押第13题 二项式定理二项式定理是高考全国卷的一个高频考点,大多为基础题,且以小题的形式进行考查,考查热点是求二项展开式指定项的系数,或求形如()()(),n ncx d ax b ax by c ++++的展开式中指定项的系数.1．二项式定理的展开式011()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,其中组合数rn C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项.注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在()nax b +的展开式中,第ｒ＋１项的二项式系数为rn C ,第ｒ＋１项的系数为r n rr n C ab -；而1()n x x+的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：1(1)1nr r n n x C x C x x +=+++++2.二项式定理的通项二项展开式中第r +l 项1(0,1,2,r n rr r n T C ab r -+==,)n 称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.注意：()1通项公式是表示第1r +项,而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r n C 与第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数,r 是非负整数且r ≤n . 3.项的系数和二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mn mn n C C -=）．(2)增减性与最大值：当12n r +≤时,二项式系数C r n 的值逐渐增大,当12n r +≥时,C rn 的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n 为偶数时,中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nn C 取得最大值.当n 为奇数时,中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数1122n n n n C C -+=相等并同时取最大值.(3)各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ ,0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅12n -=(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当α很小时,有()()211112nn n n ααα±≈±+-. 4.二项定理问题的处理方法和技巧⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n rr r n T C ab -+=,注意()n a b +与()nb a +虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指rn C ,而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关,恒为正,后者还与a ,b 有关,可正可负． ⑵ 对于二项式系数问题,应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时,应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求r ,再求1r T +,有时还需先求n ,再求r ,才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别. 5. 求展开式系数最大项如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +,且第k 项系数最大,应用11k k kk A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来,即得．6.二项式应用问题(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时,应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠),商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围． 7.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意A x ∈,某式子恒成立,则对A 中的特殊值,该式子一定成立,特殊值x 如何选取视具体情况决定,灵活性较强,一般取1,1,0-=x 居多.若2012()...,n nn ax b a a x a x a x +=++++则设()()=+nf x ax b .有：①0(0);a f =②012...(1);n a a a a f ++++=③0123...(1)(1);nn a a a a a f -+-++-=-④0246(1)(1)...;2f f a a a a +-++++=⑤1357(1)(1) (2)f f a a a a --++++=1．（2020·山东·高考真题）在821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,第4项的二项式系数是（ ） A ．56B ．56-C ．70D ．70-【答案】A 【详解】第4项的二项式系数为388765632C ⨯⨯==⨯, 故选：A.2．（2021·江苏·高考真题）已知()12nx -的展开式中2x 的系数为40,则n 等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】A 【详解】()()222221n C x n n x -=-,所以()21405n n n -=⇒=.故选：A.3．（2021·湖南·高考真题）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______．（用数字作答）【答案】15 【详解】解：由261231661()()r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅． 取1230r -=,得4r =．∴621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为4615C =． 故答案为：15．4．（2021·天津·高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,6x 的系数是__________．【答案】160 【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrr r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭, 令1846r -=,解得3r =,所以6x 的系数是3362160C =.故答案为：160.5．（2021·北京·高考真题）在341()x x-的展开式中,常数项为__________．【答案】4- 【详解】的展开式的通项令1240r -=,解得,故常数项为．故答案为：4-.1．（2022·山东青岛·一模）()52x y -的展开式中23x y 的系数是______．（用数字作答） 【答案】80- 【详解】()52x y -的展开式的通项公式为()()5515522r rr rr r r r T C x y C x y --+=-=-,令3r =可得()3323235280C x y x y -=-所以()52x y -的展开式中23x y 的系数是80- 故答案为：80-2．（2022·山东泰安·一模）在()()45121x x -+的展开式中,含2x 的项的系数是___________. 【答案】6 【详解】()41x -的展开式的通项公式为4()k k C x -,()521x +的展开式的通项公式为55(2)ttC x -,所以()41x -()521x +展开式中,含2x 的项为：0035311454225552454545()(2)()(2)()(2)6C x C x C x C x C x C x x ----⋅+-+-=,所以含2x 的项的系数为6． 故答案为：6.3．（2022·福建福建·模拟预测）若二项武23⎛ ⎝nx x 的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值是_________． 【答案】7 【详解】23nx x ⎛ ⎝的展开式的通项()722313(1)rrn n r r r r r n n T C x C xx --+⎛==-⋅⋅ ⎝, 令7203r n -=,得76r n =,因为*n N ∈,所以当6r =时,n 有最小值为7.故答案为：7.4．（2022·广东佛山·模拟预测）()621x x ++展开式中4x 的系数为______．【答案】90 【详解】由于()()662211x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦,所以其展开式的通项为()22666rrr k r k k r k r k r r C x x C C x x C C x -++==,其中06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈,为得到()621x x ++展开式中4x 的系数,则4r k +=,当2,2r k ==时,4x 的系数为226215C C =；当3,1r k ==时,4x 的系数为316360C C =； 当4,0r k ==时,4x 的系数为406415C C =；所以()621x x ++展开式中4x 的系数为15601590++=.故答案为：90.5．（2022·江苏南通·模拟预测）设2022220220122022(12)x a a x a x a x +=+++⋯+,则31223222a a a -+- (2021202220212022)22a a +-=______． 【答案】1 【详解】由题意令0x =,可得01a = 令12x =-,可得20223202120221202320212022(11)22222a a a a a a -=-+-+⋯-+ 所以3202120221202320212022122222a a a a a a =-+-⋯+-= 故答案为：1（限时：30分钟）1．若()12nx -的展开式中3x 项的系数为－160,则正整数n 的值为______． 【答案】6 【详解】二项式()12nx -的通项公式为：11(2)(2)rn rr rr r r n n T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅,令3r =,所以33(1)(2)(2)16020(1)(2)1206n n n n C n n n --⋅-=-⇒=⇒--=,令1n x -=,所以332(1)(1)1201200(125)(5)0(5)(525)(5)0x x x x x x x x x x x +-=⇒--=⇒---=⇒-++--=,2(5)(524)05x x x x ⇒-++=⇒=,或25240x x ++=,因为25424710-⨯=-<,所以方程25240x x ++=无实数根,故5x =,即156n n -=⇒=, 故答案为：62．已知7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+,则0128a a a a +++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】2- 【详解】令1x =带入等式两边可得,01282a a a a -=+++⋅⋅⋅+. 故答案为:2-.3．在4(3)()y x y +-的展开式中23x y 的系数为___________. 【答案】6 【详解】()01234443223444444(3)()(3)y x y y C x C x y C x y C xy C y +-=+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅,∴展开式中含23x y 的项为22223234426y y C x y C x x y ⋅=⋅=故它的展开式中23x y 的系数为6, 故答案为：64．若()21nx -的展开式中第5项的二项式系数最大,则n =___________．（写出一个即可） 【答案】8（答案不唯一） 【详解】由题意,二项式()21nx -的展开式中第5项的二项式系数最大, 可得4345n n n n C C C C ⎧≥⎨≥⎩,即()()()()()()()()()()()()1231243213211231234432154321n n n n n n n n n n n n n n n n ⎧-----≥⎪⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎨-------⎪≥⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎩, 解得79n ≤≤,所以7n =或8或9. 故答案为：8（答案不唯一）.5．已知()262x y +的展开式中82x y 的系数为____________ 【答案】240 【详解】()262xy + 展开式的通项公式为：662661221(2)2,0,1,2,3,4,5,6r r r r r r r r T C x y C x y r ---+=== ,令2r = ,则6428232T C x y ==, 故82x y 的系数为2462240C = ,故答案为：2406．二项式5的展开式中含2x 的项的系数是____________.（用数字作答） 【答案】10- 【详解】解：因为5展开式的通项为(()15561551r rrrr r r T CC x--+==-,令1526r-=,解得3r =,所以()332245110T C x x =-=-,故展开式中2x 项的系数为10-； 故答案为：10-7．()()6121x x +-的展开式中3x 项的系数为___________． 【答案】10 【详解】()()6121x x +-的展开式中含3x 的项为：()()32323661210C x x C x x ⨯-+⨯-=,()()6121x x +-的展开式中3x 项的系数为10,故答案为：108．511813x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为___________.【答案】2281- 【详解】513x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()551551C 13C 3rr r r r r r r T x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当81乘以513x ⎛⎫- ⎪⎝⎭时,令50r -=,解得=5r ,常数项为()555518113C 3-⨯-=-；当1x 乘以513x ⎛⎫- ⎪⎝⎭时,令51r -=,解得4r =常数项为()44451513C 81x x -⨯-= ； 所以511813x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为2281-故答案为：2281-9．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数为56,则该展开式中各项系数之和为___________.【答案】256 【详解】由题设,二项式展开式通项为882188()r rr r r r r aT C xa C x x--+==, 当822r -=,即3r =时,33385656a C a ==,则1a =,所以,令1x =可得各项系数之和为82256=. 故答案为：25610．在()()51a x x ++展开式中,x 的偶数次幂项的系数之和为8,则=a ______.【答案】12-【详解】设()()()51f x a x x =++展开式x 的偶数次幂项的系数之和为A ,奇数次幂项的系数之和为B ,则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩,得()()()1111612A f f a =+-=+⎡⎤⎣⎦,由8A =得12a =-. 故答案为：12-.11．若2nx⎛⎝的展开式中第5项为常数项,则该常数项为______（用数字表示）． 【答案】35 【详解】解：21(n x x -的展开式的通项公式为7221(1)r n r rr nTC x-+=⋅-⋅,展开式中第5项为常数项,故当4r =时,7202rn -=,7n ∴=, 该展开式的常数项为447(1)35C ⋅-=,故答案为：35．12．某公司2021年实现利润100万元,计划在以后5年中每年比一年利润增长8%,则2026年的利润是___________万元.（结果精确到1万元） 【答案】147 【详解】 由题意可知,50122335555100(18%)100[8%(8%)(8%)]100 1.46912146.912147C C C C ⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯+≈⨯=≈ (万元),即2026年的利润大约是147万元.故答案为：14713．已知()()()28480128111x x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =______,1357a a a a +++=______.【答案】 2 136 【详解】在等式()()()28480128111x x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中,令1x =可得02a =,令0x =,可得0123456780a a a a a a a a a -+-+-+-+=,① 令2x =,可得012345678272a a a a a a a a a ++++++++=,② ②-①可得1357136a a a a +++=. 故答案为：2；136.14．已知多项式45234512345()(21)()a x x a x a x a x a x a x a ++-=++++∈R ,则=a ___________,45a a +=___________.【答案】 ±1 -47 【详解】解：因为多项式45234512345()(21)()a x x a x a x a x a x a x a ++-=++++∈R ,所以()50454510C a C +-=,即41a =,解得1a =±,又()4144452179a C C =+-=-,0555232a C ==,所以45793247a a +=-+=-, 故答案为： ±1,-4715．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示,第()*N ,2n n n ∈≥行的数字之和为______；去除所有为1的项,依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的前46项和为______.【答案】 12n - 2037 【详解】11 n 次二项式系数对应杨辉三角形的第1n +行,例如：()22121x x x +=++,系数分别为1,2,1,对应杨辉三角形的第三行：令1x =,就可以求出该行的系数和,第1行为02,第2行为12,第3行为22,依此类推即每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列,即杨辉三角第()*,2n n N n ∈≥行的数字之和为12n -,杨辉三角的前n 行的所有项的和为122112n n n S -==--. 若去除所有为1的项,则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1,公差为1的等差数列,则()12n n n T +=,且945T =,可得当9n =即第11行,再加上第12行的前1个数（去除两边的1）,所有项的个数和为46,则杨辉三角形的前11行所有项的和为111121S =-.则此数列前46项的和为111121112112037S -+=-=.故答案为：12n -,2037.。
