广东省2019届高三高考适应性考试数学(理)试卷 Word版含解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

广东省2019届高三适应性考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是A. i(1+i) 2B. i 2 (1-i)C. (1+i) 2D. i(1+i)2. 已知等差数列的前项和为，若，则（）A. 36B. 72C. 144D. 2883. 设变量满足不等式组，则的最小值是（）A. B. C. D.4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5. 在△ABC中，，，则的值为（）A. 3B.C.D.6. 已知函数，则A. y = 的图像关于点（1,0）对称________B. 在（0,2）单调递减C. y = 的图像关于直线 x =1对称________D. 在（0,2）单调递增7. 执行右侧的程序框图,当输入的值为4时,输出的的值为2,则空白判断框中的条件可能为A. B. C. D.8. 已知某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的体积为A. B.C. D.9. 直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则C的离心率为A. B. C. D.10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则A. B. 的图象关于对称C. D. 的图象关于对称11. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且 ,则到直线的距离为A. B. C. D.12. 设函数时恒有，则实数 a 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题13. 已知向量，且，则 _______ .14. 文渊阁本四库全书《张丘建算经》卷上（二十三）：今有女子不善织，日减功，迟。

图1正视图 俯视图侧视图221 1 1i n≤是图2输出s结束否 输入n开始1,1i s ==1i i =+ (1)s s i =+-2019年高考真题理科数学（广东卷）及答案（word 精校版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则MN =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2xy =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A ．(2,4)B ．(2,4)-C ．(4,2)-D ．(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35310110则X 的数学期望()E X = A ．32B ．2C ．52D ．35. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A ．4B ．143C ．163D ．66. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 下列命题中正确的是A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率 等于32，则C 的方程是A ．22145xy-= B ．22145xy-= C ．22125xy-=D ．22125xy-=8. 设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =. 令集合{(,,)|,,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}.若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∉S B ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∈S C ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∈S D ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．必做题（9 ~ 13题）图3 DAB CO E图41 7 92 0 1 53 09. 不等式220x x +-<的解集为 .10. 若曲线ln y k x x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k = . 11. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值 为 .12. 在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += .13. 给定区域D ：4440x y x y x+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥. 令点集0000{(,)|,T x y D x y =∈∈Z ，00(,)x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 条不同的直线.选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2c o s 2s in x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，A B 是圆O 的直径，点C 在圆O 上， 延长B C 到D 使B C C D =，过C 作圆O 的切线交A D 于E . 若6A B =，2E D =，则B C = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数()2c o s ()12f x x π=-，x ∈R .（1）求()6f π-的值； （2）若3c o s 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+.17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形A B C 中，90A ∠=，6B C =，D ，E 分别是A C ，A B 上的点，2C D B E ==，O 为B C 的中点. 将△A D E 沿D E 折起，得到如图6所示的四棱椎A B C D E '-，图6A 'ABC ED图5 O∙OCDEB其中3A O '=.（1）证明：A O '⊥平面B C D E ； （2）求二面角A C D B '--的平面角的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n+=---，*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211174na a a +++<.20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，P B ，其中A ，B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线A B 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||A F B F ⋅的最小值.21.（本小题满分14分）设函数2()(1)xf x x e k x =--()k ∈R . （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .图41 7 92 0 1 53 02018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCCABDBB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 必做题（9 ~ 13题）9. (2,1)- 10. 1- 11. 7 12. 20 13.5 选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14.c o s sin 20ρθρθ+-=（填s in ()24πρθ+=或c o s ()24πρθ-=也得满分） 15.23三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()2c o s ()12f x x π=-，x ∈R .（1）求()6f π-的值； （2）若3c o s 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+.16. 解：（1）2()2c o s ()2c o s ()21661242f ππππ-=--=-=⨯=（2）因为3c o s 5θ=，3(,2)2πθπ∈所以24sin 1c o s 5θθ=--=-所以4324s in 22s in c o s 2()5525θθθ==⨯-⨯=-2222347c o s 2c o s s in ()()5525θθθ=-=--=-所以(2)2c o s (2)2c o s (2)c o s 2s in 233124f ππππθθθθθ+=+-=+=-72417()252525=---=17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？图6A 'AB C E D 图5 O ∙OC DEBA 'OCDEBFA ' OCDEBHxyz（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率. 17. 解：（1）样本均值为171920212530226+++++=（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人 （3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A ，所以118421216()33C C P A C ==，即恰有1名优秀工人的概率为163318.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形A B C 中，90A ∠=，6B C =，D ，E 分别是A C ，A B 上的点，2C D B E ==，O 为B C 的中点. 将△A D E 沿D E 折起，得到如图6所示的四棱椎A B C D E '-，其中3A O '=.（1）证明：A O '⊥平面B C D E ； （2）求二面角A C D B '--的平面角的余弦值.18. 解：（1）连结O D ，O E因为在等腰直角三角形A B C 中，45B C ∠=∠=，2C D B E ==，3C O B O ==所以在△C O D 中，222co s 455O D C O C D C O C D =+-⋅=，同理得5O E =因为22A D A D A E A E ''====，3A O '=所以222A O O D A D ''+=，222A O O E A E ''+=所以90A O D A O E ''∠=∠=所以A O O D '⊥，A O O E '⊥，O D O E O = 所以A O '⊥平面B C D E（2）方法一：过点O 作O F C D ⊥的延长线于F ，连接A F ' 因为A O '⊥平面B C D E根据三垂线定理，有A F C D '⊥所以A F O '∠为二面角A C D B '--的平面角 在R t △C O F 中，32c o s 452O F C O ==在R t △A O F '中，22302A F A O O F '=+=所以15c o s 5O F A F O A F'∠=='所以二面角A C D B '--的平面角的余弦值为155方法二： 取D E 中点H ，则O H O B ⊥以O 为坐标原点，O H 、O B 、O A '分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,0,3),(0,3,0),(1,2,0)O A C D '-- (0,0,3)O A '=是平面B C D E 的一个法向量设平面A C D '的法向量为(,,)x y z =n(0,3,3)C A '=，(1,1,0)C D =所以330C A y z CD x y ⎧'⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，令1x =，则1y =-，3z =所以(1,1,3)=-n 是平面A C D '的一个法向量设二面角A C D B '--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以315c o s 535O A O A θ'⋅===⨯'⋅n n所以二面角A C D B '--的平面角的余弦值为15519.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n+=---，*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211174na a a +++<.19. 解：（1）当1n =时，11221221133S a a ==---，解得24a =（2）32112233n n S n a n n n +=---① 当2n ≥时，321122(1)(1)(1)(1)33n n S n a n n n -=------- ②①-②得212(1)n n n a n a n a n n +=----整理得1(1)(1)n n n a n a n n +=+++，即111n n a a n n +=++，111n n a a n n +-=+当1n =时，2121121a a -=-=所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列 所以n a n n=，即2n a n =所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，*n ∈N（3）因为211111(1)1na nn nn n=<=---（2n ≥）所以222212111111*********()()()123423341na a a nn n+++=++++<++-+-++--11171714244nn=++-=-<20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，P B ，其中A ，B 为切点. （1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线A B 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||A F B F ⋅的最小值. 20. 解：（1）焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离2232222c cd --+===，解得1c =所以抛物线C 的方程为24x y =（2）设2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x 由（1）得抛物线C 的方程为214y x =，12y x '=，所以切线P A ，P B 的斜率分别为112x ，212x所以P A :211111()42y x x x x -=- ①P B :222211()42y x x x x -=- ②联立①②可得点P 的坐标为1212(,)24x x x x +，即1202x x x +=，1204x x y =又因为切线P A 的斜率为2011011142y x x x x -=-，整理得201011124y x x x =-直线A B 的斜率221201212114442x x x x x k x x -+===-所以直线A B 的方程为210111()42y x x x x -=-整理得2010*******y x x x x x =-+，即0012y x x y =-因为点00(,)P x y 为直线:20l x y --=上的点，所以0020x y --=，即002y x =- 所以直线A B 的方程为00122y x x x =-+（3）根据抛物线的定义，有21114A F x =+，22114B F x =+所以2222221212121111||||(1)(1)()144164A FB F x x x x x x ⋅=++=+++22212121211[()2]1164x x x x x x =++-+由（2）得1202x x x +=，1204x x y =，002x y =+ 所以2222220000000001||||(48)121(2)214A FB F y x y x y y y y y ⋅=+-+=+-+=++-+22000192252()22y y y =++=++所以当012y =-时，||||A F B F ⋅的最小值为9221.（本小题满分14分）设函数2()(1)xf x x e k x =--()k ∈R . （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .21. 解：（1）当1k =时，2()(1)x f x x e x =--()(1)2(2)xxxf x e x e x x e '=+--=-令()0f x '=，解得10x =，2ln 20x => 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(,0)-∞ 0 (0,ln 2)ln 2(ln 2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x↗ 极大值↘ 极小值↗所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(ln 2,)+∞，单调减区间为(0,ln 2) （2）2()(1)xf x x e k x =--，[0,]x k ∈，1(,1]2k ∈()2(2)xx f x x e k x x e k '=-=-()0f x '=，解得10x =，2ln (2)x k =令()ln (2)k k k ϕ=-，1(,1]2k ∈11()10k k kkϕ-'=-=≤所以()k ϕ在1(,1]2上是增函数所以11()()022k ϕϕ>=>，即0ln (2)k k <<所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(0,ln (2))k ln (2)k (ln (2),)k k()f x ' -0 +()f x↘极小值↗(0)1f =-，3()(1)kf k k e k =--()(0)f k f -=332(1)1(1)(1)(1)(1)(1)k kkk e k k e k k e k kk --+=---=---++2(1)[(1)]kk e kk =--++因为1(,1]2k ∈，所以10k -≤对任意的1(,1]2k ∈，xy e =的图象恒在21y k k =++下方，所以2(1)0k e k k -++≤所以()(0)0f k f -≥，即()(0)f k f ≥所以函数()f x 在[0,]k 上的最大值3()(1)kM f k k e k ==--。

广东省2019届高考适应性考试理科数学试卷一：选择题。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数（为虚数单位）是方程的根，则（）A. B. 13 C. D. 53.曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.4.已知实数，满足约束条件，则的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -15.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.6.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（）A. 2B.C.D. 37.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为A. B. C. D.8.函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.9.平面四边形中，，，且，现将沿对角线翻折成，则在折起至转到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为（）A. 2B.C.D.10.已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是（）A. ，B. ，C. ，D. ，11.某罐头加工厂库存芒果，今年又购进新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

被加工为罐头的新芒果最多为，最少为，则下列坐标图最能准确描述、分别与的关系是（）A. B.C. D.12.若向量，，满足，，且，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.二、填空题。

13.的展开式中的系数为________.14.已知定义在上的奇函数，当时，，则__________.15.已知点，，，在球的表面上，且，，若三棱锥的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为_______.16.如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，.点在弧上，在上，.设，则当平面区域（阴影部份）的面积取到最大值时，_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

10．曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 。

广东省2019届高考适应性考试理科数学试卷本试卷6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1． 已知集合{}{}22|20,|log 2A x x x B x x =-->=≤，则AB =A ．(,1)(0,)-∞-+∞B ．(2,4]C ．(0,2)D ．(1,4]-2． 复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程260z z b -+=（b R ∈）的根，则b =AB ．13 CD ．53． 曲线4()2x f x e x =--在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．310x y -+= D ． 310x y --=4． 已知实数,x y 满足约束条件133x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最小值为A ．6-B ．4-C ．3-D ．1-5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为A ．932 B ．516C ．38D ．7166．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若60NFR ∠=︒，则NR =A ．2BC ．D ．37．直线x y 2=绕原点顺时针旋转45o 得到直线l ，若l 的倾斜角为α，则α2cos 的值为 A ．10108+ B ．10108- C ． 54-D ．54 8．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．9．平面四边形ABCD 中，AD AB ==，CD CB ==且AD AB ⊥，现将△ABD沿对角线BD 翻折成'A BD ∆，则在'A BD ∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为A ． 2B ．12CD ．10．已知函数()2sin()1(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是A ． 51[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B ． 71[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C ． 21[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D ．11[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ 11．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

广东省2019届高考适应性考试数 学（理科）本试卷4页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知集合{}{}22|20,|log 2A x x x B x x =-->=≤，则A B =IA ．(,1)(0,)-∞-+∞UB ．(2,4]C ．(0,2)D ．(1,4]- 2． 复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程260z z b -+=（b R ∈）的根，则b =A 13B ．13C 5D ．53． 曲线4()2x f x e x =--在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．310x y -+=D ． 310x y --=4． 已知实数,x y 满足约束条件133x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最小值为A ．6-B ．4-C ．3-D ．1-5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板 拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分 的概率为A ．932 B ．516 C ．38 D ． 7166．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若60NFR ∠=︒，则NR = A ．2B 3C ．23D ．37．直线x y 2=绕原点顺时针旋转45o 得到直线l ，若l 的倾斜角为α，则α2cos 的值为 A ．10108+ B ．10108- C ． 54-D ．54 8．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．9．平面四边形ABCD 中，2AD AB ==5CD CB ==,且AD AB ⊥，现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ∆，则在'A BD ∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为 A ． 2B ．12C 3D ．310．已知函数()2sin()1(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是 A ． 51[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B ． 71[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C ． 21[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D ． 11[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈11．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

广东省2019届高三全真模拟卷数学理科11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知z 为复数，且满足23i z i =-，则复数z 的模为A B. 5 C.D. 132．已知2{|1},{|}A x x B x x a =≤=<，且满足A B B =，则实数a 的范围是A ．(1,)+∞ B. [1,)+∞ C. (1,1)- D. (,1]-∞ 3. 要得到函数sin 2y x =的图象，可由函数sin(2)3y x π=-的图象按下列哪种变换面得到A .向左平移6π个单位； B. 向左平移3π个单位；C . 向右平移6π个单位；D . 向右平移3π个单位；4．一个几何体的三视图如图1所示，已知这个几何体的体积为h =AB. C. D.5．如图2，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，对角线AC 、DB 相交于点O ，若AD a =，AB b =，则AO =A ．4233a b - B ．1233a b + C. 2133a b - D. 2133a b +6．设[][]0,3,0,4∈∈x y ，则点M 落在不等式组：23000+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y 所表示的平面区域内的概率等于A ．112 B. 316 C. 516 D. 13７. 设1x e <<，则“2(ln )1x x <”是“ln 1x x <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件８．已知最小正周期为2的函数()y f x =，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，则函数5()()|log |g x f x x =-的零点个数为A ． 3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．9．公差不等于0的等差数列{}n a 中，235,,a a a 构成等比数列，742S =，则n a =10. 已知函数()2ln 38,f x x x =+则0(1)(1)limx f x f x→+-＝11.工厂从一批正四棱柱形状的零件中随机抽查了n 件，测得它们底面边长依次是1a 、2a 、…、n a 。

2019届广东省深圳市高级中学高三适应性考试（6月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y =，2{|1}B x log x =≤，则A B ⋂=( ) A ．1{|}3x x ≤≤- B ．{|01}x x <≤ C ．{|32}-≤≤x x D ．{|2}x x ≤【答案】B【解析】根据函数的定义域化简集合A ，利用对数函数的单调性化简集合B ，由交集的定义可得结果. 【详解】由二次根式有意义的条件可得(1)(3)0x x -+≥， 解得31x -≤≤，所以{|A x y =={|31}x x =-≤≤. 由对数函数的性质可得22log log 2x ≤， 解得02x <≤，所以2{|1}B x log x =≤{|02}x x =<≤， 所以A B ⋂={|01}x x <≤. 故选B. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，进而可得结果. 【详解】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．在等比数列{}n a 中,21=a ,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） A ．122n +- B ．3nC ．2nD ．31n -【答案】C【解析】等比数列{}n a 前三项为，又{}1n a +也是等比数列，，∴，∴，选C4．若4cos 5α=-, α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12- B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-， α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin21cos sin 1tancos cos sin 2222221tansin cossincos sin cos sin 222222221cos2αααααααααααααααα+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-22311sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα⎛⎫+- ⎪++⎝⎭====---．【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )ABCD【答案】B【解析】利用3个扇形面积减去2个正三角形面积可得勒洛三角形的面积，利用几何概型概率公式可得结果. 【详解】如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是12222⨯⨯⨯=所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即2323ππ⨯-=- 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是= B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80- B ．40- C ．40 D ．80【答案】D【解析】51(1)(2)a x x x+-中，给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果 【详解】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+= 1a \=551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r r r T C x --+=-， 令521r -=得2r =;令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选D.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图.根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科 【答案】D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.8．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：∵抛物线y2=4x 的焦点F （1，0），准线为l ：x=-1，经过F 且斜率为 3 的直线y=" 3" (x-1)与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A （3，），AK ⊥l ，垂足为K （-1，），∴△AKF 的面积是故选C ．9．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====若12,CP CQ ⋅=则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C【解析】由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,因为12CP CQ ⋅=, 所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A【解析】设()()0000,,,P x y Q x y --,结合(,0),(,0)A a F c ，求出M 坐标，利用MF QF k k =，消去00,x y ，进而可得结果.【详解】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =00022y y x a c x c-∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质以及椭圆的离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 11．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C ． 【考点】函数求解析式及求值12．设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，且两者不相等D ．是一个与平面QRS 无关的常数 【答案】D【解析】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β,记O 到各面的距离为d ,利用S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++化简可得111sin PQ PR PS dβ++=，从而可得结论.【详解】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β, 则111sin sin 332S PQR PQR S h PQ PR S V P αβ-⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.另一方面,记O 到各面的距离为d ,则S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++, 即11113333PQR PQR PRS PQS S d S d S d S d ⋅=⋅+⋅+⋅ 111sin sin sin 323232d d d PQ PR PS PR PQ PS ααα=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅, 故有: sin ()PQ PR PS d PQ PR PR PS PQ PS β⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅,即111sin PQ PR PS dβ++==常数，故选D. 【点睛】本题主要考查正四面体的性质、棱锥的体积公式以及分割法的应用，属于中档题. （1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.二、填空题13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1【解析】由11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+，可得1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，利用“累加法”可得结果. 【详解】 因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=- ...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1. 【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.14．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．【答案】35【解析】由函数()y f x =的图象关于直线x π=对称可得322f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得tan ϕ的值,再根据222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ϕϕϕϕϕϕφ--==++,计算可得结果.【详解】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用、考查了同角三角函数的关系以及二倍角公式的应用，属于中档题. 应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为6的等边三角形，PAB ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则23AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得OP =O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ， 设其中心为O ，由6AB =，得23AO BO CO CF ====， PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，OP ==则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(2448ππ⨯=，故答案为48π. 【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】不妨设12x x < ，则2212x x e ==(1)t t =>，可得()12ln x x t g t +=-=，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果. 【详解】作出()f x 的函数图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212x x e ==(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=-()ln g t t =，则4'()4g t t=， ∴当 18t <<时，()'0g t >，()g t 在()1,8上递增；当8t >时，()'0g t <，()g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，()g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-. 【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题17．工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.【解析】在直角ABC ∆中 ，求得cosACB ACB ∠=∠=，利用两角差的余弦公式可得cos ACD ∠的值，再由余弦定理可得结果. 【详解】 连接AC,在ABC ∆中 AC ==，cosACB ACB ∠=∠=21cos cos322ACD ACB π⎛⎫⎛⎫∠=-∠=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ACD ∆ 中，AD ==【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．【答案】(1)见证明(2)【解析】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，可得BD PC ⊥，再利用线面平行的性质定理证明//BD MN ，从而可得结论；（2）利用（1）可证明PO ⊥平面ABCD ,利用PA 与平面ABCD 所成的角为60︒求出线段间的等量关系，以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出(,0)AD =-，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面AMHN 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ．因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒，所以，12AO PA =，2PO PA =，因为，PA =，所以，6BO PA =. 以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A，(0,3B -，(1,0,0)C -，(0,3D，P，1(,0,22H -，所以，BD =，3(2AH =-，(AD =- 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即03302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =(2,0,23)n =， 记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==. 所以，AD 与平面AMHN 【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、线面垂直证明面面垂直以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．在平面直角坐标系xOy 中，离心率为3的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 2213x y+=(2) [-【解析】（1的椭圆过点M ，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设000(,), G x y x ≠切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，则201220113y k k x -==--，化为22004x y +=，利用直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，即可得结果.【详解】（1）由题意，222,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b =，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得(1)G ±②当过点G 的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,), G x y x ≠ 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=，由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(x y x +=≠， 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，2≤，所以m -≤综上所述，m的取值范围为[-．【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.20．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【答案】(1) 0.11235x y e = (2)见解析【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，从而得2212R R < ，进而可得结果.【详解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii ii x x u u b x x ==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈ 5.46235c a e e =≈≈∴模型②的回归方程为0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人） 【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误. 21．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【答案】(1) 1y =- ；(2) k 的值为0或3 ；(3) {}1,2,3.【解析】（1）由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）先利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在定理可判断()f x 在区间(0,1)、(3,4)上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当1x =时，不等式为(1)10g =>恒成立；当01x <<时，不等式可化为ln 1x x x m x +>-，可得1m x >，当1x >时，不等式可化为ln 1x x x m x +<-，可得2m x <，结合（2），综合三种情况，从而可得结果.【详解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-．（2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e e f =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈；当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-， 令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--， 由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ，此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减．所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >． 当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-， 由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <．综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.22．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．（1）写出曲线的参数方程；（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】分析：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程，进而得到曲线的参数方程.（2）将直线的参数方程化为标准形式代入曲线，得到，进而可求解结论. 详解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为， 整理得，曲线的参数方程（为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数），将参数方程带入得整理得.，，．点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23．已知正实数x，y满足x+y=1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．【答案】(1).(2)见解析.【解析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.【详解】（1）解得，所以不等式的解集为（2）解法1：且，.当且仅当时，等号成立.解法2：且，当且仅当时，等号成立.【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.。

2019年适应性考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B =（ ）A ．[3,1]--B ．(,3][1,0)-∞--C ．(,3)(1,0]-∞--D ．(,0)-∞【答案】B【解析】(,3][1,)A =-∞--+∞，(,0)B =-∞， ∴(,3][1,0)AB =-∞--．2．若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则7i 1ia a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1- 【答案】C【解析】∵z为纯虚数，∴a =∴7i 3i i 1i 3a a +-====-+． 3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ） A ．3(32)nn- B ．32n+ C ．3n D ．132n -⋅【答案】C【解析】1111223(1)23(1)2a S a a a a ⎧==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，1239a a =⎧⎨=⎩，经代入选项检验，只有C 符合．4．执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ）A ．0.95B ．0.98C ．0.99D ．1.00 【答案】C 【解析】111112233499100x =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111199(1)()()()2233499100100=-+-+-+⋅⋅⋅+-=．5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A2πBπC2πDπ【答案】B 【解析】()sincos 2cossin 2cos 266f x x x x ππ=-+31cos 222sin 2)22x x x x ==-)6x π=+，故选B ．6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】D【解析】11=2(2+1)2232V ⨯⨯⨯⨯=正四棱锥．7．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题， 那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题【答案】D8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 【答案】A【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率27317P C ==． 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵(2)⊥-a a b ，∴(2)0⋅-=a a b ， ∴21122⋅==a b a ，∴||+==a b==10．62)21(xx -的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．1615【答案】D【解析】2612316611()()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1230r -=，解得4r =．∴常数项为446115()216C -=． 11．（2019广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y xB ．122=-x y C ．222=-y x D ．222=-x y【答案】D【解析】∵椭圆的端点为(0,，离心率为2，依题意双曲线的实半轴a =2c =，b =，故选D ．12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)cos sin (23x x x y --=；③1+=xe y ；④⎩⎨⎧=≠=000||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】∵1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>， ∴1212()[()()]0x x f x f x -->，∴)(x f 在R 上单调递增．①231y x '=-+， (x ∈-∞，0y '<，不符合条件；②32(cos +sin )=3)04y x x x π'=--+>，符合条件；③0xy e '=>，符合条件；④()f x 在(,0)-∞单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H 函数”是②③．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】(,2)-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C , ∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴64264a a a +<⎧⎨+<⎩，解得2a <-．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．【答案】4【解析】223()162p p+=，∴4p =． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2n a 成等差数列，则=n a ． 【答案】n【解析】∵n a ，n S ，2n a 成等差数列，∴22n n n S a a =+ 当1n =时，2111122a S a a ==+ 又10a > ∴11a =当2n ≥时，2211122()n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，∴2211()()0n n n n a a a a ----+=，∴111()()()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， 又10n n a a -+>，∴11n n a a --=， ∴{}n a 是等差数列，其公差为1，∵11a =，∴*(N )n a n n =∈．16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．【答案】2【解析】直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴， ∴(2)()f x f x -=，(4)()f x f x -=，∴(2)(4)f x f x -=-，∴)(x f y =的周期2T =． ∴(4)(10)(0)(0)2f f f f +=+=．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 【解析】（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，∴2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+， ∴2sin cos sin()A A B C ⋅=+，∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=， ∴2sin cos sin A A A ⋅=．∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴2cos 1A =，∴1cos 2A =．（2）由1cos 2A =，得sin A =，由2sin aA=，得2sin a A ==． ∵2222cos a b c bc A =+-， ∴222431bc b c a =+-=-=，∴11sin 2224ABC S bc A ∆==⋅=．（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，x b y aˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值． 【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2．152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为∴()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，21()2.250.250.25 2.255nii x x =-=+++=∑，41()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，121()()7 1.45()niii nii x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ5 1.4 2.5 1.5ay b x =-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元．如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．【解析】（1）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，(0,0,F ．∵4BF ==，3PF =，∴3(,0,22P，(2,0,FB =-， (0,2,0)AC =，3(2AP =．∵0FB AC ⋅=，∴FB AC ⊥． ∵0FB AP ⋅=，∴FB AP ⊥． ∵FB AC ⊥，FB AP ⊥，AC AP A =，∴FB ⊥平面APC ．（2）∵(2,0,0)AB =，3(,2,22PC =--， 记AB 与PC 夹角为θ，则3cos =2AB PC AB PCθ⋅-==PCABE F【方法2】（1）4FB =,cos cos PFA BFA ∠=∠=，PA==∵2223912PA PF AF +=+==， ∴PA BF ⊥．∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF 平面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面ABEF ．∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC BF ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BF ⊥平面PAC ．（2）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．PN MB ==，32AN =，52NC ==，BC =PC =MC ==135744cos 11422MPC +-∠===-⋅． ∴异面直线PC 与AB．已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程． 【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12P P 的方程为(1)y k x =-，0k ≠． 联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得22222(2)0k x k x k -++=．（*）22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>．设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则21222(2)k x x k ++=． 设111(,)M M M x y ，则1112122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M kx k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩．∴1||FM ==2||2|FM k ==， 因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． ∵1||2||k k ≥+，∴124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （2）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-．设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=．令()0f x '=，得210x mx -+=．当240m ≤∆=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增．当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得12m x -=，22m x +=，且120x x <<，在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．又∵1()(2)ln 2f x x x m x =-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <； 当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且211(()()ln 2222m m m m f x -=+-=22204m m -+-<<，40124m <=<=（∵2m >），∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<，又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mxx +-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）．（*）记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x -'=-=，令()0g x '=，解得1x =．当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥．由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠；（2）证明：AE BE =．【解析】（1）连接FC ，OF ，∵AB AF =，OB OF =，∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥．∵BC 是O 的直径，∴CF BF ⊥．∴//OG CF ．∴AOB FCB ∠=∠，∴90,90DAO AOB FBC FCB ∠=︒-∠∠=︒-∠，∴DAO FBC ∠=∠．（2）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中，由（1）知DAO GBO ∠=∠，又OA OB =，∴OAD ∆≅OBG ∆，于是OD OG =．∴AG OA OG OB OD BD =-=-=．在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中，由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =，∴AGE ∆≅BDE ∆，∴AE BE =．E F G CO A B B D A O CG F E23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ． （1（2 【解析】（1）∵直线过点(1,2)P -，且倾斜角为45． ∴直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 即直线l 的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（2）∵2sin 2cos ρθθ=，∴2(sin )2cos ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =，∵122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴2(2)2(1)22t -+=+，∴240t -+=，∴124t t =24．（本小题满分10分）选修4-5设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集；（2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+，∴5315x x x ≤+++，∴13x +≤，∴24x -≤≤．∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-．（2）若1x ≥-时，有()0f x ≥，∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-，∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥．∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞．。

广东省2019届高三数学适应性考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则A B =I （ ） A. ()(),10,-∞-+∞U B. (]2,4 C. ()0,2D. (]1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0＜x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}＝（2，4]． 故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）B. 13D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解． 详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根， 则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13． 故选：B ．【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知实数x，y满足约束条件133xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=-+的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最小值．【详解】由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由330x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得A（3，0）．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝﹣6，即目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣6．故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确．．．的是（）A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长B. 2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2018年第一季度五省GDP 情况图，知：在A 中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，A 正确； 在B 中，2018年第一季度GDP 增速由髙到低排位第5的是浙江省，故B 正确；在C 中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故C 不正确；在D 中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D 正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.5.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A. 14n n a a b b --=B.14n n a a b b -=C. 14n n a a b b --=-D.14n na ab b -=-【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得等比数列{b n }的通项公式，作比即可得到14n n a a b b -=．【详解】∵等差数列{a n }的公差为2，数列{b n }是公比为﹣2的等比数列，∴11(2)n n b b -=⋅-，∴11111121111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ---------⋅--===-=-=⋅--． 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．6.如图，先画一个正方形ABCD ，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH ，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是（ ）A.14B.16C.18D.116【答案】C 【解析】 【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12．则四边形的面积构成公比为12的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12，四边形的面积构成公比为12的等比数列，∴第n个正方形的面积为112n-⎛⎫⎪⎝⎭，即第四个正方形的面积31128⎛⎫=⎪⎝⎭. ∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝11818=，故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7.在直角坐标系xOy中，抛物线2:4C y x=的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若60NFR∠=︒，则NR=（）A. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF为等边三角形，求出其边长，进而在Rt△FMR分析可得答案．【详解】根据题意，如图所示：连接MF，QF，抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为（1，0），准线x＝﹣1，则FH＝2，PF＝PQ，又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MN∥QF，又PQ＝PF，∠NRF＝60°，且∠NRF＝∠QFH＝∠FQP＝60°，则△PQF为边长为4等边三角形，MF＝在Rt△FMR中，FR＝2，MF＝则NR12=MR ＝2， 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF 为等边三角形，属于综合题．8.已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则（ ）A. 0OM BC •=u u u u r u u u rB. 0OM AB •=u u u u r u u u rC. //OM BC u u u u r u u u rD. //OM AB u u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 【详解】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+u u u u r u u u r u u u r，230OA OB OC u u u r u u u r u u u r r ++=，可得OA OC ++u u u r u u u r 2（OB OC +u u u r u u u r ）23OA OB OA +=-+u u u r u u u r u u u r 40OM =u u u u r r，即2（OA OB u u u r u u u r -）+120OM =u u u u r r，可得AB =u u u r6OM u u u u r ，即OM u u u u r ∥AB u u u r，【点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．9.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101x x e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01xx e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（ ）A. 8B. 4C. 285【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，求出M 的轨迹，得出M 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【详解】解：以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4），设M （a ，0，b ），则1D M =u u u u u r （a ，﹣4，b ﹣4），CP =u u u r （﹣4，﹣4，2）， ∵D 1M ⊥CP ，∴1D M CP ⋅=-u u u u u r u u u r4a +16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4．取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ 4525==． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴S △BCM 的最小值为S △QBC 1458542=⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.11.已知函数()()()2sin 10,f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是（ ）A. 513,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B. 713,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C. 212,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 112,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据直线6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，得出(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，由此求出,,k n ω的关系式，进而得到ω的最小值与对应ϕ的值，进而得到函数()f x 的解析式，从而可求出它的单调增区间． 【详解】∵函数()f x 的一个零点是3x π=，∴2sin 103ωπϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭， ∴1sin 32ωπϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴236k ωππϕπ+=+，或()5236k k Z ωππϕπ+=+∈．① 又直线6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，∴(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，②由①②得()()222,?,3k n k n Z ω=-±∈， ∵0,,k n Z ω>∈， ∴min 23ω=； 此时252,296k n k ππϕπ+=+=， ∴()11218k k Z πϕπ=+∈，∵ϕπ<， ∴1118πϕ=， ∴()2112sin 1318f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 由()2112223182k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得()53336k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈．∴()f x 的单调增区间是513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦．故选A ．【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．12.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，(,0),(,0)(0)A t B t t ->，斜率为13的直线过A 点且与双曲线交于,M N 两点，若2OD OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，0BD MN ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线的离心率为（ ）A. 5B. 5C.10D.10【答案】A【解析】【分析】联立方程组消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式得出D点坐标，根据BDk＝﹣3列方程得出a，b的关系，从而可得出双曲线的离心率．【详解】直线MN的方程为y13=（x+t），联立方程组()2222131y x tx ya b⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消元可得：（9b2﹣a2）x2﹣2a2tx﹣a2t2﹣9a2b2＝0，设M（11,x y），N（22,x y），则由根与系数的关系可得：12x x+22229a tb a=-，∵2OD OM ON=+u u u r u u u u r u u u r，∴D为MN的中点，∴D（2229a tb a-，()222339a t tb a+-），∵0BD MN⋅=u u u r u u u u r，∴BD⊥MN，∴k BD＝﹣3，即()22222233939a t tb aa ttb a+-=---，化简可得222495ab a=-，即b2a=，∴e225c a ba+===．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．二、填空题。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科） 试卷类型：A参考公式：台体的体积公式V=31 h (S 1 +21s s +S 2),其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N=（ ）A.{0}B.{0，2}C.{-2,0}D.{-2,0,2} 2、定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是（ ）A. 4B.3C.2D.13、若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A.（2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4、已知离散型随机变量X 的分布列为（ ）则X 的数学期望E （X ）=（ ） A.23B. 2C. 25D 、3 4题 5题5、某四棱太的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．314C ．316 D ．6 6、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的 是（ ）A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于，则C 的方程 是（ ）A ．15422=-y xB ．15422=-y xC ．15222=-y x D ．15222=-y x 8、设整数n ≥4，集合X=｛1，2，3…，n ｝，令集合S=｛（x,y,z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x<y<z,y<z<x ，z<x<y 恰有一个成立｝，若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ） 都在s 中，则下列选项正确的是（ ）A.（y ，z ，w ）∈s ，（x ，y ，w ）∉SB.（y ，z ，w ）∈s ，（x ，y ，w ）∈SC.（y ，z ，w ）∉s ，（x ，y ，w ）∈SD. （y ，z ，w ）∉s ，（x ，y ，w ）∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

绝密★启用前 广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =≤，则A B = A ．1{|}3x x ≤≤- B ．{}01x x <≤ C ．{|32}-≤≤x x D ．{|2}x x ≤ 2．已知31i z i -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1- C ．1 D ．2 3．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） A ．2n B ．3n C ．122n +- D ．31n - 4．若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan 21tan 2αα+=-（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．-2 5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… A ．2π332(π3)-- B ．32(π3)- C ．32(π3)+ D ．2π332(π3)-+6．已知51(1)(2)a x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．80-B ．40-C ．40D ．807．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不．正确的是( )A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科8．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 3x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．33C ．43D ．89．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56π B ．34π C ．23π D ．2π 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83 D ．32或83 11．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) A ．1- B ．1 C ．2 D ．4 12．设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．既有最大值又有最小值，且两者不相等 D ．是一个与平面QRS 无关的常数 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______．14．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 15．在三棱锥中，平面平面，ABC △是边长为6的等边三角○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 16．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______． 评卷人 得分 三、解答题 17．工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．19．在平面直角坐标系xOy 6的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点6M ．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围． 20．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：第x 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y （万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx y ae =的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）． 回归方程 ①50.8169.7y x =+ ②bx y ae = 1021()i i i y y =-∑ 30407 14607 参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()n i i i n i i w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑． ②刻画回归效果的相关指数22121()1()n i i i n i i y y R y y ==-=--∑∑ ． ③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．21．已知函数()ln 2f x x x=--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值；（3）若不等式()(1)()x m x f x x -->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l 的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(2P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB +的值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭参考答案1．B【解析】【分析】根据函数的定义域化简集合A ，利用对数函数的单调性化简集合B ，由交集的定义可得结果.【详解】由二次根式有意义的条件可得(1)(3)0x x -+≥，解得31x -≤≤，所以{|A x y =={|31}x x =-≤≤.由对数函数的性质可得22log log 2x ≤，解得02x <≤，所以2{|1}B x log x =≤{|02}x x =<≤，所以AB ={|01}x x <≤. 故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2．B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，进而可得结果.【详解】 因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i z i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．A【解析】【分析】利用等比数列{}1n a +的前三项成等比数列，求得1q =，再求数列{}n a 的前n 项和n S .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{}1n a +也是等比数列，所以22213(1)(1)(1)210a a a q q +=++⇒-+=，解得：1q =，所以12n S na n ==.选A.【点睛】本题考查等比数列的性质、前n 项和n S ，考查基本量法求解问题.4．A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-，α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin211tancoscossin (cos sin )2222221tan sincos sin (cos sin )(cos sin )222222221cos 2αααααααααααααααα++++===---+- 2231()1sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα+-++====---． 考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．5．B【解析】【分析】 利用3个扇形面积减去2个正三角形面积可得勒洛三角形的面积，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=， ABC ∆的面积是132232⨯⨯= 所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即23232233ππ⨯-=- 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是332232(3)ππ=--，故选B. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．D【解析】【分析】51(1)(2)a x x x+-中，给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果 【详解】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +， 12a ∴+=1a551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r r r T C x --+=-， 令521r -=得2r ;令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选D.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7．D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.8．C【解析】【详解】解：∵抛物线24y x =的焦点F （1，0），准线为l ：x=-1，经过F 且斜率为3的直线y=3 (x-1)与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A （3，23）， AK ⊥l ，垂足为K （-1，23），∴△AKF 的面积是43故选C ．9．C【解析】【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】 如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--， 12CQ CD DQ AB AD =+=--, 因为12CP CQ ⋅=,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅ 222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠=所以233ADCπππ∠=-=，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.10．A【解析】【分析】设()()0000,,,P x y Q x y--,结合(,0),(,0)A a F c，求出M坐标，利用MF QFk k=，消去00,x y，进而可得结果.【详解】如图设()()0000,,,P x y Q x y--,又(,0),(,0)A a F c，00,22x a yM+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M三点共线,MF QFk k=22yyx ac x c-∴=++-,即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质以及椭圆的离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 11．C【解析】【详解】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ．考点：函数求解析式及求值12．D【解析】【分析】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β,记O 到各面的距离为d ,利用S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++化简可得111sin PQ PR PS dβ++=，从而可得结论.【详解】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β,则111sin sin 332S PQR PQR S h PQ PR S V P αβ-⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭. 另一方面,记O 到各面的距离为d ,则S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++, 即11111sin sin 32333PQR PRS PQS PQ PR PS S d S d S d αβ⎛⎫⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭111sin sin sin 323232d d d PQ PR PS PR PQ PS ααα=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅, 故有: sin ()PQ PR PS d PQ PR PR PS PQ PS β⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅,即111sin PQ PR PS dβ++==常数，故选D. 【点睛】本题主要考查正四面体的性质、棱锥的体积公式以及分割法的应用，属于中档题. （1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.13．1【解析】【分析】由11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+，可得1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，利用“累加法”可得结果.【详解】因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+ 所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++， 2111,2a a -=- 3211,23a a -=- ...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-， 所以，20191a =，故答案为1.【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.14．35【解析】【分析】由函数()y f x =的图象关于直线x π=对称可得322f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得tan ϕ的值,再根据222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ϕϕϕϕϕϕφ--==++,计算可得结果. 【详解】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用、考查了同角三角函数的关系以及二倍角公式的应用，属于中档题. 应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 15．48π【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则2233AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，由6AB =，得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为()242348ππ⨯=，故答案为48π.【点睛】 本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16．3ln 22-【解析】【分析】不妨设12x x < ，则2212x x e a ==，令(1)a t t =>，可得()12ln 2t x x t g t +=-=，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果.【详解】作出()f x 的函数图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得(),1f x a a =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212x x e a ==(1)a t t =>，则12,ln 2t x x t ==， 12ln 2t x x t ∴+=-()ln 2t g t t =，则42'()t g t -=，∴当 18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-.【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.17【解析】【分析】在直角ABC ∆中 ，求得cosACB ACB ∠=∠=，利用两角差的余弦公式可得cos ACD ∠的值，再由余弦定理可得结果.【详解】连接AC,在ABC ∆中 AC ==，cosACB ACB ∠=∠=21cos cos322ACD ACB π⎛⎫⎛⎫∠=-∠=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ACD ∆ 中，AD == 【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18．(1)见证明(2) 34【解析】 【分析】（1）连结AC 、BD 且ACBD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，可得BD PC ⊥，再利用线面平行的性质定理证明//BD MN ，从而可得结论；（2）利用（1）可证明PO ⊥平面ABCD ,利用PA 与平面ABCD 所成的角为60︒求出线段间的等量关系，以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出3(1,,0)3AD =-，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面AMHN 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ．因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥，因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒， 所以，12AO PA =，32PO PA =，因为，3PA =，所以，36BO PA =. 以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系 记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，3(0,3B -，(1,0,0)C -，3(0,,0)3D ，3)P ，13(,0,22H -，所以， 23(0,,0)3BD =，33(,0,22AH =-，3(1,3AD =- 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2333302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，23z =(2,0,23)n =，记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==.所以，AD 与平面AMHN 所成角的正弦值为4. 【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、线面垂直证明面面垂直以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．(1) 2213x y +=(2)[-【解析】 【分析】（1）根据离心率为3的椭圆过点M ，结合性质222ab c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设000(,), G x y x ≠切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，则201220113y k k x -==--，化为22004x y +=，利用直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，即可得结果.【详解】（1）由题意，222,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b ，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得(1)G ±②当过点G 的椭圆C 的切线的斜率均存在时，设000(,), G x y x ≠切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=， 由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(x y x +=≠， 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上，所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，2≤，所以m -≤综上所述，m的取值范围为[-． 【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 20．(1) 0.11235x y e = (2)见解析 【解析】 【分析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，从而得2212R R < ，进而可得结果.【详解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈ 5.46235c a e e =≈≈∴模型②的回归方程为0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人） 【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.21．(1) 1y =- ；(2) k 的值为0或3 ；(3) {}1,2,3.【解析】 【分析】（1）由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）先利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在定理可判断()f x 在区间(0,1)、(3,4)上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当1x =时，不等式为(1)10g =>恒成立；当01x <<时，不等式可化为ln 1x x xm x +>-，可得1m x >，当1x >时，不等式可化为ln 1x x xm x +<-，可得2m x <，结合（2），综合三种情况，从而可得结果. 【详解】 （1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-． （2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e e f =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈； 当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-，令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--， 由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ， 此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >．当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-，由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <． 综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3． 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.22．（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12 【解析】分析：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32，则曲线2C 的直角坐标方程，进而得到曲线的参数方程.（2）将直线l 的参数方程化为标准形式代入曲线2C ，得到1212,t t t t ''+''，进而可求解结论. 详解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为22243x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得22149x y +=，曲线2C 的参数方程2,3x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），将参数方程带入22149x y +=得223133222149t ⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪'⎭+'⎝⎭⎝= 整理得()27183604t t +''+=.12727PA PB t t +=+=''，121447PA PB t t ''==， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===．点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23．(1)1[,1)6.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明. 【详解】 （1）1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩01011112121222x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解法1：1,x y +=且0,0x y >>，()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225x y y x =++ 59≥=. 当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2：1,x y +=且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y xx y ++=⋅ 1x y xyxy+++=21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当12x y ==时，等号成立. 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。