2013高考数学(理)一轮复习课件：2-5

a＞1 2－ax＞0
.
解 ∵a＞0，且a≠1， ∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数． 又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数， ∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax 恒为正数．
a＞1 其充要条件是 2－a＞0
x
－x
考向二 对数值的大小比较 【例2】►已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－ 1 ∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log 3)，c＝f(0.2－0.6)， 2 则a，b，c的大小关系是( A．c＜a＜b C．b＜c＜a )． B．c＜b＜a D．a＜b＜c
[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．
ln N
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaN＝ N ；②logaaN＝
N
(a＞0 且 a≠1)．
(2)对数的重要公式 logaN ①换底公式：logbN＝ log b a (a，b 均大于零且不等于 1)；
1 ②logab＝ ，推广 logab· bc· cd＝logad. log log logba
基础梳理 1．对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax＝N(a＞0，a≠1)，那么数 x 就叫做以 a 为底 N 的对数， 记作
x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
(2)几种常见对数 对数形式 特点 记法
一般对数 底数为 a(a＞0 且 a≠1) logaN 常用对数 自然对数 底数为 10 底数为 e lg N
一、与对数函数有关的求值问题 lg x，x＞0， 【示例】► (2011· 陕西)设f(x)＝x＋a3t2dt，x≤0， 0 若f(f(1))＝1，则a＝________.
二、与对数函数有关的解不等式问题 【示例】►
21－x，x≤1， (2011· 辽宁改编)设函数f(x)＝ 1－log2x，x＞1，
3．(2012· 黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A．(0，＋∞) C．(1，＋∞) 解析 设y＝f(x)，t＝3x＋1. 则y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R. 由y＝log2t，t>1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)． 答案 A B．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
法二
1 1 a＝log32＝log 3，b＝ln 2＝log e，1＜log2e＜log23＜2， 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ∴2＜log 3＜log e＜1；c＝5－2＝ ＜ ＝2，所以c＜a＜b， 5 4 2 2 故选C. 答案 C
考向三
对数函数性质的应用
【例3】►已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数 f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围． [审题视点] a＞0且a≠1，问题等价于在[0,1]上恒有
－0.6 －0.6
＝
1 5
3 5 5 － 5 ＝ 125 ＞ 32 ＝2＞
1 )＜f(log23)＜f(log47)，即c＜b＜a，故选B.
答案 B
一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处 理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也 可借助指数函数、对数函数的图象来解决．
，即1＜a＜2.
∴a的取值范围是(1,2)．
研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的 原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调 性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易 错点为：易忽略2－ax＞0在[0,1]上恒成立，即2－a＞0.实质上 是忽略了真数大于0的条件．
图象
定义域：(0，＋∞) 值域：R 性 质 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1，y＜0 是(0，＋∞)上的增函数 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关 于直线 过点
(1,0)
当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 是(0，＋∞)上的减函数
y＝x
对称．
一种思想 对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算 法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范 解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2) 注意对数底数的取值范围．
第5讲 对数与对数函数
【2013 年高考会这样考】 1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用． 3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 【复习指导】 复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性 质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练 把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．
1 1 【训练1】 (1)若2 ＝5 ＝10，求a＋b的值．
a b
(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值． 解 (1)由已知a＝log210，b＝log510， 1 1 则 ＋ ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. a b (2)由已知x＝log43， 1 10 则4 ＋4 ＝4log43＋4－log43＝3＋3＝ 3 .
三个关键点
1 画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，a，－1.
四种方法 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中 间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．
双基自测 1．(2010· 四川)2 log510＋log50.25＝( A．0 解析 答案 B．1 C．2 )． D．4
【训练3】 已知f(x)＝log4(4x－1) (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性；
1 (3)求f(x)在区间2，2上的值域．
解 (1)由4x－1>0解得x>0， 因此f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1， 因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，f(x)在(0，＋∞) 上递增．
1 (3)f(x)在区间2，2上递增， 1 又f2＝0，f(2)＝log415， 1 因此f(x)在2，2上的值域为[0，log415]．
难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法
指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一 般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或 取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨 论．
则
满足f(x)≤2的x的取值范围是________．
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)．
4．(2012· 汕尾模拟)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为 增函数的是( A．(－∞，1]
3 C.0，2
)．
4 B.－1，3
D．[1,2)
解析 法一 当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－ x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即 1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2) 上单调递增，故选D.
1 1 解析 log 2 3＝－log23＝－log49，b＝f(log 2 3)＝f(－log49)＝ f(log49)，log47＜log49,0.2 log49， 又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是 增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2
法二 f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图所示．
由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D 2 5．若loga3>1，则a的取值范围是____对数式的化简与求值
log89 【例1】►求值：(1)log 3；(2)(lg 5)2＋lg 50· 2； lg 2 1 32 4 (3)2lg 49－3lg 8＋lg 245.
(3)对数的运算性质 如果 a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(M· N)＝ logaM＋logaN M ②loga ＝ N ③logaMn＝
n
； ； (n∈R)．
logaM－logaN
nlogaM
n ④log amM ＝ mlogaM .
3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1
1 【训练2】 (2010· 全国)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－2，则( A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
)．
1 1 解析 法一 a＝log32＝ log 3 ，b＝ln 2＝ log e ，而log23＞log2e＞ 2 2 1 1 1，所以a＜b，c＝5－ 2 ＝ ，而 5 ＞2＝log24＞log23，所以c＜ 5 a，综上c＜a＜b，故选C.
原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2. C
2．(人教A版教材习题改编)已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝ 1.10.9，则a，b，c的大小关系是( A．a＜b＜c C．b＜a＜c )． B．a＜c＜b D．c＜a＜b
解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝ log1.10.9＜0，c＝1.10.9＞1. 答案 C
[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． log2332 2 解 (1)原式＝ log 3 ＝3. 2 10 (2)原式＝(lg 5) ＋lg(10×5)lg 5
2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.
1 4 3 1 (3)法一 原式＝2(5lg 2－2lg 7)－3×2lg 2＋2(2lg 7＋lg 5) 5 1 1 1 1 ＝2lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. 4 2×7 5 4 2 法二 原式＝lg 7 －lg 4＋lg(7 5)＝lg ＝ 7×4 1 lg 10＝ . 2 对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运 算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的 换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注 意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．