大学数学A习题册(学案)

第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA⊆B,∃x0∈B,x0∉AAB或B⫌A 相等集合A,B的元素完全A⊆B,B⊆A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集∀x,x∉⌀,⌀⊆A⌀3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)= ;∁U(∁U A)= ;∁U(A∪B)=(∁U A)(∁U B);∁U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B⊆A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A⫋B,则a的取值范围为.探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N⊆M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题 (1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A⫋B B.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=⌀,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}C.A∪(∁R B)=RD.(∁R A)∩B={x|0<x<1}(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁U A)∩B=⌀,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系:(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算:(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)确定性互异性(2)∈∉(3)描述法图示法(4)N N*或N+Z Q R2.任意一个元素B⊇A 至少⫋相同A=B 不含3.且且A∩B 或或A∪B 不∉∁U A4.(1)B∪A A (2)⊆(3)⌀ A ∩(∁U A)(∁U B)对点演练1.4或1[解析] 因为-4∈A,所以x2-5x=-4,解得x=1或x=4.2.4[解析] 因为(A∪B)⊇B,A={a,b},所以满足条件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以满足条件的集合B有4个.3.(-∞,0)∪[1,+∞)[解析] 因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁U A)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).4.1[解析] 由题意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此时B={1,3},符合题意.5.0或3[解析] 因为B⊆A,所以m=3或m=,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3.6.4[解析] 依题意得M={(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N={(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N中有4个元素.7.0或1或-1[解析] 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,∴N=⌀或N=M,∴a=0或a=±1.8.2≤a≤4[解析] 由|x-a|<1得-1<x-a<1,∴a-1<x<a+1,由A⫋B得-或-∴2≤a≤4.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9∈A,所以依据2a-1=9或a2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.(1)A(2)-3[解析] (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.(2)∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A.若2a-1=9,即a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.若a2=9,则a=±3,当a=3时,A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意.综上所述,a=-3.变式题(1)C(2)2[解析] (1)当k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误;令-11=3k-1,得k=-∉Z,所以-11∉A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A,所以D错误;因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k2-1∈A,所以C正确.(2)由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m≠1;若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.例2[思路点拨] (1)先求出集合M={x|x2=1}={-1,1},当a=0和a≠0时,分析集合N,再根据集合M,N的关系求a;(2)把集合对应的函数化简,求出集合M,N,即可得M,N的关系.(1)D(2)A[解析] (1)∵集合M={x|x2=1}={-1,1},N={x|ax=1},N⊆M,∴当a=0时,N=⌀,成立;当a≠0时,N=,则=-1或=1,解得a=-1或a=1.综上,实数a的取值集合为{1,-1,0}.故选D.(2)集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1},∴M=N.变式题(1)B(2)a<-或a>1[解析] (1)由题意得,集合A={(x,y)|y=x}表示直线y=x上的所有点,集合B=(x,y)=1表示直线y=x上除点(0,0)外的所有点,所以B⫋A.故选B.(2)当N=⌀时,由a>3a+1得a<-,满足M∩N=⌀;当N≠⌀时,由M∩N=⌀得解得a>1.所以a的取值范围是a<-或a>1.例3[思路点拨] (1)先求出∁R A,∁R B,再判断各选项是否正确;(2)先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.(1)C(2)A[解析] (1)∵集合A={x|x<1},B={x|e x<1}={x|x<0},∴∁R B={x|x≥0},∁R A={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0},故A错误;A∪B={x|x<1},故B错误;A∪(∁R B)=R,故C正确;(∁R A)∩B=⌀,故D错误.故选C.(2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0},B={x|ln x<1}={x|0<x<e},∴A∪B={x|x<e},故选A.例4[思路点拨] (1)分别求出集合A和B,根据A∩B中有三个元素,求出实数m的取值范围;(2)根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.(1)C(2)B[解析] (1)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=,∵A ∩B中有三个元素,∴1≤<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).(2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},∴∁U A={x|x≤1},又(∁U A)∩B=⌀,∴p≥1.例5[思路点拨] (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a,b)的个数,从而得出M中的元素个数.(1)D(2)41[解析] (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5},共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).(2)由a*b=36,a,b∈N*知,若a和b一奇一偶,则a×b=36,满足此条件的有1×36=3×12=4×9,故点(a,b)有6个;若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18,共18组,故点(a,b)有35个.所以M中的元素个数为41.【备选理由】例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.例1[配合例2使用] [2018·陕西黄陵中学三模]已知集合M={x|y=(-x2+2x+3,x∈N},Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},则下列运算正确的是 ()A.M∩Q=⌀B.M∪Q=ZC.M∪Q=QD.M∩Q=Q[解析] C由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,∵x∈N,∴x=0,1,2,∴M={0,1,2}.∵Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},∴Q={0,1,2,3,4},∴M∩Q=M,M∪Q=Q,故选C.例2[配合例3使用] [2018·佛山南海中学模拟]已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},B={x|-1≤x≤2},则A∩B的子集的个数为()A.3B.4C.7D.8[解析] D∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0,1,2},B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={0,1,2},∴A∩B的子集的个数为23=8,故选D.例3[配合例3使用] 设集合A={x||x-1|≥2},B={x|y=lg(-x-3)},则A∩B=()A.(-4,+∞)B.[-4,+∞)C.(-∞,-3)D.(-∞,-3)∪[3,+∞)[解析] C由|x-1|≥2,得x-1≥2或x-1≤-2,即x≥3或x≤-1.由-x-3>0,得x<-3,所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3},故选C.例4[配合例4使用] 已知集合A={x|y=-},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)[解析] C要使函数y=-有意义,则4-x2≥0,据此可得A={x|-2≤x≤2}.若A∪B=A,则集合B是集合A的子集,据此有-求解不等式组可得,实数a的取值范围为[-2,1].第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件.(2)如果q⇒p,则p是q的条件.(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.充分、必要条件与集合的关系使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A⫋Bp是q的必要不充分条件B⫋Ap是q的充要条件A=B题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是 6 °.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]“点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的条件.题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.条件p:x>a,条件q:x≥2.①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是;②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是.9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的条件.探究点一四种命题及其相互关系例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是()A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上都不正确(2)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思] (1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.变式题 (1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定(2)以下关于命题的说法正确的是.(填写所有正确说法的序号)①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.探究点二充分、必要条件的判定例 2 (1)[2018·北京卷]设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思] 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.变式题 (1)[2018·深圳一模]已知数列{a n}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{a n}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是 ()A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0[总结反思] 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.变式题 (1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是 ()A.a-1>bB.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)[2018·衡阳4月调研]已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明 1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.真假判断为真判断为假2.(1)充分(2)必要(3)充要对点演练1.④[解析] ①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.2.0[解析] ①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.3.若整数a不是奇数,则a能被2整除[解析] 以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.4.既不充分也不必要[解析] 取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0[解析] “若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0[解析] “对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab ≤0,则a≤0”.7.[-3,0][解析] 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,得解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.8.①a≥2②a<2[解析] ①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a 的取值范围是a≥2.②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.9.充分不必要[解析] 依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/p,∴q⇒/p.故p是q的充分不必要条件.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.(1)D(2)①③[解析] (1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b 不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.变式题(1)B(2)①②④[解析] (1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=log a x在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.例2[思路点拨] (1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.(1)C(2)B[解析] (1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b 均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件. (2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.变式题(1)B(2)A[解析] (1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1<a2,但是数列{a n}不是递增数列,所以充分性不成立;反之,当数列{a n}是递增数列时,必有a1<a2,因此必要性成立.故选B.(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin-=,所以2α-=2kπ+6,k∈Z或2α-=2kπ+6,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.例3[思路点拨] 直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.C[解析] 方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则-⇒⇒a<0;若方程的两根均为负,则--⇒⇒0<a≤1.综上所述,所求充要条件是a≤1.方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.变式题(1)B(2)[解析] (1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B. (2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.【备选理由】例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.例1[配合例1使用][2018·北京通州区三模]能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)[解析] 当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.故答案可以为1,0,-1.例2[配合例2使用][2018·武汉4月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] A由条件p:a≤,知cos A=-≥-=-≥6-=,当且仅当b=c=a时取等号,又A∈(0,π),∴0<A≤,∴A≤,即q成立.取A=,C=,B=6,满足条件q,但是a>.∴p是q成立的充分而不必要条件.故选A.例3[配合例2使用] [2018·莆田六中三模]在等比数列{a n}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] C因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.例4[配合例3使用][2018·南昌模拟]在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是()A.x>0B.x<1C.0<x<1D.0<x<[解析] D∵>1,∴-<0,∴0<x<1.∵ ⫋(0,1),∴0<x<为不等式>1成立的一个充分而不必要条件,故选D.第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词命题中的、、叫作逻辑联结词,分别表示为、、.2.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(3)含有一个量词的命题的否定:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是.常用结论1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.2.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.3.命题p∧q的否定是(p)∨(q);命题p∨q的否定是(p)∧(q).题组一常识题1.[教材改编]命题p:x∈R,x2+1≥0,命题q:函数y=ax2+x的图像是抛物线,则p∨q是命题,p∧(q)是命题,(p)∨(q)是命题,(p)∧(q)是命题.(以上各空填“真”或“假”)2.[教材改编]命题“∃x0∈R,log2x0+2<0”的否定是.3.[教材改编]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是.4.[教材改编]在一次驾照考试中,甲、乙两名学员各试驾一次.设p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为.题组二常错题◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;判断命题真假时忽视对参数的讨论.5.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是.(填序号)①(p)∨q;②p∧q;③(p)∧(q);④(p)∨(q).7.已知命题“若ab=0,则a=0或b=0”,则其否命题为.8.已知p:∀x∈R,ax2+4x+1>0,则p:.若p是假命题,则实数a的取值范围是.探究点一含逻辑联结词的命题及其真假例1 (1)在一次射击训练中,甲、乙两位运动员各射击一次.设命题p是“甲击中目标”,q 是“乙击中目标”,则命题“两位运动员都没有击中目标”可表示为 ()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.p∨qD.(p)∧(q)(2)[2018·福建三明5月质检]已知函数f(x)=cos2x+.命题p:f(x)的图像关于点-对称,命题q:f(x)在区间-上为减函数,则()6A.p∧q为真命题B.(p)∧q为假命题C.p∨q为真命题D.(p)∨q为假命题[总结反思] 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假;(3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可.变式题 (1)[2018·太原三模]设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称,则下列结论正确的是()A.p为假命题B.q为假命题C.p∨q为假命题D.p∧q为假命题(2)已知命题p:方程e x-1=0有实数根,命题q:不等式x2-x+1≤0有解,则p∧q,p∨q,(p)∨q,p∧(q)这四个命题中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4探究点二全称命题与特称命题例2 (1)命题p:对任意x∈R,都存在m>1,使得mx>e x成立,则p为()A.对任意x∈R,都存在m>1,使得mx≤e x成立B.对任意x∈R,不存在m>1,使得mx>e x成立C.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0≤ 成立D.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0>成立(2)[2018·大同质检]下列说法正确的是()A.命题“∃x0∈R且x0≠1,-<0”的否定是“∀x∈R,-≥0”B.∀x>0,ln(x+1)>0C.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数D.∀x∈R,2x>x2[总结反思] (1)全称命题与特称命题的否定:①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.②否定结论:对原命题的结论进行否定.(2)全称命题与特称命题真假的判断方法:命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假变式题 [2018·西安质检]已知命题p:∃x0∈R,log2(+1)≤0,则()A.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0探究点三根据命题的真假求参数的取值范围例 3 (1)已知命题p:∃x0∈[1,e],ln x0-a≥0,若p是真命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,e)D.(1,+∞)(2)已知命题p:∃x0∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)B.[-2,0)C.(0,2)D.(-2,0)[总结反思] 根据命题真假求参数的方法步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.变式题 (1)若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是.(2)设p:∃x0∈,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为.。

高等数学A电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质了解函数的定义与基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

学会使用函数图像来分析函数的性质。

1.2 极限的概念与性质理解极限的定义，包括左极限、右极限和极限的存在性。

掌握极限的性质，如保号性、传递性等。

学会计算基本极限和常用极限。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与计算理解导数的定义，包括左导数和右导数。

学会计算常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等。

掌握导数的运算法则，如和差、积、商的导数等。

2.2 微分的基本概念与计算理解微分的定义，即导数的增量。

学会计算函数的微分，即函数增量除以增量。

掌握微分的基本性质，如微分的运算法则等。

第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理理解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

学会证明微分中值定理。

3.2 导数的应用学会使用导数来研究函数的单调性、凹凸性、极值等性质。

学会使用导数来解决实际问题，如最优化问题等。

第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与计算理解不定积分的定义，即函数的积分。

学会计算基本不定积分，如幂函数、指数函数、对数函数等。

掌握换元积分法和不定积分的基本性质。

4.2 不定积分的应用学会使用不定积分来解决实际问题，如面积计算、速度与位移等。

第五章：定积分与积分的应用5.1 定积分的概念与计算理解定积分的定义，即函数在区间上的积分。

学会计算基本定积分，如幂函数、指数函数、对数函数等。

掌握定积分的运算法则，如分部积分法等。

5.2 积分的应用学会使用积分来解决实际问题，如弧长、面积、体积计算等。

学会使用积分来证明几何性质，如弧长公式、面积公式等。

第六章：向量与空间解析几何6.1 向量的概念与运算理解向量的定义，包括向量的表示和向量的运算，如加法、减法、数乘和数量积（点积）、向量积（叉积）。

学会使用坐标系中的向量运算，如二维和三维空间的向量运算。

6.2 空间解析几何理解坐标轴上的点的表示方法，如笛卡尔坐标系、极坐标系。

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限 （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、 设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝ ．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是 ． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为 ．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ， （2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限： （1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→； （2）30sin tan lim xx x x -→； （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π； （4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→； （6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是 （ ） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （ ）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是 （ ） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是 （ ）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（ ）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（ ）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （ ） （A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （ ） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是 ；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ， 所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解 由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解 因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2） 由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解 （1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =， 须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证 （1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续， 且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ， 所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导． （2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21． （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=． （6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-， 令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ， 在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=， 则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路： 该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

高等数学a大一教材答案详解一、导数与微分在高等数学A的大一教材中，导数与微分是一个重要的内容。

导数是用于描述函数变化率的工具，它可以帮助我们分析函数的性质和求解问题。

下面我们将对导数与微分的相关知识进行详细解答。

1. 导数的概念及计算方法导数描述了函数在某一点的切线斜率，可以通过以下公式计算：$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，$f(x)$表示函数，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的变化量。

通过不断减小$\Delta x$的值，我们可以得到函数在某一点的导数。

2. 常见函数的导数根据导数的定义和计算方法，我们可以得到一些常见函数的导数计算公式，如：- 幂函数 $y=x^n$ 的导数为 $y'=nx^{n-1}$- 指数函数 $y=a^x$ 的导数为 $y'=a^x\ln{a}$- 对数函数 $y=\log_a{x}$ 的导数为 $y'=\frac{1}{x\ln{a}}$- 三角函数的导数如下：- 正弦函数 $y=\sin{x}$ 的导数为 $y'=\cos{x}$- 余弦函数 $y=\cos{x}$ 的导数为 $y'=-\sin{x}$- 正切函数 $y=\tan{x}$ 的导数为 $y'=\sec^2{x}$3. 导数的性质与应用导数具有一些重要的性质，例如：- 若函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，那么它在 $x=a$ 处连续。

- 函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的切线方程为 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$。

导数在实际问题中的应用十分广泛，例如可以用于求解函数的极值、优化问题以及描述物理过程中的变化率等。

大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。

根据选项，可知C选项是正确答案。

2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。

根据选项，可知B选项是正确答案。

3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。

根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

根据选项，可知A选项是正确答案。

4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。

根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。

5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。

对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。

根据选项，可知C选项是正确答案。

二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。

根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。

2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。

根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。

3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。

根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。

09高等数学A（上）习题册《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 1第一章函数与极限第一节映射与函数1、下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)?lgx2,g(x)?2lgx;f(x)?x，g(x)?x2.2、求函数y?3?x?arctan1x 的自然定义域。

3、已知f(x)?11?x，求f[f(x)]的定义域。

4、设f(x)??lgx,x?0?；g(x)??1,x?0?x?1,x?0?，求f[g(x)]。

1,x?05、已知f(x)?3x?5，且f[g(x)]?2x，求g(x)。

第二节数列的极限1、观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势，判断它们是否存在极限。

如果存在极限，写出它们的极限，如果不存在极限，请写出原因：xn1n?(?1)n x1n?2?n2xn=(?1)n?1 xn?n=sin2(5)xn?n?1n x?1n?nn?1nxn?2?13nxn=(?1)n?1?n《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 2n2、证明数列354n?(?1)2，23，4，5?，的极限是1n3.根据数列极限的定义证明：limn2?9．n??n?1第三节函数的极限1、根据函数极限的定义证明：lim(3x?1)?8.x?32、根据函数极限的定义证明：lim1?x3??2x3?12. x3、求f(x)?xxx,g(x)?x当x?0时的左、右极限，并说明它们在x?0时的极限是否存在。

《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 34、证明：若limf(x)?A，则limf(x)?A，但反之不真。

第五节极限运算法则x?x0x?x0第四节无穷小与无穷大1、两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。

2、求下列极限并说明理：lim5x?10 x??xlim4?x2x?22?x3、函数y?xcosx在内是否有界？这个函数是否为x 时的无穷大？为什么？1、计算下列极限：(1)lim(x?h)2?x2h?0h(2)lim(1?1?11n??24)2n(3)lim1?2?3(n?1)n??n2limxxxxx??《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 4limx2sin1x?0xlimn?3nx??(?2)n?1?3n?17）lim??1?1?x1?22?3??1?n(n?1)?? ?8）lim?xn?3n?n?n???第六节极限存在准则两个重要极限1、计算下列极限： limsin5xx?04xlimx?0cotxlimsinx3x?0(sinx)2lim(1?1x??x)kxlim?x?0?1?x?x?1?x?1、利用极限存在准则证明：limn(1?11)?n??n2??n2?2?n21。

东南大学高等数学A教材答案第一章导数与微分1. 导数的定义与基本公式在本章中，我们将学习导数的定义以及一些基本公式。

导数定义为函数在某一点处的变化率。

而导数的计算公式包括常见函数的导数公式、复合函数求导法则、以及三角函数的导数等。

通过掌握这些基本公式，我们可以更加方便地求解函数的导数。

2. 高阶导数与隐函数求导除了一阶导数外，我们还可以计算高阶导数，即二阶导数、三阶导数等。

高阶导数的计算需要使用基本公式并进行多次求导。

另外，本章还将介绍隐函数求导的方法，即在隐式函数表达式中，如何求取其导数。

3. 函数的极值与最值通过求解函数的导数，我们可以得到函数的极值点。

对于极值点，我们可以使用导数的符号表来判断其是极大值还是极小值。

而对于闭区间上的函数，其最大值和最小值可以通过求解导数和边界点得到。

第二章定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质在本章中，我们将介绍定积分的概念与性质。

定积分是函数的一个重要性质，表示曲线与 x 轴之间的面积。

而求解定积分的方法通常包括几何法和解析法。

此外，定积分还具有线性性和积分中值定理等性质。

2. 不定积分的概念与基本公式不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。

通过求解不定积分，我们可以还原出函数的原貌。

而不定积分的基本公式包括常见函数的积分公式、分部积分法、以及换元积分法等。

3. 牛顿—莱布尼茨公式与定积分的应用牛顿—莱布尼茨公式是计算定积分的重要工具，它将定积分与原函数联系在一起。

除了牛顿—莱布尼茨公式，本章还将介绍定积分在几何学、物理学以及金融学等领域的应用。

第三章微分方程1. 微分方程的基本概念与解法微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。

本章将详细介绍微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程，以及线性和非线性微分方程。

同时，我们也将给出一些常见微分方程的解法。

2. 可分离变量与齐次方程可分离变量和齐次方程是解决一阶微分方程的两种常见方法。

可分离变量法是通过将方程两边进行变量分离，再进行积分求解。

大 学 数 学 I （A 卷）参考答案选择题选择题1．C 2. D 3. A 4. A 二、填空题二、填空题 5. xdx xsin 5ln 5cos - 6. 0 7.61 8.1,1==b a三、计算题三、计算题 9．原式xx x x x x ln )1(1ln lim1-+-=® 2分xx x x11ln ln lim 1-+=® 4分21111limxx x x +=® 6分21=7分 10．A X A E =-)(1分()÷÷÷øöçççèæ----=--1101211201A E 5分÷÷÷øöçççèæ-----=-=-210111121)(1A A E X 7分11．令tdt dx t x x t 2,,2=== 2分 原式ò=pcos tdt t 3分 ò-=ppsin sin tdt tt5分 2cos 0-==p t7分 12．原式òò=12xxxydy dx3分()ò-=104221dx xx x5分 241=7分13．两边求导得．两边求导得xyyyye y e y xe e +=+'' 4分xyy x exee ye y --=' 7分四、讨论题：（每小题9分，共18分） 14．将微分方程化为．将微分方程化为xx y x dxdysin 1=+ 2分其通解为其通解为xxc y cos -=7分由初始条件得1-=p c ，所求解为，所求解为xx y cos 1--=p9分15．对方程组的增广矩阵做初等变换，化为阶梯矩阵．对方程组的增广矩阵做初等变换，化为阶梯矩阵÷÷÷øöçççèæ--®÷÷÷øöçççèæ-40003130101161031011121k k 3分当4¹k 时，方程组无解。