2019-2020年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲导数的概念及运算增分练

2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。

第10节导数的概念及计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,3,13导数的几何意义4,5, 7,8,9,11导数运算及几何意义综合6,10,12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·黑龙江省伊春市期中)函数y=的导数为( D )(A) (B)(C)- (D)解析:因为y=,所以y′==.故选D.2.函数y=ln(2x2+1)的导数是( B )(A) (B)(C)(D)解析:因为y=ln(2x2+1),所以y′=·(2x2+1)′=.故选B.3.(2017·山西怀仁县期中)已知f(x)=x2+3xf′(1),则f′(2)等于( A )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:f′(x)=2x+3f′(1),令x=1,得f′(1)=2+3f′(1),f′(1)=-1,所以f′(x)=2x-3.所以f′(2)=1.故选A.4.(2017·湖南怀化一模)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于( A )(A)2 (B)1(C) (D)0解析:根据图象知,点P为切点,f(5)=-5+8=3,f′(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率,所以f′(5)=-1,所以f(5)+f′(5)=2.故选A.5.函数f(x)=e x ln x在x=1处的切线方程是( C )(A)y=2e(x-1) (B)y=ex-1(C)y=e(x-1) (D)y=x-e解析:函数f(x)=e x ln x的导数为f′(x)=e x ln x+e x·,所以切线的斜率k=f′(1)=e,令f(x)=e x ln x中x=1,得f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),所以切线方程为y-0=e(x-1),即y=e(x-1).故选C.6.(2017·湖南邵阳二模)已知a>0,曲线f(x)=2ax2-在点(1,f(1))处的切线的斜率为k,则当k取最小值时a的值为( A )(A) (B) (C)1 (D)2解析:f(x)=2ax2-的导数为f′(x)=4ax+,可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=4a+,由a>0,可得4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时,k取最小值.故选A.7.导学号 38486054(2017·河南许昌二模)已知函数y=x+1+ln x在点A(1,2)处的切线l,若l与二次函数y=ax+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为( D )(A)12 (B)8 (C)0 (D)4解析:y=x+1+ln x的导数为y′=1+,曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线斜率为k=2,则曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线方程为y-2=2x-2,即y=2x.由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x,得ax2+ax+1=0,又a≠0,两线相切有一切点,所以有Δ=a2-4a=0,解得a=4.故选D.8.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:19.(2017·云南一模)已知函数f(x)=axln x+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b= .解析:f(x)=axln x+b的导数为f′(x)=a(1+ln x),由f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,易知f(1)=2,即b=2,f′(1)=2,即a=2,则a+b=4.答案:4能力提升(时间:15分钟)10.导学号 38486055已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2xf′(2),则函数f(x)的解析式为( B )(A)f(x)=x2+8x (B)f(x)=x2-8x(C)f(x)=x2+2x (D)f(x)=x2-2x解析:因为f(x)=x2+2xf′(2),所以f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=2×2+2f′(2),解得f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x,故选B.11.(2017·广州一模)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax,因为函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,解得x0=±1.当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.故选D.。

第十节导数的概念及运算［考纲传真］ 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝错误!，y＝错误!的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f（ax ＋b）的复合函数)的导数．1．导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0)的几何意义是曲线y＝f(x）在点（x0，f（x0)）处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0）(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数）f′（x)＝0f(x)＝xα（α是实数）f′(x）＝αxα－1y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝－sin xf（x)＝e x f′(x）＝e xf（x）＝a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝a x ln_af（x)＝ln x f′（x）＝错误!f(x）＝log a xf′(x）＝错误!(a＞0，且a≠1)(1)［f(x）±g（x）］′＝f′(x)±g′(x）;（2)[f（x）·g(x)］′＝f′(x)g（x）＋f（x)g′(x）；(3）错误!′＝错误!(g（x）≠0）．4．复合函数的导数复合函数y＝f（φ(x）)的导数和函数y＝f（u），u＝φ（x)的导数间的关系为y x′＝[f(φ(x)）］′＝f′(u)·φ′（x）．［基础自测］1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×"）(1)f′(x0）是函数y＝f(x）在x＝x0附近的平均变化率．( ）(2）f′(x0）与[f（x0）]′表示的意义相同．（)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（）（4）函数f(x）＝sin（－x)的导数是f′（x)＝cos x．( ）［答案］（1）×（2）×(3）×（4）×2．已知f（x）＝x ln x,若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．eC。

课时提升作业十三变化率与导数、导数的计算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是( )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.2.已知f(x)=x(2014+lnx),f′(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选B.由题意可知f′(x)=2014+lnx+x·=2015+lnx.由f′(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=e x,则当x1<x2时,下列结论正确的是( )A.>B.<C.>D.<【解析】选C.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则表示曲线f(x)=e x在B点处的切线的斜率,而表示直线AB的斜率,由数形结合可知:>.4.(2016·临川模拟)若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是( )A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+4y+1=0【解析】选 C.根据函数f(x)=mxα为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有α=,所以f(x)=,f′(x)=,f′=1,根据直线方程的点斜式,求得切线方程是4x-4y+1=0.【加固训练】(2016·保定模拟)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为( )A.eB.-eC.D.-【解析】选 C.y=lnx的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则k=y′=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=y′==.5.(2016·泸州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )A.-1或-B.-1或C.-或-D.-或7【解题提示】点(1,0)不在曲线y=x3上,只是曲线y=x3的特定切线经过点(1,0),故设出切点坐标,写出切线方程,把点(1,0)代入切线方程求得切点坐标,得出切线方程后,再根据切线与y=ax2+x-9相切求出a值. 【解析】选A.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·湖南十二校联考)若函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=.【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知f(x)=x2+2xf′(2014)+2014lnx,则f′(2014)=.【解析】由题意得f′(x)=x+2f′(2014)+,所以f′(2014)=2014+2f′(2014)+,即f′(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-2015。

第10节　导数的概念及运算考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x 0处的导数()()00f x x f x x+∆-∆(2)函数f(x)的导函数函数f′(x)= 为f(x)的导函数.()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的 ,过点P的切线方程为 .斜率y-y 0=f′(x 0)(x-x 0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)= .f(x)=x α(α∈Q *)f′(x)=.0αx α-1f(x)=sin x f′(x)= .f(x)=cos x f′(x)= .f(x)=e x f′(x)= .f(x)=a x(a>0,且a≠1)f′(x)= .f(x)=ln x f′(x)=f(x)=loga x(a>0,且a≠1)f′(x)=cos x-sin xe xa x ln a1lnx a1x4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)·g(x)]′= ;f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦【重要结论】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.(教材改编题)曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15解析:因为y=x 3+11,所以y′=3x 2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.对点自测C2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x等于( )解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x+1=2,解得x0=e.B3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 .答案:e答案:x-y+1=05.下面四个结论中正确的是 .(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.(3)求f′(x0)时,可先求f(x),再求f′(x).(4) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的切线斜率,(1)错误.(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错误.(3)求f′(x)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错误,只有(4)正确.答案:(4)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一　导数的运算(多维探究)考查角度1:利用求导法则运算【例1】 求下列函数的导数:(1)y=e x ln x;反思归纳(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【跟踪训练1】 求下列函数的导数:考查角度2:抽象函数的导数运算【例2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2) +ln x,则f′(2)= .反思归纳(1)准确活用求导法则是解题的关键,另外一定注意f′(x0)(x是变量x某一取值)是一个常数,不是变量.(2)求解该类问题时要善于观察题目特征,恰当赋值,重视方程思想的运用.【跟踪训练2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e考点二　导数的几何意义(多维探究)考查角度1:求切线方程或切点坐标【例3】 (1)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 ;答案:(1)x-y-1=0(2)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ;解析:(2)令x≥0,则-x≤0,f(-x)=e x-1+x,又f(x)为偶函数,所以x≥0时,f(x)=e x-1+x,所以f(1)=2,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:(2)y=2x(3)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .答案:(3)(e,e)反思归纳(1)求曲线在点P(x0,y)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若切线垂直于x轴,则切线方程为x=x.(2)求曲线过点P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.求出切点坐标是解题的关键.【跟踪训练3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:(1)法一　因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二　因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.答案:(1)D答案:(2)(1,1)考查角度2:求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2018·开封模拟)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)(0,+∞)答案:(1)B答案:(2)-8反思归纳(1)求解与曲线切线有关的参数问题,其实质是利用导数的几何意义求曲线切线方程的逆用.(2)解题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.答案:(1)1(2)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .解析:(2)因为两曲线的交点为(0,m),所以m=acos 0,m=02+b×0+1.所以m=1,a=1.因为曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,所以f′(0)=g′(0),所以-sin 0=2×0+b,所以b=0.所以a+b=1.答案:(2)1备选例题【例2】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .答案:3【例3】 已知函数f(x)=-f′(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为 .点击进入应用能力提升。

第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。

2019年高考文科数学考点梳理之导数的概念及计算和导数的应用汇编考点11 导数的概念及计算1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C （C 为常数），21,,y x y x y x===的导数. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. • 常见基本初等函数的导数公式：1()0();(),n n C C x nx n -+''==∈N 为常数； (sin )cos ;(cos )sin x x x x ''==-；(e )e ;()ln (0,1)x x x x a a a a a ''==>≠且；11(ln );(log )log e(0,1)a a x x a a x x''==>≠且. • 常用的导数运算法则：法则1：()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.法则2：()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.法则3：2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠.一、导数的概念 1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数. 3．瞬时变化率4．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlim x x f x +x f x yx x∆→∆→∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即00()l i mx yf x x ∆→∆'==∆000()()lim x f x +x f x x∆→∆-∆.【注】函数()y f x =在0x x =处的导数是()y f x =在0x x =处的瞬时变化率. 5．导函数的概念如果函数()y f x =在开区间(a ，b )内的每一点都是可导的，则称()f x 在区间(a ，b )内可导．这样，对开区间(a ，b )内的每一个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间(a ，b )内()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数(简称导数)，记为()f x '或y '，即()f x y ''==0()()li mx f x +x f x x∆→∆-∆.二、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0000()()()limx f x +x f x k f x x∆→∆-'==∆.【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y −y 0=f ′(x 0)(x −x 0)； （2）当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y −f (x 1)=f ′ (x 1)(x −x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y −f (x 1)=f ′(x 1)(x −x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 三、导数的计算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.（3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 3．复合函数的导数复合函数y=f (g (x ))的导数和函数y=f (u )，u=g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考向一 导数的计算1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． （2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. （2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.典例1 求下列函数的导函数：（1）42356y x x x --=+； （2）21y x x=+； （3）2cos y x x =； （4）tan y x =.【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数()y f x =在开区间(a ,b )内的导数的基本步骤： ①分析函数()y f x =的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果.（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.1．已知函数2()22(1(1))f x x x f f ++'=，则()2f '的值为A ．2-B ．0C ．4-D ．6-考向二 导数的几何意义求曲线y =f (x )的切线方程的类型及方法（1）已知切点P (x 0, y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，通过方程k =f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k =f ′(x 0)求出切点坐标(x 0, y 0)，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．典例2 已知函数2ln y x x =.（1）求这个函数的图象在1x =处的切线方程；（2）若过点()0,0的直线l 与这个函数图象相切，求直线l 的方程. 【解析】（1）2ln y x x x '=+， 当1x =时，0,1y y '==，∴这个函数的图象在1x =处的切线方程为1y x =-.【规律总结】求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．2．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．1．函数在处的导数是A ．0B ．1C ．D ．2．已知函数的导函数是，且，则实数的值为A ．B ．C ．D ．13．设函数的导函数记为，若，则A ．-1B ．C ．1D ．34．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是A ．B ．C ．D ．5．已知过曲线e xy =上一点()00,P x y 作曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0，则0x 的取值范围是A ．()0,+∞BC ．()1,+∞D ．()2,+∞6．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则A ．B ．C ．D ．7．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：300()2t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量，已知30t =时，铯137含量的变化率为10ln 2-(太贝克/年)，则(60)M = A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克 D ．150太贝克8．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 A ． B ． C ．D ．9，则(1)f '=__________． 10．已知函数的导函数为，且满足，则_________．11．曲线的切线方程为，则实数的值为_________．12．曲线250xy x y -+-=在点()1,2A 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_________． 13．求下列函数的导数：（1）21cos xy x +=； （2）()3ln xy x x =⋅-.14．已知函数()32f x x bx cx d =+++的图象过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=．（1）求()1f -和()1f '-的值；（2）求函数()f x 的解析式．1．（2018新课标全国Ⅰ文科）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．（2016山东文科）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．y =sin x B ．y =ln x C ．y =e xD ．y =x 33．（2016四川文科）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln 01,ln ,1x x x x -<<⎧⎨>⎩，图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞)D ．(1,+ ∞)4．（2018天津文科）已知函数f (x )=e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 5．（2018新课标全国Ⅱ文科）曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．6．（2017天津文科）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．7．（2017北京文科节选）已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；8．（2017山东文科节选）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；9．（2017天津文科节选）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；10．（2017浙江节选）已知函数f (x )=(x e x -(12x ≥)． （Ⅰ）求f (x )的导函数；2．【答案】C【解析】∵，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选C．1．【答案】C【解析】因为，故选C．2．【答案】B【解析】，选B．3．【答案】D【解析】根据题意，得，由，得，化简可得，即，故选D．4．【答案】C【解析】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又因为过点的切线的斜率，过点的切线的斜率，直线的斜率，故，应选C.5．【答案】C【解析】因为()0e xk f x'==，所以切线方程为()00e xy y x x-=-，即()00e ex xy x x-=-，令0x=得()01e xy x=-，截距小于0时，()01e0xy x=-<，解得1x>，故选C．6．【答案】D【解析】令G （x ）=()exf x ，则G ′（x ）==2x -2，可设G （x ）=x 2+c ，∵G （0）=f （0）=1，∴c =1．∴f （x ）=（x 2+1）ex故选D.8．【答案】C【解析】因为切线，的切点分别为而，所以.因为，所以(.因为，所以，因此，选C ．9．【答案】12.【解析】 1x =，得()()111f f ='-'，解得 10．【答案】【解析】求导得，把代入得，解得．11．【答案】212．【答案】496【解析】由250xy x y -+-=，得()52x y f x x +==+，∴()()232f x x -='+，∴()113f '=-， ∴曲线在点()1,2A 处的切线方程为()1213y x -=--． 令0x =，得73y =；令0y =，得7x =． ∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为17497236S =⨯⨯=． 13．【解析】（1()()()24sin 1cos 2x x x x x --+⋅=3sin 2cos 2x x x x++=-. （2）()()()3ln 3ln xxy x x x x '⋅⋅''=-+-()13ln3ln 31x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-+⋅- ⎪⎝⎭13ln3ln ln31x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.14．【解析】（1）∵()f x 在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=，故点()()1,1f --在切线670x y -+=上，且切线斜率为6，得()11f -=且()16f '-=．（2）∵()f x 过点()0,2P ，∴2d =，∵()32f x x bx cx d =+++，∴2()32f x x bx c '=++，由()16f '-=得326b c -+=，又由()11f -=，得11b c d -+-+=，联立方程得232611d b c b c d =-+==-+-+⎧⎪⎨⎪⎩，解得332b c d ⎧=-=-=⎪⎨⎪⎩，故()32332f x x x x =--+．1．【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 2．【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =的图象上存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值分别为10,e 0,x y y y x'''=>=>=230x ≥，不符合题意，故选A ． 3．【答案】A【解析】设111222(,ln ),(,ln )P x x P x x -(不妨设121,01x x ><<)，则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为1111ln ()y x x x x -=-，切线2l 的方程为2221ln ()y x x x x +=--，即1111ln ()y x x x x -=--.分别令0x =得11(0,1ln ),(0,1ln ).A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121(,ln ).11x x P x x x -+++211122112111,||||1,01211PABA B P PABx x x S y y x S x x +>∴=-⋅=<=∴<<++△△，故选A.4．【答案】e【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．【答案】y =2x –2 【解析】由，得.则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 6．【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ，因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-，切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令0x =可得1y =，故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．7．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.9．【解析】（II ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()exx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以0000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0. 10．【解析】（Ⅰ）因为(1x '=，(e )e x x '--=-，所以()(1(x xf x x --'=-1)2xx -=>．考点12 导数的应用1．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a ,b )内：（1）如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; （2）如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; （3）如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数f (x )在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数f (x )在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值一般地，对于函数y =f (x )，（1）若在点x =a 处有f ′(a )=0，且在点x =a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x=a 为f (x )的极小值点，()f a 叫做函数f (x )的极小值.（2）若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x=b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为： （1）求()f x 在(,)a b 内的极值；（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一 利用导数研究函数的单调性1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ,b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.典例1 已知函数，其中.（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；（2）讨论函数的单调性.（2）由于，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减；当时，由得或，①当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，，单调递增；②当时，，单调递增；③当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.典例2 设函数2()e ln x f x a x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a≥+. 【解析】（1）()f x 的定义域为(0+)，¥，2()=2e (0)x af x x x¢->. 当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2=e x y 单调递增，ay x=-单调递增，所以()f x ¢在(0+)，¥上单调递增. 又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，()0f b ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（2）由（1），可设()f x ¢在(0+)，¥上的唯一零点为0x . 当0(0)x x ,Î时，()0f x ¢<;当0(+)x x ，违时，()0f x ¢>. 故()f x 在0(0)x ,上单调递减，在0(+)x ，¥上单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202e=0x a x -，所以02000022()=e ln 2ln 2ln 2xa f x a x ax a a a x a a -=++?（当且仅当0022aax x =，即012x =时，等号成立）.故当0a >时，2()2lnf x a a a?.1（1）当1a =时，求()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在[]1,1-上单调递减，求实数a 的取值范围.考向二 利用导数研究函数的极值和最值1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 2．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． （2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.典例3 已知函数21()e 2xf x ax x =-+． （1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1e a <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12．（2）由（1）知()f 'x 在[1,)+∞上单调递增， 因为1e a <-，所以()e 110f 'a =-+<，所以存在(1,)t ∈+∞，使得()0f 't =，即e 0t t a -+=，即e t a t =-， 所以函数()f x 在[1,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当[1,)x ∈+∞时222min 111()()e e (e )e (1)222t t t t f f t at t t t t t x t ==-+=-+-=-+，令21()e (1)2x h x x x =-+，1x >，则()(1e )0x h'x x =-<恒成立，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以211()e(11)122h x <-+⨯=， 所以211e (1)22tt t -+<，即当[1,)x ∈+∞时min 1()2x f <， 故函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12． 典例4 已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则.，则，①；，则，②.由②得，由①得.将，代入得，∴，.（2）由，得，即在上恒成立，令，则，其中在上恒成立，∴在上单调递增，在上单调递减，则，∴.故的取值范围是.2．已知函数()1 lnf x a x xx=+-，其中a为实常数.（1）若12x=是()f x的极大值点，求()f x的极小值；（2）若不等式1lna xb xx-≤-对任意52a-≤≤，122x≤≤恒成立，求的最小值.考向三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴的交点的横坐标为函数的极值点.典例 5 设函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ），若函数()e x y f x =在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的图象是【答案】D【解析】2()e ()e e [(2)]x x x y f x f x ax a b x b c ''=+=++++，因为函数()e x y f x =在1x =-处取得极值，所以1x =-是2(2)0ax a b x b c ++++=的一个根，整理可得c a =，所以2()f x ax bx a =++，对称轴对于A,由图可得0,(0)0,(1)0a f f >>-=，适合题意； 对于B,由图可得0,(0)0,(1)0a f f <<-=，适合题意；对于C, 对于D, D.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数A ．有极大值，没有最大值B ．没有极大值，没有最大值C ．有极大值，有最大值D ．没有极大值，有最大值考向四生活中的优化问题1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值. 2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．典例 6 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线CP PQ-，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线CP PQ-的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路CP的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线CP PQ-的修建总成本最低？请说明理由.【解析】（1）由题意，，所以π3CPθ=-，又，所以观光专线的总长度为，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线CP PQ-的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以， 当时，；当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．1．已知函数()()2e e ln exf x f x '=-（e 是自然对数的底数），则()f x 的极大值为 A ．2e-1 B ．C ．1D ．2ln22．已知函数，则的单调递减区间为A ．B ．C ．和D ．和3．函数在闭区间上的最大值，最小值分别是A ．B ．C ．D ．4．设定义在上的函数的导函数满足，则 A ．B ．C ．D ．5．若函数在上有最小值，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．6．已知函数()22,2e 2,2x x xx f x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数有两个零点，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．①当x ＝时函数取得极小值； ②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．8．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________． 9．定义在上的函数满足，则当时，与的大小关系为__________.(其中为自然对数的底数)10．用一张16cm 10cm ⨯的长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，则这个纸盒的最大容积是_________3cm .11．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值.12．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD BOC θ∠=.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()fθ，求()f θ的表达式；（2）当cos θ为何值时，能符合园林局的要求？13．设函数.（1）讨论函数的单调性； （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.14．设.（1）在上单调，求的取值范围； （2）已知在处取得极小值，求的取值范围.15．已知函数．（1）若曲线的切线经过点，求的方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．1．（2016四川文科）已知a 为函数()3–12f x x x =的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．22．（2017浙江）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是3．（2016新课标全国Ⅰ文科）若函数1()sin2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是 A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．11[,]33-D ．1[1,]3--4．（2017浙江）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）． （1）求f (x )的导函数；。

[基础送分提速狂刷练] 一、选择题1．曲线y＝lg x在x＝1处的切线的斜率是()A.1ln 10B．ln 10 C．ln e D.1 ln e答案 A解析因为y′＝1x·ln 10，所以y′|x＝1＝1ln 10，即切线的斜率为1ln 10.故选A.2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值答案 C解析由于f′(x)≥0⇒函数f(x)单调递增；f′(x)≤0⇒函数f(x)单调递减，观察f′(x)的图象可知，当x∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误；当x∈(1,3)时，函数先增后减，故B错误；当x∈(4,5)时函数递增，故C正确．由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D 错误．故选C.3．(2018·上城区模拟)函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的函数图象可能是( )答案 B解析 由图可得－1<f ′(x )<1，切线的斜率k ∈(－1,1)且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢．∴结合选项可知选项B 符合．故选B.4．(2018·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意得f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.选C.5．(2018·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x－e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6 答案 B解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4.故选B.6．(2017·山西名校联考)若函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋x 2C ．f (x )＝1＋sin2xD ．f (x )＝e x ＋x答案 C解析 A 选项中，f ′(x )＝－3sin x ，其图象不关于y 轴对称，排除A ；B 选项中，f ′(x )＝3x 2＋2x ，其图象的对称轴为x ＝－13，排除B ；C 选项中，f ′(x )＝2cos2x ，其图象关于y 轴对称；D 选项中，f ′(x )＝e x ＋1，其图象不关于y 轴对称．故选C.7．(2018·河南郑州质检二)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫－13＝0.故选B.8．(2017·辽宁五校联考)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254 D.132 答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.故选C.9．(2017·青山区月考)函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 由导函数的图象和y ＝f (x )的图象过原点，设f (x )＝ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，由图得a >0，b >0，则－b2a <0，4ac －b 24a ＝－b 24a <0，则函数f (x )＝ax 2＋bx 图象的顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，－b 24a 在第三象限．故选C.10．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164 答案 C解析 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0,0)是切点时，则k ＝f ′(0)＝2，直线l 方程为y ＝2x . 又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，∴x 2－2x ＋a ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②解得x 0＝32(x 0＝0舍)， 即k ＝－14，则直线l 方程为y ＝－14x .由⎩⎨⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，联立得x 2＋14x ＋a ＝0，由Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164，综上，a ＝1或a ＝164.故选C. 二、填空题11．(2017·临川区三模)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是________．答案 －34解析 求导得：f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，即3cos x ＝sin x ， ∴tan x ＝3，则tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝61－9＝－34.12．设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋ae x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为 ________．答案 ln 2解析 函数f (x )＝e x ＋a e x 的导函数是f ′(x )＝e x －ae x .又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x－ae x ＝－(e －x －a e x )，所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝e x －1e x .令e x －1e x ＝32，解得e x ＝2或e x＝－12(舍去)，所以x ＝ln 2.13．(2018·金版创新)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )在R 上的导函数f ′(x )＞12，则不等式f (x )＜x ＋12的解集为________．答案 (－∞，1)解析 据已知f ′(x )＞12，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )－12x ′＝f ′(x )－12＞0，即函数F (x )＝f (x )－12x 在R 上为单调递增函数，又由f (1)＝1可得F (1)＝12，故f (x )＜1＋x 2＝12＋12x ，化简得f (x )－12x ＜12，即F (x )＜F (1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)．14．(2017·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，故由题意知对任意实数x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则函数y ＝1e x ＋1的值域是y ＝a －2sin x 值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.三、解答题15．(2017·云南大理月考)设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.16．(2018·福建四地联考)已知函数f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5. (1)求函数f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程；(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2，易求得f ′(3)＝2，f (3)＝132. ∴f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程是 y －132＝ 2(x －3)，即4x －2y ＋1＝0. (2)令f (x )＝2x ＋m ，即13x 3－32x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ，得13x 3－32x 2＋5＝m ，设g (x )＝13x 3－32x 2＋5，∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点， ∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点， 易得g ′(x )＝x 2－3x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝3， 当x <0或x >3时，g ′(x )>0， 当0<x <3时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g (0)＝5，g (3)＝12，即g (x )极大值＝5， g (x )极小值＝12，∴可画出如图所示的函数g (x ) 的大致图象，∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.。