【数学】天津市红桥区2017届高考一模试卷(文)

天津市红桥区2017届高三一模数学（理）试题一、选择题，每小题5分共40分1、集合A={}{}=⋂--=>B A C 2,1,1,2,0R ）则（B x x （ ） A ()∞+，0 B {}2,1,1-2-，， C {},1-2-， D {}2,12、已知x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+>-222y y x y x 则y x z +=3的取值范围（ ）A [)10,2-B (]10,2-C []106，D (]10,6 3、如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ） A 30 B 15 C 10 D214、某几何体的三视图如上图所示（单位：cm ）,则该几何体的侧面积PAB 的面积是（ ） A7 B 2 C 1 D 35、βα，表示不重合的两个平面，l m ,表示不重合的两条直线，若,,,βαβα⊄⊄=⋂l l m则βα//////l l m l 且是的（ ）A 充分且不必要条件B 必要且不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件6、已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，与双曲线15422=-y x 的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AF 2AK =，则点A 的横坐标为（ ）A 22B 32C 4D 37、已知三角形ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ,则→→⋅BC AF 的值为（ ） A 85- B 41 C 81 D 8118、已知函数f(x)=[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈∈-,,log ,0),2cos(2017ππππx x x x ,若有三个不同的实数),()()(,,c f b f a f c b a ==使得则c b a ++的取值范围（ ）A ()ππ2017,2B ()ππ2018,2C ⎪⎭⎫ ⎝⎛24035,23ππ D ()ππ2017, 二、填空题（每小题5分，共30分） 9、设i 为虚数单位，则复数=ii4-3 10、在52512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为11、已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,sin 2sin ,,,2ac b C A c b a ==且则=B cos12、曲线C 的极坐标方程是,sin 2θρ=设直线l 的参数方程是为参数）t t y t x (54253⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=，直线l 与x 轴的交点是M ，而N 为曲线C 上一动点，则MN 的最大值是 13、已知下列命题：（1）命题：()333,2,03),2,0(x x x x xx≤∈∃>∈∀的否定是：（2）若xx x f --=22)(则)()(,x f x f R x -=-∈∀（3）若11)(++=x x x f 则1)(),,0(00=+∞∈∃x f x （4）等差数列{}21S ,3,S 74==则若项和为的前a n a n n （5）在ABC ∆中，若A>B,则B A sin sin >其中真命题是 （只填写序号）14、定义在R 上的函数f(x)满足：f(2)=1,且对于任意的都有,R x ∈则,31)(<'x f 不等式 31log )(log 22+>x x f 的解集为 三、解答题（共80分）15、已知函数2)cos sin 3(cos 2)(++=x x x x f （1）求函数)(x f 的最小正周期与单调减区间（2）求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，上的最大值和最小值16、为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （Ⅱ）在该团的省内游客中中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ．求ξ的分布列及数学期望E ξ17、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ABCD 平面⊥，PA ,//BE PA=AB=4，BE=2（1） 求证：PAD //CE 平面（2） 求PD 与平面PCE 所成角的正弦值（3） 在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF PCE 平面⊥， 如果存在，求ABAF的值，如果不存在，说明理由。

A．π23+B．π233+C．2π3+D．π2+ 22x y二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知 i 为虚数单位，复数z 满足(1i)3i z +=-，则z 的实部为__________．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为__________．11．已知函数22()ex x x f x +=，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________． 12．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线20x y +=所得弦的长为2，则圆的方程为__________．13．已知0x ＞，0y ＞，24x y +=，则22log 2log x y +的最大值为__________．14．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧+<=⎨+⎩≥，若关于x 的方程()()f x x m m =+∈R 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，7b =，33sin sin 14A C -=． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求cos 2A B （-）的值．16．某人欲投资A ，B 两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测，A ，B 两支股票可能的最大盈利率分别为40%和80%，可能的最大亏损率分别为10%和30%．若投资金额不超过15万元．根据投资意向，A 股的投资额不大于B 股投资额的3倍，且确保可能的资金亏损不超过2.7万元，设该人分别用x 万元，y 万元投资A ，B 两支股票．（Ⅰ）用x ，y 列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该人对A ，B 两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出最大利润． 17．如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，四边形DCEF 为梯形，EF DC ∥，FD FB =．（Ⅰ）若2DC EF =，求证：OE ∥平面ADF ；（Ⅱ）求证：平面AFC ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）若2AB FB ==，3AF =，60BCD ∠=︒，求AF 与平面ABCD 所成角．18．已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，前n 项和n S ，且满足21111*11422n n n n n n n S S S S S S S n n +--++-+=-∈N g （≥，）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记11n n n S c S +=g ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：1132n T ≤＜． 19．已知椭圆222210x y C a b a b +=：（＞＞），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b ．。

天津市红桥区2017届高三数学一模试题理（扫描版）高三数学（理）（1703）一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．10．258 11．431213．①②④⑤ 14．(0，4)三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题满分13分） （Ⅰ） (4)所以 的最小正周期 (6)由，得 ，所以的单调递减区间为， (8)（Ⅱ）由 得故 所以 ，因此，的最大为 ，最小值是 ． (13)（16）（本小题满分13分） （Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件 为"采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人"，事件 为"采访该团 人中， 人持金卡， 人持银卡"，事件为"采访该团 人中， 人持金卡， 人持银卡"．由此可知所以在该团中随机采访人，恰有人持金卡且持银卡者少于人的概率是．...........6 （Ⅱ）由题知的所有可能取值为，，， (7)所以的分布列为所以 (11)............................................... (13)（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．因为PA //BE ，且4PA =，2BE =， 所以BE //AG 且BE AG =， 所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =，所以EG //CD ，且EG CD =． 所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE //平面PAD ． (4)（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =-，(4,0,2)PE =-，(0,4,4)PD =-．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =，所以00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩．令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m =．设PD 与平面PCE 所成角为α，则sin cos ,66m PD m PD PD mα⋅=<>===． 所以PD 与平面PCE ……………………8 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =-，(4,4,2)DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩．令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以)4,2,2(-=a a ． 因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅=，即08222=-++a a， 所以4512<=a ， 点12(,0,0)5F ．所以35AF AB =． (13)（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知①，②，① ②得 ，即．又因为 ，所以．因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以． (6)（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以设 ，则 ，两式相减得 ，整理得，所以 ． (13)（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）函数的定义域为． (1)...........................................................3令 ，得 ，其判别式．当 ，即 时，，此时， 在 上单调递增．（2）当 ，即时，方程 的两根为 ，．若 ，则 ，则时，，时，．此时， 在 上单调递减，在 上单调递增．若，则 ，则时，，时，，时，．此时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当 时，函数在（0，a 11+）上单调递减，在),11+∞+a （上单调递增；当时，函数)(x f 在（0，a 11）上单调递增，在（a 11，a 11+）上单调递减，在),11+∞+a （上单调递增；当时，函数上单调递增． (7)（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知，函数 有两个极值点 ，，等价于方程在有两不等实根，故 ． (9)②证明：（Ⅰ）得，，且，．令 ，则 ．由于 ，则，故在上单调递减．故 ．所以所以． (14)（20）（本小题满分14分）（Ⅰ） 由已知431222==ab e ，所以224b a =，因为点 在椭圆上，所以 ，解得 ，．所以所求椭圆方程为 ． (4)（Ⅱ）设 ，，因为 的垂直平分线过点，所以 的斜率 存在．当直线的斜率时，所以，，所以12421)4(21)41(22121212121212111=-+≤-=-=⋅=∆x x x x x x y x S AOB ，当且仅当 时取" "，所以时，， (6)当直线的斜率时，设．所以 消去 得 ，由 得 ①所以，，所以，，所以的中点为， (8)由直线的垂直关系有，化简得②由①②得，所以， (10)又到直线的距离为，，，所以时，．由，所以，解得．即时，．综上，． (14)。

天津市红桥区2017届高三数学一模试题文（扫描版）高三数学(文)（1703）一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B C AD C D B二、填空题（每小题5分，共30分）9． 10．0。

74 11．23 12．13．81 14．①②④⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共80分)(15）（本小题满分13分）（Ⅰ）在 中，因为,，，故由正弦定理得 ，于是，所以。

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.4 （Ⅱ）由（1）知 ,所以 ．。

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5又因为,所以 ,从而..。

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.8在中，因为 , 所以，..。

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.11因此由正弦定理得。

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13（16）（本小题满分13分) 设供应空调机 台，洗衣机 台，由题意，得.。

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5利润．。

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7作出上述不等式组对应的可行域,如图所示．.。

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.10由⎩⎨⎧=+=+2223023y x y x ，解得则当 ， 时， 最大，且此时 （百元），答:空调机 台，洗衣机 台，可获最大利润元．。

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13（17)(本小题满分13分）（Ⅰ）连接与 相交于点 ，连接 ．...。

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......1 因为 为矩形，所以 为 中点．因为为棱中点，所以．..。

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3因为，,所以直线．...。

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(6)(Ⅱ）因为，，所以．因为四边形为矩形,所以．因为,，,所以．...。

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10因为，所以．.。

2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）集合{}|0A x x =>，{}2,1,1,2B =--，则()A B =R I ð（ ）．A ．(0,)+∞B ．{}2,1,1,2--C ．{}2,1--D ．{}1,2【答案】C【解答】解：集合{}|0A x x =>，{}2,1,1,2B =--，则{}|0A x x =R ð≤，所以{}()2,1A B =--R I ð．故选C ．2．（5分）已知x ，y 满足约束条件222x y x y y ->⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥，则3z x y =+的取值范围为（ ）．A ．[2,10)-B ．(]2,10-C ．[6,10]D ．(6,10]【答案】B 【解答】解：由约束条件222x y x y y ->⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥作出可行域如图，2化目标函数为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过A 时，z 取最大值，由22x y y +=⎧⎨=-⎩，得(4,2)A -，此时max 34210z =⨯-=； 当直线3y x z =-+过点B 时，由22x y y -=⎧⎨=-⎩，解得(0,2)B -，故3022z >⨯-=-． 综上，3z x y =+的取值范围为(]2,10-．故选B ．3．（5分）如下图所示的程序框图，输出S 的值是（ ）．A ．30B ．10C ．15D ．21 【答案】 B【解答】解：当1S =时，满足进入循环的条件，执行循环体后3S =，3t =， 当3S =时，满足进入循环的条件，执行循环体后6S =，4t =， 当6S =时，满足进入循环的条件，执行循环体后10S =，5t =， 当15S =时，不满足进入循环的条件，故输出的S 值为15．故选C ．4．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面PAB 的面积是（ ）．正视图侧视图俯视图AB ．2C ．1 D【答案】A 【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC 为等边三角形，侧棱PC ⊥底面ABC ． 取AB 的中点D ，连接CD ，PD ，则CD AB ⊥，PD AB ⊥，CDPD∴122PAB S ==△ 故选A ．CBA PD5．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=I ，l α⊄，l β⊄，则“l m ∥”是“l α∥且l β∥”的（ ）．A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解答】解：充分性：∵m αβ=I ，∴m α⊂，m β⊂，∵l m ∥，l α⊄，l β⊄，∴l α∥，l β∥，必要性：过l 作平面γ交β于直线n ，∵l β∥，∴l n ∥，若n 与m 重合，则l m ∥，若n 与m 不重合，则n α⊄，∵l α∥，∴n α∥，∵n β⊂，m αβ=I ，∴n m ∥，故l m ∥，故“l m ∥”是“l α∥且l β∥”的充要条件，故选C ．6．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上，且|||AK AF ，则A 点的横坐标为（ ）．A． B ．4 C ．3 D．【答案】C 【解答】解：∵双曲线22145x y -=，其右焦点坐标为(3,0)． ∴抛物线2:12C y x =，准线为3x =-，∴(3,0)K -，设00)(,A x y ，过A 点向准线作垂线AB ，则0()3,B y -，∵|||AK AF ，又00(3)3AF AB x x --===+，∴由222BK AK AB -=得22BK AB =，从而2200(3)y x =+，即20012(3)x x =+，解得03x =．故选C ．7．（5分）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）．A ．58- B ．14 C ．18 D ．118【答案】C 【解答】解：如图，EC B AD∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且2DE EF =， ∴13()22AF BC AD DF BC BA DE BC ⎛⎫⋅=+⋅=-+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1324BA AC BC ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r133244BA BC BA BC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 5344BA BC BC ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r25344BA BC BC =-⋅+u u u r u u u r u u u r 253||||cos60144BA BC =-⋅︒+⨯u u u r u u u r 5131114248=-⨯⨯⨯+=． 故选C ．8．（5分）已知函数2017πcos ,[0,π]2()log ,(π,)πx x f x x x ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+⎪⎩∞，若有三个不同的实数a ，b ，c ，使得()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为（ ）．A ．(2π,2017π)B ．(2π,2018π)C ．3π4035π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(π,2017π)【答案】B【解答】解：当π[]0,x ∈时，π()cos sin 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴()f x 在[0,π]上关于π2x =对称，且max ()1f x =， 又当(π,)x ∈+∞时，2017()log πf x x =是增函数， 作出()y f x =的函数图象如图所示：令2017log 1πx =得2017πx =， ∵()()()f a f b f c ==， ∴πa b +=，(π,2017π)c ∈，∴π(2π,2018π)a b c c ++=+∈．故选B ．二、填空题9．（5分）设i 为虚数单位，则复数34i i-=__________． 【答案】43i -- 【解答】解：34i i(34i)43i i i---==---， 故答案为：43i --．10．（5分）在52125x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为__________． 【答案】825- 【解答】解：∵二项式52125x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式是 25510315511C (2)(1)C 255r r r r r r r r r T x x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1031r -=，解得3r =； ∴33315321C 25(1)T x +⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭-⋅=； ∴x 的系数是332518C 2525⎛⎫-⋅⋅=- ⎪⎝⎭． 故答案为：825-． 11．（5分）已知ABC △的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A C =，2b ac =，则cos B =__________． 【答案】34【解答】解：在ABC △中，∵sin 2sin A C =，∴由正弦定理得2a c =，由余弦定理得2222cos b a c ac B -=+，将2b ac =及2a c =代入上式解得：2222222423cos 244a cbc c c B ac c +-+-===． 故答案为：34．12．（5分）已知曲C 的极坐标方程2sin ρθ=，设直线L 的参数方程32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）设直线L 与x 轴的交点M ，N 是曲线C 上一动点，求||MN 的最大值__________．1【解答】解：∵曲线C 的极坐标方程2sin ρθ=，化成普通方程： 2220x y y -+=，即22(1)1x y +-=，∴曲线C 表示以点(0,1)P 为圆心，半径为1的圆，∵直L 的参数方程是：32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直L 的普通方程是：4380x y +-=，∴可得L 与x 轴的交点M 坐标为(2,0)，∴PM由此可得曲C 上一动点N 到M1．1．13．（5分）已知下列命题：①命题：(0,2)x ∀∈，33x x >的否定是：(0,2)x ∃∈，33x x ≤； ②若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； ③若1()1f x x x =++，则0(0,)x ∃∈+∞，0)(1f x =； ④等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =； ⑤在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题是__________．（只填写序号）【答案】①②④⑤【解答】解：对于①，命题：(0,2)x ∀∈，33x x >的否定是：(0,2)x ∃∈，33x x ≤，正确； 对于②，若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-，正确； 对于③，对于函数1()1f x x x =++，当且仅当0x =时，()1f x =，故错； 对于④，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，174477()272122a a a a +=⨯==，故正确； 对于⑤，在ABC △中，若A B >，则2sin 2sin sin sin ab R A R B A B >⇒>⇒>，故正确． 故答案为：①②④⑤．14．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足：(2)1f =，且对于任意的x ∈R ，都有1()3f x '<，则不等式22log 1(log )3x f x +>的解集为__________． 【答案】{}|04x x << 【解答】解：设1()()3F x f x x =-，求导1()()03F x f x ''=-<，则()F x 在R 单调递减， 由22log 1(log )3x f x +>，即2211(log )log 33f x x -⋅>，由11(2)233f -⨯=， ∴2(log )(2)F x F >，(0)x >，则2log 2x <，解得：04x <<，∴不等式的解集为：{}|04x x <<，故答案为：{}|04x x <<．三、解答题15．（13分）已知函数()2cos cos )2f x x x x =++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间．（Ⅱ）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）周期πT =． 周期2ππ2T ==． （Ⅱ）最大值和最小值分别为5，2．【解答】解：（Ⅰ）化简可得()2cos cos )2f x x x x =++22sin cos 2cos 2x x x ++2cos212x x +++π2sin 236x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 由ππ3π2π22π262k x k +++≤≤可得π2πππ63k x k ++≤≤， ∴函数的周期2ππ2T ==． （Ⅱ）∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴π2sin 2[1,2]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴π2sin 23[2,5]6x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， ∴函数的最大值和最小值分别为5，2．16．（13分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡． （Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率． （Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．【答案】（Ⅰ）3685． （Ⅱ）所以ξ的分布列为131550123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【解析】解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”． 12())(()P B P A P A =+121119219621363636C C C C C C C =+ 92734170=+3685=． 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685． （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，3339C 1(0)C 84P ξ===， 126339C C 3(1)C 14P ξ===， 216339C C 15(2)C 28P ξ===， 3639C 5(3)C 21P ξ===， 所以ξ的分布列为所以13150123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA BE ∥，4AB PA ==，2BE =．（Ⅰ）求证：CE ∥平面PAD ．（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值． （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AF AB的值；如果不存在，说明理由． EC B A PD【答案】（Ⅰ）见解析．． （Ⅲ）35AF AB =． 【解答】解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ． 因为PA BE ∥，且4PA =，2BE =，所以BE AG ∥且BE AG =，所以四边形BEGA 为平行四边形．所以EG AB ∥，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD AB ∥，CD AB =， 所以EG CD ∥，且EG CD =．所以四边形CDGE 为平行四边形．所以CE DG ∥．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE ∥平面PAD ．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =- ，(4,0,2)PE =- ，(0,4,4)PD =- ．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z = ，所以00m PC m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得020x y z x z +-=⎧⎨-=⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m = ．设PD 与平面PCE 所成角为α，则sin|cos,|||||m PDm PDPD mα⋅==．所以PD与平面PCE．（Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a，则(4,0,2)FE a=-，(4,4,2)DE=-．设平面DEF的一个法向量为(,,)n x y z=，则0220(4)20n DE x y za x zn FE⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩．令2x=，则224xayz a=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以2,,42an a⎛⎫=-⎪⎝⎭．因为平面DEF⊥平面PCE，所以0m n⋅=，即22802aa++-=，所以1245a=<，点12,0,05F⎛⎫⎪⎝⎭．所以35AFAB=．D PA BC EG18．（13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）设22log ,(2),n n na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T ． 【答案】（Ⅰ）2n n a =． （Ⅱ）288621994n nn n T n +=+-+⨯． 【解答】解：（I ）∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-． ∴3422a a a =-，可得222(2)a q a q =-，∴220q q --=，解得2q =．∴12222a a a +=-，即121222a a a -==-，解得12a =． ∴2n n a =．（II ）n 为奇数时，22log 21111(2)(2)22n n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭． n 为偶数时，2n n n b =． ∴2242111111242123352121222n n n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦242112421221222n n n ⎛⎫=-++++ ⎪+⎝⎭ 24224221222n n n n =+++++ ． 设242242222n n A =+++ ， 则24622212422222222n n n n A +-=++++ ， ∴242222211132222224142222214n n n n n A ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-- ， ∴886994nn A +=-⨯． ∴288621994n nn n T n +=+-+⨯．19．（14分）已知函数()ln a f x x x x =--，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性．（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <， ①求a 的取值范围．②证明：22(1)f x x <-．【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x在(0,1上单调递减，在(1)+∞上单调递增； 当01a <<时，函数()f x在(0,1上单调递增，在(1上单调递减，在(1)+∞上单调递增．当1a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）①01a <<；②见解析【解答】（1）解：函数()2ln a f x x x x =--的定义域为(0,)+∞，22222()1a x x a f x x x x -+'=+-=， 令()0f x '=，得220x x a +=-，其判别式44a ∆=-， ①当0∆≤，即1a ≥时，220x x a +-≥，()0f x '≥，此时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0∆>，即1a <时，方程220x x a +=-的两根为11x =211x =， 若0a ≤，则10x ≤，则2)(0,x x ∈时，()0f x '<，2(),x x ∈+∞时，()0f x '>， 此时，()f x 在2(0,)x 上单调递减，在2(),x +∞上单调递增； 若0a >，则10x >，则1)(0,x x ∈时，()0f x '>，12)(,x x x ∈时，()0f x '<，2(),x x ∈+∞时，()0f x '>， 此时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(),x +∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x在(0,1上单调递减，在(1)+∞上单调递增； 当01a <<时，函数()f x在(0,1上单调递增，在(1上单调递减，在(1)+∞上单调递增；当1a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．（2）①解：由（1）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，等价于方程220x x a +=-在(0,)+∞有 两不等实根，故01a <<．②证明：由上述过程得01a <<，21x =，且212x <<，2222a x x =-+．222222222222()12ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--， 令()2ln 1g t t t =--，12t <<， 则22()1t g t t t-'=-=， 由于12t <<，则()0g t '<，故()g t 在(1,2)上单调递减． 故()(1)12ln110g t g <=--=．∴222(1())0f x x g x -=<+．∴22(1)f x x <-．20．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率e，且点⎛ ⎝⎭在椭圆E 上． （Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．求AOB △（O 为坐标原点）面积的最大值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=． （Ⅱ）1．【解答】解：（Ⅰ）由已知，c e a =222a b c -=，∵点⎛ ⎝⎭在椭圆上， ∴221314a b +=，解得2a =，1b =． ∴椭圆方程为2214x y +=． （Ⅱ）设11)(,A x y ，22)(,B x y ，∵AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴AB 的斜率k 存在．当直线AB 的斜率0k =时，12x x =-，12y y =，∴11112||||||2AOB S x y x =⋅⋅=△221114122x x +-⋅=， 当且仅当22114x x =-，取得等号，∴1x =max )(1AOB S =△；当直线AB 的斜率0k ≠时，设:(0)l y kx m m =+≠． 2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得：222)(148440k x kmx m +-++=， 由0∆>可得2241k m +>①，122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+，可得1224214x x km k +=-+， 121222214y y x x m k m k ++=+=+， ∴AB 的中点为224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由直线的垂直关系有2211421414m k k kmk -+⋅=--+，化简得2146k m +=-② 由①②得26m m ->，解得60m -<<， 又(0,0)O 到直线y kx m =+的距离为d =12|||4AB x x -1||42AOB S AB d ==△|m =， ∵60m -<<， ∴3m =-时，max 1()313AOB S =⨯=△． 由3m =-，∴21418k +=，解得k =；即k =max )(1AOB S =△； 综上：max )(1AOB S =△．。

红桥区2017届高三一模文科综合试题高三文综历史 (1703)Ⅱ卷共3题，共56分。

12.（20分）（1）“仁”就是爱人，人与人相互爱护，融洽相处，有助于构筑和谐和睦的家风文化。

（2分）（2）毛泽东思想；邓小平理论；“三个代表”重要思想。

（6分）（3）条件：辛亥革命推翻帝制，建立民国，民主共和观念深入人心；国家民族意识增强；（2分）新文化运动提倡民主与科学，冲击了封建思想的统治地位；（2分）民族资本主义的发展、新式学堂的创办促进民主自由等思想的传播。

（2分）影响：有利于培养适应近代社会发展的新公民。

（2分）（4）家风文化对一个人人生道路的选择影响深远。

张太雷的女儿正是在父亲教诲下认识到个人命运与国家命运密不可分，选择追随父亲的脚步，走上了革命的道路。

梁思礼在父亲爱国思想和行动的影响下，从小树立报效祖国的信念，留美学习获得博士学位后，放弃优越的生活条件回到新生的祖国，为新中国的科技发展奉献其一生。

（符合题意即可，4分）。

13．（18分）（1）海军的废弛；民众的不思进取；欧洲各国的振兴。

（6分）（2）英国：17世纪自然科学的发展解放人们的思想；君主立宪制的确立促进资本主义的发展；18世纪工业革命的开展使英国成为世界工厂；19世纪英镑成为国际支付货币，以英国为主导的世界市场初步形成。

（8分）美国：18世纪资本主义制度的确立促进资本主义的发展；第二次工业革命时期，科学研究成果的转化和生产技术的创新促进工业生产的迅速发展；在1929-1933年经济危机打击下，欧洲相对衰落之时，美国通过罗斯福新政调整生产关系经济得以恢复和发展；第二次世界大战时期，美国远离战场成为反法西斯阵营的基地，生产得以迅速发展，成为债权国并掌控世界经济霸权。

（3）自然科学发展，制度保障，技术创新，国际环境等。

（4分）14．（18分）（1）内涵：有利于推进民族国家形成的民族主义；西方国家抢夺殖民地过程中产生的民族利益冲突。

（4分）影响：拿破仑的对外战争，客观上促进德意志民族主义的形成，推动了德意志的统一；另一方面激起了被占领地区的民族主义情绪，导致了战争的失败。

2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．（5分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{1，2}2．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝3x+y的取值范围为（）A．[﹣2，10）B．（﹣2，10]C．[6，10]D．（6，10] 3．（5分）如下图所示的程序框图，输出S的值是（）A．30B．10C．15D．214．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面P AB的面积是（）A．B．2C．1D．5．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β＝m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则A点的横坐标为（）A．B．4C．3D．27．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（2π，2017π）B．（2π，2018π）C．（，）D．（π，2017π）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i为虚数单位，则复数＝．10．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为．11．（5分）已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A＝2sin C，b2＝ac，则cos B＝．12．（5分）已知曲C的极坐标方程ρ＝2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．13．（5分）已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）；③若f（x）＝x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）＝1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝3，则S7＝21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．其中真命题是．（只填写序号）14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（2）＝1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A∥BE，AB＝P A＝4，BE＝2．（Ⅰ）求证：CE∥平面P AD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．18．（13分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2＝2a2﹣2，S3＝a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，T n为{b n}的前n项和，求T2n．19．（14分）已知函数f（x）＝x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，①求a的取值范围；②证明：f（x2）＜x2﹣1．20．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则∁R A＝{x|x≤0}，所以（∁R A）∩B＝{﹣2，﹣1}．故选：C．2．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝3x+y的取值范围为（）A．[﹣2，10）B．（﹣2，10]C．[6，10]D．（6，10]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，﹣2），此时z max＝3×4﹣2＝10；当直线y＝﹣3x+z过点B时，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2＝﹣2．综上，z＝3x+y的取值范围为（﹣2，10]．故选：B．3．（5分）如下图所示的程序框图，输出S的值是（）A．30B．10C．15D．21【解答】解：当S＝1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S＝3，t＝3当S＝3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S＝6，t＝4当S＝6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S＝10，t＝5当S＝15时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为15故选：C．4．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面P AB的面积是（）A．B．2C．1D．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，则CD⊥AB，PD⊥AB，CD＝，PD＝＝＝．＝＝．∴S△P AB故选：A．5．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β＝m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：充分性：∵α∩β＝m，∴m⊂α，m⊂β，∵l∥m，l⊄α，l⊄β，∴l∥α，l∥β，必要性：过l作平面γ交β于直线n，∵l∥β，∴l∥n，若n与m重合，则l∥m，若n与m不重合，则n⊄α，∵l∥α，∴n∥α，∵n⊂β，α∩β＝m，∴n∥m，故l∥m，故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，故选：C．6．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则A点的横坐标为（）A．B．4C．3D．2【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．∴抛物线C：y2＝12x，准线为x＝﹣3，∴K（﹣3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x0﹣（﹣3）＝x0+3，∴由BK2＝AK2﹣AB2得BK2＝AB2，从而y02＝（x0+3）2，即12x0＝（x0+3）2，解得x0＝3．故选：C．7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（2π，2017π）B．（2π，2018π）C．（，）D．（π，2017π）【解答】解：当x∈[0，π]时，f（x）＝cos（x﹣）＝sin x，∴f（x）在[0，π]上关于x＝对称，且f max（x）＝1，又当x∈（π，+∞）时，f（x）＝log2017是增函数，作出y＝f（x）的函数图象如图所示：令log2017＝1得x＝2017π，∵f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝π，c∈（π，2017π），∴a+b+c＝π+c∈（2π，2018π）．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i为虚数单位，则复数＝﹣4﹣3i．【解答】解：＝，故答案为：﹣4﹣3i．10．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．【解答】解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是T r+1＝•（2x2）5﹣r•＝（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，令10﹣3r＝1，解得r＝3；∴T3+1＝（﹣1）3••22••x；∴x的系数是﹣•22•＝﹣．故答案为：﹣．11．（5分）已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A＝2sin C，b2＝ac，则cos B＝．【解答】解：在△ABC中，∵sin A＝2sin C，∴由正弦定理得a＝2c，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，将b2＝ac及a＝2c代入上式解得：cos B＝＝＝．故答案为：．12．（5分）已知曲C的极坐标方程ρ＝2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程ρ＝2sinθ，化成普通方程：x2+y2﹣2y＝0，即x2+（y﹣1）2＝1∴曲线C表示以点P（0，1）为圆心，半径为1的圆∵直L的参数方程是：∴直L的普通方程是：4x+3y﹣8＝0∴可得L与x轴的交点M坐标为（2，0）∴由此可得曲C上一动点N到M的最大距离等于故答案为：13．（5分）已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）；③若f（x）＝x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）＝1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝3，则S7＝21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．其中真命题是①②④⑤．（只填写序号）【解答】解：对于①，命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x ≤x3，正确；对于②，若f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），正确；对于③，对于函数f（x）＝x+，当且仅当x＝0时，f（x）＝1，故错；对于④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝3，，故正确；对于⑤，在△ABC中，若A＞B，则a＞b⇒2R sin A＞2R sin B⇒sin A＞sin B，故正确．故答案为：①②④⑤14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（2）＝1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为{x丨0＜x＜4}．【解答】解：设F（x）＝f（x）﹣x，求导F′（x）＝f′（x）﹣＜0，则F （x）在R单调递减，由f（log2x）＞，即f（log2x）﹣•log2x＞，由f（2）﹣×2＝，∴F（log2x）＞F（2），（x＞0），则log2x＜2，解得：0＜x＜4，∴不等式的解集为：{x丨0＜x＜4}，故答案为：：{x丨0＜x＜4}．故答案为：{x丨0＜x＜4}．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得＝•2sin x cos x+2cos2x+2＝sin2x+cos2x+1+2＝2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．16．（13分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．P（B）＝P（A1）+P（A2）＝+＝＝．所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以ξ的分布列为所以．17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A∥BE，AB＝P A＝4，BE＝2．（Ⅰ）求证：CE∥平面P AD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设P A中点为G，连结EG，DG．因为P A∥BE，且P A＝4，BE＝2，所以BE∥AG且BE＝AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG＝AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD＝AB，所以EG∥CD，且EG＝CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面P AD，CE⊄平面P AD，所以CE∥平面P AD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以＝（4，4，﹣4），＝（4，0，﹣2），＝（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为＝（x，y，z），所以，可得．令x＝1，则，所以＝（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝|＝||＝．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，＝（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为＝（x，y，z），则．令x＝2，则，所以＝（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•＝0，即2++2a﹣8＝0，所以a＝＜4，点．所以．18．（13分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2＝2a2﹣2，S3＝a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，T n为{b n}的前n项和，求T2n．【解答】解：（I）∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2＝2a2﹣2，S3＝a4﹣2．∴a3＝a4﹣2a2，可得a2q＝a2（q2﹣2），∴q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2．∴a1+a2＝2a2﹣2，即a1＝a2﹣2＝2a1﹣2，解得a1＝2．∴a n＝2n．（II）n为奇数时，b n＝＝＝．n为偶数时，b n＝．∴T2n＝++…+++…+＝++…+＝++…+．设A＝+…+，则A＝+…++，∴A＝+…+﹣＝﹣，∴A＝﹣．∴T2n＝+﹣．19．（14分）已知函数f（x）＝x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，①求a的取值范围；②证明：f（x2）＜x2﹣1．【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＝0，得x2﹣2x+a＝0，其判别式△＝4﹣4a，①当△≤0，即a≥1时，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当△＞0，即a＜1时，方程x2﹣2x+a＝0的两根为，，若a≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；若a＞0，则x1＞0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，1+）上单调递减，在（1+，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1﹣）上单调递增，在（1﹣，1+）上单调递减，在（1+，+∞）上单调递增；当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）①解：由（1）可知，函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a ＝0在（0，+∞）有两不等实根，故0＜a＜1．②证明：由上述过程得0＜a＜1，，且1＜x＜2，．，令g（t）＝t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，则，由于1＜t＜2，则g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上单调递减．故g（t）＜g（1）＝1﹣2ln1﹣1＝0．∴f（x2）﹣x2+1＝g（x2）＜0．∴f（x2）＜x2﹣1．20．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，e＝＝，a2﹣b2＝c2，∵点在椭圆上，∴，解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k＝0时，x1＝﹣x2，y1＝y2，∴S＝•2|x1|•|y1|＝|x1|•△AOB＝≤•＝1，当且仅当x12＝4﹣x12，取得等号，∴时，（S）max＝1；△AOB当直线AB的斜率k≠0时，设l：y＝kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由△＞0可得4k2+1＞m2①，x1+x2＝﹣，x1x2＝，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2＝﹣6m②由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0，又O（0，0）到直线y＝kx+m的距离为，，＝，∵﹣6＜m＜0，∴m＝﹣3时，．由m＝﹣3，∴1+4k2＝18，解得；）max＝1；即时，（S△AOB）max＝1．综上：（S△AOB。

绝密★启用前2017 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。

第Ⅰ卷 1至 2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题考上，并在规定地点粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

2.本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

参照公式：·假如事件A， B 互斥，那么·假如事件A， B 互相独立，那么P(A∪ B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.·圆锥的体积公式V 1 Sh .3此中 S 表示棱柱的底面面积，此中S表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.（ 1）设会合A {1,2,6}, B {2,4}, C {1,2,3,4} ，则 ( A B) C（ A）{2}（ B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（ D）{1,2,3,4,6}【答案】 B（ A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（ C）充要条件（D）既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】 2 x 0 ，则x 2 ，x 1 1 ，则 1 x 1 1,0 x 2 ，据此可知：“ 2 x 0 ”是“x 1 1 ”的必需二不充足条件.此题选择 B 选项 .（ 3）有 5 支彩笔（除颜色外无差异），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫. 从这5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则拿出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为4 （B）3 （C）2（D）1（ A）5 5 5 5【答案】 C（ 4）阅读右边的程序框图，运转相应的程序，若输入N 的值为19，则输出 N 的值为（A）0 （B） 1（C）2（D） 3【答案】 C【分析】阅读流程图可得，程序履行过程以下：第一初始化数值为N 19 ，第一次循环：N N 1 18 ，不知足 N 3 ；第二次循环：N N6 ，不知足 N 3 ；3第三次循环：N N2 ，知足 N3 ；3此时跳出循环体，输出N 3 . 此题选择 C选项 .（ 5）已知双曲线x2y2 1(a 0,b 0) 的左焦点为F，点 A 在双曲线的渐近线上，△ OAF 是边a2 b2长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A） x2 y2 1 （B）x2y2 1 （C）x2y2 1（D）x2y2 14 12 12 4 3 3 【答案】 D（ 6）已知奇函数 f ( x) 在R上是增函数.若a f (log 2 1), b f (log 2 4.1), c f (2 ) ，则a,b, c的5大小关系为（ A）a b c （B） b a c （C） c b a （D） c a b 【答案】 Ca f 1f log 2 5【分析】由题意：log 2 ，5且：log 2 5 log22,1 2 2 ，据此： log 2 5 log 220.8 ，联合函数的单一性有： f log 2 5 f log 2 f 2，即 a b c, c b a .此题选择 C选项 .（ 7）设函数f ( x) 2sin( x ), x R ，此中0,| |5π11π0, 且f (x)的π.若f ( ) 2, f ()8 8最小正周期大于2π，则2, π 2 11π 1 11π 1 7π（ A）（ B）, （ C）, （ D）,243 12 3 12 3 24 3【答案】 A| x | 2, x 1,R ，若对于x的不等式 f (x) |x（ 8）已知函数f ( x)x 2, x设 a a |在R上恒建立，则1. 2xa的取值范围是（A）[ 2,2]（B）[ 2 3,2] （C） [ 2,2 3] （D）[ 2 3,2 3] zx xk 【答案】 A【分析】知足题意时 f x 的图象恒不在函数xa 下方，y2当 a 2 3 时，函数图象以下图，清除C,D 选项；当 a 2 3 时，函数图象以下图，清除 B 选项，此题选择 A 选项 .第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。

2017年高考数学一模试卷（天津市红桥区理科含答案和解释) 2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）一、选择题 1．集合A={x|x＞0}，B={�2，�1，1，2}，则（∁RA）∩B=（） A．（0，+∞） B．{�2，�1，1，2} C．{�2，�1} D．{1，2} 2．已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（） A．[6，10] B．（6，10] C．（�2，10] D．[�2，10） 3．如图所示的程序框图，输出S 的值是（） A．30 B．10 C．15 D．21 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（） A． B．2 C．1 D． 5．α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（） A． B．3 C． D．4 7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则• 的值为（） A．�B． C． D． 8．已知函数f（x）= ，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（） A．（2π，2017π） B．（2π，2018π） C．（，） D．（π，2017π）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．设i为虚数单位，则复数 = ． 10．在（2x2�）5的二项展开式中，x的系数为． 11．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB= ． 12．已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x 轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值． 13．已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x�2�x，则∀x∈R，f（�x）=�f（x）；③若f（x）=x+ ，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是．（只填写序号） 14．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f （x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值． 16．（13分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ． 17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，P A∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由． 18．（13分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2�2，S3=a4�2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，Tn为{bn}的前n项和，求T2n． 19．（14分）已知函数f（x）=x��2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：f（x2）＜x2�1． 20．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题 1．集合A={x|x＞0}，B={�2，�1，1，2}，则（∁RA）∩B=（） A．（0，+∞） B．{�2，�1，1，2} C．{�2，�1} D．{1，2} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x|x ＞0}，B={�2，�1，1，2}，则∁RA={x|x≤0}，所以（∁RA）∩B={�2，�1}．故选：C．【点评】本题考查了交集和补集的定义与运算问题，是基础题． 2．已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（） A．[6，10] B．（6，10] C．（�2，10] D．[�2，10）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=�3x+z，由图可知，当直线y=�3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，�2），此时zmax=3×4�2=10；当直线y=�3x+z过点B时，由，解得B（0，�2），故z＞3×0�2=�2．综上，z=3x+y的取值范围为（�2，10]．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．如图所示的程序框图，输出S的值是（） A．30 B．10 C．15 D．21 【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3，t=3 当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6，t=4 当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10，t=5 当S=15时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为15 故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理． 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（） A． B．2 C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，可得CD⊥AB，PD⊥AB．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC 为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，则CD⊥AB，PD⊥AB， CD= ，PD= = = ．∴S△PAB= = ．故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、三角形面积计算公式、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的性质进行判断即可．【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m⊂α，m⊂β，∵l∥m，l⊄α，l⊄β，∴l∥α，l∥β，必要性：过l作平面γ交β于直线n，∵l∥β，∴l∥n，若n与m重合，则l∥m，若n与m不重合，则n⊄α，∵l∥α，∴n∥α，∵n⊂β，α∩β=m，∴n∥m，故l∥m，故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，根据空间直线和平面平行的位置关系是解决本题的关键． 6．已知抛物线y2=2px（p ＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（） A． B．3 C． D．4 【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（�3，y0），根据|AK|= |AF|及AF=AB=x0�（�3）=x0+3，进而可求得A点坐标．【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．∴抛物线C：y2=12x，准线为x=�3，∴K（�3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（�3，y0）∵|AK|= |AF|，又AF=AB=x0�（�3）=x0+3，∴由BK2=AK2�AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3．故选B．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握． 7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则• 的值为（） A．�B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴ • = = = = = = = = ．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 8．已知函数f（x）= ，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（） A．（2π，2017π） B．（2π，2018π） C．（，） D．（π，2017π）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=f（x）的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=π，求出c的范围即可得出答案．【解答】解：当x∈[0，π]时，f（x）=cos（x�）=sinx，∴f（x）在[0，π]上关于x= 对称，且fmax（x）=1，又当x∈（π，+∞）时，f（x）=log2017 是增函数，作出y=f（x）的函数图象如图所示：令log2017 =1得x=2017π，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=π，c∈（π，2017π），∴a+b+c=π+c∈（2π，2018π）．故选：B．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．设i为虚数单位，则复数 = �4�3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解： = ，故答案为：�4�3i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 10．在（2x2�）5的二项展开式中，x的系数为�．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．【解答】解：∵二项式（2x�）5展开式的通项公式是Tr+1= •（2x2）5�r• =（�1）r• •25�r• •x10�3r，令10�3r=1，解得r=3；∴T3+1=（�1）3• •22• •x；∴x的系数是�•22• =�．故答案为：�．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目． 11．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB= ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理与sinA=2sinC，可解得a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于cosB的方程即可求出．【解答】解：在△ABC 中，∵sinA=2sinC，∴由正弦定理得a=2c，由余弦定理得b2=a2+c2�2accosB，将b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB= = = ．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题． 12．已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【分析】首先将曲线C化成普通方程，得出它是以P（0，1）为圆心半径为1的圆，然后将直线L化成普通方程，得出它与x轴的交点M的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出PM的距离，从而得出曲C上一动点N到M的最大距离．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，化成普通方程： x2+y2�2y=0，即x2+（y�1）2=1 ∴曲线C表示以点P（0，1）为圆心，半径为1的圆∵直L的参数方程是：∴直L的普通方程是：4x+3y�8=0 ∴可得L与x轴的交点M坐标为（2，0）∴ 由此可得曲C上一动点N 到M的最大距离等于故答案为：【点评】本题考查了简单的曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点，属于中档题． 13．已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x�2�x，则∀x∈R，f（�x）=�f（x）；③若f（x）=x+ ，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是①②④⑤．（只填写序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，根据含有量词的命题的否定形式判定；②，若f（x）=2x�2�x，则∀x∈R，f（�x）=�f（x），；③，对于函数f（x）=x+ ，当且仅当x=1时，f（x）=1；④，，；⑤，若A＞B，则a＞b，⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，．【解答】解：对于①，命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3，正确；对于②，若f（x）=2x�2�x，则∀x∈R，f（�x）=�f（x），正确；对于③，对于函数f（x）=x+ ，当且仅当x=0时，f（x）=1，故错；对于④，等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，，故正确；对于⑤，在△ABC中，若A＞B，则a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA ＞sinB，故正确．故答案为：①②④⑤ 【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、数列等基础知识，属于中档题． 14．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为{x丨0＜x＜4} ．【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．【分析】构造辅助函数，求导，由题意可知F（x）=f（x）�x在R单调递减，原不等式转化成F（log2x）＞F（2），（x＞0），根据函数的单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）�x，求导F′（x）=f′（x）�＜0，则F（x）在R单调递减，由f（log2x）＞，即f（log2x）�•log2x＞，由f（2）�×2= ，∴F（log2x）＞F（2），（x＞0），则log2x＜2，解得：0＜x＜4，∴不等式的解集为：{x丨0＜x＜4}，故答案为：：{x丨0＜x＜4}．故答案为：{x丨0＜x＜4}．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（13分）（2017•红桥区一模）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+ ）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得单调递减区间；（Ⅱ）由x∈ 结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+ ）+3∈[2，5]，可得最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得= •2sinxcosx+2cos2x+2 = sin2x+cos2x+1+2 =2sin（2x+ ）+3，∴函数f（x）的最小正周期T= =π，由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得kπ+ ≤x≤kπ+ ∴函数的单调递减区间为[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈ ，∴2x+ ∈[ ， ]，∴sin（2x+ ）∈[ ，1]，∴2sin （2x+ ）∈[�1，2]，∴2sin（2x+ ）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题． 16．（13分）（2017•红桥区一模）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其对应的概率，能得到ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”． P（B）=P（A1）+P（A2） = + = = ．所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是．…（6分）（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P 所以．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式． 17．（13分）（2017•红桥区一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为 =（x，y，z），由，令x=1，则可得 =（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为 =（x，y，z），由，可得，由• =0，可解a，然后求得的值．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以 =（4，4，�4），=（4，0，�2）， =（0，4，�4）．设平面PCE的一个法向量为 =（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以 =（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=| =| |= ．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．…（9分）（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则， =（4，�4，2）．设平面DEF的一个法向量为 =（x，y，z），则．令x=2，则，所以 =（2，，a�4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以• =0，即2+ +2a�8=0，所以a= ＜4，点．所以．…（14分）【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题． 18．（13分）（2017•红桥区一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2�2，S3=a4�2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，Tn为{bn}的前n项和，求T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2�2，S3=a4�2．可得a3=a4�2a2，a2q=a2（q2�2），解得q．进而得出a1，可得an．（II）n为奇数时，bn= = = ．n为偶数时，bn= ．分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．【解答】解：（I）∵等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2�2，S3=a4�2．∴a3=a4�2a2，可得a2q=a2（q2�2），∴q2�q�2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2�2，即a1=a2�2=2a1�2，解得a1=2．∴an=2n．（II）n为奇数时，bn= = = ． n为偶数时，bn= ．∴T2n= + +…+ + +…+ = + +…+ = + +…+ ．设A= +…+ ，则A= +…+ + ，∴ A= +…+ �= �，∴A= �．∴T2n= + �．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（14分）（2017•红桥区一模）已知函数f（x）=x��2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：f（x2）＜x2�1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的定义域为（0，+∞），函数的导数，令f′（x）=0，①当△≤0，②当△＞0，a＜1时，若a≤0，若a＞0，分别判断导函数的符号，得到函数的单调性．当0＜a＜1时，（2）求出函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2�2x+a=0在（0，+∞），直接推出结果．（3）通过（1），（2），推出0＜a＜1，构造新函数g（t）=t�2lnt�1，1＜t＜2，利用新函数的单调性证明求解即可．【解答】（本小题满分14分）（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，…（1分）令f′（x）=0，得x2�2x+a=0，其判别式△=4�4a，①当△≤0，即a≥1时，x2�2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（2分）②当△＞0，即a＜1时，方程x2�2x+a=0的两根为，，…（3分）若a≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；…（4分）若a＞0，则x1＞0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．… 综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）（2）解：由（1）可知，函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2�2x+a=0在（0，+∞）有两不等实根，故0＜a＜1．…（7分）（3）证明：由（1），（2）得0＜a＜1，，且1＜x2＜2，．…（8分），…（9分）令g（t）=t�2lnt�1，1＜t＜2，则，…（10分）由于1＜t＜2，则g′（t）＜0，故g （t）在（1，2）上单调递减．…（11分）故g（t）＜g（1）=1�2ln1�1=0．…（12分）∴f（x2）�x2+1=g（x2）＜0．…（13实用精品文献资料分享分）∴f（x2）＜x2�1．…（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用． 20．（14分）（2017•红桥区一模）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，e= = ，a2�b2=c2，∵点在椭圆上，∴ ，解得a=2，b=1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k=0时，x1=�x2，y1=y2，∴S△AOB= •2|x|•|y|=|x|• = ≤ • =1，当且仅当x12=4�x12，取得等号，∴ 时，（S△AOB）max=1；当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2�4=0，由△＞0可得4k2+1＞m2①， x1+x2=�，x1x2= ，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2=�6m② 由①②得�6m＞m2，解得�6＜m＜0，又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为，， = ，∵�6＜m＜0，∴m=�3时，．由m=�3，∴1+4k2=18，解得；即时，（S△AOB）max=1；综上：（S△AOB）max=1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

17AD G OG FG天津市部分区2017年高考一模文科数学试卷解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≥1或x≤﹣1}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：B．2．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间[﹣1，1]的长度，求比值即得．【解答】解：由3a+1＞0，解得：a＞﹣，故满足条件的概率p==，故选：C．3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，棱柱的体积为：1×1×2=2，圆锥的底面半径为1，高为1，体积为：，故组合体的体积V=+2，故选：A4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，则b==2．则双曲线的方程为：x2﹣=1．故选：B．5．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3，故p：﹣1＜x＜3；f（x）==x+的最小值为2，得x＞0，故q：x＞0，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．6．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，∴f（a））≥1恒成立∴λ﹣1≥1即可，∴λ≥2，方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4∴f（f（a））=2f（a）恒成立②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，∴f（f（a））=2f（a）恒成立，当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，f（f（a））=2f（a）不恒成立，综上所述λ≥2，故选：C7．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．【考点】数列与函数的综合．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小n值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x n≤4π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=16，按下图取值即可满足条件，即有|1+|+2×7+|1﹣|=16．则n的最小值为10．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．【考点】复数的基本概念．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的实部可求．【解答】解：由z（1+i）=3﹣i，得，则z的实部为：1．故答案为：1．10．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时，满足条件i≥6，退出循环，输出S的值即可．【解答】解：s=﹣2，i=0＜6第一次循环，s=﹣1，i=2，第二次循环，i=2＜6，s=1，i=4，第三次循环，i=4＜6，s=5，i=6≥6，输出s=5，故答案为：5．11．【考点】导数的运算．【分析】先求导函数f′（x），然后将x=0代入导函数即可求出f′（0）的值．【解答】解：=；∴．故答案为：2．12．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆的圆心的坐标为（a，0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线x+2y=0的距离，由此可得1+（a）2=5，解可得a的值，将a的值代入圆的方程可得答案．【解答】解：根据题意，设圆的圆心坐标为（a，0），则其标准方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），则圆心到直线x+2y=0的距离d==a，又由该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2，则有1+（a）2=5，解可得a=±2，又由a＞0，则a=2，故要求圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故答案为：（x﹣2）2+y2=5．13．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．【解答】解：∵实数x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化为xy2≤4，当且仅当x=2，y=时取等号．则log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案为：2．14．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．画出函数g（x）的图像，由图求解解：方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．当x≤0时，函数h（x）=ln（x+1）﹣x，h′（x）=，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，函数g（x）的图像如下，由图可知g（﹣）＜m＜0，∴﹣，故答案为：（﹣，0）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理，解方程组求得a的值；（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，利用二倍角公式求得sin2A．cos2A的值，再利用两角和差的三角公式求得cos（2A﹣B）的值．16．【考点】简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据条件建立约束条件，画出约束条件的可行域如图，（Ⅱ）利用数形结合，结合线性规划的应用即可得到结论．17．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE ∥平面ADF；（Ⅱ）证明BD⊥平面AFC，即可证明：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．18．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由+=﹣2（n≥2，n∈N*）整理得（S n+1+S n﹣1）2=（2S n）2，结合题意，得S n+1+S n﹣1=2S n，可判断出数列{S n}为等差数列，继而可得S n=2n﹣1，从而可求数列{a n）的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可得c n==（﹣），从而可求得数列{c n}的前n项和为T n，即可证得：≤T n．19．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可在：a﹣c=b，平方，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；（Ⅱ）将M代入椭圆方程，求得a和b的值，求得椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，代入求得k 的值，利用弦长公式即可求得|AB|的最大值．20．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）（i）当t=1时，求得g（x），当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a ﹣1，则h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，根据等差数列的性质，分别讨论x1，x2，x3，b的排列，结合韦达定理，即可求得b的值．。