导数的性质及其应用

导数的定义与基本性质导数是微积分中的重要概念之一，在数学和物理学领域中有着广泛的应用。

本文将介绍导数的定义及其基本性质，包括导数的几何意义、导数的计算方法、导数的基本性质以及导数在函数图像上的应用。

一、导数的定义在微积分中，导数可以被定义为函数在某一点处的切线斜率，也可以被定义为函数值的变化率。

更严格地说，如果函数f(x)在某一点x=a处导数存在，则称f(x)在x=a处可导。

函数f(x)在x=a处的导数可以用如下的极限表示：f'(a) = lim (f(x)-f(a))/(x-a) (当x->a时)其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，也可以表示为dy/dx|x=a或y'(a)。

二、导数的几何意义导数可以用来表示函数曲线在某一点处的切线斜率，这也是导数的几何意义之一。

如果我们将函数曲线想象成一条公路，那么导数就可以表示车辆在某一点处的速度。

同时，导数还可以被用来描述曲线的曲率。

具体来说，如果函数f(x)在某一点x=a处的导数为正，那么函数图像在这一点处是向上凸的（向右开口的抛物线）；如果导数为负，那么函数图像在这一点处是向下凸的（向左开口的抛物线）；如果导数为零，那么函数图像在这一点处是拐点（曲线方向的转折点）。

三、导数的计算方法为了计算导数，我们需要通过极限的定义来求出函数在某一点处的导数。

但是在实际计算中，我们通常使用导数的一些基本公式，如常数乘法法则、和差法则、乘法法则和商法则等。

这些公式可以帮助我们更快地计算函数在某一点处的导数。

以下是一些常用的导数计算公式：(1) 对于常数c，有dc/dx=0(2) 对于多项式f(x)=ax^n+b，有f'(x)=anx^(n-1)(3) 对于指数函数f(x)=a^x，有f'(x)=a^x*ln(a) （其中ln(a)是自然对数的底数）(4) 对于对数函数f(x)=log_a(x)，有f'(x)=1/(xln(a))(5) 对于三角函数sin(x)和cos(x)，有(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)四、导数的基本性质除了以上的计算公式以外，导数还具有一些常用的基本性质。

导数与函数的关系及应用导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

导数不仅与函数的性质息息相关，而且在实际问题中有着广泛的应用。

本文将探讨导数与函数的关系，以及导数在各个领域中的应用。

一、导数的定义及性质在微积分中，函数在某一点上的导数表示函数在该点的瞬时变化率。

对于函数f(x)，在区间内一点a上的导数可以用极限表示：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a)其中lim表示极限，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。

导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数的斜率：函数的导数代表了函数曲线在某一点上的斜率，可以帮助我们理解函数曲线的变化趋势。

2. 导数与函数的图像：通过导数的正负性可以推断函数在不同区间的递增和递减性。

3. 导数与函数的极值点：函数在极值点处的导数为零，通过导数可以判断函数的极大值和极小值。

二、导数与函数的关系导数与函数的关系密不可分。

函数的导数可以告诉我们函数在某一点上的变化情况，并且可以帮助我们分析函数的性质。

1. 可导函数与连续函数：对于一个函数而言，如果它在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。

可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。

2. 一阶导数与高阶导数：除了一阶导数，也可以计算二阶导数、三阶导数等。

高阶导数描述了函数的变化率随着自变量变化而变化的快慢程度。

3. 反函数与导数：若函数f(x)在区间上可导且在某区间内连续且单调，则存在其反函数f^(-1)(x)，且两者的导数满足：(f^(-1))'(x) = 1/f'(f^(-1)(x))三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，以下为几个常见的应用领域。

1. 最优化问题：导数可用于求解最值问题，例如求解函数的最大值、最小值、极大值、极小值等。

通过导数可以找到函数的可能极值点，并进一步求解最优化问题。

2. 函数图像的研究：导数可以帮助我们研究函数的图像特征，如函数的凹凸性、拐点、拐弯等。

导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数的变化率。

在本文中，我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。

对于函数y = f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。

导数的定义可以通过极限表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。

2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在性：函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。

- 导数与函数图像：函数在某一点导数存在，则函数在该点的图像有切线。

切线的斜率即为导数的值。

- 导数与连续性：若函数在某点可导，则函数在该点连续。

- 导数的四则运算：若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)（其中g(x) ≠ 0）。

- 链式法则：若y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别可导，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用，其中包括：- 切线与法线：导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线，从而帮助我们研究函数图像的特性。

- 极值与拐点：函数在极值点导数为零，通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。

- 函数图像的草图：通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点，有助于绘制函数的草图。

- 物理学应用：导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。

综上所述，导数是函数变化率的重要工具，通过导数的定义与性质，我们可以深入理解函数的特性与行为。

导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。

本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。

一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。

导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。

二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。

如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。

2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。

函数在极值点处的导数为零或不存在。

3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。

三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。

例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。

通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。

2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。

例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。

这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。

3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。

例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。

这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。

4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。

生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。

导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。

5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。

函数与导数函数的性质和导数的应用函数与导数函数的性质函数是数学中一种非常重要的工具，它描述了自变量和因变量之间的关系。

而导数函数则是对函数的变化率进行描述的工具。

对于函数与导数函数的性质，我们可以从以下几个方面来进行讨论。

一、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域上的每个点都存在极限，并且与该点处函数值相等。

对于连续函数，其导数函数也是连续的。

这一性质在数学分析中有着广泛的应用，例如在极值问题中，连续性可以帮助我们确定函数是否存在极值点。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的每个点处，导数的正负性与函数的增减性一致。

例如，如果导数函数在某个区间上恒大于零，则函数在该区间上是递增的。

单调性的研究有助于我们分析函数的整体走势，找出函数的最值点以及确定函数的区间性质。

三、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数在定义域上的每个点处，导数的增减性与函数的凹凸性一致。

如果导数函数在某个区间上恒大于零，则函数在该区间上是凹的。

凹凸性的研究对于确定函数的拐点、确定函数的极值以及调整函数的形状都具有重要意义。

导数的应用导数作为函数变化率的度量工具，在实际应用中有着广泛的应用。

下面我们将介绍几个经典的导数应用问题。

一、最速降线问题最速降线问题可以简单地定义为：在给定起点和终点的两点之间，找出使得从起点到终点的时间最短的路径。

根据物理学中的运动学原理，我们可以得知，质点在重力场中下滑的路径是一条最速降线。

而最速降线的数学表达式可以通过利用导数的概念来描述。

二、最大化问题和最小化问题最大化问题和最小化问题是数学建模中常见的问题类型。

通过对函数进行求导，并分析导数的零点、极值点以及函数的单调性，我们可以确定函数的最值点。

这对于优化问题的求解以及实际情境下的决策问题都有着重要的意义。

三、曲线的切线与法线导数的几何意义可以帮助我们确定曲线上各点处的切线和法线。

通过求导并计算导数的值，我们可以确定曲线某一点处的切线斜率。

导数的定义与性质导数，是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的变化率。

它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍导数的定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用导数。

一、导数的定义导数，通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示，表示函数f(x)在某一点x处的变化率。

具体地说，导数定义为以下极限：f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，h为自变量x的增量。

这个极限表示当h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率的极限值。

二、导数的几何意义导数可以给出函数图像的切线斜率。

在函数图像上任意一点x处，函数的导数等于切线的斜率。

这是因为在极小的增量h内，函数值的变化就近似于切线的斜率。

三、导数的计算1. 基本导数公式：可以通过基本导数公式计算导数，例如：常数函数（f(x)=c）的导数为0；幂函数（f(x)=x^n）的导数为f'(x)=nx^(n-1)；指数函数（f(x)=a^x，其中a>0）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)；对数函数（f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1）的导数为f'(x)=1/(x *ln(a))；三角函数的导数为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)等。

2. 导数运算法则：导数具有一系列运算法则，包括常数倍数法则、加减法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。

通过运用这些法则，可以计算复杂函数的导数。

四、导数的性质导数具有许多重要的性质，如下所示：1. 导数存在性：如果函数在某一点处可导，则该点处一定存在导数。

但是反过来并不一定成立，存在函数在某点的导数不存在的情况。

2. 函数连续性与可导性：如果函数在某一点可导，则该点处函数一定连续。

但是反过来也不一定成立，存在函数在某点连续但导数不存在的情况。

导数的线性运算与导数的性质运用导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

在研究导数的性质时，我们需要了解导数的线性运算以及如何运用导数的性质进行问题的求解。

一、导数的线性运算导数的线性运算指的是对于两个函数进行运算后的导数与分别对两个函数求导后的导数相同。

具体来说，如果f(x)和g(x)是可导函数，c是常数。

1. 导数的和的规则若h(x) = f(x) + g(x)，则h'(x) = f'(x) + g'(x)。

2. 导数的差的规则若h(x) = f(x) - g(x)，则h'(x) = f'(x) - g'(x)。

3. 导数与常数的乘积规则若h(x) = c*f(x)，则h'(x) = c*f'(x)。

4. 导数的常数倍规则若h(x) = c*f(x)，则h'(x) = c*f'(x)。

这些规则使得我们可以对复杂的函数进行简化求导，提高求解效率。

二、导数的性质运用1. 切线与法线导数的几何意义之一是函数图像上一点处的切线斜率。

对于函数f(x)，若f'(x0)=k，则点(x0, f(x0))处的切线斜率为k。

此外，切线斜率的相反数为法线斜率，即垂直于切线的直线斜率。

2. 极值点与最值导数的另一个重要性质是用于确定函数的极值点，即函数的最大值和最小值点。

对于函数f(x)，若f'(x)=0，则x为函数的极值点。

极大值对应曲线上的局部最高点，极小值对应曲线上的局部最低点。

3. 凹凸性与拐点函数的导数还可以用于判断函数的凹凸性和拐点。

对于函数f(x)，若f''(x)>0，则函数在该区间上为凹函数；若f''(x)<0，则函数在该区间上为凸函数。

拐点是函数由凹转为凸或由凸转为凹的点，它对应着函数曲线的一种特殊形态。

这些性质的运用使得我们可以更加深入地理解函数的特性和行为。

一元函数的导数及其应用研究导数是微积分中的重要概念，对于研究一元函数的性质和应用具有极大的帮助。

本文将探讨一元函数的导数的定义与性质，并以实际应用案例展示导数在解决问题中的作用。

一、导数的定义与性质1.1 导数的定义对于一元函数f(x)来说，在其定义域内的任意点x0处，如果极限lim_(h→0) [f(x_0+h)-f(x_0)]/h存在，那么称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或df(x)/dx|_(x=x_0)，即f'(x0)=lim_(h→0) [f(x_0+h)-f(x_0)]/h 。

1.2 导数的物理意义导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。

例如，对于位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时刻t时的速度。

速度的导数s''(t)则表示加速度，即物体在某一时刻的瞬时加速度。

1.3 导数的计算规则导数具有一些基本的运算规则，如常数规则、乘法法则、除法法则、链式法则等。

根据这些规则，我们可以快速计算各种复杂函数的导数。

二、导数的应用研究2.1 极值与导数导数在研究一元函数的极值非常有用。

根据极值的定义，函数在极值点的导数为零或不存在。

因此，我们可以通过求导数来确定函数的极值点。

2.2 函数图像与导数导数还可以帮助我们研究函数的图像特征。

例如，一元函数在某一区间上的导数为正，意味着函数递增；导数为负，意味着函数递减。

利用导数与函数的关系，我们可以绘制函数的曲线图，并得到更多的信息。

2.3 速度与加速度的关系导数在物理学中有着广泛的应用，特别是在描述物体运动方面。

根据位移和时间的函数关系，我们可以求得速度函数v(t)，再对速度函数求导数，得到加速度函数a(t)。

通过分析加速度函数，我们可以了解物体在运动过程中的加速度变化情况。

三、导数应用案例分析为了更具体地展示导数在解决实际问题中的应用，以下将介绍两个典型的案例。

3.1 最优化问题在很多实际情况下，需要求解某个问题的最优解。

专题21导数定义及导数的函数性质应用目录【题型一】导数定义：极限基础型.................................................................................................2【题型二】导数定义计算：极限倍系数型.....................................................................................3【题型三】导数定义计算：切割交换位置型................................................................................4【题型四】导数定义计算：双割点逼近型.....................................................................................5【题型五】导数定义应用：切割线斜率型.....................................................................................6【题型六】复合函数求导计算.........................................................................................................8【题型七】含导数值式子求导计算.................................................................................................9【题型八】抽象型复合函数计算...................................................................................................10【题型九】导数有关的函数性质（奇偶性、对称性等）..........................................................11【题型十】对称型求导数值（中心与轴对称）..........................................................................13培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................16培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................18培优第三阶——培优拔尖练.. (22)知识点：导数的概念及其意义（1）函数的平均变化率：对于函数y ＝f （x ），设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f （x 0）变化到f （x 0＋Δx ）.这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）_.我们把比值y x ∆∆，即y x∆∆＝00()()f x x f x x +∆-∆叫做函数y ＝f （x ）从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率.（2）导数的概念：如果当Δx →0时，平均变化率y x ∆∆无限趋近于一个确定的值，即y x∆∆有极限，则称y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f ′（x 0）或y ′|x ＝x 0，即f ′（x 0）＝lim y x∆∆＝lim 00()()f x x f x x +∆-∆.（3）导数的几何意义：函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ′（x 0）.相应的切线方程为y －y 0＝f ′（x 0）（x －x 0）_（4）导函数的概念：当x ＝x 0时，f ′（x 0）是一个唯一确定的数，这样，当x 变化时，y ＝f ′（x ）就是x 的函数，我们称它为y ＝f （x ）的导函数（简称导数）.y ＝f （x ）的导函数有时也记作y ′，即f ′（x ）＝y ′＝lim ()()f x x f x x +∆-∆.【题型一】导数定义：极限基础型【典例分析】已知函数()21f x x =+，则()()22limx f x f x∆→+∆-=∆（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解.【详解】由题意()()022lim (2)x f x f f x ∆→+∆-'=∆，因为()21f x x =+，所以()2f x x '=，即(2)4'=f ；故选：B.【变式训练】1.已知函数()f x 的定义域为R ，若()()011lim 12x f x f x ∆→+-=△△，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．12D ．4【答案】B【分析】利用导数的定义可求得()1f '的值.【详解】解：因为()()11lim 12x f x f x∆→+-=△△，所以()()0111lim 12x f x f x∆→+-=△△，由导数的定义可得()1112f '=，所以()12f '=.故选：B.2.已知函数()f x 在0x x =处的导数为2-，则()()000limk f x k f x k→+-等于（）A ．－2B ．－1C ．2D ．1【答案】A【分析】根据导数的定义，即可判断.【详解】根据导数的定义可知()()()0000lim 2k f x k f x f x k→+-'==-.故选：A3.已知函数()f x 在0x x =处的导数为2，则()()000lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．－2B ．2C ．－1D ．1【答案】B【分析】利用导数的定义即得.【详解】∵函数()f x 在0x x =处的导数为2，∴()()000lim 2x f x x f x x ∆→+∆-=∆.故选：B.【题型二】导数定义计算：极限倍系数型【典例分析】若()()000lim1x f x m x f x x∆→+∆-=∆（m 为常数），则()0f x '等于（）A ．m-B ．1C ．m D ．1m沪教版（2020）选修第二册单元训练第5章导数及其应用单元测试（B 卷）【答案】D【解析】根据导数的概念，直接计算，即可得出结果.【详解】由题意，根据导数的概念可得，()()()()()0000000lim lim 1x x f x m x f x f x m x f x m mf x x m x∆→∆→+∆-+∆-='⋅==∆∆，所以()01f x m'=.故选：D .1.已知函数()f x 的导数()f x '存在，且()12f '=，则()()11lim2x f x f x∆→+∆-=-∆（）A ．12B ．12-C ．1D ．－1【答案】D【分析】本题根据()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆整理计算．【详解】()()()()()00111111lim lim 11222x x f x f f x f f xx ∆→∆→+∆-+∆-'=-=-=--∆∆．故选：D ．2.设f (x )是可导函数，且()013(1)li 2m x f x f x∆→-∆-=∆，则()1f '=（）A ．2B ．23-C ．-1D ．-2【答案】B【分析】由已知及导数的定义求()1f '即可.【详解】由题设，()(1)1323()lim 31x f f f x x∆→--∆=-∆'=.故选：B3.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()13f '=，则()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆()A ．1-B ．3C ．13D ．1【答案】D【分析】根据导数的定义即可计算．【详解】由题意可得()()()()()00111111lim lim 11333x x f x f f x f f xx ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆．故选：D ．【题型三】导数定义计算：切割交换位置型【典例分析】已知函数()f x 在0x 处的导数为()0f x '，则()()000lim x f x f x m x x∆→--∆∆等于（）A ．()0mf x 'B ．()0mf x -'C ．()01f x m-'D ．()01f x m'【答案】A【分析】利用导数的定义即可求出．【详解】()()()()()()000000000lim lim x x f x f x m x f x m x f x m mf x x x m x x ∆→∆→--∆-∆-'==∆-∆-故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的定义的应用，属于基础题．【变式训练】1.设()f x 存在导函数且满足()()112lim12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为（）A ．1-B ．2-C ．1D ．2【答案】A【分析】由导数的定义及几何意义即可求解.【详解】解：因为()f x 存在导函数且满足()()()()()0112112limlim 12112x x f f x f f x x x ∆→∆→--∆--∆==-∆--∆，所以()11f '=-，即曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为1-，故选：A.2.设函数()y f x =在R 上可导，则()()00lim x f f x x∆→-∆=∆（）A ．()0f 'B ．()0f '-C ．()f x 'D ．以上都不对【答案】B【分析】利用导数的定义可得结果.【详解】由导数的定义可知()()()()()0000lim lim 0x x f f x f x f f x x∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆.故选：B.3.设()f x 是可导函数，且00Δ0()(2Δ)lim2Δx f x f x x x→--=，则0()f x '=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【分析】结合导数的定义求得正确答案.【详解】0000Δ0Δ0()(2Δ)()(2Δ)lim2lim 2Δ2Δx x f x f x x f x f x x x x→→----=⨯=，所以00Δ00()(2Δ)lim2)Δ(1x f f x f x xx x →'--==.故选：D 【题型四】导数定义计算：双割点逼近型【典例分析】设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（）．A ．()02f x 'B ．()012f x 'C ．()0f x 'D ．()04f x '【答案】C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】解：∵()f x 在0x 处可导，∴()()()0000lim2h f x h f x h f x h →+--'=，故选：C.【变式训练】1.已知函数()f x 在0x x =处可导，若()()0002lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆，则()0f x '=（）A ．1B ．13C ．3D ．23【答案】D【分析】利用导数的定义分析即可.【详解】由题意，根据导数的定义有()()0002lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()()()000002lim x f x x f x f x f x x x∆→+∆-+--∆=∆()()()()00002002lim 2lim2x x f x x f x f x x f x x x ∆→-∆→+∆--∆-∆=+-∆03()2f x '==所以()02.3f x '=故选：D2.若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，则()()000limh f x h f x h h→+--等于（）A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0【答案】B【分析】转化为()()()()0000lim limh h f x h f x f x h f x h h →-→+---+-００，然后根据导数的定义得解.【详解】()()00lim h f x h f x h h →+--０()()()()0000limh f x h f x f x f x h h →+-+--=０()()()()0000lim h f x h f x f x f x h h →+-+--=０()()()()0000lim lim h h f x h f x f x h f x h h→-→+---=+-００()()()()0000ΔΔΔΔlimlimΔΔx x f x x f x f x x f x xx→→+-+-=+００()02'f x =故选B.3.已知函数()f x 在0x x =处可导，若()()0003lim 1x f x x f x x x→+--=△△△△，则()0f x '=（）A ．1B ．13C ．3D ．14【答案】D【分析】根据导数的定义，利用()()00003lim ()x f x x f x x f x x→+--='△△△4△，即可求出结论.【详解】()()0003limx f x x f x x x→+--△△△△()()000034lim4()1x f x x f x x f x x→+--=='=△△△4△,01()4f x '=.故选：D.【题型五】导数定义应用：切割线斜率型【典例分析】已知函数()f x 的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03223f f f f ''<-<<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03322f f f f ''<<-<【答案】D【分析】利用导数的几何意义和直线的斜率公式，结合图象得出答案．【详解】()2f '和()3f '分别表示函数()f x 在2x =和3x =处的切线斜率，结合图象可得()()032f f ''<<，而()()()()323232f f f f --=-，表示过2x =和3x =两点的直线斜率，则()()()()03322f f f f ''<<-<故选：D【变式训练】1.函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()242242f f f f ''<<-B ．()()()()224224f f f f ''<-<C ．()()()()222442f f f f ''<<-D ．()()()()422422f f f f ''-<<【答案】B【分析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知()f x '在(0,)+∞上单调递增故(4)(2)(2)(4)42f f f f -''<<-，即()()()()224224f f f f ''<-<故选：B2.．曲线()y f x =在=1x -处的切线如图所示，则()()'11f f ---=（）A ．0B ．-1C ．1D ．12-【答案】A【分析】结合切线求出斜率()'1f -和切线方程，即可求得切点，进而求出()1f -，即可求解【详解】由图可知，()()20'1102f ---==---，又切线过()0,2-，故切线方程为：2y x =--，当=1x -时，()()1121f -=---=-，故()()'110f f ---=故选：A3.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′（3）＝（）A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B【分析】由图可知，f （3）＝1，曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于13-，从而可得'1(3)3f =-，然后对函数g (x )求导，进而可求得g ′（3）的值【详解】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于13-，∴'1(3)3f =-，∵()()g x xf x =，∴''()()()g x f x xf x =+，∴''(3)(3)3(3)g f f =+，又由题图可知f （3）＝1，所以'1(3)1303g ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B【题型六】复合函数求导计算【典例分析】下列求导运算正确的是（）A ．()sin cos 55ππ'=B ．()22cos 32sin 33sin 3x x x x x x'=+C ．()21tan sin x x'=D ．()2ln 2121x x '⎡⎤=⎣⎦++【答案】D【分析】利用基本初等函数、复合函数以及导数的运算法则可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，πsin 05'⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，()'22cos 32cos 33sin 3x x x x x x =-，B 错；对于C 选项，()2222sin cos sin 1tan cos cos cos x x x x x x x '+⎛⎫'=== ⎪⎝⎭，C 错；对于D 选项，()2ln 2121x x '⎡⎤=⎣⎦++，D 对.故选：D.1.下列求函数的导数正确的是（）A ．()2ln 2121x x '⎡⎤=⎣⎦++B ．()5454e e x x --'=C ．='D ．o s s in 22c 233x x ππ'⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭+⎝⎣⎦+=⎭-【答案】AC【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误.【详解】()2ln 2121x x '⎡⎤=⎣⎦++，()5454e 5e x x --'=，()1212x '-'=s s 2in 2co 233x x ππ'⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=+，故选：AC.2.已知y =，则y '=___________．【答案】211x --【分析】化简可得()()1ln 1ln 12y x x =+--⎡⎤⎣⎦，然后根据复合函数的求导公式即可得出答案.【详解】因为121ln 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭11ln 21x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()1ln 1ln 12x x =+--⎡⎤⎣⎦，所以()()11112121x y x x x '''+=-⨯-⨯+-()()211121211x x x =-=-+--.故答案为：211x --.3.已知函数()()ln 21f x x =+，则()0f '=___________.【答案】2【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值．【详解】由题意2()21f x x '=+，所以(0)2f '=．故答案为：2．【题型七】含导数值式子求导计算【典例分析】已知函数()()()0ln 212cos f x f x x x '=+-+，则()0f '=______________.【答案】2【分析】求出()f x '，令0x =，即可解出．【详解】因为()()()0ln 212cos f x f x x x '=+-+，所以()()202sin 21f x f x x ''=⨯--+，令0x =，()()0022f f ''=⨯-，解得：()02f '=．故答案为：2．【变式训练】1.已知函数()()sin20cos 1f x x f x '=+-，则()0f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】求得'()f x ，通过赋值求得'(0)f ，再求()0f 即可.【详解】因为()()sin20cos 1f x x f x '=+-，故可得'()f x 2cos 2x =-'(0)f sin x ，令0x =，则'(0)f 2=，故()sin22cos 1f x x x =+-，则()01f =.故选：C .2.若()f x 在R 上可导，()()23522f x x f x =-'-，则()2f '=（）A ．1B ．－1C ．－2D ．2【答案】D【分析】求出导数，再代值计算即可.【详解】解：由()()23522f x x f x =-'-，可得()()'652f x x f =-'，所以()()'26252f f =⨯-'，解得()'22f =.故选：D.3.若()f x 在R 上可导，()()231ln 42f x x f x '=--，则14f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．112B ．112-C ．1D ．-1【答案】B【分析】对函数求导可得()()312f f x x x=-''，代入1x =，首先求得()112f '=，再代入14x =即可得解.【详解】由()()231ln 42f x x f x '=--，求导得()()312f f x x x=-''，令1x =，得()()1231f f =-''，解得()112f '=，所以()322f x x x -'=，所以11142f ⎛⎫=-⎪⎭' ⎝.故选：B.【题型八】抽象型复合函数计算【典例分析】已知()f x 是定义在R 上的函数，且函数()21y f x =+的图象关于直线1x =对称，当12x <时，()ln(12)f x x =-，则曲线()y f x =在6x =处的切线方程是（）A ．2ln 312ln 3y x =-B ．6y x =-+C ．212y x =-D ．212y x =-+【答案】C【分析】根据题目所给的对称性得到()()2332f x f x +=-，进一步得到()()6f x f x =-，再求出112x >时的解析式，再求导代入即可.【详解】因为函数()21y f x =+的图象关于直线1x =对称，所以()()()()211211f x f x ++=-+，即()()2332f x f x +=-.用x 代换上式中的2x ，即可得到()()33f x f x +=-，所以()f x 关于直线3x =对称.由()()33f x f x +=-得()()6f x f x =-，若112x >，则162x -<，∴当112x >时，()()()()()6ln 126ln 211f x f x x x =-=--=-，()60f =，()2211f x x '=-，()62f '=，所以曲线()y f x =在6x =处的切线方程是:02(6)y x -=-,即212y x =-.故选：C.1.已知函数()f x 在R 上可导，函数()()()2244F x f x f x =-+-，则()2F '等于（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】利用复合函数求导法则运算即可.【详解】∵()()()2244F x f x f x =-+-，∴()()()222424F x xf x xf x '''=---，∴()()()240400F f f '''=-=.故选：B.2.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()11f x f x +=-，且()()22f x f x +=--，()f x '是()f x 的导数，则（）A ．()f x '是奇函数，且是周期函数B ．()f x '是偶函数，且是周期函数C ．()f x '是奇函数，且不是周期函数D ．()f x '是偶函数，且不是周期函数【答案】B【分析】根据题意，对(1)(1)f x f x +=-和(2)(2)f x f x +=--变形分析可得：(4)()f x f x +=以及()()f x f x -=-，由复合函数的导数计算公式分析可得答案．【详解】解：根据题意，定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，则有()(2)f x f x -=+，又由(2)(2)f x f x +=--，则()(4)f x f x -=-+，则有(4)(2)f x f x +=-+，即(2)()f x f x +=-，变形可得：(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为4的周期函数，则(4)[(4)]()f x f x f x '+=+'='，故()f x '是周期函数，又由()()()2f x f x f x -=+=-，即()()f x f x =--，故()()()'''f x f x f x ⎡⎤-=--=⎣⎦，即()f x '是偶函数，故选B ：．3.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导数分别为()f x '与()g x '，若()()32f x g x +=-+，(1)()f x g x ''-=，且()()11g x g x -+=-+，则（）A ．()11g =B ．()g x '的图像关于点()20，对称C ．()g x 的图像关于直线2x =对称D ．()g x 的周期为4【答案】BCD【分析】根据函数的对称性及周期性的条件判断即可．【详解】解：(1)(1)g x g x -+=-+，令0x =，得(1)0g =，故A 错误；(1)()f x g x ''-=，()(1)f x g x ''∴=+，()()1f x g x a =++，∵()()32f x g x +=-+，()(3)2f x g x ∴=-+，()()132g x a g x ++=-+，令1x =，得2a =，()()13g x g x ∴+=-，()g x ∴关于直线x ＝2对称，(1)(3)g x g x ''∴+=--，∴函数()g x '的图像关于点()20，对称，故B 、C 正确；(1)(1)g x g x -+=-+，()(2)g x g x ∴=--，(1)(3)g x g x +=-，()(4)g x g x ∴=-，(4)(2)g x g x ∴-=--，即(2)()g x g x +=-，(4)(2)()g x g x g x ∴+=-+=，()g x ∴的周期4T =，故D 正确．故选：BCD ．【题型九】导数有关的函数性质（奇偶性、对称性等）【典例分析】已知()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()21f x -为偶函数．设()01f '=，则()812k f k ='=∑A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】根据()12f x -为奇函数，得到()()11f x f x +=--，两边同时求导得到()f x '的图象关于直线1x =对称，同理由()21f x -为偶函数，得到函数()f x '的图象关于点()1,0-对称，两者联立得到()f x '为周期函数，且周期为8求解.【详解】解：因为()12f x -为奇函数，所以()()1212f x f x +=--，即()()11f x f x +=--，两边同时求导，则有()()11f x f x +='-'，所以()f x '的图象关于直线1x =对称．因为()21f x -为偶函数，所以()()2121f x f x --=-，即()()11f x f x --=-+，两边同时求导，则有()()11f x f x ''---=-+，所以函数()f x '的图象关于点()1,0-对称．所以，()()()24f x f x f x '''=-=--，()()()84f x f x f x '''+=-+=，所以，函数()f x '为周期函数，且周期为8，则有()()()()()02810161f f f f f '''''=====，()()()()4612141f f f f ''''====-，所以()()()()()()812241214160k f k f f f f f =''''''=+++++=∑．故选：B.1.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()52f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '的值为（）A ．－2B ．－1C ．0D ．2【答案】C 【分析】根据()52f x +是偶函数，可得(52)(52)f x f x -+=+，求导推得()(4)g x g x =--+，从而求得(2)0=g ，再根据()1g x +为偶函数，可推得(4)()g x g x +=，即4是函数()g x 的一个周期，由此可求得答案.【详解】因为()52f x +是偶函数，所以(52)(52)f x f x -+=+，两边求导得5(52)5(52)f x f x ''--+=+，即(52)(52)f x f x ''--+=+，所以(52(52)g x g x +=--+），即()(4)g x g x =--+，令2x =可得(2)(2)g g =-，即(2)0=g ，因为()1g x +为偶函数，所以(1)(1)g x g x +=-+，即()(2)g x g x =-+，所以(4)(2)g x g x --+=-+，即()(2)g x g x =-+，(4)(2)()g x g x g x ∴+=-+=，所以4是函数()g x 的一个周期，所以(2022)(2022)(50542)(2)0f g g g '==⨯+==,故选∶C ．2.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域都为R ，且()12f x -为偶函数，()2f x +为奇函数，则（）A ．()10f =B ．()20f '=C ．()()202220210f f '+=D ．()()202220210f f '+=【答案】D【分析】根据函数的奇偶性，推出函数()f x 与导函数()f x '的周期性，利用周期性进行转化求解即可.【详解】解：由()12f x -为偶函数知，()()1212f x f x -=+，即()()11f x f x -=+，即函数()f x 关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，由()2f x +是奇函数知，()()22f x f x +=--+，即函数()f x 关于点(2,0)对称，则()(4)f x f x =--，且()20f =，所以()()24f x f x -=--，即()()4f x f x =+，即函数()f x 的周期是4，则()()()20222505420f f f =+⨯==；又()()()()12121212f x f x f x f x ''⎡⎤⎡⎤-=+⇒-=+⎣⎦⎣⎦所以()()212212f x f x --=+''，则()()1212f x f x --=+''，即()()11f x f x --='+'所以()()2f x f x ''=--，即导函数()f x '关于点(1,0)对称，且()10f '=.由()()()()44f x f x f x f x '='=+⇒+，即导函数()f x '的周期是4，则()()()20211505410f f f '''=+⨯==；所以()()202120220f f '+=.故选：D.3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()1f x +为奇函数.若()12f '=-，则曲线()y f x =在点()()9,9f --处的切线方程为（）A ．2140x y -+=B ．2140x y ++=C ．2180x y ++=D ．2180x y -+=【答案】D【分析】由题可得函数()f x 的周期为4，可求()90f -=，利用(2)()()f x f x f x +=--=-可得(2)()()f x f x f x '''+=-=-，可求(9)2f '-=，即得切线方程.【详解】∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()1f x +为奇函数，∴()(),(1)(1)f x f x f x f x -=-+=-+，∴(2)()()f x f x f x +=--=-，∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 的周期为4，令=1x -可得(1)(1)(1)f f f =--=-即(1)(1)0f f =-=∴()9(1)(1)0f f f -=-==，由(2)()()f x f x f x +=--=-得(2)()()f x f x f x '''+=-=-，∴(4)()f x f x ''+=，又()12f '=-∴(9)(1)(1)2f f f '''-=-=-=，∴曲线()y f x =在点()()9,9f --处的切线方程为02(9)y x -=+即2180x y -+=.故选：D.【题型十】对称型求导数值（中心与轴对称）【典例分析】已知函数()20212sin (R)20211xf x x x x =++∈+，则(2021)(2021)(2021)(2021)f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2021D ．2022【答案】B【分析】求()f x '可得()f x '为偶函数，可得(2021)(2021)0f f ''--=，计算()()f x f x +-可得定值，即可求解.【详解】因为()()2020222021ln 20212021cos 20211x xf x x x -⨯⨯'=+++，()2020222021ln 2021()2021()cos()20211x xf x x x ---⨯⨯-=+-+-'+，202022ln 202120212021()cos()202112021xxxx x -⨯=+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()2020222021ln 20212021cos 20211x x x x f x -⨯⨯'=++=+即()()f x f x ''-=，所以()f x '是偶函数，所以()()0f x f x ''--=，又因为2021202122()()sin ()sin()2021120211x xf x f x x x x x -+-=++++-+-++22202122021120211xx x⨯=+=++，所以(2021)(2021)(2021)(2021)202f f f f ''+-+--=+=，故选：B.1.已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】A【分析】函数()22sin 11x xf x x +=++，分析其性质可求()()389389f f +-的值，再求()f x '并讨论其性质即可作答.【详解】由已知得()22sin 11x xf x x +=++，则()()()()()2222cos 12sin 21x x x x xx f x ++-+'+=⋅，显然()f x '为偶函数.令()()22sin 11x xg x f x x +=-=+，显然()g x 为奇函数.又()f x '为偶函数，所以()()3893890f f ''--=，()()()()389389389138912f f g g +-=++-+=，所以()()()()3893893893892f f f f ''++---=.故选：A.2.已知函数()sin 162cos x x f x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2023202320232023f f f f ''-+-+-=______．【答案】1【分析】变形给定函数式，求出导函数()f x '，再探讨函数()f x 与其导函数()f x '的性质，即可计算作答.【详解】函数1sin cos 12122()2cos 42cos 2x x x x x f x x x ++++==+++，其定义域为R，令()g x=，显然()()g x g x -===-，即函数()g x 是R 上的奇函数，1()()2f x g x =+，因此()()11()()122f x f xg x g x -+=-+++=，()()202320231f f -+=，由()()g x g x -=-两边求导得：()()g x g x ''--=-，即()()g x g x ''-=，而()()f x g x ''=，于是得()()()()0f x f x g x g x ''''--=--=，()()202320230f f ''--=，所以()()()()20232023202320231f f f f ''-+-+-=.故答案为：13.已知函数()3()sin 33R,R f x a x bx a b =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2021202120222022f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2021C ．2022D ．6【答案】D【分析】令3()sin 3g x a x bx =+，判断()g x 、()f x '的奇偶性，借助奇偶性计算即可作答.【详解】依题意，()f x 的定义域为R ，令3()sin 3g x a x bx =+，则3()sin 3()(())g x a x g x b x -=-+-=-，即()g x 是奇函数，有(2021)(2021)0g g +-=，则()()(2021)203(2021)36212021f g f g ++-++==-，又2()3cos33f x a x bx '=+，且有2()3cos3((())3)f x a x b f x x '='-=-+-，即()f x '是偶函数，()()202220220f f ''--=，所以()()()()20212021202220226f f f f ''+-+--=.故选：D培优第一阶——基础过关练1．已知()f x '是函数()f x 的导函数，若0()4f x '=，则000(2)()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．2-B ．2C ．8-D ．8【答案】C【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解【详解】()()()()()()000000000222lim lim 2lim 1222x x x f x x f x f x f x x f x f x x x x x∆→∆→∆→-∆---∆--∆=-=-∆∆⋅∆()028f x '=-=-故选：C2．若函数()f x 的导函数的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（）A ．()3cos f x x=B ．()32f x x x=+C ．()e xf x x =+D ．()1sin 2f x x =+【答案】D【分析】A 选项，求导后得到()3sin f x x '=-，为奇函数，A 错误；B 选项，求导后()232f x x x '=+，为非奇非偶函数，错误；C 选项，求导后()e 1x f x '=+，不是偶函数，舍去；D 选项，求导后()2cos 2f x x '=为偶函数，满足题意.【详解】A 选项，()3sin f x x '=-定义域为R ，且()()()3sin 3sin f x x x f x ''-=--==-，故()3sin f x x '=-为奇函数，关于原点对称，A 错误；B 选项，()232f x x x '=+，定义域为R ，由于()()232f x x x f x ''-=-≠，故()232f x x x'=+不关于y 轴对称，B 错误；C 选项，()e 1x f x '=+，定义域为R ，由于()()e 1x f x f x -+=≠''-，故()e 1xf x '=+不关于y 轴对称，C 错误；D 选项，()2cos 2f x x '=，定义域为R ，则()()()2cos 22cos 2f x x x f x ''-=-==，故()2cos 2f x x '=关于y 轴对称，D 正确.故选：D3．若函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则（）A ．3-是函数()y f x =的极小值点B ．1-是函数()y f x =的极小值点C ．2-是函数()y f x =的极大值点D ．1是函数()y f x =的极大值点【答案】A【分析】根据给定的函数图象，确定导数为正或负的x 取值区间，再逐项判断作答.【详解】观察导函数()y f x '=的图象知，当3x <-时，()0f x '<，当3x >-时，()0f x '≥，当且仅当=1x -时取等号，因此函数()y f x =在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，于是得3-是函数()y f x =的唯一极值点，且是极小值点，A 正确，B ，C ，D 都不正确.故选：A 4．已知函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=（）A ．2B ．3C ．4D ．1-【答案】A【分析】由导数的几何意义求解，【详解】由题意得()53f =，()51f '=-，则()()552f f '+=，故选：A5．如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h 随时间t 变化的函数为()h f t =，定义域为D ，设012,,t D k k ∈分别表示()f t 在区间[][]0000,,,(0)t t t t t t t +∆-∆∆>上的平均变化率，则（）A ．12k k <B ．12k k >C ．12k k =D ．无法确定【答案】A【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢，可判断出结果.【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以()f t 在区间[][]0000,,,(0)-∆+∆∆>t t t t t t t 上的平均变化率由大变小，即21k k >．故选：A6．已知函数()f x 在2x =的附近可导，且()22lim 22x f x x →-=--，()22f =，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为（）A ．260x y +-=B ．220x y --=C ．260x y +-=D ．220x y -+=【答案】A【分析】由题意可知斜率，代入点斜式即可求解.【详解】由题知，()22lim 22x f x x →-=--，∴函数()f x 在2x =处的切线斜率为：2k =-，又()22f =，∴切线过点()2,2，代入点斜式有：()222y x -=--，即：260x y +-=.故选：A.7．若函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则000()(2)lim x f x x f x x x ∆→-∆-+∆=∆（）A ．2B ．3C ．2-D ．3-【答案】D【分析】根据导数的定义可知，000()(2)lim12x f x x f x x x x∆→-∆-+∆=-∆-∆，即可得出答案.【详解】由已知可得，()01f x '=.根据导数的定义可知，()()()000Δ0Δ2Δlim1Δ2Δx f x x f x x f x x x→--+'==--，即000()(2)1lim13x f x x f x x x∆→-∆-+∆-=∆，所以000()(2)lim3x f x x f x x x ∆→-∆-+∆=-∆.故选：D.8．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x ，()g x 导函数()g x '的定义域也为R ．若()g x 为偶函数，()()50f x g x -'+=，()()450f x g x ---='，则下列不正确的是（）A ．()45f =B ．()00g '=C ．()()131f f -+-=D ．()()1310f f +=【答案】C【分析】容易分析知()g x 在y 轴两侧的一段区域内单调性相反，()'00g =；再经过赋值法可以依次判断ACD 是否正确.【详解】依题意：()g x 为偶函数，()g x 导函数()g x '的定义为R ，()'00g ∴=，B 对；令4x =代入()()()()450,4055,f x g x f g ---=∴=+=''A 对；又()()()()450,450,f x g x f x g x ---=∴'---='又()()50f x g x -'+=，()()()()410,1310,f x f x f f ∴+-=∴+=D 对；又()g x 为偶函数，()'g x ∴为奇函数；由()()()()()()50,40,450f xg x g x g x f x g x ⎧+-=⎪∴+-=⎨---=''⎪⎩''又()()''g x g x =--，()()()()'4,4,5g x g x T f x g x ∴=+∴=∴=-''也为周期为4的函数，()()()()133110,f f f f ∴-+-=+=C 错；故选：C培优第二阶——能力提升练1．设()f x 是定义在R 上的可导函数，若()()000lim 2h f x h f x a h→--=（a 为常数），则()0f x '=（）A ．2a -B ．2a C ．a -D ．a 【答案】A【分析】根据导数的定义及极限的性质计算可得；【详解】解：()()()()()0000000lim lim 2h h f x h f x f x h f x f x a h h→→----'==-=--.故选：A.2．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，其中()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x 为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（）A ．()()()123f x f x f x ''>'>B ．()()()321f x f x f x ''>'>C ．()()()312f x f x f x '''>>D ．()()()132f x f x f x ''>'>【答案】B【分析】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；【详解】解：由图可知函数在A 点的切线斜率小于0，即()10f x '<，在D 点的切线斜率等于0，即()20f x '=，在C 点的切线斜率大于0，即()30f x '>，所以()()()321f x f x f x ''>'>；故选：B3．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解.【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =，所以()()11224f f '-=+=.故选：D4．若函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则000(2)()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3【答案】B【分析】利用导数的定义和几何意义即可得出．【详解】解：若函数()y f x =在0x x =处的导数为1，0()1f x ∴'=．则000000000(2)()(2)()()()lim 2lim lim 2x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x ∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-=+∆∆-∆()()()000233f x f x f x '''=+==．故选：B ．5．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B 满足条件，所以在时间[0，T ]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD 选项，故选：ACD.6．下列说法正确的是（）A ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处也可能有切线B ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在【答案】AC【分析】由()0f x '的意义判断各个选项即可.【详解】()0k f x '=，()0f x '∴不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为0x x =，故AC 正确.故选：AC.7．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '的图象如图所示，则对于任意12,x x ∈R （12x x ≠），下列结论正确的是（）A ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()121222f x f x x xf ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】AD【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据原函数图象判断AB 选项，根据图象的凹凸性判断CD选项.【详解】由导函数图象可知，()0f x '<，且其绝对值越来越小，因此函数()f x 的图象在其上任一点处的切线的斜率为负，并且从左到右，切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得()f x的图象大致如图所示．选项A 、B 中，由()f x 的图象可知其割线斜率()()1212f x f x x x --恒为负数，即12x x -与()()12f x f x -异号，故A 正确，B 不正确；选项C 、D 中，122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭表示122x x x +=对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，()()122f x f x +表示1x x =和2x x =所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，显然有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 不正确，D 正确．故选：AD ．8．已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=．若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，12g x ⎛+⎫⎪⎝⎭为奇函数，则（）A ．302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()()120g g +=D ．70122g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【答案】BCD【分析】分析得到()f x 关于直线32x =对称，函数()g x 关于点1(,0)2对称，结合已知分析即得解.【详解】解：3(2)2f x -为偶函数，∴可得33(2)(2)22f x f x -=+，所以33()()22f x f x -=+()f x ∴关于直线32x =对称，设23()=()12f x x -+，3()102f =≠，所以选项A 错误；1()2g x +为奇函数，11()()22g x g x ∴-=-+，所以函数()g x 关于点1(,0)2对称.令0x =得1(02g =.故选项B 正确；()f x 关于直线32x =对称，所以33()()22f x f x -=+所以''33[()][()]22f x f x -=+，即''33()()22f x f x --=+所以(1)(2)0f f ''+=，所以(1)(2)0g g +=，故选项C 正确；所以17()(022f f ''-+=，所以17()()022g g -+=，故选项D 正确.故选：BCD培优第三阶——培优拔尖练1．下列有关导数的说法，正确的是（）.A ．()0f x '就是曲线()f x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率B ．()0f x '与()0f x '⎡⎤⎣⎦的意义是一样的C ．设()s s t =是位移函数，则()0s t '表示物体在t t =0时刻的瞬时速度D ．设()v v t =是速度函数，则()0v t '表示物体在t t =0时刻的瞬时加速度【答案】ACD【分析】根据导数的定义以及几何意义判断ACD ，根据常数函数的导数为0判断B.【详解】()0f x '表示曲线()f x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率，故A 正确；()0f x '⎡⎤⎣⎦表示对函数值()0f x 求导，因为()0f x 是常函数，所以()00f x '=⎡⎤⎣⎦，与()0f x '的意义不一样，故B 错误；C ，D 易知正确.故选：ACD2．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（）A ．()()0002lim 2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答.【详解】对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足；对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足；对于C ，()()()00002lim x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D不满足.故选：AC3．设函数()f x 可导且()f x 在0x 处的导数值为1，则()()0002lim 3x f x x f x x ∆→+∆-=∆__________．【答案】23。

实变函数论中的导数性质及其应用在实变函数论中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在这篇回答中，我将介绍导数的性质以及其在实际问题中的应用。

首先，导数具有以下一些重要的性质：1. 导数的定义：设函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗。

这个定义描述了函数在某一点的瞬时变化率。

2. 可导函数的连续性：如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处连续。

这意味着函数在可导点处没有突变或跳跃。

3. 导数的四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在点x=a处可导，那么有以下几个重要的式子：a) (cf)'(a) = cf'(a)，其中c是常数；b) (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)；c) (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)；d) (f/g)'(a) = (f'(a)g(a) - f(a)g'(a))/[g^2(a)]，其中g(a)≠0。

4. 链式法则：设函数y=f(g(x))是由两个函数f(u)和g(x)复合而成，如果g(x)在点x=a处可导且f(u)在u=g(a)处可导，那么复合函数y=f(g(x))在点x=a处可导，且导数为dy/dx=f'(g(a))g'(a)。

有了以上导数的性质，我们可以将导数应用到多个实际问题中。

以下是导数在实际问题中的一些常见应用。

1. 切线与法线：导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，因此可以用来求得切线的斜率。

给定一个函数f(x)，如果点P(x_1,f(x_1))在曲线上，那么切线方程为y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)。

法线则垂直于切线，斜率为-1/f'(x_1)。

2. 优化问题：在求解优化问题时，导数可以帮助我们确定函数的极值点。