北师大版 八年级数学 直角三角形

直角三角形

课前测试

【题目】课前测试

如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=8cm，则立柱BC，DE要多长？

【答案】立柱BC长4m，DE长2m

【解析】

首先根据BC⊥AF，∠A=30°，应用含30°角的直角三角形的性质，求出BC的长度是多少；然后根据BC、DE垂直于横梁AC，推得BC∥DE，再根据D是AB的中点，求出DE的长度是多少即可．

解：∵BC⊥AF，∠A=30°，

∴BC=AB=4m，

∵BC、DE垂直于横梁AC，

∴BC∥DE，

又∵D是AB的中点，

∴DE=BC=2m． 答：立柱BC长4m，DE长2m．

此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

【难度】3

【题目】课前测试

如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．

求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．

【答案】Rt△ABE≌Rt△CBF

【解析】

在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．

证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∵，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．

本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握HL 【难度】2

知识定位

适用范围：北师大版，八年级

知识点概述：本章重点部分是直角三角形。了解，掌握直角三角形的定理，还有

勾股定理，还有含30°角的直角三角形的性质以及直角三角形的斜边中线定理，

会证明直角三角形全等。这部分在考试中很重要，中考中直角三角形的性质是重

点

适用对象：成绩中等偏下的学生

注意事项：熟练掌握三角形全等的判定方法

重点选讲：

知识梳理

知识梳理1：直角三角形 ①直角三角形的性质

②含30°角的直角三角形

③证明直角三角形全等 例题精讲

题型1：直角三角形的性质

在△ABC中，∠A=∠B=45°，CB=3，则AB= ．

【答案】32

【解析】 定理：

（1）直角三角形的两个锐角互余

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形

勾股定理：

（1）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

（2）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

命题：

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

直角三角形全等的判定：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）

含30°角的直角三角形：

30°角所对应的直角边等于斜边的一半

解：∵∠A=∠B=45°，BC=3

根据勾股定理可知：AB=32

故答案为：32

本题考查了直角三角形的定理

【难度】2

【题目】题型1变式练习1：直角三角形的性质

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，且BM=AC，DM=AC，则线段MN的长为

．

【答案】5

【解析】

根据在直角三角形中，得到BM=DM=5，根据等腰三角形的性质得到BN=4，根据勾股定理得到答案．

解：连接BM、DM，

∵∠ABC=∠ADC=90°，BM=AC，DM=AC，

∴BM=DM=13，又N是BD的中点，

∴BN=DN=BD=12，

∴MN==5，

故答案为：5．

本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质

【难度】3

【题目】题型1变式练习2：直角三角形的性质

在Rt△ABC中，D为AB的中点，且DC=AB，，点E在AC上，且∠EDC=72°，点F在AB上，满足DE=DF，则∠CEF的度数为

．

【答案】54°或144° 【解析】

画出图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质，即可得到∠DFE=∠B﹣36°，再根据三角形外角性质以及三角形的内角和，即可得到∠CEF=∠A+∠AFE=54°，∠CEF'=∠CEF+∠FEF'=54°+90°=144°．

解：如图，当点F在BD上时，

∵Rt△ABC中，DC=AB=DB，

∴∠CDB=180°﹣2∠B，

∵DE=DF，

∴△DEF中，∠DFE=（180°﹣∠EDF）

=（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）

=（108°﹣∠CDB）

=54°﹣∠CDB

=54°﹣（180°﹣2∠B）

=∠B﹣36°，

∵∠CEF是△AEF的外角，

∴∠CEF=∠A+∠AFE

=90°﹣∠B+∠B﹣36°

=54°，

当点F'在AD上时，由DF=DE=DF'，可得∠FEF'=90°，

∴∠CEF'=∠CEF+∠FEF'=54°+90°=144°，

故答案为：54°或144°．

本题主要考查了直角三角形的性质以及三角形外角性质的综合运用，解决问题的关键是画出图形，分类讨论，利用角的和差关系进行计算．

【难度】3

题型2：含30°角的直角三角形的性质

在△ABC中，AB=8，AC=5，∠ABC=30°，则BC= ．

【答案】4+3或4﹣3

【解析】

分为两种情况，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ADB中求出AD=AB=4，由勾股定理求出BD=4，在Rt△ADC中由勾股定理求出CD，即可求出答案．

解：

①过A作AD⊥BC于D，如图1，

则∠ADB=∠ADC=90°，

∵在Rt△ADB中，∠B=30°，AB=8，

∴AD=AB=4，由勾股定理得：BD=4，

在Rt△ADC中，AD=4，AC=5，由勾股定理得：CD=3， ∴BC=4+3，

②如图2，

BC=4﹣3

故答案：4+3或4﹣3．

本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的应用，关键是构造直角三角形后求出CD和BD的长．

【难度】3

【题目】题型2变式练习1：含30°角的直角三角形的性质

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，在同一平面内，以AC为一边作等边△ACD，连接BD，则BD= ．

【答案】△AEC≌△BED

【解析】

由于点D不确定，故需要对D的位置进行讨论，然后根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．

解：当点D位于AC边的下方时，如图所示， 过点D作DE⊥BC的延长线于点E，连接BD，

∵∠BAC=30°，BC=2，

∴AB=4，

由勾股定理可知：AC=2

∵△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，CD=AC=2，

∴∠DCE=30°，

∴DE=，

由勾股定理可知：CE=3，

∴BE=2+3=5

∴由勾股定理可知：BD=2

当点D位于AC边上方时，如图所示，

∴∠DAC=60°，

∴∠DAB=∠CAB=30°，

在△ADB与△ACB中，

∴△ADB≌△ACB（SAS）

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∴∠BDC=∠BCD=30°，

∴BD=BC=2

故答案为：2或2

本题考查等边三角形，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，综合程度较高，属于中等题型．

【难度】3

【题目】题型2变式练习2：含30°角的直角三角形的性质

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，BD=AD．若AD=14，则BC的长为 ．

【答案】7

【解析】 由BD=DA，且可求得∠BDC=2∠A=30°，在Rt△BCD中可求得BC=BD．

解：

∵BD=AD=14，

∴∠BCD=2∠A=30°，

∵∠ACB=90°，

∴BC=BD=7，

故答案为：7．

本题主要考查直角三角形的性质求得BD的长是解题的关键．

【难度】3

题型3：证明直角三角形的全等

．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．

（1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．

【答案】△ABC≌△DCB；△OBC是等腰三角形

【解析】

（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB； （2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．

证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°

AC=BD，BC为公共边，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；

（2）△OBC是等腰三角形

∵Rt△ABC≌Rt△DCB

∴∠ACB=∠DCB

∴OB=OC

∴△OBC是等腰三角形

此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．

【难度】3

【题目】题型3变式练习1：证明直角三角形的全等

如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．

（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；

（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．