① 焦点在x 轴上:
② 焦点在y 轴上:
2 2
x_ y_ 二
b 2
(a > b > 0)
b 2
(a > b > 0)
焦点 F (土c , 0)
注意：①在两种标准方程中 ，总有a >b >0,并且椭圆的焦点总在长轴上
3. 顶点
(1) 椭圆的顶点：A i (-a , 0), A2 (a, 0), B i (0, -b ), B2 (0, b)
(2) 线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做
椭圆的长半轴长和短半轴长。
4. 离心率
(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c,即-称为椭圆的离心率，
2a a
2 c b 2
记作e ( 0 ：e ： 1) , e 2 = 1 一(—)・ a a
e = 0是圆;
e越接近于0 (e越小)，椭圆就越接近于圆；
e越接近于1 (e越大)，椭圆越扁；
注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
(2)椭圆的第二定义：平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(O v e v
1)的点的轨迹为椭圆。(J-PF-^e)
d
(3) 基本线：对称轴(共两条线)
5 •椭圆的的内外部
2 2
(1
)点 P(x o , y o )在椭圆 ~ ~2 =
^k
a b 0)
的内部—
a b
2 2
(2)点P(x o , y o )在椭圆笃•每=1(a b ■ 0)的外部=
a b
6•几何性质
(1) 最大角• CPF ?
max - *2
尸2,
(2) 最大距离，最小距离
例题讲解：
一椭圆定义：
1. 方程｛(x - 2 f 十y 2 + «(x +2 f + y 2 =10化简的结果是 ______________
2. ___________________________________________________________________________ 若ABC 的两个顶点A -4,0 ,B 4,0 , ABC 的周长为18 ,则顶点C 的轨迹方程是 _________________
2 2
3•已知椭圆—+ »=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为
—
16
9
二.利用标准方程确定参数
2 2
1•若方程 厶 + 丄=1 (1)表示圆，贝U 实数k 的取值是
5 _k k _3
(2) ______________________________________________________________ 表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 _________________________________________ . (3) ______________________________________________________________ 表示焦点在y 型上的椭圆，贝U 实数k 的取值范围是 _____________________________________ . (4) ________________________________________________ 表示椭圆,则实数k 的取值范
2 2
2
. 2
a
b
围是______________________________________________________ .
2. _________________________________________ 椭圆4x2• 25y2 =100的长轴长等于,短轴长
等于___________________________________________ ,顶点坐标
是 ____________________________ ，焦点的坐标是 __________________ ，焦距是 ______ , 离
心率等于
4 .椭圆5x 2 - ky 2 =5的一个焦点是(0,2),那么k 二 __________ .待定系数法求椭圆标准方程
1. _____________________________________________________ 若椭圆经过点(-4,0) , (0, -3),则该椭圆的标准方程为 _____________________________________ o
2. __________________________________________________________ 焦点在坐标轴上,且a 2 =13 , c 2 =12的椭圆的标准方程为 __________________________________
3. 焦点在x 轴上，a:b=2:1, c — 6椭圆的标准方程为 ______________
4. 已知三点P (5, 2)、F 1 (-6, 0)、F 2
(6, 0),求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆
的标准方程；
变式：求与椭圆4x 2 • 9y 2 =36共焦点,且过点(3, -2)的椭圆方程
四.焦点三角形
2 .设F 1 , F 2为椭圆16x 2 25y 2 =400的焦点，P 为椭圆上的任一点,则PF 1F 2的周长是
多少？ UPF 1F 2的面积的最大值是多少？
2 2
3.
设点P 是椭圆— 1
1上的一点,F 1,F 2是焦点,若・F 1PF 2是直角,则
T1PF 2的面积
25 16
3. 2 2
椭圆才m“的焦距为2，则m =
2 2
椭圆-r
9 25
=1
的焦点为F 1、 F 2 , AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则ABF 2的周长是
