极端思维解题-人教版[整理]

第十二讲 极端原理一、极端原理：直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有某种极端性质加以研究、解决问题的方法.二、几个极端性原理1．最小数原理、最大数原理最小数原理I ：在有限个实数组成的集合中，必存在最小的数.最小数原理II ：设N 是自然数全体组成的集合，若M 是N 的非空子集，则M 中必有最小的数.例1 已知12,,,n a a a 与12,,,n b b b 是2n 个正数，且222121n a a a +++=，222121n b b b +++=，求证：1212,,,nn a a a b b b 中存在一个值一定不大于1.（广东数学竞赛，1979）最大数原理I ：在有限个实数组成的集合中，必存在最大的数.最大数原理II ：在由负整数组成的集合（有限或无限）中，必存在着最大的负整数.2．最短长度原理最短长度原理I ：任意给定相异两点，所有连接这两点的线中，以直线段的长度为最短.最短长度原理II ：在连接一已知点与一已知直线或已知平面上的点的所有中，以垂线段的长度为最短.例2 求证：单位长的任何曲线能被面积为1的闭矩形覆盖.4（美国普特南试题）3．规化论的一个基本原则当点(,)x y在平面上一个区域D（包括边界）上变动时，一次函数p ax by=+在D上的最大值和最小值总是在D的边界上达到；当区域D是一个多边形时，就一定在顶点上达到；=+平行，则在这条边上的值如果D有一条边与直线p ax by都相等，且是最大值或最小值.例3 设R为平面上以A(4,1)，B(-1,-6)，C(-3,2)三点为顶x y在点的三角形区域（包括三角形内部和周界），试求当(,)R上变动时函数43-的极大值和极小值，并证明之.（全国x y高中数学联赛）三、极端原理在数学解题中的作用1．为解决一般问题提供有价值的结论矛盾的普遍性存在于特殊性之中，在极端情形下所获得的结论中，蕴涵着问题的一般结论.因此，可利用在极端情形下的结论来推测一般问题的结论.例4 在四边形ABCD中，(1)如果对角线AC=BD=a（定值），证明内接于这个四边形且各边分别平行于两对角线的四边形周长为定值.（2）如果AC=m，BD=n（m,n为定值且m n≠）,上述结论还成立吗？（福州市竞赛题）2．为解决一般问题提供解题模式解决极端情形时所使用的方法和解题过程也可为解决一般问题提供有效的解题模式例5 平面上有n （n 是确定的自然数且4n ≥）个点，任意三点都能组成一个三角形，证明：一定可以找到三点，使这三点为顶点组成的三角形内没有其他的点.3．为证明“存在性”命题奠基证明具有某种性质的对象存在或不存在时，这些对象常与某种极端状态相关，从极端状态出发常可以找出或构造出所需的对象来.例6 在一次有n(3n ≥)名选手参加的乒乓球循环赛中，没有一名选手保持不败，并且也无平局出现，证明在这些选手中，一定可以找出A ，B ，C 三名选手，他们之间将出现“三怕”情况（A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ）.4．为所研究的对象确定范围极端状态是事物发展过程的临界点，它是所研究的事物与其他事物区别的分界点，利用它可以确定所研究对象的范围.例7 在锐角ABC ∆中，1,,60AC AB c A ==∠=，ABC ∆的外接圆半径1R ≤，则11() 2 (B)0<c (C) c>2 (D)c=2 22A c <<≤ 答（ ）（全国竞赛试题）5．为应用化归方法提供推理依据化归方法是解数学问题的重要方法，其实质是化未知为已知.极端状态下所得到的结论可作为已知事项，来推导一般问题的结论.例8在同一平面上有点A 和P.一个人从点P 开始向点A 直线前进，到达A 点后，向左拐90，继续直线前进，取同样长的距离到达一点1P ，这样，就说这个人完成了一次关于A 的左转弯运动.平面上正方形ABCD （顶点按逆时针顺序排列），另一点P 距离D 有10公里.一个人从点P 出发先关于点A 做左转弯运动达一1P ，接着从1P 出发关于点B 做左转弯运动到达2P ，然后依次关于C 、D 、A 、B …连续做左转弯运动，做过11111次左转弯后达到点Q.求点Q 与P 的距离.四、应用极端原理的注意点1．要认真分析各种具体问题的极端状态的具体表现形式.例如，数理关系中的最值、变动图形的极端位置（端点、中点、极限点等）、对象运动的初始状态、终止状态或某特定状态.2．由极端状态下所得到的结论仅为解决一般问题创造条件，不能用它去化替一般问题的解答，并且还须知在极端状态下所获得的结论中，有的具有普遍性，有的不具有普遍性，只有具有普遍性的结论对解决一般问题才有指导意义.3．极端原理仅是分析问题解决问题的一种思维方法，它必须与其他方法配合使用，才能以挥作用.。

思维训练01 兔子数列和极端分析二（通用版）
一、解答题(共5道，每道20分)
1.一只青蛙从宽五米的水池的一边跳到另一边，它每次只能跳0.5米或者1米，这只青蛙跳过水池共有多少种不同的方法？
答案：89
试题难度：三颗星知识点：斐波那契数列
2.蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间；问小蜜蜂由1号房间到达10号房间有多少种方法？
……
答案：55
试题难度：三颗星知识点：斐波那契数列
3.有1000多个苹果，甲说：“如果只有我和乙两个人平均分，正好能分完”，乙说：“如果我和甲还有丙平均分也恰好能分完”，丙说：“如果甲和乙分的苹果数都是我的两倍，也恰好能分完”。

那么最少有多少个苹果？
答案：1020
试题难度：三颗星知识点：极端分析
4.小时在玩跳格子游戏，从A跳到D，但是不能踩C和B，如果小时每次只能跳一步或者两步，那么从A到D有多少种跳法？
答案：24
试题难度：三颗星知识点：斐波那契数列
5.一个两位数，除以它的各位数字之和，余数最大是多少？
答案：15
试题难度：三颗星知识点：极端分析
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谈极端原理在高中数学解题中的应用作者：周康新来源：《文理导航》2012年第23期随着教育改革的深入发展，人们把学习数学知识、渗透数学思想方法的教育，作为数学教育的出发点和落脚点。

目前不少数学教育家将学生对数学思想方法的理解，掌握与应用的水平，作为评价学生数学成绩的重要标志之一。

因此，极端原理作为一种思想方法有着举足轻重的作用。

极端原理是解决具体问题而采用的方式、途径或手段。

它并不是数学学科所独有的，而是从各门学科中研究提炼出来的方法，是许多学科都普遍适用的方法。

自古以来，人们都十分重视对思想方法的理论研究，试图应用正确的思想方法来认识和改造世界。

做人不宜“走极端”，但解数学问题时“走极端”却未必是坏事。

这里的“走极端”是指从极端情形出发，考虑具有极端性质的数学对象，如数量的极大与极小，图形的极限位置、边缘位置，问题的最特殊之处(最有利、最不利等等)，从而发现解决问题的一般性规律。

一、利用图形的极端位置、边缘位置解题所给问题是几何图形，它们都有着明显的几何意义，可以根据已知条件，通过图形的极端位置启发思维，找到简捷的思路。

例1：已知长方形的4个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向运动到BC上的点P1后依次反射到CD、DA和AB上的点是P2、P3和P4(入射角等于反射角)。

设P4的坐标为(x4,0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是()解析：该题考虑边缘位置， P1为BC的中点时，易知P2、P3和P4也应是各边的中点，此时tanθ=，由于P4的横坐标1＜x4＜2在AB边中点的右半部分，该值应是界值，故选C。

二、利用极端情况增加题设条件，降低题目的难度有些数学题目，表面看来条件不足，给解题带来障碍。

如果解题中注意应用极端原理，从挖掘隐含条件出发，将使思维出现转机，达到顺利、简捷、完美解题的目的。

例2： (2006年北京高考题)在三角形ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是____。

第27章极端原理27.1.1** 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？解析本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．评注本题解法的独到之处在于考虑最极端的情况，“桌面最小”．这里的极端原理实际是一种“从特殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时，我们要利用如下的事实：1．有限个数中一定有最大数和最小数；2．无限个正整数中有最小数；3．无限个实数不一定有最大数或最小数．27.1.2** 在一次乒乓球循环赛中，n（n≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A．解析没取胜场数最多的一名选手为A，由于没有一个选手是全胜的，所以在这n名选手中存在一名选手C，C胜A．考虑A击败的选手的全体，其中必有选手B胜C．事实上，若A的手下败将也都负于C，那么C胜的场数比A胜的场数至少要多1，这与A是获胜场数最多的选手矛盾．所以，存在三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A．27.1.3** 平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点．解析997个点中每两点都有一个距离，因而共有9979962个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设AB是最大的距离．分别以A、B为圆心，12AB为半径作圆，如图所示．点A与除点B之外的995个点的连线的中点在圆A的内部或边界上；点B与除点外的995个点的连线的中点在圆B的内部或边界上，这样我们得到了995+995＝1990个红点．另外，AB的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：32，42，52，…，19922，19932，故红点恰有1991个．27.1.4** 证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．解析如图所示，在凸五边形ABCDE中，一共有5条对角线：AC、AD、BD、BE、CE，所以其中一定有一条是最长的，不妨设AC最长．ABEPD由于ACDE 是凸四边形，设AD 与CE 的交点为P ，则 AC AP PC AD CE <+<+．因为AC 最长，所以，AC 、AD 、CE 这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．27.1.5* 平面上给定3个点。

第九讲最大最小问题
第一部分：趣味数学
在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些
极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值
的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1，枚举比较法。

当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。

第二部分：奥数小练
例题1 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）
思维导航：除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。

根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。

所以，第三名至少得95分。

练习一
1.一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。

2.如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。

已知DE=2CE，BE=3AE。

在AB和CD 取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？
3.一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。

已知得分最少的人得了75分，那么，第三名同学至少得了多少分？。

●祁增年有这样t 个数学游戏，大家一叮能都不陌生。

那就是：州个人轮流往一张普通的吲桌L 放一枚硬币，交替进行。

要求每一枚硬币都必须平放在桌J 二，而且不许耍叠。

谁在桌上放下最后一枚硬币，准就获胜。

现在有一个问题：有没有方法判断哪一方一定能获胜呢，很多同学都知道这个问题的答案是：选择先放的一方必获胜。

那么原因何在呢?足这样的：先放的人甲把第一枚硬币放在圆桌的中心处，占据了这个有利的位最后．下面的事情就简单了。

只要刘方乙，、梦笺罨善裟：：i ：放在和乙对称的位置上．这样就能保证自己在桌上放下最后一枚硬币。

这，露．，毪t ∥钮髓巾∞∞6样的解释虽然没错．呵在理解r 稍有些障碍。

『Ⅱl 啦能让人信服也最简单的解释就是“极端化”思路。

我们知道．一枚硬币绝不会比一张桌子大。

可为了简化问题．我们不妨想象硬币慢慢地大起来．蛙后收端的情况就是“硬币与圆桌一样大”．那么显然先放的那个人必获胜．因为这个人放了以后．另一个人就不好再放了。

这算不算是个聪明而有趣的解法呢?其宾这种“极端化”思路在数学解题中也经常使J {1j 。

因为有些题日的数址兕系复杂而又特非．采月J 一般的解题方法很难舞敛。

而一H 我们从～种“最特殊”的情境束考虑问题或者是考察某些“极端”元素之后，问题的莲丑壳，0【●．，少U 教!I 叶_1熟．登山而上¨¨¨U 、、1j ，l _瞳—■■n ■～¨二尾?i ??卜L礴阴¨疑室“本质，，就能充分地显发现解决问题的途厂广、，iii：差耋?：：径'使问题顺利!；；；iiill藤简单化，有利于我们奠聋浩7r’曩擗帚回国佃髓田g丐零嚣些晕囊《烈L j上+j+】+ 10l l】2+上19=A若A是一个带分数．它的整数部分是多少'分析：这遗题目如果想用通分的方法来求出分母是不可取的．原因是由于它们的公分母太太．计算起来非常繁琐。

而事实上．这道题目只需求A的整数部分．所以并不需要做精确的计算．只要采用“极端分析”的方法来进行粗略计算即可。

借助极限思想巧解选择题
在学习中，很多同学都会遇到选择题，可能会因为时间匆忙导致答案不准确。

而借助极限思维来解决选择题，有助于减少错误，增强正确率。

首先，要想借助极限思维解选择题，首先要理解其本质。

极限思维是指从一种极端的角度思考问题，在各种解决问题的方法中，极限思维是一种最有效的思维方式。

当解题者从一个极端思考时，就可以更加清晰地定位准确答案所在的范围。

其次，如何利用极限思维来解选择题。

比如，当同学在解决选择题时，可以先从极端出发，也就是说，首先考虑最不可能的情况，比如说一道题是这样的：“你有几只猫（A. 0只 B. 1只 C. 2只 D. 3只）”，那么，如果你不确定是哪个选项，可以先从最不可能的A选项开始，如果A不对，再考虑B、C、D等选项，直到找到最佳的答案；另外，除了从最不可能的情况入手，考生也可以先从最可能的情况出发，也就是说，在解决选择题时，先排除可能性最大的选项，来寻找准确答案。

同时，另一种想法是，可以通过对比来找出最佳答案，比如说有一道题是“这块饼有（A. 0.5公斤 B. 1公斤 C. 1.5公斤 D. 2公斤）”，实际上，A、B、C、D四个选项的布局是有规律的，意味着A、B、C、D的值依次增大，那么，同学们可以通过这种对比的方式来定位正确答案。

最后，在解决选择题时，要注意一点就是要保持足够的耐心，即
使每道题都只需花费几秒钟，也不要贪心，及时停下来思考，避免答错，也是很重要的。

总之，通过借助极限思维来解决选择题，可以有效地提高解题正确率，减少答题错误，对于考生来说，都是很有帮助的。

极端思维解化学平衡2007级高二化学第15套资料（极端思维解化学平衡）班级姓名极端思维（极端假设法）是指在解题的过程中把研究对象或过程通过假设成理想的极端值，再与实际情况进行分析比较，得出合理推断的一种思维方式。

可用于迅速解答有关化学平衡的一些题目。

一、判断平衡状态【例1】密闭容器中，反应xA（g）+yB（g）zC（g）达平衡时，A的浓度为0.5mol/L，若保持温度不变，将容器的容积扩大到原来的2倍，达新平衡时A的浓度降为0.3mol/L。

下列判断正确的是（）A．x + y ＜z B．平衡向正方向移动C．B的转化率降低D．C的体积分数下降分析：二、确定物质的浓度【例2】在密闭容器中进行如下反应：X2（g）+Y2（g）2Z（g）。

已知X2、Y2、Z的起始浓度分别为0.1mol/L、0.3mol/L、0.2mol/L，在一定条件下，当反应达到平衡时，各物质的浓度有可能是（）A．Z为0.3mol/L B．Y2为0.35mol/LC．X2为0.2mol/L D．Z为0.4mol/L分析：三、计算反应物的转化率【例3】一定条件下，将10mLH2和1mLN2充入一密闭容器中，适当的条件下使其反应：N2+3H22NH3，并达到平衡，则H2的转化率可能是（）A．25% B．30% C．35% D．75%分析：四、比较两个状态【例4】某温度下，相同体积的甲、乙两个容器中，发生反应2SO2（g）+O2 （g）2SO3（g），甲充入1gSO2和1gO2，乙中充入2gSO2和2gO2，下列叙述中错误的是（）A．平衡后SO2的体积分数：乙＞甲B．化学反应速率：乙＞甲C．平衡后O2的浓度：乙＞甲D．平衡时SO2的转化率：乙＞甲分析：巩固练习：1、在一密闭容器中，用等物质的量的A和B发生如下反应A(g) + 2B(g)2C(g),反应达到平衡时,若混合气体中A和B的物质的量之和与C的物质的量相等,则A的转化（）A．40% B．50% C．60% D．70%2、某温度下，在固定容积的密闭容器中发生可逆反应A（g）+3B（g）2P （g）。