2003年高考.全国卷.文科数学试题及答案

绝密★启用前

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（文史类）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

)]sin()[sin(21cossin lccS)(21台侧 其中c、c分别表示

)]sin()[sin(21sincos 上、下底面周长，l表示斜高或母线长.

)]cos()[cos(21coscos 球体的体积公式：334RV球 ，其中R

)]cos()[cos(21sinsin 表示球的半径.

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．直线2yxx关于对称的直线方程为 （ ）

（A）12yx （B）12yx （C）2yx （D）2yx

2．已知,02x，54cosx，则2tgx （ ）

（A）247 （B）247 （C）724 （D）724

3．抛物线2yax的准线方程是2,ya则的值为 （ ）

（A）18 （B）18 （C）8 （D）8 4．等差数列na中，已知1251,4,33,3naaaan则为（ ）

（A）48 （B）49 （C）50 （D）51

5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1212,,120FFFMF，则双曲线的离心率为（ ）

（A）3 （B）62 （C）63 （D）33

6．设函数2112)(xxfx 00xx，若1)(0xf，则0x的取值范围是 （ ）

（A）（1，1） （B）（1，）

（C）（，2）（0，） （D）（，1）（1，）

7．已知5()lg,(2)fxxf则（ ）

（A）lg2 （B）lg32 （C）1lg32 （D）1lg25

8．函数sin()(0)yxR是上的偶函数，则（ ）

（A）0 （B）4 （C）2 （D）

9．已知(,2)(0):-30aalxya点到直线的距离为1，则（ ）

（A）2 （B）22 （C）21 （D）21

10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为34R，该圆柱的全面积为（ ）

（A）22R （B）249R （C）238R （D）252R

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点0P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点1P后，依次反射到CD、DA和AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角）若40PP与重合，则tg= （ ）

（A）31 （B）52 （C）21 （D）1 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

（A）3 （B）4 （C）33 （D）6

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上

13．不等式24xxx的解集是____________________.

14．92)21(xx的展开式中9x系数是 ________ .

15．在平面几何里，有勾股定理：“设222,,ABCABACABACBC的两边互相垂直则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABCACDADB、、两两互相垂直，则______________________________________________.”

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有

种_______________________（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱111111112ABCDABCDABAAECCFBD，，，点为中点，点为点中点 2

1 5

3

4 （Ⅰ）证明11EFBDCC为与的公垂线

（Ⅱ）求点1DBDE到面的距离

18．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60，且|1|z是||z和|2|z的等比中项，求||z.

19．（本小题满分12分） 已知数列na满足1111,3(2).nnnaaan

（Ⅰ）求23,aa； （Ⅱ）证明312nna

20．（本小题满分12分）

已知函数()2sin(sincos)fxxxx

（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()yfx在区间,22上的图象

21．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南2(cos)10方向300km的海面P处，O 北

东O y

线 岸 O x

Pr(t)

P 45 海 E DBACB D C

A F

M

y

O

22x 并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

22．（本小题满分14分）

已知常数0a，在矩形ABCD中，4AB，aBC4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且DADCCDCFBCBE，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

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数学试题（文）参考解答及评分标准

说明：

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如O P

A G D F

E C

B x y 果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13．]4,2( 14．221 15．2222BCDADBACDABCSSSS 16．72

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，

∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=21D1D

又EC=21CC1，且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1

又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1

∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线

（II）解：连结ED1，有V

由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，

则S△DBC·d=S△DCD1·EF.

∵AA1=2·AB=1.

22,2EFEDBEBD

23)2(2321,2222121DBCDBDSS 故点D1到平面BDE的距离为332.

18．解：设z=2),60sin60(cosrzir的实邻为则复数

2,rzzrzz 由题设|2||||1|2zzz

即)2)(2(||)1)(1(zzzzz 42122rrrrr

12120122rrrr解得（舍去） 即|z|=12

19．（I）解∵1343,413,12321aaa

（II）证明：由已知故,311nnnaa

112211)()()(aaaaaaaannnnn

=.213133321nnn

所以213nna

20．解（I）xxxxxxf2sin2cos1cossin2sin2)(2

)42sin(21)4sin2cos4cos2(sin21xxx

所以函数)(xf的最小正周期为π，最大值为21.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

x 83 8 8 83 85

y 1 21 1 21 1

故函数)(xfy在区

间]2,2[上的图象是