概念，它在很多领域中都有应用，特别是在函数分析中。
希尔伯特空间是一种特殊的巴拿赫空间，它是欧几里得空间的推广，具有内积的结构。
三、算子与算子代数算子是泛函分析中的重要对象，它是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性函数。
算子代数则研究的是在一个向量空间上定义的线性算子的代数性质。
算子代数在数学和物理学中都有广泛的应用，例如量子力学中的算子代数。
四、谱理论与函数解析谱理论是泛函分析中的一个重要分支，它研究的是线性算子的谱结构和谱性质。
函数解析则研究的是将一个函数映射到另一个函数的算子的性质与行为。
谱理论和函数解析在数学中有广泛的应用，特别是在微分方程、泛函微分方程和偏微分方程的研究中。
五、应用领域泛函分析和算子代数在数学中的应用非常广泛，特别是在偏微分方程、概率论、最优化问题以及量子力学等领域。
例如，在偏微分方程中，通过泛函分析的方法可以研究方程的解的存在唯一性以及性质；在量子力学中，算子代数是研究量子系统的关键工具。
总结：泛函分析与算子代数是数学中重要的分支，它们研究的是无限维向量空间上的函数和算子的性质与行为。
泛函分析的基础概念包括函数空间、度量空间和拓扑空间等。
巴拿赫空间和希尔伯特空间是泛函分析中的核心概念，算子代数则研究的是线性算子的代数性质。
第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。
定义： 若一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。
容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。
命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。
特别，(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的核或零空间）。
（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。
（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。
说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。
对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。
若,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈若:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。
实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。
容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。
若线性算子:T X Y →为双射，则称它为线性同构，此时其逆映射1:T Y X -→亦为线性算子。
T 是线性同构的充要条件是，存在线性算子:S Y X →，使得,(2.1.4)X YST I TS I ==二、有界线性算子定义2.1.2 设:T X Y →是一个线性算子。
令sup /(2.1.5)x T Tx x≠=若T <∞，则称T 为从X 到Y 的有界线性算子，且称T 为T 的算子范数，简称为范数。
若T =∞，则称T 为无界算子。
约定以(,)L X Y 记从X 到Y 的有界线性算子之全体，(,)L X X 简写为()L X 。
注1：:T X Y →的有界的等价刻画： （1）0,k x X ∃>∀∈，有;Tx k x ≤或 （2）T 映X 中的有界集为Y 中的有界集。
注2：若(,)T L X Y ∈，则对任给的x X ∈有(2.1.6)Tx T x≤注3：范数定义的几种等价形式 （1）1sup (2.1.7)x T Tx== （2）1sup (2.1.8)x T Tx≤=（3）inf{0:().(2.1.9)T k Tx k x x X =≥≤∀∈例2.1.3 设[,]()J a b a b =<，给定()C J ϕ∈。
定义()()()(,()),Tu x x u x x J u C J ϕ=∈∈T 是从()C J 到自身的线性算子。
求T 。
命题2.1.4 设:T X Y →是一个线性算子，则T 有界T ⇔连续。
推论：（1）T 是拓扑同构T ⇔与1T -皆连续（即T 为同胚）； （2）若(,),{}n T L X Y x X ∈⊂，nx∑收敛，则有111()(lim )lim ()lim n n nn k k k n n n n nk k k nT x T x T x Tx Tx →∞→∞→∞=======∑∑∑∑∑。
例2.1.5：设[0,]J π=，在1()C J 与()C J 中均采用sup 范数。
显然1:()(),(2.1.10)dT C J C J u u dx'=→→是一线性算子。
令()sin n u x nx =，则01nu =，而0n u n '=，可见T 是无界算子。
三、有界线性算子的运算与扩张命题2.1.6：(,)L X Y 依算子范数是一个赋范空间；当空间Y 完备时，(,)L X Y 是Banach 空间。
定理 2.1.7（扩张定理）：设D 是X 的稠密子空间，(,)T L D Y ∈，Y 完备，则T 可保持范数惟一地扩张到X 上。
若线性算子:T X Y →是单射（即(){0}N T =），则1:()T R T X -→是一确定的线性算子，当它有界时称为T 的有界逆，并说T 有有界逆。
命题2.1.8线性算子:T X Y →有有界逆的充要条件是存在0k >，使得().(2.1.14)Tx k xx X ≥∈。
第二节 常用有界线性算子一、矩阵设,X Y 是有限维赋范空间，dim ,dim ,(,)X n Y m T L X Y ==∈。
分别取X 的基{}j e 与Y 的基{}i ε。
设(1),j ij iiTe a j n ε=≤≤∑则T 完全由矩阵[]m nij A a ⨯=∈K所确定。
若,(,)T S L X Y ∈分别对应矩阵,,,m n A B αβ⨯∈∈K K ，则算子T S αβ+恰好对应矩阵A B αβ+。
这样，线性算子空间(,)L X Y 线性同构于矩阵空间m n ⨯K ，因而对(,)L X Y 的研究可代之以对m n ⨯K 的研究。
任给[]m nij A a ⨯=∈K，依矩阵乘法自然地定义一个线性算子：,,(2.2.1)n m x Ax →→K K其中x 当作1n ⨯阶矩阵。
不妨用同一字母A 表示算子（2.2.1），它也可表成：,(),(),(2.2.1),1,2,,.n m j i i ij j j y Ax x x y y y a x i m ⎧==∈=∈⎪'⎨==⎪⎩∑K K若在n K 中使用范数1(),1,(2.2.2)max ,,p p jj pj jx p xx p ⎧≤<∞⎪=⎨⎪=∞⎩∑则n K 可看作pl 的子空间，只需将()n j x x =∈K 等同于pl 中的元1(,,,0,0,)T n x x 。
通常称范数（2.2.2）为p 范数，采用p 范数的nK 也记作p n l 。
相应地，算子:p p n m A l l →（定义见（2.2.1））的范数记作p A ，即1sup .(2.2.3)p p p x A Ax ≤=p A 也称为A 的p 范数。
命题2.2.1 设[]m nij A a ⨯=∈K，则1max ;(2.2.4)ij jiA a =∑。
1max ;(2.2.5)T ij ijA a A ∞==∑2}j jA λ=是T A A 的特征值的全体。
(2.2.6)以[](,1,2,)ij A a i j ==记一个无穷矩阵，其中ij a ∈K 。
仿照(2.2.1)'，形式地定义一个算子x Ax →：,(),(),(2.2.7),1,2,,.j i i ij j j y Ax x x y y y a x i ===⎧⎪⎨==⎪⎩∑仍将式（2.2.7）所定义的算子记作A 。
命题2.2.2 设算子A 定义如式（2.2.7），p A 依式（2.2.3）（但假定其中px l ∈）。
（1）若sup ij jia β<∞∑，则1()A L l ∈且1A β=。
（2）若sup ij ija β<∞∑，则()A L l ∞∈且A β∞=。
（3）若122,()ij i ja β<∞∑，则2()A L l ∈且2A β≤。
二、积分算子设[,]()J a b a b =<，函数(,)K x y 为定义在J J ⨯上的Lebesgue 可测函数。
定义积分算子()(,)()().(2.2.8)baTu x K x y u y dyx J =∈⎰要求上述积分对几乎所有x J ∈存在，函数(,)K x y 称为积分算子T 的核或核函数。
命题2.2.3 设(,)K x y 是J J ⨯上的Lebesgue 可测函数，算子T 依式（2.2.8）定义，约定sup ()xess x ϕϕ∞=（L ∞范数又称为本性上确界）。
1、若sup (,),bay Jess K x y dx β∈<∞⎰则1(())T L L J ∈且T β=。
2、若sup (,),bax Jess K x y dy β∈<∞⎰则(())T L L J ∞∈且T β=。
3、若122((,)),bbaaK x y dxdy β<∞⎰⎰则2(())T L L J ∈且T β≤。
例子 考虑积分算子：()().()(2.2.9)xaTu x u y dy x J =∈⎰取1,,(,)0,,y x K x y y x ≤⎧=⎨>⎩可将（2.2.9）写成（2.2.8）的标准形式。
由命题2.2.3得：1sup ;byy JT ess dx b a ∈==-⎰sup ;xax JTess dy b a ∞∈==-⎰122()bxaaTdx dy ≤=⎰⎰。
命题2.2.4 设(,)K x y 在J J ⨯上连续，积分算子T 定义如式（2.2.8），则(())T L C J ∈，且sup (,).(2.2.10)bax JT K x y dy ∈=⎰下面考虑几个具有特殊形式核的积分算子。
（一）给定函数ϕ，以(,)()K x y x y ϕ=-为核。
此时，积分算子为()()()()(2.2.11)n n RT u x x y u y dyx R ϕϕ=-∈⎰通常将式（2.2.11）右端的积分记作u ϕ*，并称它为函数ϕ与u 的卷积。
算子T ϕ显然是在其有定义的集合上的线性算子，其定义域与性质则取决于ϕ的选择。
命题2.2.5 设1/(1)p q q ≤=-≤∞。
（1）若1()n L ϕ∈R ，则(())p n T L L ϕ∈R ，且1T ϕϕ≤。
（2）若()pnL ϕ∈R ，则((),())q n n b T L L C ϕ∈R R ，且p T ϕϕ≤，此处()()()n n n b C C B =R R R ，采用sup 范数。
（3）若2()nL ϕ∈R ，则2((),())n n b T L L C ϕ∈R R ，且2T ϕϕ≤。
定理的证明需要如下引理：引理 2.2.6 设()(1)p n L p ϕ∈≤<∞R ，()()x y x y ϕϕ=+，则当,0nx x ∈→R 时有0x pϕϕ-→。
