2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式

七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

17 乘法公式只有通过数学,我们才能彻底了解科学的精髓.至有在数学中，我们才能发现科学规律的高度简洁性、严格性和抽象性.任何科学教育如果不以数学为出发点，则其基础势必有缺陷。

-------科姆特知识纵横乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一半法则应用一一些特殊形式的多项式相乘,出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用。

在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解例1 (1) 在2004、2005、2006、2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差是______.（第10届江苏竞赛题）(2) 已知(2000-a)(1998-a)=1999，那么， = _________.(重庆竞赛题) 思路点拨:（1）,m+n，m-n的奇偶性相同，这是解本例题的基础。

（2）视(2000-a)•(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式及其变形例2 (1) 已知a、b、c满足，，，则a+b+c 的值等于( ).A. 2B. 3C. 4D.5(2) a、b、b不全为0, 满足a+b+c=0，，称使得恒成立的正整数n为”好数”，则不超过2007的正整数中”好数”的个数为( )A. 2B. 1004C. 20006D. 2007思路点拨:对于(1) ,由条件等式联想到完全平方式，解题的关键是整体考虑；对于(2) , 由条件出发，探求a,b,c之间的关系。

例3 观察下列算式(1) 1x3-;(2)2x4-(3)3x5-(4)__________________________;……..(1) 请你按照以上规律写出第四个算式.(2) 把这个规律用含字母的式子表示出来.(3) 你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由(2011年湖南省益阳市考题) 思路点拨: 从特殊情形归纳一般结论，并证明这个结论例4 已知a+b=1, 求。

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n　4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小． 【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．(江苏省赛试题)思路点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值．(“希望杯”邀请赛试题)(2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2ba +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等． 完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数． 证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数．思路点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ； (x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1． 根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题)2．已知052422=+-++b a b a ，则ba ba -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ． 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题)6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )． A ．一15 B ．一2 C ．一6 D ．6(扬州市中考题)7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222---- 等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001(重庆市竞赛题)8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x+的值是( )．A ．4B ．20022C ． 22002D ．42002 9．若01132=+-x x ，则441x x +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=- B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．2222)(b ab a b a +-=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+(陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，试判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观察：2514321=+⋅⋅⋅ 21115432=+⋅⋅⋅ 21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)． (黄冈市竞赛题)14．你能很快算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论． (1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ． (3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．(天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ． (2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ． (全国初中数学联赛试题)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ． 一2 19．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )． A ．x ≤y B ．x ≥y C ．x<y D ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2000，b ＝1999x+2001，c ＝1999x+2002，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值．(河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+．(北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表示第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表示十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观察： 222233351122225,335112225,351225,525====写出表示一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗? 注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即 (a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．参考答案。

平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用．1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．()()22a b a b a b+-=-．（1）a．b可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：如：()()()()()22a b c b a c b a c b a c b a c+--+=+---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差．乘法公式（一）知识结构模块一：平方差公式内容分析知识精讲2/ 10【例1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()11x x ++B ．1122a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()()a b a b -+- D ．()()x y x y --+【例2】 计算： （1）()()3535x x +-； （2）11112323x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()22x y x y +-．【例3】 计算：（1）2211112525x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()2323x y x y -+--； （3）()()2323a b a b ---．【例4】 计算：（1）()()()2232349a a a -++；（2）22111224a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例5】 计算：111111253253x y z x y z ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．例题解析【例6】 计算：（1）()()()()33a b a b a b a b +--+-； （2）()()()()2222y x y x x y x y -+++---+； （3）22111133222233x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例7】 计算：()()()()()2221212245a a a a a a ⎡⎤-+++--+⎣⎦．【例8】 简便运算： （1）10298⨯；（2）30.229.8⨯；（3）12252433⨯．【例9】 计算：（1）2200920072008⨯-；（2）22007200720082006-⨯；（3）22007200820061⨯+．4/ 10【例10】 计算：()()()()242121212121n+++++（n 是正整数）．1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．()2222a b a ab b +=++、()2222a b a ab b -=-+． 2、完全平方公式的特征：（1）左边是两个相同的二项式相乘；（2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．【例11】 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．()()4774x y y x ---B ．()()4774x y x y --+C ．()()4774x y y x --+D ．()()4747x y x y -+【例12】 下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+B ．()2222x y x xy y -=--例题解析模块二：完全平方公式知识精讲C ．()2225225420a b a b ab +=++D ．2221111132364m n m mn n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【例13】 计算： （1）()239x +；（2）223x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()22xyz --．【例14】 计算：（1）()()()2343x x x -+-+；（2）()()()2232222x x x +----+；（3）()()()2212121a a a +-+-．【例15】 计算：（1）2211113232x y x y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2213133434a b a b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例16】 计算：（1）()()()229163434a b a b a b --+；（2）22111111323294a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．6/ 10【例17】 计算： （1）()22a b c --+；（2）()2324x y ++；（3）()()22x y x y +---．【例18】 简便计算： （1）299.8；（2）22005．【例19】 设8,15m n mn +==，求（1）22m n + ；（2）m n -．【例20】 已知16x x -=，求221x x+的值．【例21】 已知：2221440x y x xy y --+++=，则2x y +=___________．【例22】 已知26x x k -+是完全平方式，求k 的值．【例23】 已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 都是有理数，求y x 的值．【例24】 已知2416x kx -+是完全平方式，求k 的值．【例25】 已知2310x x ++=，求：（1）221x x +；（2）441x x +．【习题1】 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A ．()()2a b a b -- B ．()()22a b a b -+-C ．()()22a b a b +--D ．()()22a b a b ---+【习题2】 计算： （1）()()2525x x +-；（2）()()1212a a -+；随堂检测8/ 10（3）11113232a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【习题3】 计算： （1）10496⨯ ； （2）30.729.3⨯；（3）1610977⨯．【习题4】 计算：（1）()()3434x y x y --++-；（2）()()2332x y x y ++--．【习题5】 求值：（1）已知：3a b +=，1ab =，求代数式的值：（1）22a b +；（2）44a b +． （2）已知：5a b -=，4ab =，求22a b +的值．【习题6】 求值：（1）已知：()28a b -=，()22a b +=，求ab 的值； （2）已知：()()222315x x -++=，求()()23x x -+的值．【作业1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22x y x y -+B ．()()a b a b ---C ．()()2222c d d c --+D ．()()22x y xy -+【作业2】 计算： （1）211510x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）212cd ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【作业3】 用简便方法计算： （1）403397⨯；（2）31293044⨯；（3）9910110001⨯⨯；（4）224952+．【作业4】 计算：（1）()()()2222x y x y x y +-+-；（2）()()()2x y x y x y ---++；（3）()()()()22253x y x y x y x y +-+-+-．【作业5】 计算：（1）()()2323x y z x y z +--+；（2）()()2121a b a b -+--．课后作业10/ 10【作业6】 求值：（1）已知6x y +=-，2xy =，求代数式()2x y -的值． （2）已知4x y +=-，8x y -=，求代数式22x y -的值． （3）已知3a b +=，225a b +=，求ab 的值．。

第13讲有理数的乘法知识点01有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.知识点02有理数的乘法运算律（1）乘法交换律：ab ba =；（2）乘法结合律：()()ab c a bc =；（3）乘法分配律：()a b c ab ac +=+．知识点03确定乘积符号（1）若a ＜0，b ＞0，则ab <0；（2）若a ＜0，b ＜0，则ab >0；（3）若ab ＞0，则a 、b _______；（4）若ab ＜0，则a 、b _______；（5）若ab =0，则a 、b 中至少有一个数为0.考点精析考点一概念辨析例下列说法中，不正确的个数有（）①符号相反的数叫相反数；②四个有理数相乘，若有两个负因数，则积为正；③倒数等于本身的数只有1；④相反数等于本身的数只有0；A．0个B．1个C．2个D．3个变1列说法中正确的有（）①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数．A．1个B．2个C．3个D．4个变2下列叙述正确的是（）A．互为相反数的两数的乘积为1B．所有的有理数都能用数轴上的点表示C．绝对值等于本身的数是0D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负考点二因数符号判断例1若a为正数，b为负数，则（）A．0ab<ab>D．0a b+<C．0a b+>B．0例2a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0B．a、b两数异号，且正数的绝对值大C．a＜0，b＜0D．a、b两数异号，且负数的绝对值大变1若ab＜0，a﹣b＜0，则a、b这两个数（）A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＞0，b＞0变2已知a +b ＞0，ab ＜0，且a ＞b ，则a 、b 的符号是（）A ．同为正B ．同为负C ．a 正b 负D ．a 负b 正例3有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A ．a b >B ．||||a b >C ．0a b +>D ．0ab >例4如图，数轴上A 、B 两点分别对应有理数a 、b ，则下列结论：①0ab >；②0a b ->；③0a b +>；④||||0a b ->；⑤10a +<；⑥10b -<；其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个3D ．4个变3有理数m 、n 在数轴上的位置如图所示，则下面结论正确的是（）A ．0mn <B ．0m n -<C ．||n m -<3D ．||||m n <变4若有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（）A ．()0b a c ->B ．0ab <C ．0a b +>3D ．0a b ->考点三倒数例12||3-的倒数是（）A ．23B ．23-C ．323D ．32-例2若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（）A ．-8B ．-5-5C ．-13D ．16变1下列说法正确的个数是（）①2022-的相反数是2022；②2022-的绝对值是2022；③12022的倒数是2022．A ．3B ．2-5C ．13D ．0变2已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则代数式2a-cd+2b 的值为．考点四有理数的乘法及其运算规律例1计算：（1）1(3)(3-⨯-（2）8(0.25)3⨯-（3）(2)3(4)-⨯⨯-（4）1(1000)()010-⨯-⨯变1计算：（1）(5)(7)-⨯-（2）4156(54-⨯⨯-⨯例2计算：（1）3475()75128⨯-⨯⨯（2）1(4)(25)(6)3-⨯⨯-⨯-变2计算：4125(0.125)(4)()(8)154⨯-⨯-⨯-⨯-⨯．变3计算：(0.02)(20)(5) 4.5-⨯-⨯-⨯．例3学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：2449(5)25⨯-，看谁算的又快又对．小明的解法：原式12491249452492555=-⨯=-=-；小军的解法：原式24244(49)(5)49(5)(5)24925255=+⨯-=⨯-+⨯-=-．（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）小强认为还有更好的方法：把244925看作1(5025-，请把小强的解法写出来．（3）请你用最合适的方法计算：59(3)6⨯-．例4在简便运算时，把4724(9948⨯-变形成最合适的形式是（）A ．124(100)48⨯-+B ．124(100)48⨯--C ．4724(99)48⨯--D ．4724(9948⨯-+变4用简便方法计算：（1）1799(9)18⨯-（2）539(6)6-⨯-例5计算：（1）53124(6812-⨯-+-（2）457(36)(9612-⨯-+-变5用简便方法计算：117313()(48)126424-+-⨯-.变5计算：572((81)2793+-⨯-．考点五有理数乘法的应用例1已知||2x =，||5y =，且0xy <，求23x y -的值．例2已知||5a =，||3b =，回答下列问题：（1）由||5a =，||3b =，可得a =，b =；（2）若0a b +>，求a b -的值；（3）若0ab <，求||a b +的值．变1已知||4x =，1||2y =，且0xy <，求x y +的值．变2已知||4x =，||7y =．①若0x y ->，求x y +的值；②若0xy <，求||x y -的值．课后强化1.若0a b +>，且0ab <，则以下正确的选项为（）A ．a ，b 都是正数B ．a ，b 异号，正数的绝对值大C ．a ，b 都是负数D ．a ，b 异号，负数的绝对值大2.计算2(3)-⨯-的结果是（）A ．6B ．-6C ．5D ．-53.计算14(1()45-⨯-的结果（）A ．1-B ．15-C ．1D ．154.有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论，错误的是（）A ．b a b a -<<<-B ．0a b +<C ．0ab <D ．||||b a <5.有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，现给出以下结论：①||3a >；②0ab >；③0b c +<；④0b a ->．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6.若||2x =，||3y =，且0xy <则x y +的值为（）A ．5或5-B ．1-或1C ．5或1-D ．1或5-7.321的倒数是；2.5的倒数是．8.计算：30993131⨯．9.用简便算法计算下列各题．（1）1111((24)46812-+-+⨯-（2）899(13)9⨯-．10.用简便方法计算：（1）( 3.7)(0.125)(8)-⨯-⨯-（2）111()(12) 3612--⨯-（3）1617(317-⨯-（4）1111115(13(3()555-⨯-+⨯--⨯-11.若||4x=，||1y=，且0xy>，求x y-的值．12.学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：2449(5)25⨯-，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：小明，原式12491249452492555=-⨯=-=-；小军：原式24244 (49)(5)49(5)(5)24925255 =+⨯-=⨯-+⨯-=-；（1）根据上面的解法对你的启发，请你再写一种解法；（2）用你认为最合适的方法计算：1519816-⨯．13.定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍(n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为244(24)=⨯+；25就不是一个“n喜数”，因为25(25)n≠+．（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和．。

第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1．奇数≠偶数2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．4．设m、n是整数，则m土n，nm±的奇偶性相同．5．设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过度析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．例题【例1】三个质数之和为86，那么这三个质数是．(“希望杯”邀请赛试题)思绪点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．注：18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人如何才干不反复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简朴的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不反复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人可以不反复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．运用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．简朴地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才干一笔画．【例2】假如a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、（）．A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数(2023年TI杯全国初中数学竞赛题)思绪点拨 举例验证或从a 、b 、c 的奇偶性说明．【例3】 (1)设1，2，3，…，9的任一排列为a l ，a 2，a 3…，a 9．求证：(a l l 一1)( a 2 —2)…(a 9—9)是一个偶数．(2)在数11，22，33，44，54，…20232023，20232023，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完毕所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必然不等于2023．思绪点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不也许一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．【例4】已知n x x x x 、、、、 321都是+1或一1，并且011433221=+++++-x x x x x x x x x x n n n ，求证：n 是4的倍数．思绪点拨 可以分两步，先证n 是偶数2k ，再证明k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l ×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以反复使用某些图形)．问：最多可以用这7种图形中的几种图形?思绪点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n 项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)可以达成一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．一些非常规数字问题需要恰本地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表达，然后运用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否通过若干次这样的翻动，使所有的杯子口都朝下?思绪点拨 这不也许．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l 变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与本来相同．所以，不管翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子所有朝下，和为7，是奇数，因此，不也许．整数可以分为奇数和偶数两类．【例7】在1，2，3，…，2023前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?思绪点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+...+2023的奇偶性即可． 因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，...，2023中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+...+2023的奇偶性相同，而1+2+3+ (2023)21(1+ 2023)×2023=1003 ×2023为奇数；因此，所求代数和为奇数．注：抓住“a+b 与a —b 奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2023得到答案．【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表达新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来互换的贺卡的张数总是偶数．”这句话对的吗?试证明你的结论．思绪点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．这句话是对的的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来互换的贺卡张数总是偶数”是对的．注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．思绪点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应当翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应当翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上． 理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，并且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：第1次翻动所有1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币本来朝下的一面都朝上．注：灵活、巧妙地运用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并故意想不到的效果．【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱顺序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．思绪点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，运用bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数相应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的． 注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 假如它最后到了右岸，情况又是如何呢?(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?思绪点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．(2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问本来的三个数能否是2、2、2？思绪点拨 假如本来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时假如擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．假如擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论如何操作，得到的三个数都是二偶一奇，不也许得到1995、1996、1997． 所以，本来的三个数不也许是2、2、2．注 解决本题的诀窍在于考察数字变化后的奇偶性．【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24… … 28 26根据上面的排列规律，则2023应位于( )A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列思绪点拨 观测表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是对的的，由于2023=8×250，所以2023应在第250行，又由于250为偶数，故2023应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C ．注：观测、寻找规律是解决这类问题的妙招．【例14】(2023年山东省竞赛题)如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a ，右轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有也许的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m ，则nm 等于( ) A ．21 B ．61 C ．125 D ．43 思绪点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b 恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，n m =125，故选C ． 【例15】(第江苏省竞赛题)已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能拟定思绪点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．学力训练1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20232023是 数．2．能不能在下式， 的各个方 框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立?答： ．3．已知三个质数a 、b 、c 满足a+b+c+abc ＝99，那么a c c b b a -+-+-的值等于 ．4．已知n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n 一1，其中，能表达“任意奇数”的( )A ．只有(1)B ．只有(2)C ．有(1)和(2)D ．一个也没有5．假如a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则3a +(b 一1)2c 是( )．A ．只当c 为奇数时，其值为奇数B ．只当c 为偶数时，其值为奇数C ．只当c 为3的倍数，其值为奇数D ．无论c 为任何正楚数，其值均为奇数6．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )．A ． S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能拟定(第16届江苏省竞赛题)7．(1)是否有满足方程x 2－y 2=1998的整数解x 和y?假如有，求出方程的解；假如没有，说明理由．(2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有所有的红桃牌(A 作1，J ，Q ，K 分别作11，12，13，不同)，乙持有所有的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否拟定?9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 ． 10．1，2，3，…，98共98个自然数，可以表达成两整数平方差的数的个数是 ．(全国初中数学联赛试题)11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人记录百这次比赛中所有得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核算，其中有一人记录无误，则这次比赛共有名选手参与．12．已知p、q、pq+1都是质数，且p一q>40，那么满足上述条件的最小质数p＝；q＝．(第15届“希望杯”邀请赛试题)13．设a，b为整数，给出下列4个结论：(1)若a+5b是偶数，则a一3b是偶数；(2)若a十5b是偶数，则a一3b是奇数；(3)若a+5b是奇数，则a一3b是偶数；(4)若a+5b是奇数，则a一3b是奇数其中结论对的的个数是( )．A．0个B．2个C．4个D．1个或3个14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不反复也不漏掉；下笔后笔不能离开纸) ．A．0 B．1 C ．2 D．3 ( “五羊杯”竞赛题)15．π的前24位数值为3....，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2， (24)则(a1一a2)( a3一a4)…(a23一a24)为( )．A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数16．没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现规定每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否通过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明．(太原市竞赛题)18．对一个正整数作如下操作：假如是偶数则除以2，假如是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求通过9次操作变为l的数有多少个？( “华杯赛”决赛题)19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由．(汉城国际数学竞赛题)参考答案。

（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn 4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时an－bn能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。