对数函数(3)

高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。

设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。

其中a称为底数，b称为真数。

即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。

例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。

2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。

（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。

即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。

⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。

⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。

⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。

3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。

4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。

在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。

例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。

二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。

分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。

（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。

2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。

对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。

3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。

高一数学学案 序号_ 高一 年级 9 班 教师 梁恩军 _ 学生 ____§2.1.1 对数函数及其性质（3）学习目标1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.学习重点：对数函数性质的应用.log (0,1)a y x a a =>≠且图象和性质.2：比较两个对数的大小.（1）10log 7与10log 12 ； （2）0.5log 0.7与0.5log 0.8.3：求函数的定义域.（1）311log 2y x=- ； （2）log (28)a y x =+.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：反函数和对数函数性质的应用. 问题：如何由2x y =求出x ？思考：2x y =是R 上的单调递增函数.根据指数与对数的关系，由指数式y =2x 可得到对数式x =log 2y .这样，对于任意一个y ∈（0，+∞），通过式子x =log 2y ，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说x =log 2y （y ∈（0，+∞））是函数y =2x （x ∈R ）的反函数.习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =.指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数. 对数函数y =log a x （x ∈（0，+∞））是指数函数y =a x （x ∈R ）的反函数；同时，指数函数y =a x （x ∈R ）也是对数函数y =log a x （x ∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y =a x （x ∈R ）与对数函数y =log a x （x ∈（0，+∞））互为反函数. 反思：（1）如果000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数2log y x =的图象上吗？为什么？（2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称. 【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a .※ 典型例题例1求下列函数的反函数：（1） 3xy =； （2）log (1)a y x =-.()0,1a a >≠小结：求反函数的步骤（解x →习惯表示→定义域）变式：点(2,3)在函数log (1)a y x =-的反函数图象上，求实数a 的值.例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？ （2）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算其酸碱度pH 值.例3 求函数212y log (x 2x 3)=-++的定义域、值域和单调区间.※ 动手试试练1.判断f （x ）=ln （21x +－x ）的奇偶性练2. 求证：函数f (x ) =xx -1log 2在(0, 1)上是增函数.．三、总结提升 ※ 学习小结：① 函数模型应用思想；② 反函数概念. ※ 当堂检测：1. 函数0.5log y x =的反函数是（ ）. A. 0.5log y x =- B. 2log y x = C. 2x y = D. 1()2x y =2. 函数2(0)y x x =<的反函数是（ ）.A. (0)y x =>B. (0)y x =>C. (0)y x =>D. y =3. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .1. 比较下列各组数的大小：（1）log 0.7 1.3和log 0.71.8；（2）log 35和log 64.（3）(lg n )1.7和(lg n )2 (n ＞1)；2. 已知)1,0(),82(log )2(log ≠>->-a a x x a a 且，求x 的范围3判断函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？并证明你的判断.。

第二节对数与对数函数复习目标学法指导1.对数与对数运算(1)对数的概念.(2)常用对数与自然对数.(3)对数的运算性质.(4)对数的换底公式.2.对数函数及其性质(1)对数函数的概念.(2)对数函数的图象.(3)对数函数的性质.(4)指数函数与对数函数的关系. 会求一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性.(发展要求) 1.通过对数的概念,明确对数来源于指数,利用指数的知识理解与掌握对数.2.在同底的条件下,对数只能进行加、减运算,注意应用的顺序.3.掌握对数函数的图象与性质,一定要坚持分类讨论的思想.4.应用对数函数的性质解决对数类问题要遵循定义域优先的原则.一、对数如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做底数,N叫做真数底数的限制a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:a x=N⇔log a N=x负数和零没有对数1的对数是零,log a1=0底数的对数是1,log a a=1对数恒等式:log a Na=Nlog a(M·N)=log a M+log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0log a MN=log a M-log a Nlog a M n=nlog a M(n∈R)公式:log a b=loglogccba(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)推广:logam b n=n m log a b(a>0且a≠1,b>0);log a b=1logba(a>0且a≠1;b>0且b≠1)1.法则理解应用法则log a M+log a N=log a(M·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M·N>0,导致增解.2.与换底公式有关的结论log a b·log b c·log c d=log a d.二、对数函数1.对数函数的概念、图象与性质概念函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数底数a>1 0<a<1图象定义域(0,+∞)值域R过定点(1,0),即x=1时,y=0性质在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数2.指数函数与对数函数的关系指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.概念理解(1)对数函数的定义是形式定义,其解析式的特征为①系数为1;②次数为1;③底数a>0且a≠1;④真数只能是自变量x.(2)对数函数解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标,即可确定一个对数函数.2.与对数函数图象相关的知识点(1)如图是对数函数①y=log a x;②y=log b x;③y=log c x;④y=log d x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是0<a<b<1<c<d.(2)对数函数图象之间的位置关系:在第一象限,图象从左到右,底数由小到大;(3)对数函数图象以y轴为渐近线,进行图象变换时,渐近线也应随之变换;(4)底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称;(5)画对数函数图象应抓住三个关键点:(1a,-1),(1,0),(a,1).3.与对数函数性质的应用相关联的知识(1)对数类函数的问题求解时要树立定义域优先的意识;(2)比较幂、对数大小的常用方法①单调性法:构造函数,利用其单调性;②中间量法:通过与特殊值比较大小判定结论,常见的有a0=1,log a1=0,log a a=1;③数形结合法.1.函数12log x( D )(A){x|x>0} (B){x|x≥1}(C){x|x≤1} (D){x|0<x≤1}解析:要使得函数12log x12log0,0,xx≥⎧⎪⎨⎪>⎩所以0<x≤1,因此可知函数的定义域为{x|0<x≤1}.选D.2.(2019·天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( A )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)b<c<a (D)c<a<b解析:因为y=log5x是增函数,所以a=log52<log因为y=log0.5x是减函数,所以b=log0.50.2>log0.50.5=1.因为y=0.5x是减函数,所以0.5=0.51<c=0.50.2<0.50=1,即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.3.函数y=log a(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则A点坐标是( C )(A)(0,23) (B)(23,0)(C)(1,0) (D)(0,1)解析:当3x-2=1,即x=1时,y=log a1=0,故定点A为(1,0).4.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知2a=3,3b=4,则ab= .解析:因为2a =3,3b =4, 所以a=log 23,b=log 34,所以ab=log 23·log 34=ln3ln 2×ln 4ln3=ln 4ln 2=2. 答案:25.已知定义域为R 的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1)<f(lg x),则实数x 的取值范围是 . 解析:因为f(x)是偶函数,并且在区间[0,+∞)上是增函数, 所以f(x)在区间(-∞,0]上是减函数, 所以由f(1)<f(lg x)得|lg x|>1, 所以lg x>1或lg x<-1,所以x>10或0<x<110.所以实数x 的取值范围为{x|x>10或0<x<110}. 答案:{x|x>10或0<x<110}考点一 对数的基本运算[例1] (1)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n ; (2)计算26666(1log3)log 2log 18log 4-+⋅;(3)计算(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解:(1)法一 因为log a 2=m,log a 3=n, 所以a m =2,a n =3,所以a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12. 法二 因为log a 2=m,log a 3=n,所以a 2m+n =(a m )2·a n =(log 2a a)2·log 3a a=22×3=12.(2)原式=266666612log 3log 3log log (63)3log 4-++⋅⨯（）=26666612log3log 3(1log 3)(1log 3)log 4-++-+（）=22666612log 3log 31(log 3)log 4-++-（）=6621log 32log 2-（） =666log 6log 3log 2- =66log 2log 2=1. (3)原式=(lg 2lg3+lg 2lg9)·(lg3lg 4+lg3lg8) =(lg 2lg3+lg 22lg 3)·(lg 32lg 2+lg 33lg 2) =3lg 22lg 3·5lg 36lg 2=54. 在对数运算中, 要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.1.(1)计算log 22的值是 ;(2)计算lg 4+lg 50-lg 2的值是 . 解析:(1)log 2=log 2=log 2 122-=-12. (2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4×50÷2)=lg 100=2. 答案:(1)-12(2)2 2.(2019·杭州市期末检测)设a=log 23,b=log 38,则2a = ;ab= .解析:由a=log 23得2a =3,ab=log 23×log 38=ln3ln 2×ln8ln 3=3ln 2ln 2=3ln 2ln 2=3. 答案:3 3考点二 对数函数的图象及应用[例2] (1)已知函数y=log a (x+b)(a,b 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )(A)a>1,b>1 (B)a>1,0<b<1 (C)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1(2)设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) (A)x 1x 2<0 (B)x 1x 2=0 (C)x 1x 2>1 (D)0<x 1x 2<1解析:(1)函数y=log a (x+b)递减,所以0<a<1.同时log (1)0,log 0aa b b +<⎧⎨>⎩⇒11,01,b b +>⎧⎨<<⎩⇒0<b<1,故选D. (2)作出y=10x ,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x 1<0,x 2<0.不妨设x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以110x=lg(-x1),210x=-lg(-x2),此时110x<210x,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2018·绍兴市柯桥区二模)若log a2<log b2<0,则( B )(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1(C)a>b>1 (D)b>a>1解析:log a2<log b2<0,所以a,b都小于1,log a2<log b2⇒lg2lg a <lg2lg b⇒lga>lg b⇒a>b,综上0<b<a<1.故选B.2.(2019·温州适应性测试)已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足lna 则下列判断正确的是( C )(A)a>b (B)a<b(C)log a b>1 (D)log a b<1解析:由ln b=a =a-a得ln b-a+a=0,设f(x)=ln x-x+x(x>0),则f′(x)=1x -2x-2x x=2(1)2xx x--,则函数f(x)=ln x-x+x在(0,+∞)上单调递减, 且f(1)=0,所以当0<x<1时,ln x-x+x >0,即ln x>x-x;当x>1时,ln x-x+x <0,即ln x<x-x,在平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=x-x的图象如图所示,由图易得若ln b=a =a-a,则0<b<a<1或1<a<b,A,B错误;当a>1时,1<a<b,函数y=log a x为增函数,则log a b>log a a=1,当0<a<1时,0<b<a<1,函数y=log a x为减函数,则log a b>log a a=1,C正确,D错误,故选C.考点三对数函数的性质及应用[例3] 已知函数f(x)=12log(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.解:(1)由f(-1)=-3,得12log(4+2a)=-3.所以4+2a=8,所以a=2.这时f(x)= 12log (x 2-4x+3),由x 2-4x+3>0, 得x>3或x<1,故函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 令g(x)=x 2-4x+3,则g(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(3,+∞)上单调递增.又y=12log x 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1), 单调递减区间是(3,+∞).(2)不存在满足题意的实数a,理由:令h(x)=x 2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使h(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.因此2,(2)0,a h ≥⎧⎨>⎩即2,740,a a ≥⎧⎨->⎩a 无解.所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数.(1)利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的. (2)利用对数性质比较大小的解题策略①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断.②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数的性质进行比较.③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.1.(2018·江苏卷)函数2log 1x -的定义域为 .解析:由20,log 10x x >⎧⎨-≥⎩解得x ≥2,所以函数2log 1x -{x|x≥2}. 答案:{x|x ≥2} 2.函数f(x)=log x log 2(4x)的最小值为 ,此时x 的值是 . 解析:f(x)=log x log 2(4x)=12log 2x ·(2+log 2x),可令log 2x=t,t ∈R,则y=12t ·(2+t)=12t 2+t, 当t=-1时,函数取到最小值为-12, 此时x=12. 答案:-1212考点四 易错辨析[例4] (2018·天津卷)已知a=log 2e,b=ln 2,c=121log 3,则a,b,c 的大小关系为( )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>b>a (D)c>a>b 解析:c=121log 3=log 23>log 2e=a>1,即c>a.又b=ln 2=21log e<1<log 2e=a,即a>b. 所以c>a>b.故选D.(1)由于a 与c 既不同“底”又不同“真”,所以无法直接比较大小,造成思维受阻;(2)在利用对数函数的单调性比较大小时因函数的单调性判断错误而致误.1.已知a=2log 3.45,b=4log 3.65,c=3log 0.315（）,则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b解析:c=3log 0.315（）=3log 0.35 =310log 35.法一 在同一坐标系中分别作出函数y=log 2x,y=log 3x,y=log 4x 的大致图象,如图所示.由图象知,log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x 为增函数. 所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.法二 因为103<3.4, 所以log 3103<log 33.4<log 23.4. 因为log 43.6<log 44=1,log 3103>log 33=1,所以log 43.6<log 3103.所以log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x为增函数.所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( B ) (A)a+b<ab<0 (B)ab<a+b<0 (C)a+b<0<ab (D)ab<0<a+b 解析:因为a=log 0.20.3>log 0.21=0, b=log 20.3<log 21=0,所以ab<0.因为a b ab +=1a +1b =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,所以0<a b ab +<1,所以ab<a+b<0.故选B.类型一 对数的基本运算 1.已知x,y 为正实数,则( D ) (A)2lg x+lg y =2lg x +2lg y (B)2lg(x+y)=2lg x ·2lg y (C)2lg x ·lg y =2lg x +2lg y (D)2lg(xy)=2lg x ·2lg y 解析:2lg x+lg y =2lg x ·2lg y ,选项A 错; 2lg x ·2lg y =2lg x+lg y =2lg(xy),选项B 错; 令x=10,y=10,则2lg x ·lg y =2, 2lg x +2lg y =4,选项C 错.故选D.2.已知函数f(x)=123e 1,2,1log ,2,3x x x x -⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩则f(x)的零点为( A )(A)1,2 (B)1,-2 (C)2,-2 (D)1,2,-2解析:当x<2时,令f(x)=e x-1-1=0, 即e x-1=1,解得x=1满足x<2; 当x ≥2时,令f(x)=log 3213x -=0, 则213x -=1,即x 2=4,得x=-2(舍)或x=2.因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.3.已知函数f(x)= 311log (3),2,3,2,x x x x -+-<⎧⎪⎨≥⎪⎩则f(-6)+f(log 312)= ,满足f(x)>3的x 的取值范围是 . 解析:f(-6)=1+log 39=3, 因为log 312>log 39=2, 所以f(log 312)=4; 则f(-6)+f(log 312)=7;当x<2时,1+log 3(3-x)>3,解得x<-6, 当x ≥2时,3x-1>3,解得x>2,所以f(x)>3的x 的取值范围为(-∞,-6)∪(2,+∞). 答案:7 (-∞,-6)∪(2,+∞) 类型二 对数函数的图象及应用4.函数y=2log 4(1-x)的图象大致是( C )解析:函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B; 函数y=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.故选C.5.(2019·嘉兴市、丽水市、衢州市高三模拟测试)函数y=ln(x+21x+)·cos 2x的图象可能是( D)解析:设f(x)=y=ln(x+21x+)·cos 2x,则易得函数的定义域为R,且f(-x)=ln[-x+2()1x-+]·cos 2(-x)=ln[2()1x x+-+]·cos2x=-ln(x+21x+)·cos 2x=-f(x),所以函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x为奇函数,则函数图象关于原点中心对称,排除A,B;f′(x)=22111xx x++++·cos 2x-2ln(x+21x+)·sin 2x=21x+·cos2x-2ln(x+21x+)·sin 2x,f′(0)=1,即函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x在原点处的切线的斜率为1,不为0,排除C,故选D.6.若不等式(x-1)2<log a x在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围是.解析:设f 1(x)=(x-1)2,f 2(x)=log a x,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f 2(x)=log a x 图象的下方. 当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图所示,要使x ∈(1,2)时,f 1(x)=(x-1)2的图象在f 2(x)=log a x 的图象下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2-1)2≤log a 2,即log a 2≥1.所以1<a ≤2,即实数a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]7.已知x 1,x 2,x 3分别为方程2x =12log x, 1()2x=log 2x, 1()2x=12log x 的根,则x 1,x 2,x 3的大小关系是 (从小到大排列).解析:作出y=2x ,y=12log x,y=1()2x,y=log 2x 的大致图象,由图象知x 1<x 3<x 2.答案:x 1<x 3<x 2类型三 对数函数的性质及应用 8.(2019·浙江省教育绿色评估联盟)已知a=121()3 ,b=32,c=121log 3,则( C )(A)a>b>c (B)c>a>b(C)a>c>b (D)c>b>a 解析:因为a=121()3-,b=32,c=121log 3=log 23,则a>b,又322<3,则log2322=32<log 23,即b<c;构造函数f(x)=log 2则f ′(x)=1ln 2x 因此函数f(x)在区间(0,4(e2log )2)上单调递增,在区间 (4(e 2log )2,+∞)上单调递减,由f(4)=0,知f(3)<0,即 a>c,故选C.9.函数f(x)=12log (x 2-4x)的单调递减区间是 ;单调递增区间是 .解析:由x 2-4x>0,解得x>4或x<0,即函数定义域为(-∞,0)∪(4,+∞),根据复合函数的单调性知f(x)= 12log (x 2-4x)的单调递减区间是(4,+∞),单调递增区间是(-∞,0). 答案:(4,+∞) (-∞,0) 10.关于函数f(x)=lg 21xx+ (x ≠0),有下列结论: ①其图象关于y 轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是lg 2;④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 . 解析:因为函数f(-x)=lg 2()1x x -+-=lg 21x x+=f(x),所以函数为偶函数,即图象关于y 轴对称,故①正确.因函数y=x+1x 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=|x|+1x在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-1)和(0,1)上是减函数,故②错,④正确.因为21x x +=|x|+1x≥=2,所以f(x)≥lg 2,即最小值为lg 2,故③正确. 答案:①③④11.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f(13)=0,则不等式f(18log x)>0的解集为 . 解析:因为函数f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(|x|),所以f 18log x)>0⇔f(|18log x|)>f(13). 因为f(x)在[0,+∞)上为增函数, 所以|18log x|>13, 即18log x<-13或18log x>13. 因为18log x=-log 8x=-13log 2x, 所以不等式可转化为log 2x>1或log 2x<-1, 所以x>2或0<x<12. 答案:(0,12)∪(2,+∞) 类型四 易错易误辨析12.若log a 43<2,则a 的取值范围是( D ))(C)(0,1)∪) (D)(0,1)∪,+∞)解析:log a 43<2等价于log a 43<log a a 2,201,43a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩或21,4,3a a >⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得0<a<1或故选D.13.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满足f(a)>f(4-a),则实数a 的取值范围是( A ) (A)(1,2) (B)(2,3) (C)(1,3) (D)(2,4)解析:函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),由f(a)>f(4-a)可得|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方得 [ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2⇔[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,则ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩① 或ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩② 解①得a 无解,解②得1<a<2, 所以实数a 的取值范围是(1,2), 故选A.。

课时作业(九)　对数与对数函数　基础过关组　一、单项选择题1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2)C ．[23，＋∞)D ．(23，＋∞)解析　由Error!即Error!解得x ≥23。

答案　C2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12xC ．log 12x D ．2x －2解析　由题意知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，因为f (2)＝1，所以log a 2＝1，所以a ＝2。

所以f (x )＝log 2x 。

故选A 。

答案　A3．(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16解析　解法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19。

故选B 。

解法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19。

故选B 。

解法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log 34＝log 43，所以4a2 ＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19。

故选B 。

解法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝log 39log 34＝log 49,4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19。

故选B 。

答案　B4．如果log12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析　因为log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1。