北师大九年级数学教案-直角三角形
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第一章 直角三角形的邊角關係
§1.1 從梯子的傾斜程度談起（第一課時）
學習目標:
1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.
2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.
學習重點:
1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關係.
2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.
學習難點:
理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.
學習方法:
引導—探索法.
學習過程:
一、生活中的數學問題:
1、你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？
2、生活問題數學化：
⑴如圖：梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？
⑵以下三組中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？
二、直角三角形的邊與角的關係（如圖，回答下列問題）
⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什麼關係?
⑵222111BACCBACC和有什麼關係？
⑶如果改變B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?
⑷由此你得出什麼結論?
三、例題：
例1、如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?
例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
四、隨堂練習：
1、如圖，△ABC是等腰直角三角形，你能根據圖中所給資料求出tanC嗎?
2、如圖，某人從山腳下的點A走了200m後到達山頂的點B，已知點B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度.(結果精確到0.001)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高________米.
4、菱形的兩條對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______.
5、如圖，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結果保留根號)
五、課後練習：
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,則tanA= _______.
2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,則tanA=_______.
3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,則tanC=______.
4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
5、若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC於E,EC=1,tanB=125, 求菱形的邊長和四邊形EDBACAECD的周長.
7、已知:如圖,斜坡AB的傾斜角a,且tanα=34,現有一小球從坡底A處以20cm/s 的速度向坡頂B處移動,則小球以多大的速度向上升高?
8、探究:
⑴、a克糖水中有b克糖(a>b>0),則糖的品質與糖水品質的比為_______; 若再添加c克糖(c>0),則糖的品質與糖水的品質的比為________.生活常識告訴我們: 添加的糖完全溶解後,糖水會更甜,請根據所列式子BAC及這個生活常識提煉出一個不等式: ____________.
⑵、我們知道山坡的坡角越大,則坡越陡,聯想到課本中的結論:tanA的值越大, 則坡越陡,我們會得到一個銳角逐漸變大時,它的正切值隨著這個角的變化而變化的規律,請你寫出這個規律:_____________.
⑶、如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延長BA、BC,使AE=CD=c, 直線CA、DE交於點F,請運用(2) 中得到的規律並根據以上提供的幾何模型證明你提煉出的不等式.
§1.1從梯子的傾斜程度談起（第二課時）
學習目標：
1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程，理解正弦和余弦的意義.
2.能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.
3.能根據直角三角形中的邊角關係，進行簡單的計算.
4.理解銳角三角函數的意義.
學習重點：
1.理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，並能舉例說明.
2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. BDACEF 3.能根據直角三角形的邊角關係，進行簡單的計算.
學習難點：
用函數的觀點理解正弦、余弦和正切.
學習方法：
探索——交流法.
學習過程：
一、正弦、余弦及三角函數的定義
想一想：如圖
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什麼關係?
(2) 211122BACABACA和有什麼關係?
2112BABCBABC和呢?
(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什麼結論?
(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什麼結論?
請討論後回答.
二、由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關係：
三、例題：
例1、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的長.
例2、做一做：
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝1312，AC＝10，AB等於多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.
四、隨堂練習：
1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝54，BC=20，求△ABC的周長和面積.
3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=21，則sinA= .
BAC
4、已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函數的定義證明)
五、課後練習：
1、在Rt△ABC中,∠ C=90°,tanA=34,則sinB=_______,tanB=______.
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,則AC=______,BC=_______.
3、在△ABC中,AB=AC=10,sinC=45,則BC=_____.
4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那麼下列結論正確的是( )
A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=35
5、如圖,在△ABC中,∠C=90°,sinA=35,則BCAC等於( )
A.34 B.43 C.35 D.45
6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=35,那麼tanA等於( )
A.43 B.34 C.45 D.54
7、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,則sinA的值是
A．135 B．1312 C．125 DBACD．512
8、已知甲、乙兩坡的坡角分別為α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 則下列結論正確的是( )
A.tanα D.cosα>cosβ 9、如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列線段的比中不等於sinA的是( ) A.CDAC B.DBCB C.CBAB D.CDCB 10、某人沿傾斜角為β的斜坡前進100m,則他上升的最大高度是( )m A.100sin B.100sinβ C.100cos D. 100cosβ 11、如圖,分別求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切. 12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC邊上的高,AD=4.求:CD,sinC.
