2016_2017学年高中数学第4章导数应用1.2函数的极值课件

3.函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x 1时有极值10，则a，
b的值为（ ）C
A、 a 3, b 3 或 a 4, b 11
B、 a 4, b 1 或 a 4,b 11
C、a 4, b 11 ， D、 以上都不对
解:由题设条件得：
f f
(1) 10 / (1) 0
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况;
a 2,b 9, c 12
3a
注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区 间的内部取得，也可能在区间的端点取得。
【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?
在极值点附近的导数符号有什么规律?
（2）如果在 x0 附近的左侧 f ( x0 ) 0，右侧 f ( x0 ) 0，那 么 f ( x0 )是极小值．
(3)如果在x0两侧的符号相同 ， 则f (x0 )不是极值 。
注：导数为0的点不一定是极值点．
观察与思考：极值与导数有何关系？
对于可导函数, 若x0是极值点,则 f’(x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.

练习1.函数f (x) 2x3 3x2 a的极大值为6，则a （C ）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习2.函数f (x) x3 ax2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，
则a （A）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习3，若函数f (x) x3 ax2 3x 9无极值，则a的
(2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是 单调递减 的，在区 间(x0，b)上是 单调递增 的，则 x0 是极小值点，f(x0)是极小值.
注：在不为单调函数的前提下，极值点是导函数的零点，即方程 的根。
如：已知函数f (x)的图象如下,则函数f (x)在区间[a, h] 上的极大值点和极小值点分别有（ ）个
取值范围为（ C）
注：以下五点点加深对极值的理解 ，所有函数为可导函数
四、课堂小结
1.函数的极值的概念 2.会求函数的极值
答：极大值点有c,e,g 极小值点有：b,d,f
o
abc d e f
gh x
A.2,没有 C.4,0
B.(0,0), (4,0) D.(4,0), (0,0)
三、求函数的极值
注：求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)用方程 f′(x)＝0 的根顺次将函数的定义域分成若干个 小开区间，并列成表格；(写出单调区间) (4)由 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右的符号，来判断 f(x) 在这个根处取极值的情况．
提示：f(x)在(a，x0)上单调递增，导数大于零，在(x0，b)上单 调递减，导数小于零．
问题 4：函数 y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？ 提示：与 y＝f(x)在(a，b)上结论相反．

Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率

4．求函数的极值：f(x)＝3x＋3ln x. 解析： 函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1，
14
12
课堂探究
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________． 解析： 由f′(x)＝3x2－6x＝0， 解得x＝0或x＝2. 列表如下：
x (－∞，0) 0 (0,2)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
∴当x＝2时，f(x)取得极小值．
答案： x＝2
2 0 极小值
(2，＋∞) ＋
13
课堂探究
7
化解疑难
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极 值点． (2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点． (3)导数为0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点．
8
基础自测
1．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：
3
基础梳理
极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小， f′(a)＝___0____；而且在点x＝a附近的左侧___f′_(_x_)<__0__，右侧__f_′(_x_)>__0___，就把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
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基础自测
①－3是函数y＝f(x)的极值点；
②－1是函数y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．
则正确命题的序号是( )A．①② NhomakorabeaB．①④