广东省2016届高三3月适应性考试数学理试题(WORD版含答案)概论

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。

2016年适应性考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B =（ ）A ．[3,1]--B ．(,3)[1,0)-∞-- C ．(,3)(1,0]-∞-- D ．(,0)-∞2．若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则=++aii a 17（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ）A ．3(32)n n -B ．32nn+ C ．3n D ．132n -⋅4． 执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ） A ．0.95 B ．0.98 C ．0.99 D ．1.00 5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A2πBπC2πDπ6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．27．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（ ） A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题 D ．p 是假命题且q 是假命题8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．769．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．310．62)21(x x -的展开式中，常数项等于（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．161511．已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y xB ．122=-x yC ．222=-y xD ．222=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)c o s s i n (23x x x y --=；③1+=x e y ；④()l n||00x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，其中“H 函数”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的∈n N *，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则=n a ．16．已知函数)(x f 的定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=．（1）A cos 的值；（2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式：21)())((ˆx x y y x xb i ni i i---=∑=，x b y aˆˆ-=， 其中x 、y 表示样本均值． 19．（本小题满分12分）如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．EF（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P ，2P 和点3P ，4P ，线段21P P ，43P P 的中点分别记为1M ，2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．21．（本小题满分12分）设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间；（2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =上没有经过原点的切线．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为点,A B ．EFG COAB（1）求直线l 的参数方程；（224．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．2016年适应性测试理科数学答案一．选择题（1）B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D （7）D （8）A （9）D （10）D （11）D （12）C二．填空题（13）2∞（-，-） （14）4（15）n（16）2三．解答题 （17）解：（Ⅰ）2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos 2A A ∴=⇒=.（Ⅱ）由1cos sin 2A A =⇒=22sin sin a a A A =⇒==由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.∴11sin 2224==⋅=ABC S bc A △. （18）解：（Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元.（Ⅱ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， 所以ξ的分布列为数学期望为532151150=⨯+⨯+⨯=ξE . （Ⅲ）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，5=2.25+0.25+0.25+2.25x 412=-∑）（x i41()() 1.520.50.80.50.6 1.5 2.27=--=-⨯+⨯+⨯+⨯=∑iii x x y y （-）（-）（-）()()()414217 1.45iii i i x x y y b x x∧==--===-∑∑ˆˆ5 1.42.5 1.5a y bx =-=-⨯=由线性回归方程： 1.4 1.5y x =+. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.（19）解：（Ⅰ）4FB =,cos cos PFA BFA ∠=∠=，PA ==2223912PA PF AF +=+==Q ，PA BF ∴⊥；又因为ABEF ABC ⊥平面平面，AB AC ⊥， AC ABEF ∴⊥平面，而BF ABEF ⊂平面..AC BF ∴⊥PA AC A =又I .BF PAC ∴⊥平面.（Ⅱ）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角.连接MC ，NC.2,3/2,5/2, 2.PN MB AN NC BC PC MC =========135744cos 122MPC +-∠===⋅ 所以异面直线PC 与AB向量法：（Ⅰ）以A 为原点，向量AB ，AC ，AF 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，F.4BF ==，3PF =，3(2P ∴，(2,0,FB =-，(0,2,0)AC =，3(2AP =.0FB AC ⋅=，FB AC ∴⊥.0FB AP ⋅=，FB AP ∴⊥.FB AC ⊥，FB AP ⊥，ACAP A =，FB APC ∴⊥平面.（Ⅱ）(2,0,0)AB =，3(,2,)22PC =--，记AB 与PC 夹角为θ，则3cos =2AB PC AB PCθ⋅-==（20）解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12PP 的方程为(1)y k x =-，0k ≠.联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并整理得22222(2)0k x k x k -++=. (*)(*)关于x 的一元二次方程的判别式22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>. 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12,x x 是方程(*)的两个不等实根，经计算得21222(2)k x x k++=． 设111(,)M M M x y ，则1112122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M k x k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩．所以1||FM ==2||2||FM k ==，因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． 因为1||2||k k +≥，所以124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （Ⅱ）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-． （21）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=.令()0f x '=，得210x mx -+=.（1）当240m ∆=-≤，即02m <≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（2）当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得1x =，2x =120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<， 所以，()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 最多只………8分………12分有一个零点. 又因为1()(2)ln 2f x x x m x =-+，所以，当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点.当2m >时，因为()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且211()2f x =+=+而22222044m m m -+-+-<<，40124m <=<=（2m >）， 1()0f x ∴<，由此知21()()0f x f x <<，又因为当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点.（Ⅲ）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点， 则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mx x+-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）.（*） 记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x-'=-=， 令()0g x '=，解得1x =.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，所以曲线()y f x =没有经过原点的切线.（22）解：（Ⅰ）连接FC ，OF ，,AB AF = OB OF =，∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥.因为BC 是O 的直径，所以CF BF ⊥.//OG CF ∴.AOB FCB ∴∠=∠，90,90DAO AOB FBC FCB ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，.DAO FBC ∴∠=∠（Ⅱ）在Rt OAD △与Rt OBG △中，由（Ⅰ）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，所以，OAD ≅△OBG △，于是OD OG =. AG OA OG OB OD BD ∴=-=-=.在Rt AGE △与Rt BDE △中，由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， 所以，AGE △≅BDE △，因此，AE BE =.（23）解：（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=︒，cos sin αα==设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向距离为t ，则12.2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,由此得2(2)2(1)-=, 即240t -+=.设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ，所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 P A P B ⋅=124t t =.（24）解：（Ⅰ）()|1|553f x x x x =+++≤可得|1|3x +≤，解得42x -≤≤.（Ⅱ）6,()4,x a x a f x x a x a -⎧=⎨+<⎩≥在R 上是单调递增的. 若()f x 适合题设条件，则()f x 的零点x 必须满足1x -≤.于是（1）由160a x x a -⎧⎨-=⎩≤≤，得6a -≤；（2）由140x a x x a <⎧⎪-⎨⎪+=⎩≤，得4a ≥.从而(][),64,∈-∞-+∞a .反之，(][),64,∀∈-∞-+∞a ，易计算此时()5f x x a x =-+满足题设条件.故满足题设条件的a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞。

x侧视图正视图DCBA汕头市六都中学2016-2017学年度第二学期第二学段考试高三理科数学试题锥体的体积公式：13V Sh=,其中S表示底面积，h表示高．一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.函数2()lg(1)f x x=--的定义域是A. (0, 2)B. (1,2)C. (2,)+∞ D. (,1)-∞2.已知复数z=则“3πθ=”是“z是纯虚数”的A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知(2,1,3)a=-，(1,2,1)b=-，若()a a bλ⊥-，则实数λ的值为A. －2B.143- C.145D. 24.已知函数(),0(),0.f x xyg x x>⎧=⎨<是偶函数，()logaf x x=的图象过点(2,1)，则()y g x=对应C D5. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为6.已知函数()sin(0)f x x xωωω=>的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于2π，则为得到函数()y f x=的图象可以把函数siny xω=的图象上所有的点A. 向右平移6π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;B. 向右平移3π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;C. 向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的12倍;D. 向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍.7. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0至9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有．A．180种 B．360种 C．720种 D．960种8. 已知直线:60l x y+-=和圆M：222220x y x y+---=，点A在直线l上，若直线AC与圆M至少有一个公共点Ｃ，且30MAC∠= ，则点A的横坐标的取值范围是A.(0,5)B.[1,5]C.[1,3]D.(0,3]二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9. 已知1{1,,1,2}2α∈-，则使函数y xα=在[0,)+∞上单调递增的所有α值为 .10.已知双曲线22221x ya b-=（a＞0, b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x=的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为.11.已知α为锐角，且4cos(),45πα+=则cosα= .12.记函数2()2f x x x=-+的图象与x轴围成的区域为M,满足0,,2yy xy x≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩的区域为N，若向区域M上随机投一点P，则点P落入区域N的概率为 .13. 某市新年第一个月前10天监测到空气污染指数如下表（主要污染物为可吸入颗粒物）：（第i天监测得到的数据记为ia）在对上述数据的分析中，一部分计算见右图所示的算法流程图(其中a是这10个数据的平均数)，则输出的S值是，S表示的样本的数字特征是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）克)0.040.020.01产品重量（克）频数（490,495]（495,500]（500,505]（505,510]（510,515]481486D EACB14.（几何证明选做题）如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E,连结AE ，已知ED=3, BD=6 ,则线段AE 的长＝ .15.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数，2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数），若1l //2l ，则k = ；若12l l ⊥，则k = .三.解答题：本大题共6小题，满分80分． 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为２，公比为12的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项n a 及n S ；（2）设数列{}n n b a +是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17.(本小题满分12分) 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图１是乙流水线样本的频率分布直方图．表１：（甲流水线样本频数分布表） 图1：（乙流水线样本频率分布直方图） （1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” ．第14题图HGDE FAC附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)18.(本小题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD 中，2BC =， B D⊥CD ，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （1）求证：GH ∥平面CDE ； （2）记CD x =，()V x 表示四棱锥F-ABCD 体积，求()V x 的表达式；（3）当()V x 取得最大值时，求平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角的正弦值．19.(本小题满分1４分)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南 偏西60°的方向以每小时６千米的速度步行了１分钟以后，在点D 处 望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的 最大值为60．（1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； （2）求塔的高AB.20.(本小题满分14分）在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.（1）求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；（2）已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点，E,F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.21.(本小题满分14分）已知函数()||,()f x x x a a R =-∈ （1）若2a =，解关于x 的不等式()f x x <；（2）若对(0,1]x ∀∈都有()(,f x m m R m <∈是常数）,求a 的取值范围．汕头市六都中学2016-2017学年度第二学期第二学段考试高三理科数学答案一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． BCDB CADB 解析： 2.∵(tan z i θ==+，当3πθ=时，z i =是纯虚数，反之当z 是纯虚数时，θ未必为3π，故选C. 3. (2,12,3)a b λλλλ-=--- ，由()a a b λ⊥-得2(2)12930λλλ--+-+-=2λ⇒=，选D.4. 依题意易得2()log f x x =（0x >）因函数的图象关于y 轴对 称，可得2()log ()g x x =-（0x <）,选B.D EACB5. 依题意可知该几何体的直观图如右，其俯视图应选C.6. 依题意知2ω=，故()2sin(2)3f x x π=-2sin 2()6x π=-，故选A. 7. 共有1111153444960A A A A A ⋅⋅⋅⋅=种，选D.8. 如右图，设点A 的坐标为00(,6)x x -，圆心M 到直线AC 的距离为ｄ，则||sin30d AM = ，因直线AC 与M 有交点，所以||sin302d AM =≤2200(1)(5)16x x ⇒-+-≤015x ⇒≤≤，故选B.二．填空题： 9.1,1,22；10.（－4,0），（4,0）、y =；12.34；13. 3.4、样本的方差；14. 15. 4、－１. 解析：10. 依题意得双曲线的焦点坐标为（－４，０），（４，０），由22ce a a==⇒=∴b =x轴，∴双曲线的渐近线方程为y =. 11. cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1027 12. 如图由定积分的几何意可得区域M 的面积，22(2)M S x x dx =-+=⎰1(3-32204)|3x x +=，区域N 的面积12112N S =⨯⨯=,由几何概型的概 率计算公式可得所求的概率34N M S P S ==. 14. ∵,E E EAD EBA ∠=∠∠=∠∴EDA ∆∽EAB ∆AE EDBE AE⇒= 2AE ED BE ⇒=⋅39=⨯AE ⇒=15. 将1l 、2l 的方程化为直角坐标方程得：1:240l kx y k +--=，2:210l x y +-=， 由1l //2l 得24211k k +=≠⇒4k =,由12l l ⊥得220k +=1k ⇒=- 三、解答题：16. 解：（1）∵数列{}n a 是首项12a =，公比12q =的等比数列∴1212()22n nn a --=⋅=， -3分12(1)124(1)1212n n nS -==--.----6分（2）依题意得数列{}n n b a +的公差2(2)22d --==- -7分∴22(1)24n n b a n n +=-+-=-∴2242n n b n -=--------9分 设数列{}n n b a +的前ｎ项和为n P 则(224)(3)2n n n P n n -+-==- ∴221(3)4(1)3422n n n n n T P S n n n n -=-=---=--+.分17. 解：（１）甲流水线样本的频率分布直方图如下：--4分（２）由图１知，乙样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故合格品的频率为360.940=，据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合 格品的概率0.9P =,------------------------------------------------------6分设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则(5,0.9)ξ∴3325(3)(0.9)(0.1)0.0729P C ξ===．即从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率为0.0729．------8分 （3）22⨯列联表如下：-------10分 ∵22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++＝280(120360) 3.11766144040⨯-≈⨯⨯⨯ 2.706> ∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．----------12分H G DEFABC HGDEFABCM18、（1）证法１：∵//EF AD ,//AD BC ∴//EF BC 且EF AD BC == ∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点-------------2分 又∵G 是FD 的中点 ∴//HG CD --3分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ∴GH∥平面CDE ----4分 证法２：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点 -------1分∴在⊿EAB 中，//GH AB --2分 又∵AB∥CD，∴GH∥CD， --3分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ∴GH∥平面CDE ----4分（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA⊥AD， ∴FA ⊥平面ABCD.- ----6分∵B D⊥CD, 2BC =，CD x = ∴FA=2,BD =02x <<）∴ ABCD S CD BD =⋅＝∴12()33ABCD V x S FA =⋅= 02x <<）--8分（3）要使()V x取得最大值，只须02x <<）取得最大值，∵222224(4)()42x x x x +--≤=，当且仅当224,x x =-即x = ()V x 取得最大值---10分解法１：在平面DBC 内过点D 作DM BC ⊥于M ，连结EM ∵BC ED ⊥ ∴BC ⊥平面EMD ∴BC EM ⊥∴EMD ∠是平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角的平面角-------12分∵当()V x取得最大值时，CD =DB =∴112DM BC ==,EM =∴sin ED EMD EM ∠== 即平面ECF 与平面ABCD所成的二面角的正弦值为5.--------------------------14分 解法２：以点D 为坐标原定，DC 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示，则(0,0,0)D,C B E∴DE =,2)EC =-,2)EB =-设平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，平面ECF 的法向量(,,)n a b c =由,,n EC n EB ⊥⊥220c c -=-=令1c =得n =又∵平面ABCD 的法向量为DE∴cos ||||DE n DE n θ⋅===⋅∴sin θ=.-------------------------14分19、解：（１）依题意知在△DBC 中30BCD ∠=,18045135DBC ∠=-=CD=6000×160＝100(ｍ),1801353015D ∠=--=，------3分 由正弦定理得sin sin CD BCDBC D =∠∠∴sin 100sin15sin135CD D BC⋅∠⨯==1001)==（ｍ）-----6分 在Rt△ABE 中，tan ABBEα=∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE CD ⊥----------------8分当BE CD ⊥时，在Rt△BE C 中cos EC BC BCE =⋅∠1)25(3==-(ｍ),--------------------9分 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，则25(3606060006000EC t =⨯=⨯34=（分钟）----------------------------------10分 （２）由（１）知当α取得最大值60°时， BE CD ⊥，在Rt△BE C 中,sin BE BC BCD=⋅∠∴tan 60sin tan 60AB BEBC BCD =⋅=⋅∠⋅＝11)25(32⋅=-（m ） 即所求塔高为25(3m.----------------------------------------- -----14分 20、解：（１）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2my x =+------------------①-----1分直线22A N 的方程为：(2)2ny x =-----------------------------------②----------2分设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得22(4)4mn y x =-- 由3mn = 整理得22143x y +=----------------------------------------5分 ∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上-----------------6分∴轨迹M 的方程为22143x y +=（2x ≠±）-----------------------------------7分 （2）∵点(1,)A t (0t >)在轨迹M 上 ∴21143t +=解得32t =，即点A 的坐标为3(1,)2--------8分设AEk k =，则直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=并整理得 2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=----------------10分设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F , ∵点3(1,)2A 在轨迹M 上，∴2234()122x 34E k k--=+ ------③, 32E E y kx k =+----④-----------11分又0AE AF k k +=得AF k k =-，将③、④式中的k 代换成k -，可得2234()122x 34F k k+-=+，32F F y kx k =-++------------------------12分 ∴直线EF 的斜率()2F E F E EF F E F Ey y k x x kK x x x x --++==-- ∵2228624,4343E F F Ek k x x x x k k -+=-=++ ∴22222862(86)2(43)1432424243EF k k kk k k k k K k k k --⋅+--+++===+即直线EF 的斜率为定值，其值为12---14分21、解：（1）当2a =时，不等式()f x x <即|2|x x x -<显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为： |2|1121x x -<⇒-<-<13x ⇒<<---2分当0x <时，原不等式可化为：|2|121x x ->⇒->或21x -<-3x ⇒>或1x < ∴0x <--4分 综上得：当2a =时，原不等式的解集为{|130}x x x <<<或-5分（2）∵对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，显然0m >即()m x x a m -<-<⇒对(0,1]x ∀∈，m m x a x x-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，m m x a x x x-<<+------------6分 设(),(0,1]m g x x x x =-∈，()m p x x x=+，(0,1]x ∈ 则对(0,1]x ∀∈，m m x a x x x-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈----8分 ∵2'()1,m g x x =+当(0,1]x ∈时'()0g x > ∴函数()g x 在(0,1]上单调递增， ∴max ()1g x m =---9分 又∵2'()1m p x x =-，1≥即1m ≥时，对于(0,1]x ∈，'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数∴min ()(1)1p x p m ==+------11分1<，即01m <<时，当x ∈，'()0p x ≤当x ∈，'()0p x > ∴在(0,1]上，m i n ())p x ==-----------------------------------12分（或当01m <<时，在(0,1]上，()m p x x x =+≥=x =时取等号） 又∵当01m <<时，要max min ()()g x a p x <<即1m a -<<还需满足1m >-解得31m -<<∴当31m -<<时，1m a -<<；---13分 当1m ≥时，11m a m -<<+． -14分。

2015-2016学年度理数三模联考一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1．设复数bi a ii +=+-12),(R b a ∈，则=+b a （ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 2．已知集合P={x |1＜2x ＜2}，Q={}1log |5.0>x x ，则P∩Q=（ ）．A ．（0，21）B ．（21，1）C ．（﹣1，21） D ．（0，1）3．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是（ ）． A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0， 数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 7b 8等于（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如果执行程序框图，且输入n =6，m =4，则输出的p =（ ）．A ．240B ．120C ．720D ．3607．设F 1，F 2为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在C 上， |PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝（ ）． A ．167B ．1625C ．167-D ．1625- 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A.163 B. 203 C. 152 D. 1329．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减是 否 开输1,1==p k )(k m n p p +-=?m k <输出p 结1+=k k10．当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[1，23] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，3] D ．[1，2] 11．已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）．A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 12．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n c 的长度不超过6的概率为（ ）．A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅰ，理1，5分】设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】{|13}A x x =<<，3{|}2B x x =>，3{|3}2A B x x ∴=<<，故选D ．【点评】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易． （2）【2016年全国Ⅰ，理2】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题意知：1x y ==，i =1i 2x y ∴++=，故选B ．【点评】察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易． （3）【2016年全国Ⅰ，理3，5分】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C【解析】解法一：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a a d -∴==-()100101001089098a a d ∴=+-=+=，选C ． 解法二：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得11,1a d =-=，()1001100119998a a d ∴=+-=-+=，故选C ． 【点评】考察等差数列的基本性质、前n 项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易． （4）【2016年全国Ⅰ，理4，5分】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是201402P ==，故选B ．【点评】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易．（5）【2016年全国Ⅰ，理5，5分】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：2234m n m n ++-=，解得21m =，1030n n +>⎧∴⎨->⎩，解得13n -<<，故选A ．【点评】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易． （6）【2016年全国Ⅰ，理6，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=解得2r =，2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ．【点评】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等． （7）【2016年全国Ⅰ，理7，5分】函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】D【解析】解法1（排除法）：2()2xf x x e =-为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ．解法2：2()2xf x x e =-为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时， '0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型，属于必考题，难易程度：中等．这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除．（8）【2016年全国Ⅰ，理8，5分】若101a b c >><<，，则（ ） （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C【解析】解法1（特殊值法）：令14,22a b c ===，，易知C 正确．解法2：当0α>时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递增，故A 选项错误；当1a >时，a 越大对数函数()log a f x x =的图像越靠近x 轴，当01c <<时，log log a b c c >，故D 选项错误；c c ab ba <可化为()c a ab b<，由指数函数知，当1a >时，()x f x a =在(0,)+∞上递增，故B 选项错误；log log b a a c b c <可化为11log log abb ac c <，1111abbb b a <<<，故选C ．【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等． 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除．（9）【2016年全国Ⅰ，理9，5分】执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C【解析】011x y n ===，，时，框图运行如下： 1、012x y n ===，，；2、1232x y n ===，，；3、3632x y n ===，，，故选C ．【点评】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易． （10）【2016年全国Ⅰ，理10，5分】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C的标准线于D 、E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】B【解析】解法1排除法：当4p =时，不妨令抛物线方程为28y x =，当y =1x =，即A 点坐标为(，所以圆的半径为3r =，此时D 点坐标为(-，符合题意，故B 选项正确．解法2：不妨令抛物线方程为22y px =，D 点坐标为2P ⎛- ⎝，则圆的半径为r =，22834p r -=-，即A 点坐标为⎭，所以22=，解得4p =，故选B ． 【点评】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等． （11）【2016年全国Ⅰ，理11，5分】平面a 过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//a 平面11CB D ，a 平面ABCD m =，a 平面11ABA B n =，则m 、n 所成角的正弦值为（ ）（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A【解析】令平面a 与平面11CB D 重合，则11m B D =，1n CD =，故直线m 、n 所成角为60o ，，故选A ． 【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等．（12）【2016年全国Ⅰ，理12，5分】已知函数()()sin 02f x x +πωϕωϕ⎛⎫=>≤ ⎪⎝⎭，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ）（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】解法1（特殊值验证法）令9ω=，则周期29T π=，区间[]44ππ-，刚为94T ，且在53636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，恰好符合题意，故选B ．解法2：由题意知152()24369T πππ≥-=，所以29Tπω=≤，故选B ．【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，理13，5分】设向量(),1m =a ，()1,2=b ，且222+=+a b a b ，则m = ． 【答案】2-【解析】解法一（几何法）由向量加法的几何意义知a b ⊥，故20a b m ⋅=+=，所以2m =-；解法二（代数法）22(1)9114m m ++=+++，解得2m =-．【点评】考察向量运算，必考题型，难易程度：易．（14）【2016年全国Ⅰ，理14，5分】(52x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】10【解析】()555215522r rrrr rr T Cx C x---+==，令532r-=，解得4r =，454525210C -∴=⨯=． 【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等．（15）【2016年全国Ⅰ，理15，5分】设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 ． 【答案】64【解析】由1310a a +=，245a a +=解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==，27321(4)21211()()22n nn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64．【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题，必考题型，难易程度：中等． （16）【2016年全国Ⅰ，理16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )A. B. C. D.2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.C.D.23.已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.5.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )8.若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c9.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .14.(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.D 易知A=(1,3),B=,∴A∩B=.故选D.方法总结集合的运算问题通常是先化简后运算,也可借助数轴或韦恩图解决.2.B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴∴|x+yi|=|1+i|==.故选B.3.C 设{a n}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得a n=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故选C.方法总结已知条件中有具体的a n、S n的值时,通常用基本元素法处理,即在a1、d、n、a n、S n这5个量中知三求二.4.B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为=.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-=.5.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴①或②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.6.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为×πR3,即π=×πR3,解得R=2.故其表面积为×4π×22+3××π×22=17π.选A.7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x2-e x, f '(x)=4x-e x. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当0<x<x0时, f '(x)<0;当x0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e2<0,所以f(2)<1.故选D.8.C 解法一:由a>b>1,0<c<1,知a c>b c,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=x c-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴b c-1>a c-1,又ab>0,∴ab·b c-1>ab·a c-1,即ab c>ba c,B错;易知y=log c x是减函数,∴0>log c b>log c a,∴log b c<log a c,D错;由log b c<log a c<0,得-log b c>-log a c>0,又a>b>1>0,∴-alog b c>-blog a c>0,∴alog b c<blog a c,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.9.C x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;x=,y=2,n=3;x=,y=6,此时x2+y2>36,输出x=,y=6,满足y=4x.故选C.10.B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2),则x1==,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故选B.11.A 如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连结AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角为60°,其正弦值为.选A.疑难突破本题的难点是明确直线m、n的具体位置或它们相对正方体中的棱、对角线的相对位置关系.为此适当扩形是常用策略.向右、向前扩展(补形)两个全等的正方体,则m、n 或其平行线就展现出来了.12.B 依题意,有(m、n∈Z),∴又|φ|≤,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,由f(x)在上单调,得≥-,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin符合题意.当m+n=-1时,φ=-,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin,此时,当x∈时,11x-∈, f(x)不单调,不合题意.故选B.解后反思本题要求ω的最大值,正面入手运算量偏大,不妨对ω取特殊值进行检验.二、填空题13.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.14.答案10解析T r+1=(2x)5-r·()r=25-r·,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.15.答案64解析设{a n}的公比为q,于是a1(1+q2)=10,①a1(q+q3)=5,②联立①②得a1=8,q=,∴a n=24-n,∴a1a2…a n=23+2+1+…+(4-n)==≤26=64.∴a1a2…a n的最大值为64.16.答案216 000解析设生产产品A x件,产品B y件,依题意,得设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为此时E max=216 000.三、解答题17.解析(Ⅰ)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(Ⅱ)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sin C,S△ABC=absin C.18.解析(Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.(2分)又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分)(Ⅱ)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分)又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,).所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).(10分)设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则即所以可取n=(3,0,-).设m是平面ABCD的法向量,则同理可取m=(0,,4).则cos <n,m>==-.故二面角E-BC-A的余弦值为-.(12分)方法总结对于立体几何问题的求解,首先要熟练掌握平行与垂直的判定与性质,尤其是面面垂直的证明,寻找平面的垂线往往是几何证明的关键.19.解析(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)解后反思本题重点考查相互独立事件的概率、简单随机变量的分布列及期望.求解本题的关键在于认真分析题干中的事件,确定事件间的相互关系,根据分析内容,找到解题的突破口.20.解析(Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分) (Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分)解后反思本题重点考查圆锥曲线的几何性质,以及直线与椭圆、圆的位置关系,尤其是对“弦长”问题的考查,更是本题考查的重点.解决此类问题,除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外,对计算能力的要求也非常高.21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e+2a(x-1)=(x-1)(e+2a).(2分)(i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x, f(x)只有一个零点.(3分)(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln ,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,故f(x)存在两个零点.(4分)(iii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(8分)(Ⅱ)不妨设x1<x2.由(Ⅰ)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x 2)=-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x2-(x2-2).(10分)设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g '(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时, g '(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.(12分)22.证明(Ⅰ)设E是AB的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O的半径,所以直线AB与☉O相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.(9分) 同理可证,OO'⊥CD,所以AB∥CD.(10分)23.解析(Ⅰ)消去参数t得到C 1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(3分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(5分)(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分)a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.(9分)所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)=(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.(9分)所以|f(x)|>1的解集为.(10分)。

2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版)绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = A.[]2,3B.(][),23,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][)0,23,+∞【答案】D 【解析】易得(][),23,S =-∞+∞，(][)0,23,ST ∴=+∞，选D【考点】解一元二次不等式、交集(2)若12z i =+，则41izz =- A. 1 B. 1- C. i D. i -【答案】C【解析】易知12z i =-，故14zz -=，41ii zz ∴=-，选C 【考点】共轭复数、复数运算(3)已知向量13,2BA ⎛= ⎝⎭，BC 3，12)，则ABC ∠ A. 30° B. 45° C. 60° D.120° 【答案】A 【解析】法一：332cos 11BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯⋅，30ABC ∴∠= 法二：可以B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60,30,30ABx CBx ABC ∠=∠=∴∠=【考点】向量夹角的坐标运算(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ，B 点表示四月的平xyCAB(6)已知4213332,3,25a b c ===，则A.b a c<< B. a b c<< C.b c a<< D.c a b<<【答案】A 【解析】422123333324,3,255a b c =====，故c a b >>【考点】指数运算、幂函数性质 (7)执行右面的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n = A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B【解析】列表如下 a 4 2 6 -2 4 2 6 -2 4 b 6 4 6 4 6 s 0 6 10 16 20n1 2 3 4【考点】程序框图 (8)在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = A.31010 B. 1010C.1010- D.31010-【答案】C【解析】如图所示，可设1BD AD ==，则2AB =，2DC =，5AC ∴=，DCAB由余弦定理知，25910cos 10225A +-==-⨯【考点】解三角形(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. 18365+B. 54185+ C. 90 D.81【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为2332362393654185⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=+【考点】三视图、多面体的表面积(10)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 A. 4πB.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，1086如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2， 又1322AA =<⨯，所以内接球的半径为32，即V 的最大值为34932R ππ=【考点】内接球半径的求法(11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)xy a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A. 13B.12C.23D. 34【答案】A【解析】易得,2ON OB a MF MF AF a cMF BF a c OE ON AO a -=====+12a a c a c a c a a c --∴=⋅=++ 13c e a ∴== 【考点】椭圆的性质、相似(12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个xyO NBEMPAF【答案】C 【解析】011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101⎧⎧→⎧⎪⎪⎪→⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎪⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪→⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎪→⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎧⎪⎪⎪→⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎪→→⎨⎩⎩⎪⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎪→⎪⎩⎩⎩【考点】数列、树状图第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 (13)设x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为________. 【答案】32【解析】三条直线的交点分别为()()12,1,1,,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入目标函数可得33,,12-，故最小值为10-【考点】线性规划(14)函数sin 3cos y x x=的图像可由函数sin 3cos y x x=的图像至少向右平移______个单位长度得到. 【答案】23π 【解析】sin 32sin ,sin 32sin 33y x x x y x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可前者的图像可由后者向右平移23π个单位长度得到 【考点】三角恒等变换、图像平移(15)已知f (x )为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是______【答案】210x y ++=【解析】法一：11'()33f x x x -=+=+-，()'12f ∴-=，()'12f ∴=-，故切线方程为210x y ++=法二：当0x >时，()()ln 3f x f x x x =-=-，()()1'3,'12f x f x ∴=-∴=-，故切线方程为210x y ++=【考点】奇偶性、导数、切线方程 (16)已知直线l ：330mx y m ++与圆2212xy +=交于,A B 两点，过,A B分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =||CD =__________. 【答案】3【解析】如图所示，作AE BD ⊥于E ，yFEDCBA作OF AB ⊥于F ，23,23,3AB OA OF ==∴=，即23331m m -=+，3m ∴=∴直线l 的倾斜角为30°3233CD AE ∴=== 【考点】直线和圆、弦长公式三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知数列{}na 的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0．(1) 证明{}na 是等比数列，并求其通项公式；(2) 若53132S =，求λ．【答案】(1) ；(2) 【解析】 解：(1) 1,0n n S a λλ=+≠0na ∴≠当2n ≥时，11111nn n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-即()11nn a a λλ--=，0,0,10,n a λλ≠≠∴-≠即1λ≠ 即()1,21nn an a λλ-=≥-，∴{}na 是等比数列，公比1q λλ=-， 当n =1时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-1111n n a λλλ-⎛⎫∴=⋅ ⎪--⎝⎭（2）若53132S=则555111131113211S λλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=⎪-⎝⎭--1λ∴=-【考点】等比数列的证明、由nS 求通项、等比数列的性质(18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32ii y ==∑，7140.17i ii t y ==∑721()0.55ii yy =-∑7参考公式：2211()()()(y y)nii nnii i i tt y y r tt ==--=--∑∑∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt=-【答案】(1)见解析；(2)0.920.10y t =+，1.82亿吨 【解析】 (1) 由题意得123456747t ++++++==，711.3317ii yy ==≈∑ 711777722221111()()0.99280.55()()()()nii i ii i i i i i i i i i tt y y t ynt yr t t y y t t y y ======---===≈⨯----∑∑∑∑∑∑因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y 与t 的关系 (2)121()()2.890.10328()nii i nii tt y y b tt ==--==≈-∑∑1.330.10340.92a y bt =-=-⨯≈所以y 关于t 的线性回归方程为0.920.10y a bt t =+=+ 将9t =代入回归方程可得， 1.82y =预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨【考点】相关性分析、线性回归(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD =AC =3，PA =BC =4，M 为线段AD 上一点，AM =2MD ，N 为PC 的中点. (1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 【答案】(1) 见解析；(2) 8525【解析】(1) 由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接,AT TN ，由N 为PC 中点知//TN BC ，122TN BC ==. ......3分又//AD BC ，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是//MN AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB. ........6分(2) 取BC 中点E ，连接AE ，则易知AE AD ⊥，又PA ⊥面ABCD ，故可以A 为坐标原点，以AE 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP为z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()()50,0,00,0,45,2,0,1,20,2,02A P CN M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、、、、()55,1,2,0,2,4,1,222AN PM PN N ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故平面PMN 的法向量()0,2,1n =485cos ,552AN n ∴<>==∴直线AN 与平面PMN 8525【考点】线面平行证明、线面角的计算 (20)(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1) 见解析；(2) 21y x =-【解析】 (1)法一：由题设1(,0)2F .设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且 22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a bA aB b P a Q b R +---.记过,A B两点的直线为l，则l的方程为2()0x a b y ab -++=. .....3分由于F 在线段AB 上，故10ab +=.记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则 122211a b a b ab k b k aa a a ab ---=====-=+-. 所以FQ AR ∥. ......5分 法二：证明：连接RF ，PF ，由AP =AF ，BQ =BF 及AP ∥BQ ，得∠AFP +∠BFQ =90°， ∴∠PFQ =90°， ∵R 是PQ 的中点， ∴RF =RP =RQ ， ∴△PAR ≌△FAR ，∴∠PAR =∠FAR ，∠PRA =∠FRA ，∵∠BQF +∠BFQ =180°﹣∠QBF =∠PAF =2∠PAR ， ∴∠FQB =∠PAR ， ∴∠PRA =∠PQF ， ∴AR ∥FQ ．(2)设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111,2222ABFPQF a b Sb a FD b a x S ∆∆-=-=--=.由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y .当AB 与x 轴不垂直时，由ABDEk k =可得2(1)1yx a b x =≠+-.而2a by +=，所以21(1)yx x =-≠.当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为21y x =-. ....12分【考点】抛物线、轨迹方程 (21)(本小题满分12分)设函数()()()cos21cos 1f x a x a x =+-+，其中0a >，记()f x 的最大值为A . (1)求()'f x ； (2)求A ； (3)证明：()'2f x A ≤. 【答案】见解析 【解析】(1) ()()'2sin 21sin f x a x a x =---(2) 当1a ≥时，|()||cos 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f = 因此，32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1g t ata t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a-=，(1)32g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值， 极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-．令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >．①当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．②当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a-++==．综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩．(3) 由(1)得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.【考点】导函数讨论单调性、不等式证明请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

★启用前注意保密广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数 学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}22,22A x x B x x =-<<=-<，则A B =（ ）A ．()2,2-B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,4-2．已知复数z 满足1i z z +=+，则z =（ ）A ．12B C ．1D3．已知函数()f x 满足()111f x f x x ⎫⎛+=+⎪-⎝⎭，则()2f =（ ） A ．34-B ．34 C ．32D ．944的正四面体的体积为（ ）A B ．24 C ．32D ．5．设点P 为圆22(3)1x y -+=上的一动点，点Q 为抛物线24y x =上的一动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．1-B ．1C D 26．已知()()2lg 21f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．()(),01,-∞+∞7．设,αβ为锐角，且()cos cos cos ααββ-=，则α与β的大小关系为（ ） A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．不确定8．若0a b >>，且3322a b a b -=-，则11a b+的取值范围是（ ） A ．41,3⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．4,3⎫⎛+∞⎪⎝⎭C ．()1,3D ．()3,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．变量,x y 之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+经过点()10,m ，且相对于点()11,5的残差为0.2，则A ．8m =B ． 2.8b =-C ．36a =D ．残差和为010．已知函数()()2cos cos2f x x x x =-∈R ，则（ ） A ．()f x 的值域是[]3,3- B ．()f x 的最小正周期是2π C ．()f x 关于()πx k k =∈Z 对称D ．()f x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（ ） A ．第三名可能获得10分 B ．第四名可能获得6分C ．第三名可能获得某一项比赛的第一名D ．第四名可能在某一项比赛中拿到3分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数()e ,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩过原点()0,0O 作曲线()y f x =的切线，其切线方程为_____________．13．如图是一个33⨯的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________．14．已知数列{}n a 满足11,3,,3,3n n n nn a a a a a ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩记{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，则50S =_____________；若*12,3a k =∈N ，则31k S +=_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项． （1）证明：cos aA b=； （2）求cos B 的值．16．（15分）如图，四边形ABCD是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA BF AD ===3，点G是线段BF 的中点，点H 是BF 的中点．（1）证明：EG ∥平面DAF ； （2）求点H 到平面DAF 的距离．17．（15分）某学校有,A B 两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了A 餐厅则后一天继续选择A 餐厅的概率为14，前一天选择B 餐厅则后一天选择A 餐厅的概率为p ，如此往复．已知他第1天选择A 餐厅的概率为23，第2天选择A 餐厅的概率为13．（1）求王同学第13~天恰好有两天在A 餐厅用餐的概率； （2）求王同学第()*n n ∈N 天选择A 餐厅用餐的概率n P ．18．（17分）设直线12:,:l y l y ==．点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，点M 为AB 的中点，点O 为坐标原点，且1OA OB ⋅=-． （1）求点M 的轨迹方程Γ；（2）设()00,M x y ，求当0x 取得最小值时直线AB 的方程；（3）设点()P 关于直线AB 的对称点为Q ，证明：直线MQ 过定点．19．（17分）函数()f x 的定义域为R ，若()f x 满足对任意12,x x ∈R ，当12x x M -∈时，都有()()12f x f x M -∈，则称()f x 是M 连续的．（1）请写出一个函数()f x 是{}1连续的，并判断()f x 是否是{}n 连续的()*n ∈N ，说明理由； （2）证明：若()f x 是[]2,3连续的，则()f x 是{}2连续且是{}3连续的；（3）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3112f x ax bx =++（其中,a b ∈Z ），且()f x 是[]2,3连续的，求,a b 的值．广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．e 0x y -= 13．72 14．111199633k k --+（前空2分，后空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由题，得()sin sinBcos cosBsin B A A A -=-，()()()sin sin πsin sinBcos cosBsin C A B B A A A =-+=+=+，因为sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，所以()2sin sin sin 2sinBcos A B A C A =-+=，则sin cos sin AA B=， 在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin A a B b=， 因此cos aA b=． （2）在ABC △中，由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，由（1）知cos a A b=，则2222b c a abc b +-=，即2222b c a ac +-=． 因为b 是a 与c 的等比中项，所以2b ac =，从而222ac c a ac +-=，即220a ac c +-=，从而210a ac c⎫⎛+-= ⎪⎝⎭，解得a c =或0a c =<（舍去）在ABC △中，由余弦定理得()222222222cos 222a c c a a c b a a B ac ac ac c +--+-=====因此1cos 2B =． 16．（1）证明：取AF 的中点为M ，连接MD MG ，．因为点,M G 分别是FA 和FB 的中点，所以MG AO ∥，且12MG AB AO ==． 在圆柱OE 的轴截面四边形ABCD 中，,AO DE AO DE =∥． 所以,MG DE MG DE =∥，因此四边形DEGM 是平行四边形．所以EG DM ∥，又EG ⊄平面,DAF DM ⊂平面DAF ，所以EG ∥平面DAF ．（2）解：由圆的性质可知，连接OG 延长必与圆O 交于点H ，连接,OE EH ，因为,OG AF OG ⊂∥平面,OEH AF ⊂平面DAF ，所以OG ∥面DAF ，又因为已证EG ∥平面DAF ，且EG OG G =，所以平面DAF ∥平面OEH ．从而点H 到平面DAF 的距离即为点E 到平面DAF 的距离．以O 为坐标原点，AB 的中垂线为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则()()()30,0,3,0,,0,,2E A D ⎫⎛⎪ ⎝⎭ 所以()()0,3,3,0,0,3AE AD ==，32AF ⎫⎛=⎪ ⎝⎭设(),,n x y z =为平面DAF 的法向量，则由30,30,2n AD z n AF x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩可取()3,1,0n =-因此点E 到平面DAF 的距离323AE n d n⋅===+，即点H 到平面DAF17．（15分）解：（1）设i A =“王同学第i 天选择A 餐厅”()1,2,3i =．()()()()()()1212212121121,;,;,33334P A P A P A P A P A A P A A p ======．由全概率公式，得()()()()()112121*********P A P A P A A P P A A p A =+=⨯+⨯=，解得12p =．设B =“王同学第13~天恰好有两天在A 餐厅用餐”，则312122313B A A A A A A A A A =++， 因此()()()()312122313213111231534432434212P B P A A A P A A P A A A A =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （2）设n A =“王同学第n 天选择A 餐厅”()*n ∈N ，则()(),1n n n n P P A P P A ==-， 由题与（1）可得()()1111,42n n n n A P A A P A ++==． 由全概率公式，得()()()()()()1111111114242n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A A P P P ++++==+=+-=-+．则1212545n n P P +⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，又因为1240515P -=≠， 所以25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为415，公比为14-的等比数列． 因此12415154n n P -⎫⎛-=⨯- ⎪⎝⎭，即12415154n n P -⎫⎛=+⨯- ⎪⎝⎭．18．解：（1）设()()()1122,,,,,A x y B x y M x y，则1122,y y ==，所以)121212,2,22x x x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪==⎪⎩从而122,2x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 因为1OA OB ⋅=-，所以121212121221x x y y x x x x x x +=-=-=-，即121x x =．1=，化简得2212y x -=． 所以点M 的轨迹方程为2212y x -=． （2）由（1）得220112y x =+≥，则0x 的最小值为1，此时01x =或01x =-， 即()1,0M 或()1,0M -．当()1,0M 时，可得121,1x x ==，从而直线AB 的方程为1x =；当()1,0M -时，同理可得直线AB 的方程为1x =-． （3）设()00,M x y ，由（2）知，当()1,0M 时，直线:1AB x =，得()2Q +，直线:0MQ y =； 当()1,0M -时，直线:1AB x =-，得()2Q -+，直线:0MQ y =． 当()00,M x y 是其他点时，直线AB的斜率存在，且)12012121202AB x x x y y k x x x x y +-====--，则直线AB 的方程为()00002x y y x x y -=-，注意到220012y x -=，化简得00:220AB x x y y --=．设(),Q x y ''，则由00021,0220,22x y x y x y ⨯=-'+⎪⨯--='⨯⎪⎩解得Q ⎫， 又()00,M x y，所以00012MQ y y k-+==)00:MQ yy x x -=-，令x =，得0y =，因此直线MQ 过定点)T．19．解：（1）()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．理由如下： 由121x x -=，有()()12121f x f x x x -=-=， 同理当12x x n -=，有()()1212f x f x x x n -=-=， 所以()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．（2）因为()f x 是[]2,3连续的，由定义可得当1223x x ≤-≤时，有()()1223f x f x ≤-≤， 所以()()()()()()()()6644226f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≥， 同理()()()()()()66336f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-≤，所以()()66f x f x +-=， 所以()()()()()()644222f x f x f x f x f x f x +-+=+-+=+-=，即()f x 是{}2连续的， 同理可得()()33f x f x +-=，即()f x 是{}3连续的．（3）由（2）可得()()()()22,33f x f x f x f x +-=+-=，两式相减可得()()321f x f x +-+=即()()()11,f x f x f x +-=是{}1连续的，进一步有()()f x n f x n +-=．当1201x x ≤-≤时，有12223x x ≤+-≤，因为()f x 是[]2,3连续的，所以()()12223f x f x ≤+-≤， 又()()1122f x f x +=+，所以()()12223f x f x ≤+-≤，所以()()1201f x f x ≤-≤，故()f x 是[]0,1连续的．由上述分析可知()111,220,f f f x ⎧⎫⎫⎛⎛-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎝≥'⎭⎭⎨⎪⎩即21,42130,2a b ax b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩ 所以211310,422a ax x ⎡⎤-+≥∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立． 当0a =时，2b =；当0a >时，由23104a ax -+≥，得104a-+≥，即4a ≤．此时4,0;2,1a b a b ====；满足题意． 当0a <时，由23104aax -+≥，得2a ≥-．此时2,3a b =-=，满足题意．综上所述，0,2;4,0;2,1;2,3a b a b a b a b =======-=．。