上海市十二校2015届高三12月联考数学

上海市十二校2015届高三12月联考数学（文）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a .3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4．如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32　x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f ．5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为___________．7. 方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________. 8.已知数列{}n a 满足⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n n a n n212，且1222321)(--+++++=n n a a a a a n f ,()*∈N n ,则()()34f f -的值为 .9．函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 .102， 与的夹角为3π，则+在上的投影为 . 11. 数列{}n a 的通项公式)(2,)1(11,1*∈⎪⎩⎪⎨⎧≥+==N n n n n n a n ，前n 项和为n S ， 则n n S ∞→lim = .12. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则ABC ∆的周长为 . 13．已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．14. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15. 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A .2)(x x f = B .xx x f =)(C .xx xx e e e e x f --+-=)( D .x x f =)(17.已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为（ ）A .)212(-=x f y B .)12(-=x f yC .)12(-=x f y D .)212(-=x f y 18. 关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A.若n m <<-3，则)()(n f m f <B.若0<<n m ，则)()(n f m f <C.若)()(n f m f <，则22n m <D.若)()(n f m f <，则33n m <三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分.如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ， AB=3，SA=4（1）求异面直线SC 与AD 所成角； （2）求点B 到平面SCD 的距离20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量)23sin ,23(cosAA =，)2sin ,2(cosAA =3+ （1）求角A 的大小； （2）若A CB sin 3sin sin =+，求证ABC ∆是直角三角形。

2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（文科）（3月份）(扫描二维码可查看试题解析)一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是．7．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为．8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）9．（4分）（2015•上海模拟）若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为．10．（4分）（2015•上海模拟）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为．11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为．12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有个．13．（4分）（2015•上海模拟）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B16．（5分）（2015•上海模拟）用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被 5 整17．（5分）（2015•上海模拟）实数x 、y 满足x 2+2xy+y 2+x 2y 2=1，则x ﹣y 的最大值18．（5分）（2015•上海模拟）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围[﹣+2[+2三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面边长为，点P 、Q 、R 分别在棱AA 1、BB 1、BC 上，Q 是BB 1中点，且PQ ∥AB ，C 1Q ⊥QR （1）求证：C 1Q ⊥平面PQR ；（2）若C 1Q=，求四面体C 1PQR 的体积．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．21．（14分）（2015•上海模拟）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．22．（16分）（2015•上海模拟）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．23．（18分）（2015•上海模拟）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．2015年上海市十二校联考高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分. 1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=0．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是（0，1]．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．•×=故答案为：4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．=27．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为﹣3≤a≤9．﹣﹣﹣﹣8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）9．（4分）（2015•上海模拟）若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为（0，5）．10．（4分）（2015•上海模拟）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为3．﹣，由此能求出口袋，11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．x==AB••12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．sinx=x=x=，，，+C）（）即可．，sinx=x=x=，，，+C）（）13．（4分）（2015•上海模拟）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．，﹣+）与（﹣，）和（﹣a+，）和（﹣）的距离，即．．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素16．（5分）（2015•上海模拟）用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被 5 整除，222218．（5分）（2015•上海模拟）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，[﹣+2[+2+2+2[22三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．，由，，BR=QR=．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．，∴，因此，，时，=4n21．（14分）（2015•上海模拟）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．则：即：所以：则：即：得到：=此时：，+22．（16分）（2015•上海模拟）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．[，）≥≥[23．（18分）（2015•上海模拟）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．1P的方程为：，y=，=0，因此1x+1，（﹣，x++=+n=3y=，如图所示，=0参与本试卷答题和审题的老师有：双曲线；若尘；wsj1012；qiss；刘长柏；1619495736；zlzhan；1457446928；sdpyqzh；wkl197822；孙佑中；sxs123；chenzhenji（排名不分先后）菁优网2015年4月16日。

2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=．2．计算：=．3．方程9x=3x+2的解为．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）=．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）=．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）=．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n=．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i 表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij=．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f （2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a的取值范围．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B={x|x＜4} ．【分析】由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，∴A∪B={x|x＜4}．故答案为{x|x＜4}．【点评】本题主要考查了集合的并运算，较为简单．2．计算：=．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．方程9x=3x+2的解为x=log32．【分析】由9x=3x+2，知（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，由此能求出方程9x=3x+2的解．解：∵9x=3x+2，∴（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，∴x=log32．故答案为：x=log32．【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为∅．【分析】根据一元二次方程与对应二次函数和一元二次不等式的关系，即可得出解集．解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，∴二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象是抛物线，且开口向上，与x轴无交点，∴一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为∅．故答案为：∅．【点评】本题考查了一元二次方程与二次函数和一元二次不等式的应用问题，是基础题目．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=2n﹣1【分析】设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，则1×（1+4d）=（1+d）2，∴d=2，∴a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．【点评】考查的是等差数列和等比数列的定义，把形式很接近的两个数列放在一起考查，同学们一定要分清两者，加以区别．6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）=﹣3．【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0可求m，从而可求x≥0时的函数的解析式，再由f（﹣1）=﹣f（1）可求解：由函数为奇函数可得f（0）=1+m=0∴m=﹣1∵x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）在函数求值中的应用，解题的关键是利用f（0）=0求出m．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）=﹣2．【分析】由于函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，故可得f（1+x）+f（1﹣x）=4，用引恒等式建立相关的方程即可解出f﹣1（4）的值．解：由函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，可得f（x+1）+f（1﹣x）=4，对任何x都成立在上式中，取x=3，得到f（4）+f（﹣2）=4，又f （4）=0∴f（﹣2）=4∴f﹣1（4）=﹣2故应填﹣2【点评】本题考查函数的对称性与反函数的性质，知识性较强．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x﹣）=cos （2x﹣θ），由此求得θ的值．解：∵sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），∴sin（2x﹣）=cos（2x ﹣θ），即cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），∴θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）=﹣+．【分析】由条件求得∠α的终边经过点P（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得cosα、sinα、tanα的值，再利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．解：∵两曲线y=和y=的交点为P（﹣1，），故∠α的终边经过点P （﹣1，），故cosα==﹣，sinα==，tanα=﹣，∴cos2α+cot（+α）=2cos2α﹣1﹣tanα=2•﹣1+=﹣+，故答案为：﹣+．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是（﹣，+∞）．【分析】由题设条件可化为∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求出﹣在x∈（﹣∞，1]上的最大值即可．解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．又∵t=﹣=﹣（）2x﹣（）x=﹣[（）x+]2+，当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，∴a＞﹣；即a的取值范围是（﹣，+∞）；故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题考查了应用函数的性质将不等式恒成立转化为求函数值域的问题，是基础题．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n=．【分析】不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，再根据余弦定理得出Cn的表达式，最后求极限．解：因为最小的边长为n+1，且三边成公差为1的等差数列，所以，三边分别为n+1，n+2，n+3，不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，由余弦定理，cosC n=，整理得，cosC n=，又==，所以，cosC n=，若b n是最大的边，解法同上，结果一致，故填：．【点评】本题主要考查了运用余弦定理解三角形和等差数列的性质，以及数列极限的求解，涉及分类讨论思想，属于中档题．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（1，2）．【分析】化简f（x）=（1+）⊗log2x=，从而作函数f（x）与y=k的图象，利用数形结合求解．解：由题意得，f（x）=（1+）⊗log2x=，作函数f（x）与y=k的图象如下，，结合图象可知，1＜k＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i 表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij=．【分析】设第一行公差为d，第一列的公比为q，根据已知求出d，q利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；解：设第一行公差为d，第一列的公比为q，∵a11=，a24=1，a32=，∴，解出d=q=，则a ij==，故答案为：【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f （2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．【分析】依题意，对n=1，2，3，4，5，6，…的情况分别进行讨论，得到规律，即可求得常数k的取值范围．解：∵f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，∴当n=1时，f（1）=﹣2，f（2）=﹣1；∴f（1）+f（2）≤kf（1），即﹣3≤﹣2k，解得：k≤；当n=2时，f（3）=min{3，5﹣3，32﹣2×3﹣1}=2，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）≤kf（2），即﹣2﹣1+2+1≤k×（﹣1），解得：k≤0；当n=3时，f（5）=0，f（6）=﹣1，f（1）+f（2）+…+f（5）+f（6）=﹣1≤kf（3）=2k，解得：k≥﹣；同理可得，当n=4时，f（7）=﹣2，f（8）=﹣3，依题意，可解得k≥﹣6；当n=5时，f（9）=﹣4，f（10）=﹣5，同理解得k∈R；当n=6时，f（11）=﹣6，f（12）=﹣7，依题意得k≤15；…∵对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，∴常数k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查数列的求和，着重考查对函数概念的理解与综合应用，突出考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A 选项对应的图象符合．故选：A．【点评】本题考查的是函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）【分析】由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选：A．【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N （ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D．【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．【分析】（1）分别解不等式，即可求集合A和B；（2）若A⊂B，结合（1）求实数a的取值范围．解：（1）由≥1，可得A=[﹣，2）；由＞0，可得B=（﹣∞，a）∪（a2+1，+∞）；（2）∵A⊂B，∴a＞2．【点评】本题考查函数的定义域，考查集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域．【分析】（1）利用两种方法解：法1：令f（x）=0得到一个方程，将方程左边提取cos化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，利用余弦函数的图象与性质及正切函数的图象与性质分别求出x的范围，即可得到方程的解集；法2：将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，令f（x）=0，整理后利用正弦函数的图象与性质求出x的范围，即为方程的解集．（2）利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式b2=ac代入，利用基本不等式变形得到cosB的范围，由B为三角形的内角，利用余弦函数的图象与性质得出此时B的范围，即为x的范围，将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出f（x）的值域．解：（1）法1：由f（x）=0，得sin cos+cos2=cos（sin+cos）=0，由cos=0，得=kπ+，∴x=2kπ+π（k∈Z）；由sin+cos=0，得tan=﹣，∴=kπ﹣，即x=2kπ﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ﹣（k∈Z）}；法2：f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，由f（x）=0，得sin（x+）=﹣，可得x+=kπ﹣（﹣1）k（k∈Z），即x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z）}；（2）∵b2=ac，且a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），∴由余弦定理得cosB==≥，又B为三角形的内角，∴0＜B≤，由题意得x=B，即x∈（0，]，f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，∵x+∈（，]，则此时函数f（x）的值域为[，+1]．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，余弦、正切函数的图象与性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？【分析】（1）分类讨论，当0＜v≤30时，设P=kv，从而解得P=10v；再求当30≤v≤36时的解析式即可；（2）分类讨论求总费用Y的值，从而利用分段函数写出即可；（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可．解：（1）由题意，当0＜v≤30时，设P=kv，由300=30k解得，k=10；故P=10v，当30≤v≤36时，设P=mv2，由300=302m解得，m=；故P=；（2）当0＜v≤30时，Y=（10v+480）=1000+，当30≤v≤36时，Y=（v2+480）•=v+；故Y=；（3）当0＜v≤30时，Y=1000+是减函数，当30≤v≤36时，Y=v+在[30，36]上是减函数；故Y在（0，36]上是减函数，故当x=36时，Y有最小值为×36+=（元）．【点评】本题考查了分段函数在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a的取值范围．【分析】（1）根据f（x）为偶函数容易得到b=0，从而得到g（x）=，从而可判断出g（x）为奇函数；（2）由方程g（x）=x可以得到a2x2+bx+1=0，而根据该方程有两个不等实根便可得到b2＞4a2，由a＞0，便可得出b＞2a，或b＜﹣2a，进一步可以求出的范围，从而可判断出f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先得到，可设α为x1，x2中的一个数，从而可以得到，而根据便可得到．这时可讨论a，从而可以化简：a＞0时会得到a﹣a2＞0，可解出0＜a＜1；a＜0时会得到a﹣a2＜0，可以解出a＜0，这样便可求出a的取值范围．解：（1）f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1；∴b=0；∴；g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）=g（x）；∴g（x）为奇函数；（2）由g（x）=x得，；整理得，a2x2+bx+1=0，该方程有两个不等实根；∴△=b2﹣4a2＞0，a＞0；∴b＞2a，或b＜﹣2a；∴；f（x）的对称轴为；∴b＞2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，b＜﹣2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（3）由得，；设α为x1，x2中的一个数，则：；∵；∴；①若a＞0，则；两式联立可得（a﹣a2）α2＞0；∴a﹣a2＞0；∴0＜a＜1；②若a＜0，则；联立两式得（a﹣a2）α2＜0；∴a﹣a2＜0；∴a＞1，或a＜0；∴a＜0；∴综上得，a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，1）．【点评】考查偶函数、奇函数的定义及判断过程，一元二次方程实根的个数和判别式△的关系，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性及单调区间，韦达定理，解一元二次不等式．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）【分析】（1）a n=p+（n﹣1）d，直角梯形A n A n+1B n+1B n的两底长度AnBn=f（a n），A n+1B n+1=f（a n+1）．高为A n A n+1 =d，利用梯形面积公式表示出s n．利用等比数列定义进行证明即可．（2）a n=﹣1+（n﹣1）=n﹣2，bn=（）n﹣2，以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+b n+1＞b n考查次不等式解的情况作解答．+2（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为S=＞2010，探讨p 的存在性．解：（1）由等差数列通项公式可得a n=p+（n﹣1）d，…，对于任意自然数n，=，所以数列{s n}是等比数列且公比，因为d＞0，所以|q|＜1．…（写成，得公比也可）（2）a n=p+（n﹣1）=n+p﹣1，，对每个正整数n，b n＞b n+1＞b n+2若以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n，即，令n=﹣1，得1+2＞4，这是不可能的．所以对每一个正整数n，以b n，b n+1，b n+2为边长不能构成三角形．…（3）（理科做，文科不做），所以=如果存在p使得，即两边取对数得：p＜﹣log21340，因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=﹣11等．…说明：通过具体的p值，验证也可．【点评】本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力。

第8题图ABCD A 1B 11D 1MN 2015学年度第一学期第三次诊断测试高三数学本试卷共有23题，满分150分，时间120分钟班级 学号 姓名 成绩 一、填空题（每小题4分，共56分） 1、集合集合，则等于 ．2、方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．3、在等比数列}{n a 中，若3571a a a =，则19lg lg a a +的值等于__________．4、已知34sin (cos 55i θθ-+-（）是纯虚数，则=θtan . 5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -=.6、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为 .7、一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到1个白球的概率是 (用数值作答)．8、执行如图所示的程序框图，若输入的5.10-=x ，则输出y 的结果为 ．9、在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数之和为A ,各项二项式系数之和为B ,且72=+B A ,则展开式中常数项的值为__________.10、若正四棱柱1111ABCD A B C D -底面边长是1，体积是2，M N 、分别是棱111BB B C 、的中点，则异面直线MN 与AC所成角的大小为 ．(结果用反三角函数值表示)11、函数21-=+x a y )1,0(≠>a a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上)0,0(>>n m ，则nm 12+的最小值是 ．12、如果定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U A B =ð . 2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 .10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A 的坐标为43,1（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A .33 B .53C .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共42页） 数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin 3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.3 / 141sin602a a ︒，正棱柱的高1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【提示】由题意可得1sin 601632a a a ⎛⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征数学试卷 第10页（共42页）数学试卷 第11页（共42页） 数学试卷 第12页（共42页）123270x +=5 / 14011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第17页（共42页） 数学试卷 第18页（共42页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，6m x <<≤|(m f x -++的最小值．7 / 14【解析】解：如图，||||2AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-． 85||||15DE DF =数学试卷第22页（共42页）数学试卷第23页（共42页）数学试卷第24页（共42页）9 / 14易求得(0,2,D C =，(2,2,0)AC =-，(0,1,A E =11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,)(2,2,0),)(0,1,1)z z -=-=，所以(1,1,1)n =，所以111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =数学试卷 第28页（共42页）数学试卷 第29页（共42页） 数学试卷 第30页（共42页）cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代3数学试卷 第34页（共42页）2(a a +-+2112()b b a +++-2)b a +-2(a +-+1(2a b +（Ⅱ）∵()f x 的值域为R ；∴存在0x ，使0()f x c =；又(),)]([c f a f b ∈；∴0()()()f a f x f b ≤≤，而()f x 为增函数；∴0a x b ≤≤；即存在0,[]x a b ∈，使0()f x c =；（Ⅲ）证明：若0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解；则：0cos ()1f u T +=，02T u T T +≤≤；∴0cos ()1f u =，且00u T ≤≤；∴0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解；∴“0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上得解”的充分条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解”；下面证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+：①当0x =时，(0)0f =，∴显然成立；②当x T =时，cos (2)cos ()1f T f T ==；∴11(2)2,()f T k k Z π=∈，()4πf T =，且12π4πk >，∴12k >；1）若13k =，(2)6πf T =，由（Ⅱ）知存在0(0,)x T ∈，使0()2πf x =；0002cos ()cos ()1()2πf x T f x f x T k +==⇒+=，2k ∈Z ；∴0()()(2)f T f x T f T <+<；∴24π2π6πk <<；∴223k <<4，无解；2）若15k ≥，(2)10πf T ≥，则存在122T x x T <<<，使得1()6πf x =，2()8πf x =；则T ，1x ，2x ，2T 为cos ()1f x =在[],2T T 上的4个解；但方程cos ()1f x =在[0]2T ,上只有()0f x =，2π，4π，3个解，矛盾； 3）当14k =时，(2)8π()()f T f T f T ==+，结论成立；③当(0)x T ∈,时，()(04π)f x ∈,，考查方程cos ()f x c =在(0)T ,上的解； 设其解为1()f x ，2()f x ，…，()n f x ，12()n x x x <<<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,； 而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；数学试卷 第40页（共42页）∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可；（Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查cos ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。

2015-2016学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分.1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=．2．函数f（x）=sinxcosx的最大值是．3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= ．4．已知函数f（x）=1+log a x，（a＞0，a≠1），若y=f﹣1（x）过点（3，4），则a= ．5．已知函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，求函数f（x）的定义域是．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则= ．8．已知圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9上的两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，那么m= ．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长．10．等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）= ．11．已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则a5+a6= ；前2n项和S2n= ．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（，），函数g（x）=f（x）f（x﹣）的单调递增区间．13．已知 f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是．14．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分.15．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．16．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2 D．417．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤418．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④三、解答题（本大题共5分，满分74分）19．已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），且p是q的必要条件，求实数m 的范围．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．21．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），求a与t的值；（3）对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，请说明理由．23．对于各项均为正数的无穷数列{a n}，记b n=（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使a n≤M成立，则称数列{a n}为“有上界数列”；②若数列{a n}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a=M成立，则称数列{a n}为“有最大值数列”；③若b n+1﹣b n＜0，则称数列{a n}为“比减小数列”．（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{a n}中，a1=，a n+1=，求证：数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列；（Ⅲ）若数列{a n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．2015-2016学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分.1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B={x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．2．函数f（x）=sinxcosx的最大值是．【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的正弦函数公式将函数解析式变形，根据正弦函数的值域，即可得到函数f（x）的最大值．【解答】解：f（x）=sinxcosx=sin2x，∵﹣1≤sin2x≤1，∴﹣≤sin2x≤，则f（x）的最大值为．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知函数f（x）=1+log a x，（a＞0，a≠1），若y=f﹣1（x）过点（3，4），则a= 2 ．【考点】反函数．【专题】方程思想；转化思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵y=f﹣1（x）过点（3，4），∴原函数f（x）经过点（4，3），∴3=1+log a4，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，求函数f（x）的定义域是（﹣3，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由复合函数的定义域的求法知﹣3＜2x﹣1≤3，从而解得．【解答】解：∵函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，∴﹣1＜x≤2，∴﹣3＜2x﹣1≤3，∴函数f（x）的定义域是（﹣3，3]；故答案为：（﹣3，3]．【点评】本题考查了复合函数的定义域的求法，属于中档题．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30 吨．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】因每次购买的次数相同，所以货物总吨数除以每次购买的数量应为整数，用购买次数乘以每次的运费加上总存储费用即为一年的总运费与总存储费用之和，然后利用基本不等式求最小值．【解答】解：设公司一年的总运费与总存储费用之和为y万元．买货物600吨，每次都购买x吨，则需要购买的次数为次，因为每次的运费为3万元，则总运费为3×万元．所以y=（0＜x≤600）．则．当且仅当，即x=30时取得最小值．所以，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30吨．故答案为30．【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了利用基本不等式求最值，解答此题注意两点：一是实际问题要有实际意义，二是利用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”．是中档题．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则= ．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．8．已知圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9上的两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，那么m= ﹣1 ．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意可得，圆心（﹣1，3）在直线x+my+4=0上，把圆心坐标代入直线方程即可求得m的值．【解答】解：由题意可得，圆心（﹣1，3）在直线x+my+4=0上，∴﹣1+3m+4=0，解得 m=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长24 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的周长．【解答】解：双曲线x2﹣=1的a=1，c==5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的定义知， x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24．故答案为：24．【点评】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．10．等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）= ﹣．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列的前3项，由等比数列的性质求出首项和公比，由此能求出（a1+a3+a5+…+a2n）．﹣1【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，∴a1=S1=a+，a2=S2﹣S1=[a+（）2]﹣（a+）=﹣，a3=S3﹣S2=[a+（）3]﹣[a+（）2]=﹣，∴（﹣）2=（a+）（﹣），解得a=﹣1，，q==，∴=（﹣2）．∴（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=（）==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的前2n项中奇数项和的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11．已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则a5+a6= 7 ；前2n项和S2n=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由数列递推式得到数列{a n}的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得a5+a6，用等差数列和等比数列前n项和公式求得前2n项和S2n．【解答】解：由a n+2=，可得，数列{a n}的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a5=a1+2d=1+2×1=3，，∴a5+a6=7；前2n项和S2n=S奇+S偶==．故答案为：7；．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（，），函数g（x）=f（x）f（x﹣）的单调递增区间[﹣， +]，k∈Z ．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值可得函数的解析式，再利用二倍角公式、诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为=π，∴ω=2．再根据图象过点（，），可得sin（2•+φ）=，∴2•+φ=，∴φ=，f（x）=sin （2x+）=cos2x．函数g（x）=f（x）f（x﹣）=cos2xcos2（x﹣）=sin2xcos2x=sin4x．令2kπ﹣≤4x≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．故答案为：[﹣， +]，k∈Z．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．13．已知 f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出分段函数的图象，由图象得到函数f（x）的单调性，然后把不等式f（x+a）＞f（2a ﹣x）在[a，a+1]上恒成立转化为不等式a＞2（a+1）求解．【解答】解：作出分段函数f（x）=的图象如图，要使不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则x+a＜2a﹣x在x∈[a，a+1]上恒成立，即a＞2x在x∈[a，a+1]上恒成立，∴a＞2（a+1），解得：a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了分段函数的应用，解答此题的关键是把恒成立问题转化为含a的不等式，是中档题．14．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是②④．【考点】函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】题目给出了具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．当给定的正数m无限小的时候，函数f（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的上方且无限靠近直线，函数g（x）的图象在函数h （x）=kx+b的图象的下方且无限靠近直线，说明f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于第一组函数，通过构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x）=，对该函数求导后说明函数F（x）在（1，+∞）上是增函数，不满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第二组函数，直接作差后可看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第三组函数，作差后得到差式为，结合函数y=x和y=lnx图象的上升的快慢，说明当x＞1时，为为负值且逐渐减小；第四组函数作差后，可直接看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．由以上分析可以得到正确答案．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时，令F（x）=f（x）﹣g（x）=由于，所以h（x）为增函数，不符合x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=f（x）﹣g（x）==，因为当x＞1且x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以存在分渐近线；对于③f（x）=，g（x）=，f（x）﹣g（x）==当x＞1且x→∞时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当x→∞时f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→∞时，f（x）﹣g（x）===→0，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是②④．故答案为②④．【点评】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分.15．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．【解答】解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．16．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系，即可得到m的值．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1化为，∴a2=1，，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，，解得m=4．故选D．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．17．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．【解答】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2﹣x10，x2﹣1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选C．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．18．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．【解答】解：①∵a99a100﹣1＞0，∴a12•q197＞1，∴（a1•q98）2＞1．∵a1＞1，∴q＞0．又∵，∴a99＞1，且a100＜1．∴0＜q＜1，即①正确；②∵，∴0＜a99•a101 ＜1，即 a99•a101﹣1＜0，故②错误；③由于 T100=T99•a100，而 0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故③错误；④中T198=a1•a2…a198=（a1•a198）（a2•a197）…（a99•a100）=（a99•a100）×99＞1，T199=a1•a2…a199=（a1•a199）（a2•a198）…（a99•a101）•a100＜1，故④正确．∴正确的为①④，故答案为B．【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质：若m+n=p+q则有a m•a n=a p•a q．其中根据已知条件得到aa99＞1，a100＜1，是解答本题的关键，属于基础题．三、解答题（本大题共5分，满分74分）19．已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），且p是q的必要条件，求实数m 的范围．【考点】其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】解分式不等式求出命题p，二次不等式求出q，利用p是q的必要条件得到不等式组，求出m的范围即可．【解答】解：由命题，所以，不等式化为，解得p：﹣2≤x ＜10．命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），解得1+m≤x≤1﹣m；因为p是q的必要条件，即任意x∈q⇒x∈p成立，所以，解得﹣3≤m＜0；实数m的范围是：﹣3≤m＜0．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题．21．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W 的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|B0|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），求a与t的值；（3）对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，请说明理由．【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；（2）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），首先应有（t，a）⊆（﹣1，1），且当x∈（t，a）时，∈（a，+∞），结合内层函数图象及单调性可得t=﹣1，且，从而求出a和t的值；（3）假设存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），代入对数式后把x3用x1，x2表示，只要能够证明x3在定义域内即可，证明可用作差法或分析法．【解答】解：（1）要使原函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，所以，函数f（x）的定义域D=（﹣1，1）f（x）是定义域内的奇函数．证明：对任意x∈D，有所以函数f（x）是奇函数．另证：对任意x∈D，所以函数f（x）是奇函数．（2）由知，函数在（﹣1，1）上单调递减，因为0＜a＜1，所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），所以（t，a）⊆（﹣1，1）且在（t，a）的值域是（a，+∞），故且t=﹣1（结合g（x）图象易得t=﹣1）由得：a2+a=1﹣a，解得或a=（舍去）．所以，t=﹣1（3）假设存在x3∈（﹣1，1）使得f（x1）+f（x2）=f（x3）即则，解得，下面证明．证明：法一、由．∵x1，x2∈（﹣1，1），∴，，∴，即，∴．所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．法二、要证明，即证，也即．∵x1，x2∈（﹣1，1），∴，∴，∴．所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了复合函数的值域，体现了数学转化思想方法，训练了存在性问题的证明方法，该题综合考查了函数的有关性质，属有一定难度的题目．23．对于各项均为正数的无穷数列{a n}，记b n=（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使a n≤M成立，则称数列{a n}为“有上界数列”；②若数列{a n}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a=M成立，则称数列{a n}为“有最大值数列”；③若b n+1﹣b n＜0，则称数列{a n}为“比减小数列”．（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{a n}中，a1=，a n+1=，求证：数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列；（Ⅲ）若数列{a n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．【考点】数列与函数的综合；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由， =，得b n+1﹣b n＞0，a n=，由此得到数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列．（Ⅱ）先用数学归纳法证明，再证明a n+1＞a n． =﹣（a n﹣2）（a n+1）．然后证明，由此得到数列{a n}既是比减少数列又是有上界数列．（Ⅲ）假设对于∀n∈N*，b n+1＞b n，由此推导出无穷数列{a n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，从而得到对于数列{a n}，∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知， =，b n+1﹣b n==＞0，a n=，且存在n=1，a1=1，所以数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列．…（Ⅱ）数列{a n}中，a1=，a n+1=，下面用数学归纳法证明，①，命题；②假设n=k时命题成立，即，当n=k+1时，，，所以，当n=k+1时，命题成立，即．下面证明a n+1＞a n． ==﹣（a n﹣2）（a n+1）．因为，所以，即a n+1＞a n．由，，两式相除得： =，a n+1＞a n，所以，，（）2﹣=（）＞0，即（）2＞．下面证明，即需证明（2+a n+1）a n＜（2+a n）a n+1，即需证明2a n＜2a n+1，而2a n＜2a n+1已证明成立，所以=，即b n+1＜b n，b n+1﹣b n＜0，所以，数列{a n}既是比减少数列又是有上界数列．…（Ⅲ）用反证法，假设对于∀n∈N*，b n+1＞b n，即，因为无穷数列{a n}各项为正且单调递增，所以t＞1．＞t n﹣1，所以．当时，a n＞M，所以无穷数列{a n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，因此，对于数列{a n}，∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．…【点评】本题考查数列{}是何种数列的判断，考查数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列的证明，考查∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0的证明，解题时要注意数学归纳法和反证法的合理运用．。