数学广东省2021届新高考适应性测试卷【含答案】

2020-2021学年度高考三模适应性训练二（新课标1）一、单选题1．下列有关物质制备的说法正确的是A ．电解饱和食盐水可以得到金属钠、氢气和氯气B ．工业上将氯气通入澄清石灰水中制取漂白粉C ．用焦炭在高温下还原二氧化硅可得到粗硅D ．高炉炼铁中利用焦炭直接将铁矿石还原为铁单质2．NH 4Al(SO 4)2在分析试剂、医药、电子工业中用途广泛。

下列有关说法不正确的是 A ．NH 4Al(SO 4)2属于强电解质，向其溶液中加入NaOH 溶液不能马上看到沉淀 B ．NH 4Al(SO 4)2溶液中NH 4+水解产生的NH 3•H 2O 抑制Al 3+水解C ．0.1mol•L -1NH 4Al(SO 4)2中离子浓度大小为c(SO 24-)>c(NH 4+)>c(Al 3+)>c(H +)>c(OH -)D ．常温下，0.1mol•L -1NH 4Al(SO 4)2中滴加氨水至中性时，c(NH 4+)=2c(SO 24-) 3．A 、B 两种元素为某周期第ⅡA 族和第ⅢA 族元素，若A 元素的原子序数为x ，则B 元素的原子序数可能为（ ）①x ＋1 ②x ＋8 ③x ＋11 ④x ＋18 ⑤x ＋25 ⑥x ＋32A ．①③B ．②④C ．①③⑤D ．②④⑥4．下列有关实验说法不正确．．．的是（ ） A ．用硫代硫酸钠和稀硫酸反应来研究不同温度对化学反应速率的影响时，通过观察气体放出的快慢来判断化学反应速率的快慢B ．用稀硫酸和锌粒制取H 2时，加几滴CuSO 4溶液以加快反应速率C ．用标准盐酸溶液滴定NaOH 溶液来测定其浓度，读标准液时开始平视结束俯视，致使测定结果偏小D ．做中和热实验时要氢氧化钠稍过量5．“鲁米诺”又名发光氨，是一种化学发光试剂，它在一定条件下被氧化后能发出蓝光，可用于鉴定血液，在刑侦中扮演了重要的角色，如图所示为鲁米诺的一种合成原理，下列叙述正确的是24N H ①−−−→23Na SO ②−−−→A ．一定条件，X 可以和乙醇发生缩聚反应B ．鲁米诺的分子式为8632C H N OC ．①、②两步的反应类型分别为加成反应和取代反应D ．若使用“84消毒液”对环境消毒，可能会干扰用鲁米渃在该环境下鉴定血液6．化学与科学、技术、社会和环境密切相关。

2021届新高考模式八省高三名校新题分项汇编之书面表达--应用文写作【河北省2021届高三上学期10月联考】阅读下面材料，根据其内容和所给段落开头语续写两段，使之构成一篇完整的短文。

It's getting hot. It's time to put on lighter clothes and open up the windows. I can't wait to do so. Yesterday, an unforeseen visit to the kitchen happened during the brief time we were out. Two daring sparrows (麻雀) had risked landing on our territory to enjoy the freshness in our sink and some other breadcrumbs (面包屑) on our kitchen counter.Actually, sparrows are everywhere. The tiny, gray -and brown birds are found on every continent except Antarctica, flying or jumping around cities, picking up leftover food on side-walks, and sometimes chasing with native bird species. These small creatures have adapted to living alongside humans- similar to pet dogs.When you come across such sudden callers, you are likely to sense it as an unwanted visitor into your comfort zone, or you might receive it as a lovely angel of life. I chose the second option, with no hesitation while my husband preferred driving them away. After all, I've never come to stop to feel the relationship with sparrows.I recalled when I was a little girl living in the city, I lived in an apartment with a flat roof viewed from our kitchen window. Every day my mom and I would go out to feed the sparrows. She taught me how to call them with a clicking sound she made with her tongue. I have loved sparrows ever since. So every day in my spare time, I can't stop observing and celebrating their dance from our window. I stuffed them with the leftovers on our tablecloth after every meal. And I have provided them with every kind of bases and stands of our house.Undoubtedly, they feel at ease in our backyard. And that has led them to gather up courage and slide into our kitchen, bedroom or even reading room. Perhaps because they have the feeling that we don' t consider them trouble makers, but friendly neighbors. But I am slightly worried about their droppings (粪便).注意:1.续写词数应为150左右;2.请按如下格式在答题卡的相应位置作答。

专题03 复数1．已知2(1)32i z i -=+，则z = A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【试题来源】2021年全国高考甲卷（文） 【答案】B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解． 【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选B ．1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C ．2D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i ）4= A ．–4 B ．4C ．–4iD ．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z = A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可． 【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以2217()()||255z =+-=，故选C ．方法2：由题可得2222|3i |10||2|12i 3(1|5)12z +-+-====+，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z =A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】 D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i-D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．复数问题每年必考，多以选择题的形式出现，而且是必拿分题，高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：①考查单纯的复数运算求解题；②考查复数的几何意义以及有关概念．熟练掌握复数的加、减、乘、除运算法则是关键：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：12i (i)(i)i (i)(i)z a b a b c d z c d c d c d ++-==++-22()i ac bd bc ad c d ++-+=2222i(i 0)ac bd bc adc d c d c d+-=++≠++． 注意：复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”．虚数单位i 具有周期性，且最小正周期为4，有如下性质： （1）41424344ii,i 1,i i,i 1()n n n n n ++++==-=-=∈N ；（2）41424344ii i )i 0(n n n n n +++++++=∈N ．1．已知复数1i z a =-，22+i z =（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数．则实数a = A ．12-B ．12 C ．2-D ．3【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（一） 【答案】A【分析】结合复数的乘法运算求出12z z ，进而结合纯虚数的概念即可求出结果．【解析】由已()()()()12i 2i 212i z z a a a =-+=++-是纯虚数，所以210a +=且20a -≠，可得12a =-，故选A ．2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()()21i 1i z -=+，则z = A ．1 B ．2 C ．2D ．3【试题来源】湖北省黄石市有色一中2021届高三下学期5月模拟考试 【答案】B【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z ，然后根据复数的模的公式即可得出答案． 【解析】因为()()21i 1i z -=+，所以()()()()21i 1i 1i 1ii 2i 1i 1z ++===-+--+，所以112z =+=．故选B ．3．设i 为虚数单位，若复数()()i 2i x +-的实部与虚部相等，则实数x 的值为 A ．3 B ．13C ．12D ．1【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二） 【答案】B【分析】由复数乘法运算展开()()i 2i x +-，再由实部、虚部相等列方程求x 的值．【解析】由()()()i 2i 212i x x x +-=++-的实部与虚部相等， 所以212x x +=-，解得13x =．故选B4．若复数z 满足()1i 22i z -=-，则z = A ．13 B ．13 C ．5D ．5【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研 【答案】D【分析】根据条件求出复数z ，进而可求得z ． 【解析】由(1)i 22i z -=-得i i 22i z -=-，则2i12i iz -==--，所以()()22125z =-+-=．故选D ．5．i 是虚数单位，复数z 满足：1i iz=-，则z =A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题 【答案】A【分析】先求z ，再求z ． 【解析】1i,1i izz =-∴=+，1z i ∴=-．故选A ． 6．设复数z 满足()12i 5z +=，则z = A ．5 B ．5 C ．3D ．1【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文） 【答案】B【分析】由()12i 5z +=用复数的除法求出z ，再求z ． 【解析】由()12i 5z +=，得()()()()512i 512i 12i 12i 12i 5z --===-+-，所以12z i =+，5z B ．7．25i3i+-的虚部为 A ．110B ．1310C ．1710D ．1310-【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研 【答案】C【分析】利用复数的除法化简25i3i+-，即可知虚部． 【解析】25i (25i)(3i)117i 3i (3i)(3i)10++++==--+，故虚部为1710．故选C 8．已知i 是虚数单位，若复数z 满足2i 1iz=+，则z =． A ．2 B ．2 C ．22D ．4【试题来源】广东省江门市蓬江区培英高中2021届高三5月份数学冲刺试题 【答案】C【分析】先求出z ，然后根据复数的模求解即可 【解析】2i 1iz=+， ()2i 1i 22i z =+=-+，则4422z =+=，故选C 9．若复数1i z =-，则2|2|z z -= A ．0 B ．2 C ．4D ．6【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模 【答案】B【分析】根据复数的乘方运算以及减法运算求出22z z -，然后利用模长公式即可求出结果． 【解析】由题意可得()221i 2i z =-=-，则()()2221i 21i 2i 22i 2z z -=---=--+=-，所以2222z z -=-=．故选B ．10．设z C ∈，则“0z z +=”是“z 是纯虛数”的A ．充分但非必覂条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】B【分析】先证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；再证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件．即得解．【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-， 若0z z +=，则0,a z =不一定是纯虛数， 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；若z 是纯虛数，则()i 0,i z b b z b =≠=-，一定有0z z +=成立． 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件；所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要非充分条件．故选B11．已知i 是虛数单位，z 为复数，2+1i=z (3+i)，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】D【分析】先求出复数，即得解． 【解析】2i 11i 3i 22z -==-+，复平面内z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ． 12．若复数i1iz -=+，则z = A ．14B ．12 C ．22D ．2【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一） 【答案】C【分析】利用复数的除法运算求出i 12z --=，结合复数的几何意义求出复数的模即可． 【解析】因为i(1i)i 1(1i)(1i)2z ----==+-，所以2||z =C13．若()1i 2i z +=，则z = A ．1i - B ．1i -- C ．1i +D ．1i -+【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文） 【答案】A【分析】先求出1i z =+，再由共轭复数的概念即可求解 【解析】()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-， 所以1i z =-，故选A ． 14．若复数z 满足1i31iz z -+=+，则||z = A ．116B ．18C ．14D ．12【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考 【答案】D【分析】令i z x y =+(,)x y R ∈，由题设易得42i i x y -=-求x 、y ，进而可求||z ． 【解析】若i z x y =+(,)x y R ∈，则1i342i i 1iz z x y -+=-==-+， 所以0x =，12y =，即i 2z =， 所以1||2z =．故选D 15．i 是虚数单位，复数z 满足i 13i z ⋅=+，则||z = A ．10 B ．10 C ．8D ．22【试题来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测 【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数模的公式求||z ． 【解析】因为i 13i z ⋅=+，所以()13i i13i 3i i i iz ++===-⋅， 所以()22||3110z =+-=．故选B ．16．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点，A ，B ，C 对应的复数分别为12i -+，3i -，12i +(i 为虚数单位)，则点D 对应的复数为 A ．35i -+ B ．1i - C ．13i +D ．3i -+【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理） 【答案】A【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解． 【解析】由题知，()1,2A -，()3,1B -，()1,2C ，设(),D x y ． 则()4,3AB =-，()1,2DC x y =--． 因为ABCD 为平行四边形，所以AB DC =．由14,23x y -=⎧⎨-=-⎩，解得3,5x y =-⎧⎨=⎩， 所以点()3,5D -对应的复数为35i -+．故选A ． 17．复数2i2i-+的共轭复数是 A ．34i 55-- B ．34i 55-+ C ．34i 55-D ．34i 55+【试题来源】四川省绵阳中学2022届高三上学期第一次质量检测 【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数2i2i-+，结合共轭复数的定义可得出结果． 【解析】因为()()()22i 2i 34i 2i 2i 2i 55--==-+-+，因此，复数2i2i -+的共轭复数是34i 55+．故选D ．18．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z = A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i +D ．1i -【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解．【解析】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选B ． 19．已知i 为虚数单位，复数1z 、2z 满足122z z ==，1248i2iz z +-=-，则12z z = A ．4- B ．4i - C ．4iD ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二） 【答案】D【分析】设12i,i z a b z c d =+=+，根据题设有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，进而求12z z 即可． 【解析】()()()()1248i 2i 20i 4i2i 2i 5z z ++-===-+，设12i,i z a b z c d =+=+，则有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，解得2,2,0b d a c ==-==， 所以122i,2i z z ==-，则124z z =，故选D ．20．已知方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，则复数z a bi =+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测 【答案】D【分析】把1i +代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件求得a ，b ，再由复数的几何意义可得选项． 【解析】因为方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，所以()()21110i a b i ++++=， 整理得()2+10a b i b ++=，所以112a b ==-，，所以12z a bi i =+=-，所以复数z a bi =+在复平面上对应的点在第四象限，故选D ． 21．已知复数1121i,1z z z =-⋅=，则复数2z 的虚部为 A ．12 B ．12-C ．1D ．1-【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理） 【答案】B【分析】根据条件可知211z z =，化简复数后求2z 的虚部．【解析】因为1121i,1z z z =+⋅=，所以211i 1i 1i (1i)(1i)2z --===++-，所以其虚部为12-．故选B ． 22．已知复数()()2i 2i z m =+-为纯虚数，则m =A ．1-B ．1C ．4-D ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）【答案】C【分析】根据导数的乘法运算化简复数z ，再根据纯虚数的定义即可求解．【解析】()422i z m m =++-为纯虚数，则4m =-．故选C ．23．若复数z 满足i i z z ⋅=-，则|i |z -=A ．22B ．2C ．1D ．22 【试题来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》【答案】A【分析】先根据复数的除法运算化简复数z ，再由模长公式计算即可求解．【解析】因为i i z z ⋅=-，所以()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z +-+===--+， 所以1i 11i i 222z ---==--， 故22112|i |222z ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ． 24．设若1z 、2z 、3z 为复数，则下列命题中正确的是A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则21z z = 【试题来源】预测05 算法、复数、推理与证明-【临门一脚】2021年高考数学（理）三轮冲刺过关【答案】C【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC ．【解析】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，若10z =，则230z z -=不一定成立，即23z z =不一定成立，B 错误； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误．故选C25．已知复数z 的共轭复数是z ，若312i z z -=+，则z =A ．22B ．12C ．52D ．52 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）【答案】A【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，代入原式，利用复数相等求出,a b ，进而可得答案．【解析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，由312i z z -=+可得24i 12i a b -+=+，则12a =-，12b =， 所以2222z a b =+=，故选A ． 26．复数()2i i +的虚部是A ．2iB ．i -C ．2D ．1-【试题来源】广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考（5月）【答案】C【分析】利用复数的乘法运算化简复数()2i i +，再根据复数虚部的定义求解即可．【解析】因为()2+i i 12i =-+，所以虚部为2．故选C ．27．已知复数1z i =+，设复数22z w z =，则w 的虚部是 A ．1- B ．1C ．iD ．i -【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六）（理）【答案】A【分析】根据复数的运算法则，求得1w i =--，结合复数的基本概念，即可求解．【解析】由题意，复数1z i =+， 根据复数的运算法则，可得2222(1)2(1)(1)1(1)2z i i i i w i z i i i i----=====--+-⋅， 所以复数w 的虚部是1-．故选A ． 28．复数45i z =-（其中i 为虚数单位），则2i z +=A ．7B ．5C ．7D ．25【试题来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模（理）【答案】B【分析】由复数加法求得2i z +，然后由复数模的运算求解．【解析】因为45i z =-，所以i 23i 4z +=-，所以()222435i z +=+-=，故选B ．29．已知i 为虚数单位，复数21i +的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A ．1-B ．1C ．i -D ．i【试题来源】（理）-学科网2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）【答案】B【分析】先对21i+化简，求出复数z ，从而可求出其共轭复数z ，进而可求出z 的虚部 【解析】由题可得22(1i)1i 1i (1i)(1i)-==-++-，所以1i z =+，其虚部为1，故选B ．30．设复数z 满足()1i i z m -=+()m R ∈，若z 为纯虚数，则实数m =A ．1B ．-1C ．2D ．-2【试题来源】江苏省跨地区职业学校单招2020届高三下学期一轮联考【答案】A【分析】将i 1i m z +=-利用复数的除法运算化简，再令实部等于0，虚部不等于0即可求解 【解析】由()1i i z m -=+可得()()()()()i 1i 11i i 11i 1i 1i 1i 222m m m m m m z ++-+++-+====+--+， 所以1010m m -=⎧⎨+≠⎩，可得1m =，故选A ． 31．已知i 为虚数单位，若复数2i i ia z =-+ (a R ∈)为实数，则a = A ．2-B ．1-C ．1D ．2【试题来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）【答案】D【分析】先对2i i ia z =-+化简，然后由虚部为零可求出a 的值 【解析】因为()222i i i 12i i 12i iz a a a -=+=--+=-+-为实数， 所以2a =；故选D32．法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+= ⎪⎝⎭． A ．1B ．iC ．1-D ．i -【试题来源】福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）【答案】B【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可． 【解析】根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故选B ． 33．已知复数z 满足121z i i =+-(其中i 为虚数单位)，则z = A ．3B ．22C ．2D ．10【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得z ，然后利用复数模的公式计算．【解析】因为()()1i 12i 3i z =-+=+， 所以22||=3110z +=．故选D ． 34．若复数z 满足()23i 1i z ⋅-=-，复数z 的虚部是A ．5i 13 B ．513 C ．113D ．1i 13 【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得．【解析】由()23i 1i z ⋅-=-，得()()()()1i 23i 1i 5i 51i 23i 23i 23i 131313z -+-+====+--+ 所以复数z 的虚部是113故选C 35．若复数1=-i z i ，则|z |= A ．2B ．1C ．2D ．22【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（理）【答案】D【分析】首先化简复数z ，再求复数的模．【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 36．若复数1=-i z i ，则z = A ．14 B 2C ．12D ．2 【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考考适应性考试（文） 【答案】B 【分析】化简122i z =-+，再求||z 得解． 【解析】由题得(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i +-+====-+--+， 所以22112()()222z =-+=．故选B 37．已知复数z 满足()()1i 2i i z -=+，则z =A ．1B ．2C ．52D ．102【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试【答案】D【分析】()2i i 1iz +=-，利用复数的运算求出复数z ，从而求出z ． 【解析】()()()()()2i i 12i 1i 3i 1i 1i 1i 2z +-++-+===--+， 所以223110222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 38．已知复数z 满足z (1﹣i )=2+i 2021，则zi 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】全国2021届高三高考数学（文）演练试卷（一）【答案】B【分析】利用复数的乘法、除法运算即可求解．【解析】由z (1﹣i )=2+i 2021，则()()()()2020212213131111222i i i i i i z i i i i i +++⋅++=====+---+， 3122zi i =-+，所以zi 在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，点位于第二象限．故选B 39．若复数z 满足23i 13z z -=，则z = A ．23i -B ．23i +C ．32i -D ．32i +【试题来源】全国100所普通高等学校招生全国统一考试2021届高三 数学（理）冲刺卷试题【答案】A【分析】由题意得1323iz =-，根据复数代数形式的除法运算和共轭复数的概念即可求出答案． 【解析】因为23i 13z z -=，所以()()()1323i 1323i 23i 23i z +==--+()1323i 23i 13+==+， 所以23i z =-，故选A ．40．已知复数12i z =-，21i z b =+(其中i 是虚数单位，b ∈R )，若12z z ⋅为实数，则b = A ．2-B ．12 C ．1 D ．2 【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则化简12z z ⋅，再根据复数为实数的充要条件即可得出．【解析】因为12i z =-，21i z b =+()()()2122i 1i 22i i i 221i z z b b b b b ⋅=-⋅+=+--=++-，因为12z z ⋅为实数，210b ∴-=，解得12b =．故选B.。

试卷类型：B2021年广东省普通高中学业水平选择考适应性测试物理本试卷共7页，16小题，满分100分。

考试用时75分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 原子从高能级向低能级跃迁产生光子，将频率相同的光子汇聚可形成激光。

下列说法正确的是（）A. 频率相同的光子能量相同B. 原子跃迁发射的光子频率连续C. 原子跃迁只产生单一频率光子D. 激光照射金属板不可能发生光电效应2. 2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。

如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。

下列说法正确的是（）A. 嫦娥五号轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重B. 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等C. 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等D. 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等3. 某同学参加“筷子夹玻璃珠”游戏。

如图所示，夹起玻璃珠后，左侧筷子与竖直方向的夹角 为锐角，右侧筷子竖直，且两筷子始终在同一竖直平面内。

保持玻璃珠静止，忽略筷子与玻璃珠间的摩擦。

下列说法正确的是（）A. 两侧筷子对玻璃珠的合力比重力大B. 两侧筷子对玻璃珠的合力比重力小C. 左侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃珠的重力大D. 右侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃球的重力大4. 如图所示，在某静电除尘器产生的电场中，带等量负电荷的两颗微粒只受电场力作用，分别从p点沿虚线pm、pn运动，被吸附到金属圆筒上。

2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷一（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}1x x >-B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}12x x << 【答案】B【解析】{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<， 则()R C A B ={}11x x -<≤，故选：B ．【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．2.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A ．18B ．14C ．38D ．12【答案】C【解析】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦， 其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦， ∴概率为38.故选：C.【点睛】本题考查了有关古典概型的概率问题，关键是弄清基本事件的总数以及所求事件包含的基本事件数，需注意当基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，还需注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用，属于基础题.3. 设,m n 是两条直线， α， β表示两个平面，如果m α⊂， //αβ，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】如果m α⊂， //a β，那么由n β⊥则可得到n α⊥ 即可得到m n ⊥；反之由m n ⊥，m α⊂， //a β，不能得到n β⊥，故，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属于基础题.4.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A【解析】5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的定义以及焦点三角形,属于基础题.5.已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |b 等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．1【答案】B【解析】∵向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b | ∴3=cos1202a b a b b ⋅⋅︒=-, ∵2222a b a b a b +=++⋅，∴213=39b b -+，∴b ＝﹣1（舍去）或b ＝4，故选：B ．【点睛】本题考查了向量数量积公式以及向量模的平方处理,属于基础题. 6.()101(21)x x -+的展开式中10x 的系数为（ ）A ．512-B ．1024C ．4096D ．5120【答案】C 【解析】()1010101(21)(21)(21)x x x x x -+=+-+，二项展开式10(21)x x +的通项为1010111010(2)2rrr r r xC x C x ---⋅=⋅⋅，二项展开式10(21)x +的通项为1010101010(2)2kkk k k C x C x ---⋅=⋅⋅，则111011010r r k -=⎧=⎨-=⎩，解得，0k =， 所以，展开式中10x 的系数为1910101022512010244096C C ⋅-⋅=-=．故选:C ． 【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项求项的系数,属于基础题.7.已知圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于,A B 两点，与抛物线的准线交于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于 ( )A ．2 B ．2C ．5 D ．5【答案】C【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为12x =-．画出图形如图所示．在222(0)x y r r +=>中，当12x =-时，则有2214y r =-．①由22y x =得22y x =，代入222x y r +=消去x 整理得422440y y r +-=．②结合题意可得点,A D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等，由①②两式消去2y 得2222114(()0)444r r r -+--=，整理得42815016r r --=，解得254r =或234r =-（舍去），∴5r =．故选:C ． 【点睛】本题考查了圆与抛物线,解答本题的关键是画出图形并根据图形得到AD 与x 轴平行，进而得到两点的纵坐标相等;然后将几何问题转化代数问题求解;考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．8.已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】B【解析】对于,a b 的大小：44ln3ln3ln81a πππ===，33ln 4ln ln 644b πππ===，明显a b >；对于,a c 的大小：构造函数ln ()x f x x=，则'21ln ()x f x x -=， 当(0,)x e ∈时，'()0,()f x f x >在(0,)e 上单调递增，当(,)x e ∈+∞时，'()0,()f x f x <在(,)e +∞上单调递减，3,()(3)e f f ππ>>∴<即33ln ln 3,3ln ln 3,ln ln 3,33ππππππππ<∴<∴<∴<a c ∴> 对于,b c 的大小：3ln 4ln 64b ππ==，3434ln ln[()]c ππ==，64π<43[()]π，c b >故选B ．【点睛】本题考查了将,,a b c 两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（ ） A ．3x =是函数()f x 的一个极值点 B ．()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞C ．()f x 在区间(1,2)上单调递减D ．直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点 【答案】ACD【解析】由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-， 又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >>得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-，所以直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值的综合应用，是基础题.10.任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z i =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数【答案】AC【解析】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin 3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，13cossin332z i i ππ=+=+，则132z i =-，C 选项正确； 对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查了复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中档题. 11.如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中： A ．AF 与BM 成60°角． B ．AF 与CE 是共面直线． C ．BN ⊥DE．D ．平面ACN ∥平面BEM ．以上四个命题中，正确命题是（ ） 【答案】ACD【解析】展开图复原的正方体ABCD ﹣EFMN 如图， 由正方体ABCD ﹣EFMN 的结构特征，得：①由AN ∥BM ，可得AF 与BM 所成角即为∠NAF ，在等边三角形NAF 中， ∠NAF ＝60°，故①正确；②由异面直线的判定可得AF 与CE 是异面直线，故②正确； ③由ED ⊥AN ，ED ⊥AB 可得ED ⊥平面ABN ，即有BN ⊥DE ，故③正确； ④由AC ∥EM ，AN ∥BM ，以及面面平行的判定定理可得 平面ACN ∥平面BEM ，故④正确． 故选：ACD【点评】本题考查了异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线、平面与平面之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，属于基础题．12.关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0xC ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD【解析】对于选项A ：当1a =时，()sin x f x e x =+，(),x π∈-+∞， 所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于选项B ：当1a =时，()sin x f x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于选项 C 、D ：()sin x f x e a x =+,(),x π∈-+∞， 令()sin 0x f x e a x =+=得：1sin x x a e -=，则令sin ()x xF x e=，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()x xx x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值，又354435sin sin 44e e ππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<< ，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()x x F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值.又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e ππ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当(),x π∈-+∞时，344()2e F x e π≤≤，所以当34122e a π-<-，即342a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当34122e a π-=-时，即42a e π=-时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点， 即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点，故选项D 正确,故选：ABD【点睛】本题考查了对含三角函数的复杂函数导数的研究，考查了导数的综合应用,属于中档题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π-【解析】正六棱柱体积为23622=123⨯⨯⨯，圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为1232π-,故答案为： 1232π-【点睛】本题考查了棱柱与圆柱的相嵌问题，解题的关键在于确定正六棱柱与圆柱的关系，然后求得其体积,属于基础题.14.若直线m 、l 将圆22420x y x y +--=平分，若直线m 过点)2,3(，则直线m 的方程为_____________,若直线l 且不通过第四象限，则直线l 斜率的取值范围是____________A ．[]0,1B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,2【答案】01=--y x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由圆的方程22420x y x y +--=，可知圆心坐标为(2,1)，若直线m 过圆心(2,1)且过点)2,3(，则直线m 的斜率为12312=--,所以直线m 的方程为01=--y x ; 若直线l 将圆平分，则直线l 过圆心(2,1)，又由直线l 不经过第四象限，所以直线l 的斜率的最小值为0，斜率的最大值为max 101202k -==-， 所以直线l 的斜率的取值范围是1[0,]2，故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.写出一个以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增函数()f x =________． 【答案】x x f 2cos )(=【解析】由最小正周期为2π，可考虑三角函数中的正弦型函数)0(,sin )(≠=A x A x f ω，或者 余弦型函数)0(,cos )(≠=A x A x f ω满足；根据最小正周期2πωπ==T ，可得2=ω. 故函数可以是x x f 2sin )(=或者,2cos )(x x f =中任一个，又)(x f 在区间(4π，2π)上单调递增函数,所以可取x x f 2cos )(=;故答案为：x x f 2cos )(=.【点睛】本题考查了三角函数图像与性质,利用周期和单调性定函数解析式,属于中档题.16. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为_______________（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．D ．4.56%【答案】13.59%【解析】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===，故答案为：13.59%【点睛】本题考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.从条件①()21n n S n a =+()2n a n =≥，③0n a >，22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，________．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值． 【答案】答案件解析【解析】若选择①，因为()21n n S n a =+，*n N ∈，所以()1122n n S n a ++=+，*n N ∈， 两式相减得()()11221n n n a n a n a ++-=++，整理得()11n n na n a +=+．即11n na a n n+=+，*n N ∈． 所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列．111n a a n ==，所以n a n =．（或由11n n a n a n++=，利用相乘相消法，求得n a n =）所以k a k =，()()()()22122322k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以()()2232k k k ++=，所以2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍）， 所以6k =．()2n a n =≥1n n S S -=-，=，易知0n S >1=，所以11a ==n =，2n S n =，∴121n n n a S S n -=-=-()2n ≥， 又1n =时，11a =也满足上式， 所以21n a n =-.因为1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴()()22221k k +=-，∴3k =或13k =-，又*k N ∈，∴3k =．若选择③，因为()2*2n n n a a S n N +=∈，所以()211122n n n a a S n ---+=≥，两式相减得()221112222n n n n n n n a a a a S S a n ----+-=-=≥，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a n ----+=+≥，因为0n a >，∴()112n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列，所以()111n a n n =+-⨯=，()()()()22122322k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴()()2232k k k ++=，∴6k =或1k =-，又*k N ∈，∴6k =．【点睛】本题的关键在于构造等差数列,以及利用等比中项列出方程求解,若选择①，利用11n n n a S S ++=-可得11n na a n n+=+，可得n a n =，再根据等比中项列方程解得k 即可；若选择②，根据()12n n n a S S n -=-=≥1=，n =，21n a n =-，再根据等比中项列方程解得k 即可；若选择③，利用11n n n a S S ++=-可得()112n n a a n --=≥，n a n =，再根据等比中项列方程解得k 即可,属于基础题.18.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对边，且ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①2223a cb ac +=-；②21cos 22sin 2AA +=；③a =2b =. （1）满足ABC 有解的序号组合有哪些？ （2）在（1）的组合中任选一组，求ABC 的面积. 【答案】答案件解析【解析】（1）由条件①得2221cos 22a c b B ac ac +-==⨯=， 由条件②得212cos 11cos A A +-=-，即22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），因为(0,π)A ∈，所以π3A =.因为12πcos cos323B =-<-=，(0,π)B ∈，而cos y x =在(0,π)单减，所以2ππ3B <<. 于是π2ππ33A B +>+=，与πA B +<矛盾.所以ABC 不能同时满足①②.当①③④作为条件时：有2222cos b a c ac B =+-，即221c c +=，解得1c =.所以ABC 有解.当②③④作为条件时：有sin sin a b A B=2sin B =.解得sin 1B =. 因为(0,π)B ∈，所以π2B =，ABC 为直角三角形，所以ABC 有解. 综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④. （2）若选择组合①③④：因为(0,π)B ∈，所以sin B ===.所以ABC 的面积11sin 1)22S ac B ===若选择组合②③④：因为π2B =，所以1c ==所以ABC 的面积112S =⨯=【点睛】本题考查了正余弦定理.在解三角形的问题中，对式子中含有正弦的齐次式，应优先考虑正弦定理“角化边”；若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”比如这里条件①;含有面积公式的问题，应优先考虑结合余弦定理求解；属于基础题.19.已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立．现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；（3）记随机变量X 为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．【答案】（1）518；（2）91216；（3）分布列见解析，1()2E X = 【解析】（1）设事件A 表示“甲获得该高校综合评价录取资格”， 事件B 表示“乙获得该高校综合评价录取资格”， 则()111326P A =⨯=，()111236P B =⨯=，∴甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：()()()()()P P AB AB P A P B P A P B =+=+11115(1)(1)666618=⨯-+-⨯=．（2）设事件C 表示“丙获得该高校综合评价录取资格”， 则()121436P C =⨯=，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，∴三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：111911()1(1)(1)(1)666216P P ABC =-=----=．（3）记随机变量X 为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数， 则X 的可能取值为0，1，2，3， 111125(0)(1)(1)(1)666216P X ==---=，11111111175(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)666666666216P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，11111111115(2)(1)(1)(1)666666666216P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)666216P X ==⨯⨯=，X 的概率分布为：数学期望125751511()01232162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了概率、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法，考查了相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 20.设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．(1)如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，，点P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；(2)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?（确定“区域α”还是“区域β”）【答案】（1）31；（2）区域β． 【解析】(1)计∠Q 1PQ 2+∠Q 2PQ 3+…+∠Q n PQ 1＝θ，则离散曲率为1﹣，θ越大离散曲率越小．P 在底面ABCD 的投影记为H ，通过直观想象，当H 点在平面ABCD 中逐渐远离正方形ABCD 的中心，以至于到无穷远时，θ逐渐减小以至于趋近于0．所以当H 点正好位于正方形ABCD 的中心时，θ最大，离散曲率最小．此时HA ＝HB ＝＝PH ，所以PA ＝PB ＝1＝AB ，所以∠APB ＝60°，θ＝，离散曲率为1﹣×＝；故答案为:（2）区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小．故答案为:区域β．【点睛】本题考查了立体几何的新定义问题,其中(2)问列代数式计算离散曲率不是不可行，但是无法得到最小值的情形，这里θ越大离散曲率越小,此题对空间想象能力考察要求较高． 21.已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点()1,2A 为抛物线C 上一点. （1）求C 的方程；（2）若点()1,2B -在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ ，若2BP BQ k k =-，求证:直线PQ 过定点.【答案】（1）24y x =或212x y =；（2）()3,2． 【解析】（1）当焦点在x 轴时，设C 的方程为22x py =，代人点()1,2A 得24p =，即24y x =.当焦点在y 轴时，设C 的方程为22x py =，代人点()1,2A 得122p =，即212x y =，综上可知：C 的方程为24y x =或212x y =. （2）因为点()1,2B -在C 上，所以曲线C 的方程为24y x =. 设点()()1122,,,P x y Q x y ，直线:PQ x my b =+，显然m 存在，联立方程有：()221212440,16,4,4y my b m b y y m y y b --=∆=+∴+==-.12121222442,2,21122BP BQ y y k k x x y y ++=-∴=-∴=-----,即()12122120,48120y y y y b m -++=∴--+=即32b m =-. 直线:PQ 即()32,x m y -=-∴直线PQ 过定点()3,2.【点睛】本题考查了抛物线方程的求法以及直线过定点问题,属于中档题.22.已知函数()()ln =-+xf x xe a x x ，0x >，若()f x 在0x x =处取得极小值．（1）求实数a 的取值范围； （2）若()00f x >，求证：()03002f x x x >-．【答案】（1）()0,∞+；（2）证明见解析．【解析】（1）依题意，()()ln =-+xf x xe a x x ，0x >，()()()1111x x x f x x e a xe a x x +⎛⎫'=+-+=⋅- ⎪⎝⎭．①当0a ≤时，则()0f x '>，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，函数()y f x =无极小值， 所以0a ≤不符题意；②若0a >，令()xg x xe a =-，0x >，()()10xg x x e '=+>，故函数()y g x =在()0,∞+上单调递增， 又()00g a =-<，()()10ag a a e =->，据零点存在性定理可知，存在()00,x a ∈，使得()00g x =，()00f x '=， 且当00x x <<时，()0g x <，()0f x '<，函数()y f x =在()00,x 上单调递减； 当0x x >时，()0g x >，()0f x '>，函数()y f x =在()0,x +∞上单调递增. 所以()f x 在0x x =处取得极小值，所以0a >符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+；（2）由（1）可知，当0a >时，存在()00,x a ∈，使得()00g x =，即00x x ea =．又()00f x >，即()0000ln 0xx e a x x -+>，所以()00001ln 0xx e x x -->． 因为00x >，00x e >，所以001ln 0x x -->，即00ln 10x x +-<． 令()ln 1h x x x =+-，0x >，()110h x x'=+>，故函数()y h x =在()0,∞+上单调递增，又()10h =，据()00h x <，可得001x <<． 令()ln 1p x x x =-+，01x <<，()110p x x'=->， 故函数()y p x =在()0,1上单调递增，所以()()10p x p <=，故ln 1x x <-，其中01x <<． 令()1xq x e x =--，01x <<，()10xq x e '=->．故函数()y q x =在()0,1上单调递增，所以()()00q x q >=，故1x e x >+，其中01x <<． 所以()()()()()0200000000001ln 11121x f x x ex x x x x x x x =-->+---=-⎡⎤⎣⎦，结合001x <<，可得()03002f x x x >-． 【点睛】本题考查了导数的综合应用,(1)考查了利用极值求参数范围,注意含参分类讨论;(2)关于利用导数证明不等式,常见的求解策略如下：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值; ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；③由恒成立求解参数的取值时，一般涉会考虑分离参数法，但在压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求岀最值点的情况就能解决问题,通常需要设出导数的零点，再进一步研究.本题属于偏难题.。

2023年高考化学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、将a mol钠和a mol铝一同投入m g足量水中，所得溶液密度为d g·mL－1，该溶液中溶质质量分数为A．82a/(46a+m)% B．8200a/(46a+2m) % C．8200a/(46a+m)% D．8200a/(69a+m) %2、三种有机物之间的转化关系如下，下列说法错误的是A．X中所有碳原子处于同一平面C H OB．Y的分子式为10162C．由Y生成Z的反应类型为加成反应D．Z的一氯代物有9种（不含立体异构）3、设N A为阿伏加德罗常数的数值。

下列叙述正确的是（）A．10mL18mol/L的浓硫酸与足量的铜加热充分反应，转移电子数0.18N AB．钾在空气中燃烧可生成多种氧化物，78g钾在空气中燃烧时转移的电子数为2N AC．常温常压下，0.1molNH3与0.1molHCl充分反应后所得的产物中含有的分子数仍为0.1N AD．标准状况下，22.4LCO2中含有共用电子对数为2N A4、把35.7g金属锡投入300 mL 14 mol /L HNO3共热(还原产物为NO x)，完全反应后测得溶液中c(H+) = 10 mol /L，溶液体积仍为300 mL。

放出的气体经水充分吸收，干燥，可得气体8.96 L(S．T．P)。

由此推断氧化产物可能是A．Sn(NO3)4B．Sn(NO3)2C．SnO2∙4H2O D．SnO5、炼钢时常用的氧化剂是空气(或纯氧)．炼钢过程中既被氧化又被还原的元素是()A．铁B．硫C．氧D．碳6、新型锂空气电池具有使用寿命长、可在自然空气环境下工作的优点。

广东省2021届新高考适应性测试卷历史（一）一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.《周礼・秋官》记载：“小司寇之职，掌外朝之政，以致万民而询焉。

一曰询国危，二曰询国迁，三曰询立君。

”西周时期，每当国家遇到重大问题，小司寇常向万民咨询。

这种制度体现了A．民众对日常政务的广泛参与B．宗法制下贵族对权力的垄断C．分封制下对边疆统治的加强D．氏族部落民主制的残余影响2．表1为春秋战国时期有关农业的一些记述。

据此可知，当时表1A.铁犁牛耕开始出现B.耕作理论比较先进C．人与自然和谐相处D．小农经济不断发展3．汉代，儒学抛弃了战国时期孟子的“君轻”论和荀子的“从道不从君”论，代之以法家的“尊君卑臣”论，开始了“外王”对“内圣”的利用与压制。

这一转变A．表明儒法思想开始融合B．加快了儒学的政治化进程C．根源于佛道思想的冲击D．削弱了儒学伦理的教化作用4．唐前期，科举中制举科目以文辞科和儒学科居多，策问针对性不强；唐中后期则以政事科为主，策问的题材包括藩镇割据、军费开支、财政税收、土地兼并、边疆关系、吏治铨选等重大问题。

导致这一变化的主要原因是A．经世致用思潮的推动B．国家政治形势的变动C．门阀士族势力的衰落D．科举考试程序的改革5．明朝为防沿海军阀余党与海盗滋扰，实行“海禁”。

沿海人民生路被断，于是与倭寇勾结为乱。

政府遣戚继光等人平倭，同时逐渐放松对民间海外贸易限制，沿海形势逐渐稳定。

材料表明，A．东南沿海的私商是倭寇主力B.倭患隔断了中外商品贸易C．政府失去对民间贸易的控制D．政策转变促成倭患的解决6．吴敏树《柈湖文集》记载：“茶，巴陵故少种，道光末，江广人贩茶之洋，名红茶。

虑茶伪，专取生叶，高其值，人争共市。

而贸于本地者，名黑茶，乃取山中杂树叶为之，极有无一茶叶者，于是茶值三倍往时，苦难得，始有自种。

”这说明A．巴陵农业生产呈现专业化特征B．鸦片战争改变了巴陵人生活方式C．巴陵茶叶生产受外国市场影响D．茶叶成为巴陵出口西方主要商品7．除了“天父天子”的口号外，太平天国所宣传的思想内涵，与中国历史上传统民间宗教的思想并没有很大的差别。

2021年广东省新高考“八省联考”高考生物适应性试卷1.蓝细菌（蓝藻）与酵母菌都具有的结构和成分包括（）①细胞膜②核膜③核糖体④线粒体⑤DNAA. ①③⑤B. ②④⑤C. ②③④D. ①②⑤2.下列所述生产与生活中的做法，合理的是（）A. 做面包时加入酵母菌并维持密闭状态B. 水稻田适时排水晒田以保证根系通气C. 白天定时给栽培大棚通风以保证氧气供应D. 用不透气的消毒材料包扎伤口以避免感染3.某同学夏天参加劳动，在未饮水的情况下，出现了大量出汗和尿量减少的现象。

下列叙述正确的是（）A. 细胞外液渗透压下降B. 下丘脑的渴觉中枢兴奋性增强C. 抗利尿激素分泌增加D. 集合管和肾小管重吸收水量减少4.对丙型肝炎病毒（RNA病毒）研究有突出贡献的科学家获得了2020年诺贝尔生理学或医学奖。

下列叙述正确的是（）A. 在RNA聚合酶的催化下，病毒直接复制其RNAB. 在琼脂糖固体培养基上进行病毒培养，用于研究C. RNA病毒容易发生突变，疫苗的研发较困难D. RNA病毒寄生在活细胞内，离开细胞就死亡5.下列关于“土壤中小动物类群丰富度的研究”实验的叙述，正确的是（）A. 许多土壤小动物以动植物遗体为食，属于分解者B. 土壤小动物活动范围小，适合用标志重捕法来调查C. 诱虫器利用土壤小动物的趋光性，使用灯光来诱捕D. 通过统计土壤小动物的个体数目来估算其丰富度6.从19世纪中叶到20世纪中叶，随着工业化的发展，环境不断恶化，英国曼彻斯特地区桦尺蛾（其幼虫称桦尺蛾）种群中，与从前浅色个体占多数相比，黑色个体所占比例逐渐增加。

下列叙述正确的是（）A. 控制桦尺蛾体色的基因发生了定向变异B. 黑色桦尺蛾是通过进化产生的新物种C. 黑色桦尺蛾增多是获得性遗传的证据D. 桦尺蛾体色变化趋势体现了共同进化7.下列关于细胞生命历程的叙述，正确的是（）A. 在植物发育过程中，导管的原始细胞经细胞伸长，细胞壁加厚等，最后形成了木质部导管。

深圳市2022-2023学年初三年级中考适应性考试数学说明:1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好。

2.全卷共6页。

考试时间90分钟，满分100分。

3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

作答非选择题11-22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内。

写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。

4.考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分选择题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是2.反比例函数y＝6的图象可能是x3.桦卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种裤，其主视图是4.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，已知∠ACB ＝25°，则∠AOB 的大小是A.130°B.65°C.50°D.25°5.关于一元二次方程x 2+4x +3＝0根的情况，下列说法中正确的是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定6.人类的性别是由一对性染色体（X ，Y ）决定，当染色体为XX 时，是女性;当染色体为XY 时，是男性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是A.14B.13C.12D.347.某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB 与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD 之比是黄金比（约等于0.618）.已知CD ＝80cm ，则AB 约是A.30cmB.49cmC.55cmD.129cm8.如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB 之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m ，观测员到标记E 的距离CE 为2m ，旗杆底部到标记E 的距离AE 为16m ，则旗杆AB 的高度约是A.22.5mB.20mC.14.4mD.12.8m9.如图，某校劳动实践课程试验园地是长为20m ，宽为18m 的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道.如果园地余下的面积为306m 2，则小道的宽为多少？设小道的宽为xm ，根据题意，可列方程为A.（20-2x ）（18-x ）＝306B.（20-x ）（18-2x ）＝306C.20×18-2×18x -20x +x 2＝306D.20×18-2×20x -18x +x 2＝30610.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是AB 边延长线上一点，BE ＝2，F是AB 边上一点，将△CEF 沿CF 翻折，使点E 的对应点G 落在AD 边上，连接EG 交折痕CF 于点H ，则FH 的长是A.43B.103C.1D.53第二部分非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.已知x ＝1是关于的一元二次方程x 2+m x +3＝0的一个根，则m ＝ .12.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐.如图，A ，B ，C 为直线l 与五线谱的横线相交的三个点，则AB BC 的值是 .13.一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共20个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成下表:摸球次数501002005008001000摸到红球的112750124201249摸到红球的0.2200.2700.2500.2480.2510.249估计袋中红球的个数是 .14.如图，已知A 是y 轴负半轴上一点，点B 在反比例函数y ＝k x （k ＞0）的图象上，AB 交x 轴于点C ，OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，△AOC 的面积为23，则k ＝ .15.如图,已知Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,E 是AB 的中点,过点B 作BD ⊥AB,交CE 的延长线于点D ，若BD ＝4，CD ＝8，则AC ＝_______.三、解答题（本题共7小题，共55分）16.（本题5分）解方程:x2-4x-12＝0.17.（本题7分）为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有三项:A.聆听航天科普讲座，B.参加航天梦想营，C.参观航天科技展.每位同学从中随机选择一项参加.（1）该校小明同学选择“参加航天梦想营”的概率是 ;（2）请用列表或画树状图的方法，求该校小亮同学和小颖同学同时选择“参观航天科技展“的概率.18.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）.（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ;（2）请画出△A1B1C1;（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 ;（4）△A1B1C1的面积是 .19.（本题8分）某商店销售一款工艺品，每件成本为100元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是160元时，每月的销售量是200件，而销售单价每降价1元，每月可多销售10件.设这种工艺品每件降价x元.（1）每件工艺品的实际利润为（ ）元（用含有x的式子表示）;（2）为达到每月销售这种工艺品的利润为15000元，且要求降价不超过20元，那么每件工艺品应降价多少元？20.（本题8分）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E,作DF∥AB交AC于点F,连接AD.（1）下列条件:① D是BC边的中点;② AD是△ABC的角平分线;③点E与点F关于直线AD对称.请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程;（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝2， CF＝1,求BE的长.21.（本题9分）[定义]在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离.即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线h之间的距离，当l1∥l2时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离.[应用]（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E.若AB＝6,AD＝4,则DE与BC之间的距离是 ;（x＞0）交于A（1，m）与（2）如图3，已知直线l3:y=-x+4与双曲线C:y＝kxB两点，点A与点B之间的距离是，点O与双曲线C1之间的距离是 ; [拓展]（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南一西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l的函数表达式为y＝-x，小区外延所在双曲线C的函数表达式为y＝2400x （x>0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？（第21题图）22.（本题10分）过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP.将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ.（1）[探究发现]如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD 是正方形，且α＝90°.无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论.（2）[类比迁移]如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ,当PQ⊥BQ，AB＝6+2时，求AP的长;（第22题图）（3）[拓展应用]如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AP.当AM平分∠DAC， α＝90°.在射线AQ上截取AR，使得AR＝43△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长.图3 备用图（第22题图）。

2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.6）考生须知1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设样本空间ΩΩ={1,2,…,6}包含等可能的样本点，且AA={1,2,3,4}，BB={3,4,5,6}，则PP(AABB)= A．13B．14C．15D．162. 若复数zz满足zz2是纯虚数，则|zz−2|的最小值是A．1 B．√2C．2 D．2√23. 算术基本定理告诉我们，任何一个大于1的自然数NN，如果NN不为质数，那么NN可以唯一分解成有限个素因数的乘积的形式．如，60可被分解为 22×31×51，45可被分解为 32×51．任何整除NN的正整数dd都叫作NN的正因数．如，20的正因数有1，2，4，5，10，20．则4200的正因数个数是A．4 B．7 C．42 D．484. 已知点(aa,bb)在直线 2xx+yy−1=0 第一象限的图像上，则1aa+1bb的最小值是A．3+2√2B．2+2√2C．1+2√2D．2√25. 已知函数ff(xx)=sin xx，gg(xx)=cos xx，则ff�gg(xx)�和gg�ff(xx)�都单调递增的一个区间是A．�2ππ5,4ππ5�B．�4ππ5,6ππ5�C．�6ππ5,8ππ5�D．�8ππ5,2ππ�6. 已知直线ll过点(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则满足条件的直线ll共有A．1条B．2条C．3条D．4条7. 我们记ff(nn)(xx)为函数ff(xx)的nn次迭代，即ff(1)(xx)=ff(xx)，ff(2)(xx)=ff�ff(xx)�，…，ff(nn)= ff�ff(nn−1)(xx)�．已知函数gg(xx)=xx|xx|，则gg(2024)(xx)=A．xx3|xx|2021B．xx4|xx|2020C．xx2|xx|2022D．xx20248. 若一四面体恰有一条长度大于1的棱，则这个四面体体积的最大值是A．√33B．12C．13D．√22二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 已知函数ff(xx)=xx3−2xx，下列说法正确的是A．函数gg(xx)=ff(xx)+ff′(xx)无零点B．直线 2xx+yy=0 与yy=ff(xx)相切C．存在无数个aa>0 ，ff(xx)在区间(−aa,aa)上不单调D．存在mm>0 ，使得对于任意nn，ff(nn)≤ff(nn+mm)10. 若一个人一次仅能爬1级或2级台阶，记aa nn为爬nn级台阶时不同的爬法数(nn∈NN∗)．关于数列{aa nn}，下列说法正确的是A．函数ff(nn)=aa nn单调递增B．aa1+aa3+aa5的值为12C．aa1+aa2+⋯+aa10=232D．2aa12+aa22+⋯+aa102=89×14411. 如右图，已知抛物线CC的焦点为FF，准线方程为ll:xx=−1 ，点PP是CC上的一动点．过点PP作ll的垂线，垂足为QQ．过点PP作CC的切线，该切线与xx,yy轴分别交于AA,BB两个不同的点．下列说法正确的是A．抛物线CC的标准方程为yy2=2xxB．QQ,BB,FF三点共线当且仅当|PPFF|=4C．当|PPFF|≠1 时，都有PPAA⊥QQFFD．当|PPFF|≠1 时，△PPAAFF恒为等腰三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 在棱长为1的正方体AABBCCAA−AA1BB1CC1AA1中，三棱锥CC−AABB1AA1的体积是_________．13. 从集合{xx|−4≤xx≤2024}中任选2个不同的非零整数作为二次函数ff(xx)=aaxx2+bbxx的系数，则所有满足ff(xx)的顶点在第一象限或第三象限的有序数对(aa,bb)共有_________组．14. 已知向量aa,bb,cc满足aa+bb+cc=00，(aa−bb)⊥(aa−cc)，|bb−cc|=3 ，则|aa|+|bb|+|cc|的最大值是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知正方体AABBCCAA−AA1BB1CC1AA1．（1）证明：AAAA1⊥AA1CC；（2）求二面角BB−AA1CC−AA．16.（15分）已知定义在RR上的函数ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx(aa≠0)．（1）若原点是ff(xx)的一个极值点，证明：ff(xx)的所有零点也是其所有极值点；（2）若ff(xx)的4个零点成公差为2的等差数列，求ff′(xx)的最大零点与最小零点之差．17.（15分）设点SS(1,1)在椭圆CC:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)内，直线ll:bb2xx2+aa2yy2−aa2bb2=0 ．（1）求ll与CC的交点个数；（2）设PP为ll PPSS与CC相交于MM,NN两点．给出下列命题：①存在点PP，使得1|PPPP|,1|PPPP|,1|PPPP|成等差数列；②存在点PP，使得|PPMM|,|PPSS|,|PPNN|成等差数列；③存在点PP，使得|PPMM|,|PPSS|,|PPNN|成等比数列；请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题．（若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分．）18.（17分）2024部分省市的高考数学推行8道单选，3道多选的新题型政策．单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对6分，部分选对部分分（此处直接视作3分），不选得0分．现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他11题均认为是单选题来做．假设两人选对一个单选题的概率都是14，且已知这四个多选题都只有两个正确答案．（1）记小周选择题最终得分为XX，求EE(XX)．（2）假设小李遇到三个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是 pp 0�pp 0≥13� ，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高．19.（17分）信息论之父香农（Shannon ）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关．香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量 XX 所有取值为 1,2,…,nn ，且 PP (xx =ii )=PP ii >0（ii =1,2,…,nn ），PP 1+PP 2+⋯+PP nn =1 ，定义 XX 的信息熵HH (XX )=−�PP ii log 2PP ii nn ii=1（1）当 nn =1 时，求 HH (XX ) 的值；（2）当 nn =2 时，若 PP 1∈�0,12� ，探究 HH (XX ) 与 PP 1 的关系，并说明理由； （3）若 PP 1=PP 2=12nn−1 ，PP kk+1=2PP kk (kk =2,3,⋯,nn ) ，求此时的信息熵 HH (XX ) ．2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A D D B C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案BC ABD BCD【附】评分表三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案132023×2024+4×2024（或 2027×2024）3+3√10四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）以点AA1为坐标原点，AA1BB1���������⃗为xx轴正方向，AA1DD1����������⃗为yy轴正方向，AA1AA�������⃗为zz轴正方向，建立空间直角坐标系OOxxyyzz，并令正方体AABBAADD−AA1BB1AA1DD1的棱长为1．（1）则AA1(0,0,0)，AA(1,−1,1)，AA1AA�������⃗=(1,−1,1)；AA(0,0,1)，DD1(0,−1,0)，AADD1�������⃗=(0,−1,−1)．所以AADD1�������⃗·AA1AA�������⃗=0+1+(−1)=0 ，即AADD1�������⃗⊥AA1AA�������⃗．故AADD1⊥AA1AA得证．（2）BB(1,0,1)，AA1BB�������⃗=(1,0,1)，由（1）得AA1AA�������⃗=(1,−1,1)，设平面AA1BBAA的一个法向量nn11=(xx1,yy1,zz1)，则nn11·AA1BB�������⃗=nn11·AA1AA�������⃗=0 ，即�xx1+zz1=0xx1−yy1+zz1=0令xx1=1 ，则�yy1=0zz1=−1，所以nn11=(1,0,−1)是平面AA1BBAA的一个法向量．同理可求得平面AA1AADD的一个法向量nn22=(0,1,1)，cos<nn11,nn22>=nn11·nn22|nn11|·|nn22|=−12又 <nn11,nn22>∈(0,ππ)，所以 <nn11,nn22>=2ππ3，即平面AA1BBAA与平面AA1AADD的所成角为2ππ3．故二面角BB−AA1AA−DD的大小为2ππ3．16.（15分）（1）ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx+dd，由题意，原点是ff(xx)的一个极值点，即ff′(0)=0 ，代入得dd=0 ，所以ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2=xx2(aaxx2+bbxx+cc)，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx=xx(aaxx2+bbxx+cc)，所以ff(xx)和ff′(xx)的零点（0除外）都是方程aaxx2+bbxx+cc=0 的根，即ff(xx)和ff′(xx)有共同零点，故ff(xx)的所有零点也是其所有极值点．（2）设ff(xx)的四个零点分别为mm−3 ，mm−1 ，mm+1 ，mm+3 ，则可以设ff(xx)=kk(xx−mm+3)(xx−mm+1)(xx−mm−1)(xx−mm−3)其中kk≠0 ，令tt=xx−mm，则ff(xx)=kk(tt+3)(tt+1)(tt−1)(tt−3)=kk(tt4−10tt+9)=gg(tt)gg′(tt)=kk(4tt3−20tt)=4kk(tt3−5tt)令gg′(tt)=0 得tt1=−√5 ，tt=0 ，tt=√5 ，所以 ff ′(xx )=0 的所有根为 xx 1=mm −√5 ，xx 2=mm ，xx 3=mm +√5 ，所以 ff ′(xx ) 的最大零点与最小零点之差为 |xx 3−xx 1|=2√5 ．17.（15分）（1）因为点 SS (1,1) 在 AA 内，所以 1aa 2+1bb 2<1 ，即 aa 2+bb 2−aa 2bb 2<0 ． 联立 ll 与 AA 的方程，得 bb 2(aa 2+bb 2)xx 2−2aa 2bb 4xx +aa 4bb 2(bb 2−1)=0 ． 判别式 Δ=4aa 4bb 8−4aa 4bb 4(aa 2+bb 2)(bb 2−1)=4aa 4bb 4(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 ，故该二次方程无解，即 ll 与 AA 交点个数为0．（2）可选择命题②或命题③（命题①无法证伪），证明其为假命题． 记点 PP ,MM ,NN 的横坐标分别为 xx PP ,xx MM ,xx NN ，不妨设 PP ,MM ,SS ,NN 顺次排列．选择命题②的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�,NN �1,−bb�1−1aa 2� ． 若 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 依次成等差数列，则 bb�1−1aa 2+�−bb�1−1aa 2�=2 ，显然矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则 2|PPSS |−(|PPMM |+|PPNN |)=√1+kk 2(2|xx PP −1|−|xx MM −xx PP |−|xx NN −xx PP |) . 不妨设 xx PP >1 ，则 xx PP >xx MM >1>xx NN ， 所以原式=�1+kk 2[2(xx PP −1)−(xx PP −xx MM )−(xx PP −xx NN )]=�1+kk 2(xx MM +xx NN −2)=�1+kk 2⋅−2aa 2kk −2bb 2aa 2kk 2+bb 2<0因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等差数列，从而②是假命题．选择命题③的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�，NN �1,−bb�1−1aa 2�． 若|PPMM |,|PPSS |,|PPNN |成等比数列，则��bb 2−bb 2aa 2�−bb �1−1aa 2�×��bb 2−bb 2aa 2�+bb �1−1aa 2�=��bb 2−bb 2aa2�−1�2即 aa 2+aa 2bb 2−bb 2=0 ，但 aa 2bb 2>aa 2+bb 2 ，因此 aa 2+aa 2bb 2−bb 2>2aa 2>0 ，矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理，⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则|PPSS |2−|PPMM |⋅|PPNN |=�1+kk 2[(xx PP −1)2−(xx PP −xx MM )(xx PP −xx NN )] =�1+kk 2[(xx MM +xx NN −2)xx PP +1−xx MM xx NN ]=�1+kk 2��2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2−1�⋅aa 2(bb 2+kk −1)aa 2kk +bb 2+1−aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2�=√1+kk 2aa 2kk 2+bb 2(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等比数列，故③是假命题．18.（17分）（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为 14 ， 对于多选题，小周每个多选题做对的概率为 12，设小周做对单选题的个数为 XX 1 ，做对多选题的个数为 XX 2 ， 则XX 1∼BB �8,1�，XX 2∼BB �3,1� ，所以EE(XX1)=8×14=2 ，EE(XX1)=3×12=32，而小周选择题最终得分为XX=5XX1+3XX2，所以EE(XX)=5EE(XX1)+3EE(XX2)=5×2+3×32=292．（2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上，如果他不继续选其他选项肯定能得三分，如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为XX3，则XX3的所有可能取值为0，6，则XX3的分布列为：XX30 6PP(XX3)1−pp0pp0那么这个题的得分期望是EE(XX3)=0×(1−pp0)+6pp0=6pp0,�pp0≥13�所以我们只需要比较3和 6pp0的大小关系即可，令 6pp0≥3，解得12≤pp0<1 ，此时四个多选题全部选两个选项得分要高，反之，若13≤pp0<12，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高．19.（17分）（1）若nn=1 ，则ii=1 ，PP1=1 ，因此HH(xx)=−(1×log21)=0 ．（2）HH(XX)与PP1正相关，理由如下：当nn=2 时，PP1∈�0,12�，HH(xx)=−PP1log2PP1−(1−PP1)log2(1−PP1)令ff(tt)=−tt log2tt−(1−tt)log2(1−tt)，其中tt∈�0,12�，则ff′(tt)=−log2tt+log2(1−tt)=log2�1tt−1�>0所以函数ff(tt)在�0,12�上单调递增，所以HH(xx)与PP1正相关．（3）因为PP1=PP2=12nn−1，PP kk+1=2PP kk(kk=2,3,⋯,nn)，所以PP kk =PP 2⋅2kk−2=2kk−22nn−1=12nn−kk+1 (kk =2,3,⋯,nn ) 故PP kk log 2PP kk =12nn−kk+1log 212nn−kk+1=−nn −kk +12nn−kk+1而PP 1log 2PP 1=12nn−1log 212nn−1=−nn −12nn−1于是HH (XX )=nn −12nn−1+�PP kk log 2PP kk nnkk=2=nn −12nn−1+nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12整理得HH (XX )=nn −12nn−1−nn 2nn +nn 2nn +nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12 令SS nn =12+222+323+⋯+nn −12nn−1+nn2nn 则12SS nn =122+223+324+⋯+nn −12nn +nn 2nn+1 两式相减得12SS nn =12+122+123+⋯+12nn −nn 2nn+1=1−nn +22nn+1 因此 SS nn =2−nn+22nn， 所以 HH (XX )=nn−12nn−1−nn 2nn+SS nn =nn−12nn−1−nn 2nn+2−nn+22nn=2−12nn−2．。

2021年广东省普通高中学业水平选择考适应性测试化学本试卷共8页，21小题，满分100分。

考试用时75分钟。

可能用到的相对原子质量：H1 He4 C12 N14 O16 Ne20 Na23 S32一、选择题。

本题共16小题，共44分。

第1~10小题，每小题2分；第11~16小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 书法是中华文化之瑰宝，“无色而具画图的灿烂，无声而有音乐的和谐”，书法之美尽在笔墨纸砚之间(如图所示的王羲之的“平安贴”)。

下列关于传统文房四宝的相关说法正确的是A. 墨汁是一种水溶液B. 宣纸是合成高分子材料C. 砚石的成分与水晶相同D. 制笔用的狼毫主要成分是蛋白质【答案】D2. “古诗文经典已融入中华民族的血脉”。

下列诗文中隐含化学变化的是A. 月落乌啼霜满天，江枫渔火对愁眠B. 掬月水在手，弄花香满衣C. 飞流直下三千尺，疑是银河落九天D. 举头望明月，低头思故乡【答案】A3. “嫦娥五号”成功着陆月球，展示了以芳纶为主制成的五星红旗，用SiC增强铝基材料钻杆“挖士”，实现了中国首次月球无人采样返回。

下列有关说法错误的是A. 月壤中含有的3He，其质子数为3B. 制作五星红旗用的芳纶为合成纤维C. 制作钻杆用的SiC增强铝基材料属复合材料D. 运载火箭用的液O2液H2推进剂在工作时发生氧化还原反应【答案】A4. “原子”原意是“不可再分”的意思。

20世纪初，人们才认识到原子不是最小的粒子。

从电子层模型分析，Ca原子核外N能层中运动的电子数为A. 8B. 2C. 18D. 10【答案】B5. 提取海带中I2的实验中，所选择的装置或仪器(夹持装置已略去)正确的是A B C D灼烧溶解过滤分液A. AB. BC. CD. D【答案】D6. 具有止血功能。

下列关于该有机物的说法正确的是A. 属于芳香烃B. 分子式为C8H11O2NC. 可与NaOH溶液反应D. 能发生加成反应，不能发生取代反应【答案】C7. “人世间一切幸福都需要靠辛勤的劳动来创造”。

2024年新高考改革适应性练习（7）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.14）1.2. 3.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40考生须知本卷共四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 必过定点 A ．(0.5，3)B ．(1.5，0)C ．(1，2)D ．(2，4)2. 已知复数 z =i 4−i ，则 z 对应的点 Z 在复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知在空间直角坐标系中，直线 l 经过 A (3,3,3) ，B (0,6,0) 两点，则点 P (0,0,6) 到直线 l 的距离是 A ．6√2B ．2√3C ．2√6D ．3√24. 柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步．该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是 A ．14B ．12C ．10D ．85. 在圆 x 2+y 2=5x 内，过点 (52,32) 有 n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 a 1 ，最大弦长为 a n ，若公差 d ∈[16,13] ，那么 n 的取值集合为 A ．{4,5,6,7}B ．{3,4,5,6}C ．{4,5,6}D ．{3,4,5}6. 已知在 △ABC 中，BC =3 ，角 A 的平分线交 BC 于点 D ，若 CD =2BD ，则 △ABC面积的最大值是 A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知直线 l 与抛物线 C:y 2=4x 交于 A ，B 两点，若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4 ，则 |AB | 的最小值是 A ．4B ．4√2C ．8D ．168. 若函数 f (x )=a x +b x 在 (0,+∞) 上单调递增，则 a 和 b 的可能取值是A ．a =ln 1.1,b =10B ．a =ln 11,b =0.1C ．a =e 0.2,b =0.8D ．a =e −0.2,b =1.8二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 若 △ABC 的三个内角为 A,B,C ，则下列说法正确的有A ．sin A ,sinB ,sinC 一定能构成三角形的三条边 B ．sin 2A ,sin 2B ,sin 2C 一定能构成三角形的三条边 C ．sin 2A ,sin 2B ,sin 2C 一定能构成三角形的三条边D ．√sin A ,√sin B ,√sin C 一定能构成三角形的三条边10. 已知离散型随机变量 X 服从二项分布 B (n,p ) ，其中 n ∈N ∗ ，p ∈(0,1) ，记 X 为奇数的概率为 a ，X 为偶数的概率为 b ，则下列说法正确的有 A ．a +b =1B ．p =12 时，a =bC ．p ∈(0,12) 时，a 与 n 正相关D ．p ∈(12,1) 时，a 与 n 负相关11. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，函数 f (x 2+x ) 是定义在 R 上的奇函数，函数 g (x )=f(x2−1) ，则下列式子正确的有4A．g(1)=0B．f(2)=02C．f(4)=0 D．g(x+1)=−g(x)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知 α 为第四象限角，sinα+cosα=1，则 tanα=_________．513.设 a,b 为实数，且 ab≠0 ，虚数 z 为方程 ax2+bx+a=0 的一个根，则|z|的值为_________．14.已知首项为2、公差为 d 的等差数列{a n}满足：对任意的不相等的两个正整数 i ，j ，都存在正整数 k ，使得 a i+a j=a k成立，则 d 的取值范围是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知数列{a n}的前 n 项和 S n满足 S n=2a n−n ．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设 b n=(2n+1)(a n+1)，求数列{b n}的前 n 项和 T n．16.（15分）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为 X ，求当 P(X=k)最大时 k 的值（k∈N∗）．17.（15分）已知函数 f (x )=e x −a ln (x +1) ． （1）当 a =1 时，求 f (x ) 的最小值； （2）若 a ≥4 ，判断 f (x ) 的零点个数． 参考数据：ln 2≈0.693 ，e ≈2.718 ．18.（17分）如右图，已知 Rt △ABC 的直角边 AB =6 ，BC =4 ，点 F 1,F 2 是 BC 从左到右的四等分点（非中点）．已知椭圆 Γ 所在的平面⊥平面 ABC ，且其左右顶点为 B,C ，左右焦点为 F 1,F 2 ，点 P 在 Γ 上．（1）求三棱锥 A −F 1F 2P 体积的最大值； （2）证明：二面角 F 1−AP −F 2 不小于60°． 19.（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 △ABC 的三个内角均小于 120° 时，使得 ∠AOB =∠BOC =∠COA =120° 的点 O 即为费马点；当 △ABC 有一个内角大于或等于 120° 时，最大内角的顶点为费马点．已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且cos 2B +cos 2C −cos 2A =1（1）求 A ；（2）若 bc =2 ，设点 P 为 △ABC 的费马点，求 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； （3）设点 P 为 △ABC 的费马点，|PB |+|PC |=t |PA | ，求实数 t 的最小值．2024年新高考改革适应性练习（7）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.14）考生须知1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知xx与yy之间的一组数据：xx0 1 2 3yy 1 3 5 7则yy与xx的线性回归方程yy�=bb�xx+aa�必过定点A．(0.5，3) B．(1.5，0) C．(1，2) D．(2，4)2. 已知复数zz=i4−i ，则zz ZZ在复平面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 已知在空间直角坐标系中，直线ll经过AA(3,3,3)，BB(0,6,0)两点，则点PP(0,0,6)到直线ll的距离是A．6√2B．2√3C．2√6D．3√24. 柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步．该不等式的三元形式如下：对实数aa1,aa2,aa3和bb1,bb2,bb3，有(aa12+aa22+aa32)(bb12+bb22+bb32)≥(aa1bb1+aa2bb2+aa3bb3)2等号成立当且仅当aa1bb 1=aa2bb 2= aa3bb3已知xx2+yy2+zz2=14 ，请你用柯西不等式，求出xx+2yy+3zz的最大值是A．14 B．12 C．10 D．85. 在圆xx2+yy2=5xx内，过点�52,32�有nn条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项aa1，最大弦长为aa nn，若公差dd∈�16,13�，那么nn的取值集合为A．{4,5,6,7}B．{3,4,5,6}C．{4,5,6}D．{3,4,5}6. 已知在△AABBAA中，BBAA=3 ，角AA的平分线交BBAA于点DD，若AADD=2BBDD，则△AABBAA面积的最大值是A．1 B．2 C．3 D．47. 已知直线ll与抛物线AA:yy2=4xx交于AA，BB两点，若OOAA�����⃗·OOAA�����⃗=−4 ，则|AABB|的最小值是A．4 B．4√2C．8 D．168. 若函数ff(xx)=aa xx+bb xx在(0,+∞)上单调递增，则aa和bb的可能取值是A．aa=ln1.1,bb=10B．aa=ln11,bb=0.1C．aa=ee0.2,bb=0.8D．aa=ee−0.2,bb=1.8二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 若△AABBAA的三个内角为AA,BB,AA，则下列说法正确的有A．sin AA,sin BB,sin AA一定能构成三角形的三条边B．sin2AA,sin2BB,sin2AA一定能构成三角形的三条边C．sin2AA,sin2BB,sin2AA一定能构成三角形的三条边D．√sin AA,√sin BB,√sin AA一定能构成三角形的三条边10. 已知离散型随机变量XX服从二项分布BB(nn,pp)，其中nn∈NN∗，pp∈(0,1)，记XX为奇数的概率为aa，XX为偶数的概率为bb，则下列说法正确的有A．aa+bb=1B．pp=12时，aa=bbC．pp∈�0,12�时，aa与nn正相关D．pp∈�12,1�时，aa与nn负相关11. 已知函数ff(xx)的定义域为RR，函数ff(xx2+xx)是定义在 R 上的奇函数，函数gg(xx)=ff�xx2−14�，则下列式子正确的有A．gg�12�=0B．ff(2)=0C．ff(4)=0 D．gg(xx+1)=−gg(xx)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知αα为第四象限角，sinαα+cosαα=15，则 tanαα=_________．13. 设aa,bb为实数，且aabb≠0 ，虚数zz为方程aaxx2+bbxx+aa=0 的一个根，则|zz|的值为_________．14. 已知首项为2、公差为dd的等差数列{aa nn}满足：对任意的不相等的两个正整数ii，jj，都存在正整数kk，使得aa ii+aa jj=aa kk成立，则dd的取值范围是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知数列{aa nn}的前nn项和SS nn满足SS nn=2aa nn−nn．（1）求数列{aa nn}的通项公式；（2）设bb nn=(2nn+1)(aa nn+1)，求数列{bb nn}的前nn项和TT nn．16.（15分）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为XX，求当PP(XX=kk)最大时kk的值（kk∈NN∗）．17.（15分）已知函数ff(xx)=ee xx−aa ln(xx+1)．（1）当aa=1 时，求ff(xx)的最小值；（2）若aa≥4 ，判断ff(xx)的零点个数．参考数据：ln2≈0.693 ，ee≈2.718 ．18.（17分）如右图，已知RRRR△AABBAA的直角边AABB=6 ，BBAA=4 ，点FF1,FF2是BBAA从左到右的四等分点（非中点）．已知椭圆ΓΓ所在的平面⊥平面AABBAA，且其左右顶点为BB,AA，左右焦点为FF1,FF2，点PP在ΓΓ上．（1）求三棱锥AA−FF1FF2PP体积的最大值；（2）证明：二面角FF1−AAPP−FF2不小于60°．19.（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△AABBAA 的三个内角均小于 120° 时，使得∠AAOOBB=∠BBOOAA=∠AAOOAA=120° 的点OO即为费马点；当△AABBAA有一个内角大于或等于 120° 时，最大内角的顶点为费马点．已知△AABBAA的内角AA,BB,AA所对的边分别为aa,bb,cc，且cos2BB+cos2AA−cos2AA=1（1）求AA；�����⃗·PPBB�����⃗+PPBB�����⃗·PPAA�����⃗+PPAA�����⃗·PPAA�����⃗；（2）若bbcc=2 ，设点PP为△AABBAA的费马点，求PPAA（3）设点PP为△AABBAA的费马点，|PPBB|+|PPAA|=RR|PPAA|，求实数RR的最小值．2024年新高考改革适应性练习（7）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C A A C B D二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案AD ABC ABD【附】评分表9-11题（每题满分6分）得分情况正确选项个数2个（如AD）选对1个（选A或D）3分选对2个（选AD）6分3个（如ABC）选对1个（选A或B或C）2分选对2个（选AB或BC或AC）4分选对3个（选ABC）6分（注：有选错的得0分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号12 13 14答案−34 1 dd∈�2mm�mm∈NN∗�∪{−2}四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）由题意SS nn=2aa nn−nn，当nn=1 时，aa1=SS1=2aa1−1 ，解得aa1=1 ，当nn≥2 时，SS nn=2aa nn−nn，①SS nn−1=2aa nn−1−nn+1 ，②①-②得aa nn=2aa nn−1+1 即aa nn+1=2(aa nn−1+1)，∵aa1+1=2≠0 ，∴aa nn−1+1≠0 ，∴aa nn+1aa nn−1+1=2 ，∴{aa nn +1} 是以首项为2，公比为2的等比数列，则 aa nn +1=2⋅2nn−1=2nn ，∴aa nn =2nn −1 ． （2）由上可知：bb nn =(2nn +1)⋅2nn ，所以 TT nn =3⋅2+5⋅22+7⋅23+⋯+(2nn −1)⋅2nn−1+(2nn +1)⋅2nn ， 2TT nn =3⋅22+5⋅23+7⋅24+⋯+(2nn −1)⋅2nn +(2nn +1)⋅2nn+1 ，∴−TT nn =6+2(22+23+24+⋯+2nn )−(2nn +1)⋅2nn+1 ， ∴TT nn =2+(2nn −1)⋅2nn+1 ．16.（15分）（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件 AA ， “一次应答被采纳”为事件 BB ， 由题意 PP�AA�=0.1 ，PP (BB |AA )=0.8 ，PP (BB |AA ̄)=0.3 ，则 PP (AA )=1−PP�AA�=0.9 ， PP (BB )=PP (AABB )+PP (AĀBB )=PP (AA )PP (BB |AA )+PP (AA ̄)PP (BB |AA ̄)=0.9×0.8+0.1×0.3=0.75 （2）依题意，XX ∼BB �8,34� ，PP (XX =kk )=AA 8kk�34�kk �14�8−kk 当 PP (XX =kk ) 最大时，有 �PP (XX =kk )≥PP (XX =kk +1)PP (XX =kk )≥PP (XX =kk −1)，即⎩⎪⎨AA kk �34�kk�14�8−kk ≥AA 8kk+1�34�kk+1�14�7−kk AA 8kk �34�kk �14�8−kk ≥AA 8kk−1�34�kk−1�14�9−kk解得234≤kk ≤274，kk ∈NN ，故当 PP (XX =kk ) 最大时，kk =6 ． 17.（15分）（1）当 aa =1 时，ff (xx )=ee xx −aa ln (xx +1) (xx >−1) ，则 ff ′(xx )=ee xx −1xx+1 ， ff ′′(xx )=ee xx +1(xx +1)2>0所以 ff ′(xx ) 单调递增，注意到 ff ′(0)=0 ，所以当 xx ∈(−1,0) 时，ff ′(xx )<ff (0)=0 ，ff (xx ) 单调递减；当 xx ∈(0,+∞) 时，ff ′(xx )>ff (0)=0 ，ff (xx ) 单调递增．所以 xx =0 是 ff (xx ) 的极小值点，ff (0)min =ff (0)=1 ．（2）由题意，ff(xx)=ee xx−aa ln(xx+1)(xx>−1)，ff′(xx)=ee xx−aa xx+1，ff′′(xx)=ee xx+aa(xx+1)2，又aa≥4 ，所以ff′′(xx)>0 ，ff′(xx)单调递增，因为ff′(0)=1−aa<0 ，ff′(ln aa)=aa ln aa ln aa+1>0 ，由零点存在性定理，存在唯一的xx0∈(0,ln aa)，使ff′(xx0)=0 ，所以当xx∈(−1,xx0)时，ff′(xx)<0 ，ff(xx)单调递减；当xx∈(xx0,+∞)时，ff′(xx)>0 ，ff(xx)单调递增．又ff(0)=1 ，ff(1)=ee−aa ln2≤ee−4ln2≈2.718−4×0.693=−0.054<0，所以ff(xx)在(0,1)上有1个零点．令ℎ(aa)=ff(aa−1)=ee aa−1−aa ln aa(aa≥4)，则ℎ′(aa)=ee aa−1−ln aa−1 ，令pp(aa)=ee aa−1−ln aa−1(aa≥4)，则pp′(aa)=ee aa−1−1aa≥ee3−14>0 ．所以pp(aa)单调递增，pp(aa)≥pp(4)=ee3−ln4−1>0 ，所以ℎ(aa)单调递增，ℎ(aa)≥ℎ(4)=ee3−4ln4>23−4×2=0 ，即ff(aa−1)>0 ，故ff(xx)在(1,aa−1)内有1个零点．综上，当aa≥4 时，ff(xx)的零点个数为2．18.（17分）取BBAA中点OO，在AAAA上取一点QQ使得OOQQ⊥BBAA，�����⃗为xx正方向，BBAA的中垂线ll的方向向量uu为yy轴正方向，OOQQ������⃗为zz轴正方向，以OO为坐标原点，OOAA建立空间直角坐标系OOxxyyzz．（1）设点PP(xx0,yy0)．椭圆ΓΓ的方程为xx2aa2+yy2bb2=1 (aa>bb>0)．由题意，易知OOBB=OOAA=12BBAA=2 ，OOFF1=OOFF2=14BBAA=1 ，则aa=OOAA=2 ，cc=OOFF1=√aa2−bb2=1 ，解得bb=√3 ，所以ΓΓ:xx24+yy23=1 ．VV AA−FF1FF2PP=13·ℎ·SS△FF1FF2PP=SS△FF1FF2PP=12·|FF1FF2|·|yy0|=|yy0|≤bb=√3故三棱锥AA−FF1FF2PP体积的最大值是√3 ．（2）易知AA(−2,0,3)，FF1(0,−1,0)，FF2(0,1,0)，设PP�√3cosθθ,2sinθθ,0�(cosθθ≠0)，则AAFF1�������⃗=(0,1,−3)，FF1PP�������⃗=�√3cosθθ,2sinθθ+1,0�，设平面AAPPFF1的一个法向量nn1=(xx,yy,zz)，则�nn1·AAFF1�������⃗=yy−3zz=0nn1·FF1PP�������⃗=√3xx cosθθ+(2sinθθ+1)yy=0令yy=3cosθθ，则xx=−√3(2sinθθ+1)，zz=cosθθ，所以平面AAPPFF1的一个法向量nn1=�−√3(2sinθθ+1),3cosθθ,cosθθ�，同理可求得平面AAPPFF2的一个法向量nn2=�−(2sinθθ−1),√3cosθθ,cosθθ�，令RR=sinθθ+1 ，则（化简后得）cos<nn1,nn2>=nn1·nn2|nn1|·|nn2|=3√3√−4RR4−16RR3+12RR2+73RR+27（I）当RR∈�0,54�时，则83−32tt23>0 ，所以−4RR4−16RR3+12RR2+73RR+27<−4RR4−803RR3+12RR2+72RR+1643，令ff(RR)=−4RR4−803RR3+12RR2+72RR+1643，ff′(RR)=−8(RR−1)(2RR2+6RR+9)，因为RR∈�0,54�，所以 2RR2+6RR+9>0 ，令ff′(RR)=0 得RR=1 ，当RR∈(0,1)时，ff′(RR)>0 ，ff(RR)单调递增；当RR∈�1,54�时，ff′(RR)<0 ，ff(RR)单调递减．（II）当RR∈�54,2�时，令gg(RR)=−4RR4−16RR3+12RR2+73RR+27 ，gg′(RR)=−16RR3−48RR2+24RR+72 ，gg′′(RR)=24(−2RR2−4RR+1)<0 ，所以gg′(RR)单调递减，所以gg′(RR)< gg′�54�<0 ，即gg(RR)单调递减，gg()<gg�54�=606364<108 ，综上，−4RR4−16RR3+12RR2+73RR+27<108 对RR∈(0,2)成立，即 cos<nn1,nn2>>3√3√108=12，即 <nn1,nn2>>ππ3，故二面角FF1−AAPP−FF2不小于60°得证．19.（17分）（1）由已知在△AABBAA中cos2BB+cos2AA−cos2AA=1即1−2sin2BB+1−2sin2AA−1+2sin2AA=1故 sin2AA=sin2BB+sin2AA，由正弦定理角化边得aa2=bb2+cc2，故△AABBAA直角三角形，即AA=ππ2．（2）作答图如右图所示，由（1）得 AA =ππ2 ，所以 SS △AAAAAA =12·|AABB |·|AAAA |=12bbcc =1 由点 PP 为 △AABBAA 的费马点得 ∠AAPPBB =∠BBPPAA =∠AAPPAA =2ππ3 ， 由正弦定理，SS △AAPPAA =12·|PPAA |·|PPBB |·sin ∠AAPPBB =√34|PPAA ||PPBB | 同理 SS △AAPPAA =√34|PPBB ||PPAA | SS △AAPPAA =√34|PPAA ||PPAA | 而 SS △AAAAAA =SS △AAPPAA +SS △AAPPAA +SS △AAPPAA ，即√34(|PPAA ||PPBB |+|PPBB ||PPAA |+|PPAA ||PPAA |)=1 得 |PPAA ||PPBB |+|PPBB ||PPAA |+|PPAA ||PPAA |=4√3， 所以 PPAA �����⃗·PPBB �����⃗+PPBB �����⃗·PPAA �����⃗+PPAA �����⃗·PPAA�����⃗ =|PPAA ||PPBB |cos ∠AAPPBB +|PPBB ||PPAA |cos ∠BBPPAA +|PPAA ||PPAA |cos ∠AAPPAA =−12(|PPAA ||PPBB |+|PPBB ||PPAA |+|PPAA ||PPAA |) =−12×4√3=−2√33 故 PPAA �����⃗·PPBB �����⃗+PPBB �����⃗·PPAA �����⃗+PPAA �����⃗·PPAA �����⃗ 的值是 −2√33 ． （3）由（1）知 AA =ππ2 ，由点 PP 为 △AABBAA 的费马点得 ∠AAPPBB =∠BBPPAA =∠AAPPAA =2ππ3， 设 |PPBB |=mm |PPAA | ，|PPAA |=nn |PPAA | ，|PPAA |=xx ，（mm ,nn ,xx >0） 则由 |PPBB |+|PPAA |=RR |PPAA | 得 mm +nn =RR ；由余弦定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧|AABB |2=xx 2+mm 2xx 2−2mmxx 2cos2ππ3=(mm 2+mm +1)xx 2|AAAA |2=xx 2+nn 2xx 2−2nnxx 2cos 2ππ3=(nn 2+nn +1)xx 2|BBAA |2=mm 2xx 2+nn 2xx 2−2mmnnxx 2cos 2ππ3=(mm 2+nn 2+mmnn )xx 2故由 |AAAA|2+|AABB|2=|BBAA|2得(nn2+nn+1)xx2+(mm2+mm+1)xx2=(mm2+nn2+mmnn)xx2，即mm+nn+2=mmnn，而mm>0,nn>0 ，故mm+nn+2=mmnn≤�mm+nn2�2，又mm+nn=RR，即有RR2−4RR−8≥0 ，解得RR≥2+2√3 或RR≤2−2√3（舍去），当且仅当mm=nn，结合mm+nn+2=mmnn，解得mm=nn=1+√3 时，等号成立，故实数RR的最小值为 2+2√3 ．。

广东省佛山市第二中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．1342．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限3．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13±B．3±C ．±1D ． ±4．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A ．14B ．13 C ．12D ．236．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 7．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=8．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．729．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A 5B ．23C ．8D ．310．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞11．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．312．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年广东省深圳市龙华区创新实验学校中考数学适应性试卷一.选择题（每题3分，共24分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）A．2024B．﹣2024C．±2024D．02．（3分）下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）据海关统计，2024年1﹣2月长春市进出口总额约为215.4亿元．数据215.4亿用科学记数法表示为（ ）A．0.2154×1011B．2.154×1010C．2.154×109D．215.4×1084．（3分）下列计算正确的是（ ）A．2x+3x＝5x B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．x6÷x2＝x3D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y25．（3分）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC．若∠ABC＝30°，则∠ADE 应为（ ）度．A．30°B．60°C．120°D．150°6．（3分）《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得（ ）A．B．C．D．7．（3分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（ ）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线C．AD＝BD D．AD平分∠BAC8．（3分）已知△ABC．AC＞BC＞AB，∠C＝45°，用尺规在边AC上求作一点P．使∠PBC＝45°，图3是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ）A．甲、乙的作图均正确B．甲、乙的作图均不正确C．只有甲的作图正确D．只有乙的作图正确二.填空题（每题3分，共15分）9．（3分）中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是 ．10．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根是3，则3a+b＝ ．11．（3分）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC＝ ．12．（3分）某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点A 处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离6m的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为62°，则这枚小火箭此时的高度AC是 m．13．（3分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若，则的值为 ．三.解答题（共61分）14．（5分）计算：．15．（5分）解不等式组：．16．（5分）先化简，再求值：求：，其中a＝2．17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（﹣5，2）、B（﹣2，5）、C（1，3）．（1）在图中画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1．（2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．18．（7分）某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如图所示统计图表（不完整）“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表组别成绩x（分）人数（人）A60≤x＜7010B70≤x＜80mC80≤x＜9016D90≤x＜1004请观察上面的图表，解答下列问题：（1）统计表中m＝ ；统计图中n＝ ；B组的圆心角是 度．（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生，从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求：至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．19．（7分）根据以下素材，探索完成任务．素材1某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫．素材24月份的进购数量是3月份数量的2倍，但每件进价涨了10元．素材34月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．问题解决任务14月份进了这批T恤衫多少件？任务2每件T恤衫的进价为 ．任务3用含a的代数式表示b为 ．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．（1）求证：EA与⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径．21．（9分）探究问题1：（1）若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．（2）变式：若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．探究问题2：（3）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，求m 的取值范围．22．（9分）已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点．（1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE的周长；（2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，连接EF、DE、DF，将DE绕E 点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；（3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若ED经过BC中点F，连接AE、CE，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，当AG最大时，请直接写出的值．参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共24分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）A．2024B．﹣2024C．±2024D．0【解答】解：﹣2024的绝对值是2024，故选：A．2．（3分）下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、该图案可以看作是轴对称图形，故此选项符合题意；B、该图案不可以看作是轴对称图形，故此选项符合题意；C、该图案不可以看作是轴对称图形，故此选项符合题意；D、该图案不可以看作是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：A．3．（3分）据海关统计，2024年1﹣2月长春市进出口总额约为215.4亿元．数据215.4亿用科学记数法表示为（ ）A．0.2154×1011B．2.154×1010C．2.154×109D．215.4×108【解答】解：215.4亿＝21540000000＝2.154×1010，故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（ ）A．2x+3x＝5x B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．x6÷x2＝x3D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2【解答】解：A、2x+3x＝5x，故本选项正确；B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；C、x6÷x2＝x4，故本选项错误；D、（﹣2xy）2＝4x2y2，故本选项错误；故选：A．5．（3分）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC．若∠ABC＝30°，则∠ADE 应为（ ）度．A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵DE∥BC．∴∠ADE＝∠ABC＝30°．故选：A．6．（3分）《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据题意得：，故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（ ）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线C．AD＝BD D．AD平分∠BAC【解答】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形，故选：D．8．（3分）已知△ABC．AC＞BC＞AB，∠C＝45°，用尺规在边AC上求作一点P．使∠PBC＝45°，图3是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ）A．甲、乙的作图均正确B．甲、乙的作图均不正确C．只有甲的作图正确D．只有乙的作图正确【解答】解：对于甲同学的作图：由作图痕迹得BP⊥AC，∴∠BPC＝90°，∵∠C＝45°，∴∠PBC＝45°，∴甲同学的作图正确；对于乙同学的作图：由作图痕迹得BP平分∠ABC，∴∠BPC＝∠ABC，∵AC＞BC＞AB，∠C＝45°，∴∠A＞45°，∴∠ABC＜90°，∴∠PBC≠45°，∴乙同学的作图不正确．故选：C．二.填空题（每题3分，共15分）9．（3分）中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是 ．【解答】解：∵某校开设京剧、武术、中医和书法这四门课程供学生任意选修一门，∴小丽同学恰好选修了中医的概率是．故答案为：．10．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根是3，则3a+b＝　﹣2　．【解答】解：把x＝3代入关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0得：9a+3b+6＝0，9a+3b＝﹣6，∴3a+b＝﹣2，故答案为：﹣2．11．（3分）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC＝　24°　．【解答】解：∵∠ABD＝∠AOD，∠AOD＝128°，∴∠ABD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°．故答案为：24°．12．（3分）某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点A 处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离6m的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为62°，则这枚小火箭此时的高度AC是　（1.8+6tan62°）　m．【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，由题意得：DB⊥AB，CA⊥AB，∴四边形ABDE是矩形，∴BD＝AE＝1.8m，DE＝AB＝6m，在Rt△CDE中，∠CDE＝62°，∴CE＝DE•tan62°＝6tan62°m，∴AC＝AE+CE＝（1.8+6tan62°）m，∴这枚小火箭此时的高度AC是（1.8+6tan62°）m．故答案为：（1.8+6tan62°）．13．（3分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若，则的值为　2　．【解答】解：设BF＝2m，连接FG，CE，∵＝，∴GC＝3m，∵四边形ABCD是矩形，点E为AD中点，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AE＝DE，AB＝DC，BC∥AD，∴∠GFE＝∠AEF，由折叠得A′B′＝AB，B′F＝BF＝2m，∠GEF＝∠AEF，∠B′A′F＝∠A＝90°，∴∠GFE＝∠GEF，A′B′＝DC，∠CA′E＝90°，∴GF＝GE，∵∠CA′E＝∠D＝90°，CE＝CE，A′E＝AE＝DE，∴Rt△CA′E≌Rt△CDE（HL），∴A′C＝DC，∠A′EC＝∠DEC，∵∠GCE＝∠DEC，∴∠A′EC＝∠DEC，∴GF＝GE＝GC＝3m，∴AD＝BC＝BF+GF+GE＝2m+3m+3m＝8m，∴A′E＝AE＝AB＝×8m＝4m，∴A′G＝A′E﹣GE＝4m﹣3m＝m，∴AB＝DC＝A′C＝＝＝2m，∴＝＝2，故答案为：2．三.解答题（共61分）14．（5分）计算：．【解答】解：原式＝2+2×﹣2+1＝2+﹣2+1＝3﹣．15．（5分）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得x＞1，解不等式②得x＜2，所以不等式组的解集为1＜x＜2．16．（5分）先化简，再求值：求：，其中a＝2．【解答】解：＝•＝•＝，当a＝2时，原式＝＝．17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（﹣5，2）、B（﹣2，5）、C（1，3）．（1）在图中画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1．（2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；（2）如图2，△A2B2C2即为所求．18．（7分）某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如图所示统计图表（不完整）“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表组别成绩x（分）人数（人）A60≤x＜7010B70≤x＜80mC80≤x＜9016D90≤x＜1004请观察上面的图表，解答下列问题：（1）统计表中m＝　20　；统计图中n＝　32　；B组的圆心角是　144　度．（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生，从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求：至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．∴m＝50﹣（10+16+4）＝20，∵，∴n＝32，B组的圆心角的度数为360°×＝144°，故答案为：20，32，144；（2）画树状图如下：共有12 种等可能的情况，其中至少1名女生被抽取参加5G体验活动的情况有10种，∴至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为．19．（7分）根据以下素材，探索完成任务．素材1某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫．素材24月份的进购数量是3月份数量的2倍，但每件进价涨了10元．素材34月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．问题解决任务14月份进了这批T恤衫多少件？任务2每件T恤衫的进价为　130元　．任务3用含a的代数式表示b为　b＝75﹣　．【解答】解：（1）设3月份购进x件T恤衫，则4月份进了这种T恤衫2x件，由题意得：﹣＝10，解得：x＝150，经检验，x＝150是原分式方程的解，则2x＝300，答：4月份进了这种T恤衫300件；（2）＝130（元），故答案为：130元；（2）每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），由题意得：（180﹣130）a+（180×0.8﹣130）（150﹣a）＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b），化简，得：b＝75﹣，故答案为：b＝75﹣．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．（1）求证：EA与⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵EF为切线，∴∠OCE＝90°，∵D为AC中点，∴OE⊥AC，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°，即∠EAO＝90°，∴EA为⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为直径，∴∠BCA＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵EF为切线，∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA，∴∠BCF＝∠CAF，∴△BCF∽△CAF，∴，由（1）知EA为⊙O切线，则EA＝EC＝3，EF＝EC+FC＝5，在Rt△AEF中，可求得AF＝4，∴，解得BF＝1，∴AB＝AF﹣BF＝3，∴⊙O的半径为．21．（9分）探究问题1：（1）若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．（2）变式：若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，则m的取值范围是　m＜8　．等价转化：若二次函数　y＝x2﹣6x+1　（m为常数）的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，则m的取值范围是　m＜8　．探究问题2：（3）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，∵y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，∴Δ＝16﹣4m＞0．∴m＜4．（2）变式：由题意，联列方程组，∴x2﹣4x+m＝2x﹣1．∴x2﹣6x+m+1＝0．∵两个图象有两个公共点，∴Δ＝36﹣4（m+1）＞0．∴m＜8．由x2﹣4x+m＝2x﹣1，∴x2﹣6x+1＝﹣m．∴等价转化：若二次函数y＝x2﹣6x+1的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，此时m＜8．故答案为：m＜8；y＝x2﹣6x+1；m＜8．（3）由题意，令x2﹣4x+m＝2x﹣1，∴x2﹣6x+1＝﹣m．∴二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点等价于二次函数y＝x2﹣6x+1的图象在x≤4的部分与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点．由题意，y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8（x≤4）．作图如下．∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，结合图象，∴﹣8＜﹣m≤﹣7．∴7≤m＜8．22．（9分）已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点．（1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE的周长；（2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，连接EF、DE、DF，将DE绕E 点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；（3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若ED经过BC中点F，连接AE、CE，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，当AG最大时，请直接写出的值．【解答】解：（1）过点E作EH⊥AB交BA的延长线于H，如图1，∵点D是AB的中点，且AB＝4，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝AB＝4，∴tan∠ACD＝＝＝，CD＝＝＝2，由旋转得：DE＝CD＝2，∠CDE＝90°，即∠ADC+∠ADE＝90°，∵∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，在△DEH和△CDA中，，∴△DEH≌△CDA（AAS），∴EH＝AD＝2，DH＝AC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝4﹣2＝2，在Rt△AEH中，AE＝＝＝2，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝2+2+2；（2）猜想：FD＝CG+FG，理由如下：如图2，连接AF、AG，过点F作FH⊥FG交AG于H，∵△ABC是等腰直角三角形，E、F分别是AB、BC的中点，∴AE＝EF，AE⊥EF，AF＝CF，∴∠AEG+∠FEG＝90°，由旋转得ED＝EG，∠DEG＝90°，∴∠FED+∠FEG＝90°，∠EDG＝∠EGD＝45°，∴∠AEG＝∠FED，在△EAG和△EFD中，，∴△EAG≌△EFD（SAS），∴AG＝FD，∠AGE＝∠FDE，∵∠FDG＝∠FGE，∴∠AGE+∠FGE＝∠FDE+∠FDG＝∠EDG＝45°，即∠AGF＝45°，∵∠GFH＝90°，∴∠FHG＝45°＝∠FGH，∴△FGH是等腰直角三角形，∴FH＝FG，HG＝FG，∵∠AFH+∠CFH＝∠CFG+∠CFH＝90°，∴∠AFH＝∠CFG，在△AFH和△CFG中，，∴△AFH≌△CFG（SAS），∴AH＝CG，∵AG＝AH+HG，∴FD＝CG+FG；（3）设AE、GH交于点M，作AB中点P，连接PC、PE、BE、AF，作PC中点Q，连接AQ、QG，如图，∵将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，∴△AED是等腰直角三角形，∴＝，∠EAD＝45°，∵△ABF是等腰直角三角形，∴＝，∠BAF＝45°，∴＝，∵∠BAF﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE＝∠FAD，∴△BAE∽△FAD，∴∠BEA＝∠FAD＝90°，∵点P是AB的中点，∴PE＝AB，∵Q是PC的中点，G是EC的中点，∴QG是△CPE的中位线，∴QG＝PE＝AB，QG∥PE，设AB＝AC＝4a，则QG＝a，PA＝2a，在Rt△PAC中，PC＝＝＝2a，AQ＝PC＝×2a＝a，当A、Q、G三点共线时，AG＝AQ+QG＝a+a＝（+1）a，取得最大值，又∵QG∥PE，∴AG∥PE，∴∠PEA＝∠GAE，∵PE＝PA，∴∠PAE＝∠PEA＝∠EAG，∵F是BC的中点，G是EC的中点，∴FG是△BEC的中位线，∴FG∥BE，∴AE⊥HG，∴△AHM≌△AGM（ASA），∴HM＝GM，AH＝AG＝（+1）a，∴＝＝＝﹣1，∴＝＝＝×＝，∴的值为．。